Выражаются натуральным числом. Ненатуральные числа. Как отличить натуральные от ненатуральных

Натуральные числа – числа, которые применяют для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую записьчисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы,если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц); 4 десятка, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков); 4 сотни, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).

Цифра0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа.Она служит и для обозначения числа «нуль ». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.

Нуль не относят к натуральным числам. И действительно счет предметов никогда не начинают с нуля.

Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным. Т.е. однозначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из одного знака – одной цифры. Например, числа 1, 6, 8 – однозначные.

Двузначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из двух знаков – двух цифр.

Например, числа 12, 47, 24, 99 – двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам:

числа 326, 532, 893 – трехзначные;

числа 1126, 4268, 9999 – четырехзначные и т.д.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т.д. числа называют многозначными числами.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.

Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млрд или 1 000 000 000.

Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Класс миллионов, класс тысяч и класс единиц (слева направо)

Число15389000286 записано в разрядной сетке (рис. 2).

Рис. 2. Разрядная сетка: число 15 миллиардов 389 миллионов 286

Это число имеет 286 единиц в классе единиц, нуль единиц в классе тысяч, 389 единиц в классе миллионов и15 единиц в классе миллиардов.

В математике существует несколько различных множеств чисел: действительные, комплексные, целые, рациональные, иррациональные, … В нашей повседневной жизни мы чаще всего используем натуральные числа, так как мы сталкиваемся с ними при счете и при поиске, обозначении количества предметов.

Вконтакте

Какие числа называются натуральными

Из десяти цифр можно записать абсолютно любую существующую сумму классов и разрядов. Натуральными значениями считаются те, которые используются :

• При счете каких-либо предметов (первый, второй, третий, … пятый, … десятый).
• При обозначении количества предметов (один, два, три…)

N значения всегда целые и положительные. Наибольшего N не существует, так как множество целых значений не ограничено.

Внимание! Натуральные числа получаются при счете предметов или при обозначении их количества.

Абсолютно любое число может быть разложено и представлено в виде разрядных слагаемых, например: 8.346.809=8 миллионов+346 тысяч+809 единиц.

Множество N

Множество N находится в множестве действительных, целых и положительных . На схеме множеств они бы находились друг в друге, так как множество натуральных является их частью.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N. Это множество имеет начало, но не имеет конца.

Еще существует расширенное множество N, где включается нуль.

Наименьшее натуральное число

В большинстве математических школ наименьшим значением N считается единица , так как отсутствие предметов считается пустотой.

Но в иностранных математических школах, например во французской, считается натуральным. Наличие в ряде нуля облегчает доказательство некоторых теорем .

Ряд значений N, включающий в себя нуль, называется расширенным и обозначается символом N0 (нулевой индекс).

Ряд натуральных чисел

N ряд – это последовательность всех N совокупностей цифр. Эта последовательность не имеет конца.

Особенность натурального ряда заключается в том, что последующее число будет отличаться на единицу от предыдущего, то есть возрастать. Но значения не могут быть отрицательными .

Внимание! Для удобства счета существуют классы и разряды:

• Единицы (1, 2, 3),
• Десятки (10, 20, 30),
• Сотни (100, 200, 300),
• Тысячи (1000, 2000, 3000),
• Десятки тысяч (30.000),
• Сотни тысяч (800.000),
• Миллионы (4000000) и т.д.

Все N

Все N находятся во множестве действительных, целых, неотрицательных значений. Они являются их составной частью .

Эти значения уходят в бесконечность, они могут принадлежать классам миллионов, миллиардов, квинтиллионов и т.д.

Например:

• Пять яблок, три котенка,
• Десять рублей, тридцать карандашей,
• Сто килограммов, триста книг,
• Миллион звезд, три миллиона человек и т.д.

Последовательность в N

В разных математических школах можно встретить два интервала, которым принадлежит последовательность N:

от нуля до плюс бесконечности, включая концы, и от единицы до плюс бесконечности, включая концы, то есть все положительные целые ответы .

N совокупности цифр могут быть как четными, так и не четными. Рассмотрим понятие нечетности.

Нечетные (любые нечетные оканчиваются на цифры 1, 3, 5, 7, 9.) при на два имеют остаток. Например, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Что значит четные N

Любые четные суммы классов оканчиваются на цифры: 0, 2, 4, 6, 8. При делении четных N на 2, остатка не будет, то есть в результате получается целый ответ. Например, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важно! Числовой ряд из N не может состоять только из четных или нечетных значений, так как они должны чередоваться: за четным всегда идет нечетное, за ним снова четное и т.д.

Свойства N

Как и все другие множества, N обладают своими собственными, особыми свойствами. Рассмотрим свойства N ряда (не расширенного).

• Значение, которое является самым маленьким и которое не следует ни за каким другим – это единица.
• N представляют собой последовательность, то есть одно натуральное значение следует за другим (кроме единицы – оно первое).
• Когда мы производим вычислительные операции над N суммами разрядов и классов (складываем, умножаем), то в ответе всегда получается натуральное значение.
• При вычислениях можно использовать перестановку и сочетание.
• Каждое последующее значение не может быть меньше предыдущего. Также в N ряде будет действовать такой закон: если число А меньше В, то в числовом ряде всегда найдется С, для которого справедливо равенство: А+С=В.
• Если взять два натуральных выражения, например А и В, то для них будет справедливо одно из выражений: А=В, А больше В, А меньше В.
• Если А меньше В, а В меньше С, то отсюда следует, что А меньше С .
• Если А меньше В, то следует, что: если прибавить к ним одно и то же выражение (С), то А+С меньше В+С. Также справедливо, что если эти значения умножить на С, то АС меньше АВ.
• Если В больше А, но меньше С, то справедливо: В-А меньше С-А.

Внимание! Все вышеперечисленные неравенства действительны и в обратном направлении.

Как называются компоненты умножения

Во многих простых и даже сложных задачах нахождение ответа зависит от умения школьников

Натуральные числа

Натуральные числа – это те числа, которые применяются для подсчета различных предметов или для того, чтобы указать порядковый номер какого-либо предмета среди себе подобных или однородных.

Записывать натуральные числа можно с помощью первых десяти цифр:

Для записи простых натуральных чисел принято использовать позиционную десятичную систему исчисления, где значение любой цифры определяют ее местом в записи.

Натуральные числа – это простейшие числа, часто используемые нами в повседневной жизни. С помощью этих чисел мы ведем подсчеты, считаем предметы, определяем их количество, порядок и номер.

С натуральными числами мы начинаем знакомиться с самого раннего детства, поэтому они для каждого из нас являются привычными и естественными.

Общее представление о натуральных числах

Натуральные числа предназначены для несения информации о количестве предметов, их порядковом номере и множестве предметов.

Человек использует натуральные числа, так как они ему доступны как на уровне восприятия, так и на уровне воспроизведения. При озвучивании любого натурального числа, мы с вами легко его улавливаем на слух, а изобразив натуральное число – мы его видим.

Все натуральные числа располагаются в порядке возрастания и образуют числовой ряд, начинающийся с наименьшего натурального числа, которым является единица.

Если мы определились с наименьшим натуральным числом, то с наибольшим будет посложнее, так как такого числа не существует потому, что ряд натуральных чисел является бесконечным.

При прибавлении к натуральному числу единицы, в итоге мы получим число, которое идет за данным числом.

Такая цифра, как 0 не есть натуральным числом, а только служит для обозначения числа «ноль» и значит «ни одного». 0 означает отсутствие в десятичной записи чисел единиц данного ряда.

Все натуральные числа обозначаются заглавной латинской буквой N.

Историческая справка обозначения натуральных чисел

В древние времена человек еще не знал, что такое число и как можно посчитать количество предметов. Но уже тогда возникла необходимость в счете, и человек придумал, как можно сосчитать пойманную рыбу, собранные ягоды и т.д.

Немного позже, древний человек пришел к тому, что нужное ему количество проще записать. Для этих целей первобытные люди стали использовать камешки, а потом палочки, которые сбереглись в римских цифрах.

Следующим моментом развития системы исчисления стало использование в обозначениях некоторых чисел букв алфавита.

К первым системам исчисления относится десятичная индийская система и шестидесятеричная вавилонская.

Современная система исчисления, хоть и называется арабской, но, по сути, представляет один из вариантов индийской. Правда в ее системе исчисления отсутствует цифра ноль, но арабы ее добавили, и система приобрела нынешний вид.

Десятичная система исчисления

С натуральными числами мы уже познакомись и научились записывать их с помощью десяти цифр. Также вам уже известно, что запись чисел с использованием знаков, называется системой исчисления.

Значение цифры в записи числа зависит от ее позиции и называется позиционным. То есть, при методах записи натуральных чисел, мы используем позиционную систему исчисления.

Данная система основывается на разрядности и десятичности. В десятичной системе исчисления основой для ее построения будут цифры от 0 до 9.

Особое место в такой системе отводится числу 10, так как, в основном счет ведется десятками.

Таблица классов и разрядов:

Так, например, 10 единиц объединены в десятки, далее в сотни, тысячи и тому подобное. Поэтому число 10 является основанием системы исчисления и носит название десятичной системы исчисления.

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную

Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,

Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N.

Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

• Единица считается натуральным числом.
• Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
• Перед единицей нет никакого натурального числа.
• Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
• Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:

• сложение - x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
• умножение - x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
• возведение в степень - x y , где x, y включены в поле N.

Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:

Свойства чисел, принадлежащих полю N

Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.

• Переместительное свойство сложения - x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
• Переместительное свойство умножения - x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
• Сочетательное свойство сложения - (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
• Сочетательное свойство умножения - (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
• распределительное свойство - x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.

Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.

В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.

Подмножество как колыбель математики

На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд , который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

Переместительное свойство: $a+b=b+a$

Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$

Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$

При умножении на нуль произведение равно нулю

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

Распределительное свойство умножения относительно сложения

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

Например, $5(x+y)=5x+5y$

Распределительное свойство умножение относительно вычитания

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

Пример 1

Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

Решение : На основании указанного свойства,т.к. по условию $a

в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число,заменяют нулями