Х ; значение F (5); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из отрезка . Построить многоугольник распределения.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
Х | –28 | –20 | –12 | –4 | |
p | 0,22 | 0,44 | 0,17 | 0,1 | 0,07 |
Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х .
Выборка А : 6 9 7 6 4 4
Выборка В: 55 72 54 53 64 53 59 48
42 46 50 63 71 56 54 59
54 44 50 43 51 52 60 43
50 70 68 59 53 58 62 49
59 51 52 47 57 71 60 46
55 58 72 47 60 65 63 63
58 56 55 51 64 54 54 63
56 44 73 41 68 54 48 52
52 50 55 49 71 67 58 46
50 51 72 63 64 48 47 55
Вариант 17.
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
Моду и медиану;
Выборка А: 0 0 2 2 1 4
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка В: 166 154 168 169 178 182 169 159
161 150 149 173 173 156 164 169
157 148 169 149 157 171 154 152
164 157 177 155 167 169 175 166
167 150 156 162 170 167 161 158
168 164 170 172 173 157 157 162
156 150 154 163 143 170 170 168
151 174 155 163 166 173 162 182
166 163 170 173 159 149 172 176
Вариант 18.
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка А : 4 7 6 3 3 4
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка В : 152 161 141 155 171 160 150 157
154 164 138 172 155 152 177 160
168 157 115 128 154 149 150 141
172 154 144 177 151 128 150 147
143 164 156 145 156 170 171 142
148 153 152 170 142 153 162 128
150 146 155 154 163 142 171 138
128 158 140 160 144 150 162 151
163 157 177 127 141 160 160 142
159 147 142 122 155 144 170 177
Вариант 19.
1. На участке работают 16 женщин и 5 мужчин. По табельным номерам отобраны наудачу 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные люди окажутся мужчинами.
2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».
3. Слово «ПСИХОЛОГИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПОСОХ.
4. В урне содержится 6 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один белый шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 30 и не более 40 раз в серии из 50 испытаний.
6. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
7. В первой урне 4 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 8 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 4 чёрных шара.
8. В салон по продаже автомобилей ежедневно поступают автомобили трёх марок в объёмах: «Москвич» – 40%; «Ока» – 20%; «Волга» – 40% от всех привезённых машин. Среди машин марки «Москвич» 0,5% имеют противоугонное устройство, «Ока» – 0,01%, «Волга» – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая для проверки машина имеет противоугонное устройство.
9. На отрезке наудачу выбраны числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .
10. Дан закон распределения случайной величины Х :
Х | ||||
p | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Найти функцию распределения случайной величины Х ; значение F (2); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала . Построить многоугольник распределения.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти недостающую вероятность и построить график функции распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины.
Случайная величина Х принимает только четыре значения: -4, -3, 1 и 2. Каждое из этих значений она принимает с определенной вероятностью. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то недостающая вероятность равна:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
Составим функцию распределения случайной величины Х. Известно, что функция распределения , тогда:
Следовательно,
Построим график функции F (x ) .
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений значения случайной величины на соответствующую вероятность, т.е.
Дисперсию дискретной случайной величины найдем по формуле:
Элементы комбинаторикиЗдесь: - факториал числа |
||||||||||
Действия над событиямиСобытие – это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Объединение событий А и В – это событие С , которое состоит в появлении или события А , или события В , или обоих событий одновременно. Обозначение:
Пересечение событий А и В – это событие С , которое состоит в одновременном появлении обоих событий. Обозначение:
|
||||||||||
Классическое определение вероятностиВероятность события А
– это
отношение числа опытов |
||||||||||
Формула умножения вероятностейВероятность события
- вероятность события А, Вероятность события В, - вероятность события В при условии, что событие А уже произошло. Если события А и В – независимы (появление одного не влияет на появление другого), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула сложения вероятностейВероятность события можно найти по формуле: Вероятность события А, Вероятность события В, - вероятность совместного появления событий А и В . Если события А и В – несовместны (не могут появиться одновременно), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула полной вероятностиПусть
событие А
может произойти
одновременно с одним из событий
|
||||||||||
Схема БернуллиПусть проводится n независимых испытаний. Вероятность появления (успеха) события А в каждом из них постоянна и равна p , вероятность неудачи (т.е. не появления события А ) q = 1 - p . Тогда вероятность появления k успехов в n испытаниях можно найти по формуле Бернулли: Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли – это число появлений некоторого события, которому соответствует наибольшая вероятность. Можно найти по формуле: |
||||||||||
Случайные величиныдискретные непрерывные (н-р, число девочек в семье с 5 детьми) (н-р, время исправной работы чайника) Числовые характеристики дискретных случайных величинПусть дискретная величина задана рядом распределения:
, , …, - значения случайной величины Х ; , , …, - соответствующие им значения вероятностей. Функция распределенияФункцией распределения случайной
величины Х
называется функция
|
Событие. Операции над случайными событиями.
Понятие вероятности события.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли.
Случайная величина, ее функция распределения и ряд распределения.
Основные свойства функции распределения.
Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.
Дисперсия. Свойства дисперсии.
Плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины.
Виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное, биномиальное и распределение Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Муавра-Лапласа.
Закон и функция распределения системы двух случайных величин.
Плотность распределения системы двух случайных величин.
Условные законы распределения, условное математическое ожидание.
Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции.
Выборка. Обработка выборки. Полигон и гистограмма частот. Эмпирическая функция распределения.
Понятие оценки параметров распределения. Требования к оценке. Доверительный интервал. Построение интервалов для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Статистические гипотезы. Критерии согласия.
Примеры решения задач на тему «Случайные величины».
Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.
Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Легко проконтролировать: .
Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.
Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:
p i |
0,24 |
Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.
Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:
qn |
pn |
В ернёмся к задаче.
Возможные значения величины X (число отказов):
x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;
x 1 =1 – отказ одного элемента;
x 2 =2 – отказ двух элементов;
x 3 =3 – отказ всех элементов.
Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим
, ,
, .
Контроль: .
Следовательно, искомый закон распределения:
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Задача 4 . Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?
Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом
количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: , где .
Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .
Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.
При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .
Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:
Найти математическое ожидание.
Решение. .
Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.
Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:
Решение. Здесь .
Закон распределения квадрата величины X 2 :
X2 |
|||
Искомая дисперсия: .
Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.
Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:
10м |
|||
Найти её числовые характеристики.
Решение: м, м 2 ,
М 2 , м.
Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.
Задача 9.
Случайная величина
X
задана функцией
распределения:
.
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .
Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому
.
Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.
Решение. Так как функция распределения,
для , то
при ;
при ;
при ;
при ;
Соответствующий график:
Задача 11. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения: .
Найти вероятность попадания X в интервал
Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.
Воспользуемся формулой: .
Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
–5 |
|||||||||
X 2 :
|
X
задана законом распределения вероятностей: Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно … 0,80
Решение:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется как , где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле .Тогда , а
Решение:
A
(вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности: .Здесь вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна …
Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле . Тогда
Или . Решив последнее уравнение, получаем два корня и
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …
Решение:
Для вычисления события А (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой где n
m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть .
А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть .
Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна …
0,856 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(выданный кредит будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины Х
0,655 |
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …
Решение:
Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A
. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно,
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
функция распределения вероятностей имеет вид:
Тогда значение параметра может быть равно …
0,7 | |||
0,85 | |||
0,6 |
Решение:
По определению . Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле . То есть
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …
Решение:
A
(вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда .
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина X
задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
7,56 | |||
3,2 | |||
3,36 | |||
6,0 |
Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,
Тема: Определение вероятности
Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …
Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет бракованных) воспользуемся формулой , где n
– общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три небракованные детали из семи, то есть . Следовательно,
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
0,57 | |||
0,43 | |||
0,55 | |||
0,53 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
Тогда
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …
Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
0,875 | |||
0,125 | |||
0,105 | |||
0,375 |
Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
.
.
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Тогда ее математическое ожидание равно …
Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда .
Тема: Определение вероятности
Решение:
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание a
и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …
Решение:
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид , где , . Поэтому .
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда значения a
и b
могут быть равны …
Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то . Этому условию удовлетворяет ответ: .
Тема: Определение вероятности
В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …
Решение:
Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой , где – площадь меньшего круга, а – площадь большего круга. Следовательно, .
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна …
0,47 | |||
0,55 | |||
0,35 | |||
0,50 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Тогда
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины :
функция распределения вероятностей имеет вид:
Тогда значение параметра может быть равно …
0,7 | |||
0,85 | |||
0,6 |
ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …
0,875 | |||
0,125 | |||
0,105 | |||
0,375 |
Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
(выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда
.
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса:
.
ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …
Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n
– общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
Решение:
Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле
Тогда
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …
Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …
0,57 | |||
0,43 | |||
0,55 | |||
0,53 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн.
Тогда .
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …
nanbaby.ru - Здоровье и красота. Мода. Дети и родители. Досуг. Быт. Дом