Основание римской системы счисления. Материал для любознательных

Замечание, которому стоит уделить особое внимание в исследовании римской системы счисления – это её отношение к ряду непозиционных. А точнее, этой нумерации свойственны такие характеристики, что положение цифры в отображении числа никак не отражается на его величине. Но следует учитывать, что в этом случае запись производится посредством букв латинского алфавита.

Нюансы обозначений в римской системе счисления

Характер обозначения чисел римской системы во многом сходен с греческой нумерацией в первом её варианте. Притом, имеют место, как специальные обозначения для чисел 1 (I), 10 (X), 100 (C), 1000 (M), так и для 5 (V), 50 (L), 500 (D).

Все вышеназванные знаки признаются узловыми. Именно с их использованием удастся записать любое многозначное число. До приобретения привычного для наших современников внешнего вида цифр, римские аналоги пережили не одно изменение. Но стоит присмотреться к ним внимательнее, то можно пронаблюдать сходство значка "I" с палочкой, "V" – с раскрытой рукой, "X" - с двумя скрещенными руками.

Есть и другое мнение, состоящее в том, что цифры от 1 до 9 не составит труда изобразить в виде нужного числа вертикальных палочек. А вот для записи числа 10, десятую из них использовали, чтобы перечеркнуть 9 предыдущих и связать их в десяток. Во избежание излишнего количества этих самых палочек, начали пользоваться значком Х, т.е., попросту перечеркивали одну палочку. Число V (5) получилось путём разделения знака Х пополам.

Но когда дело касалось записи числа 100, перечеркивание палочки производилось дважды или использовался кружок с точкой внутри. И, само собой разумеется, для обозначения цифры 50 пользовались половиной этого знака.

Кроме того, обозначения С и М, соответствующие числам 100 и 1000, связывают с названиями сотен и тысяч. К примеру: миле (М) – это путь из тысячи шагов.

Обратите внимание на способ облегчения запоминаемости цифр в виде латинского алфавита, следующих соответственно убыванию: Мы Dарим Сочные Lимоны, Xватит Vсем Iх (M - 1000, 500 - D, C - 100, L - 50, V - 5, I – 1).

Порядок записи в римской нумерации

Запись нужной цифры производилась древними римлянами таким образом, чтобы в своей сумме значки составляли заданное число. К примеру: 8 записывалось как VIII, а 382 имело вид - CCCLXII. Притом, впереди поставлены цифры большего значения, а дальше следуют те, что значением поменьше.

Но в случае, когда меньшая цифра записана впереди большей из них, результат ориентирован на вычитание.

В доказательство приводится пример:

Обозначение числа 4 в виде IV, следует читать, как 5 – 1; 9, записанное как IX, означает 10 – 1. А если от сотни отнять десяток – получится 90 или XC. Но следует хорошо запомнить, что цифре большего значения может предшествовать только одна малая цифра, т.е., IV – это правильная запись, а IIV – ошибочная.

Одинаковые цифры, стоящие рядом, предполагают сложение. К примеру: СС следует воспринимать, как 200, а ХХ, как 20. Но, согласно правилу записи по римской системе, одна и та же цифра не может записываться больше 3-х раз подряд.

Кроме того, следует помнить, что цифры V, L, D не должны записываться раздельно друг от друга больше, чем 1 раз. Если DC и DL не противоречит правилу, то VV – ничто иное, как грубая ошибка.

Относительно написания меньшей цифры перед большей, правило допускает только I, X, C. К примеру: IX – это правильная запись, а VX – неправильный вариант.

В записи, где меньшая цифра стоит перед большей, в продолжение может стоять только цифра меньше первой, вот как CDX. А запись CDC считается ошибочной.

Согласно правилам записи, цифра, исполнившая роль меньшей перед большей, не допускается к повторному использованию (слева направо) в отображении данного числа. Исключения возможны лишь тогда, когда та упоминается в качестве большей цифры перед меньшей. Если запись CDXC считается правильной, то CDCC – противоречит правилу.

Всегда следует помнить, что большая цифра перед меньшей говорит об отрицательном вкладе относительно значения интересующего числа.

Максимальным числом, обозначенным с помощью римской системы счисления, является 100 000. По этой самой причине, в связи с крупными денежными суммами такие обозначения, как сотни тысяч, в ход не допускались. Если нужно было записать миллион, пользовались таким обозначением, как 10 тыс. сотен.

Знание правил написания римских чисел помогает нашим современникам без особого труда разобраться в старинных надписях типа MDCCCXLIV, что следует читать, как 1844.

Секреты арифметических операций

Сложение и вычитание

В решении задач, связанных с отниманием и сложением, особых сложностей нет. К примеру: XIX + XXVI = XXXV. Нужно только учитывать последовательность операций:

• IX+VI=XV. Всё дело в том, что I, идущий за цифрой V, способен уничтожить I перед X.
• X+XX=XXX. А если добавить ещё один Х, то в результате выходит ХХХХ, т.е. – XL.

С вычитанием дело обстоит приблизительно так же. К примеру, 500 – 283 предусматривает разложение уменьшаемого на мелкие составляющие. Для получения результата остаётся только выполнить сокращение знаков, присутствующих в уменьшаемом:

D – CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII – CCLXIII=CCXXXVII

Умножение

Чтобы умножить одно число на другое, вот как 126 на 37 (CXXVI на XXXVII), римлянам приходилось множимое умножать на каждую из цифр, входящих в множитель, а потом складывать все полученные произведения. Подобные операции совершаются в ходе умножения многочленов. Притом, названия действий приходилось обозначать словами.

Деление

Рекордсменом сложности в римской системе счисления признаётся деление. В решении подобных задач не обходились без такого инструмента, как абак (что-то вроде счёт). Так что, простым смертным без высокого уровня образования, такие расчёты были не по зубам.

Распространённость римской системы счисления

Не смотря на целый ряд неудобств, распространение римской нумерации ограничивалось лишь рамками известного древним грекам обитаемого мира (ойкумена). Так как римлянам удалось добиться подчинения своей власти множества стран, то их счислением пользовались все порабощённые народы, платившие налоги Империи. И даже при всей ненависти к завоевателям, такая система счисления ещё долго встречалась в деловых бумагах Западной Европы. Даже неудобство выполнения арифметических операций с многозначными цифрами, не могло помешать использованию римской нумерации до 13-го века в Италии, и до 16-го - в странах Западной Европы.

К числу недостатков данной нумерации относят:

• отсутствие формальных правил записи чисел;
• несовершенство правил арифметических действий, где применялись многозначные числа.

В наше время, римскую нумерацию можно встретить только в обозначении глав и томов литературных произведений, веков и монархов, оформлении важной документации, на циферблатах часов и т.д.

В ходе урока учащиеся пополняют свой запас знаний о непозиционных системах, в частности о римской системе счисления. Какие числа считаются в этой системе узловыми, по каким правилам записывают остальные числа, об истории происхождения этих чисел, изменением со времени их записи. Объяснение учителя дополняет сообщение учащегося, который готовит к научно - практической конференции исследовательскую работу по данной теме.

По ходу лекции учитель делает важные записи на доске, а учащиеся переносят их в свои тетради. После объяснения нового материала учащиеся применяют полученные знания о записи чисел на практике, выполняя тренировочные упражнения. Учащиеся переводят число, записанное римскими цифрами в запись арабскими, и наоборот, число в римской системе записывают арабскими цифрами. Для выполнения этого задания на каждой парте лежат по две карточки, на которых написано число римскими и арабскими цифрами. Учащиеся, работая в паре, должны осуществить взаимный переход.

Далее вниманию учащихся предлагается несколько занимательных, творческих задач, среди которых и задачи со спичками. Выполняя это задание, учащиеся могут работать в группах, оформляя решение маркерами на листах формата А-3. Все группы работают над одним и тем же заданием, а затем по одному представителю от каждой группы показывают решение одной из задач у доски.

Для подведения итогов урока и рефлексии учитель использует прием «Незаконченные предложения» или анкету «Как прошел урок», а также прием «Цветовая феерия».
В качестве домашнего задания учащимся предлагается составить викторину или тест из 5-7 вопросов на проверку знаний и умений по изученной теме.

Тип урока: комбинированный.

Цель урока : повышение интереса к предмету за счет использование богатого исторического, наглядного материала, занимательных задач; расширение кругозора обучающихся.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Объяснение нового материала (экскурс в историю)

Вступительное слово учителя : На последнем уроке математики мы с вами познакомились с различными непозиционными системами счисления, а в частности с египетской, китайской и славянской нумерацией. Сегодня мы поговорим подробно о римской системе счисления, которая тоже является непозиционной.
Вопрос к вам, ребята: Какая система называется непозиционной?

Ответ учащихся: Cистема называется непозиционной, если значение знака не зависит от его положения в записи числа.
Римской системой счисления пользовались в Европе в средние века, но и в настоящее время без неё нельзя обойтись во многих областях. Что вам известно про эту нумерацию?
У римлян были специальные обозначения для чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Римские цифры имели такой вид:

Эти семь чисел назывались узловыми и с их помощью можно записать любое многозначное число. Первоначально римские цифры немного отличались от тех цифр, какими мы привыкли пользоваться сейчас. Они претерпели небольшие изменения в написании.
О происхождении римских цифр нет достоверных сведений, по этому поводу среди ученых до сих пор идут споры. Существует несколько взглядов на эту проблему.
Посмотрите внимательно на цифры 1, 5 и 10. На что они похожи?

Ответ : 1 – палочка, 10 – крест, мы видели их на обозначении группы крови, в учебнике истории.

– А есть ли что-то у человека, с чем можно связать эти обозначения?

Ответ: один – один палец, 5 – ладошка, рука, десять – две руки.

– Действительно, ребята, существует мнение, что цифры I,V,X есть суть палец, открытая рука и две такие руки. Но есть и другое объяснение этому факту.

Выступление учащегося: Первоначально числа от одного до девяти обозначалось соответственным числом вертикальных палочек. Когда счет шел десятками, нарисовав девять палочек, десятой их перечеркивали. А чтобы не писать так много палочек, перечеркивали одну палочку. Отсюда и произошел знак X.

Вопрос учащимся : Посмотрите на знаки обозначающие числа 5 и 10. Есть ли между ними какая то связь?

Ответ : Пять – это половина от десяти, галочка – половинка крестика.

Действительно, число 5 обозначалось половиной такого креста, обозначающего число 1о. Причем соседи римлян этруски, завоеванные Римской империей, употребляли для числа 5 нижнюю часть креста, а сами римляне верхней.
Для обозначения числа 100 перечеркивали палочку два раза или применяли кружок с точкой внутри. Очевидно, 50 обозначалось половиной этого знака. Число 1000 изображалось значком (I), а число 500 знаком I).
Также возможно, для обозначения числа 100 (centum) стали писать С, а для 1000(mille) букву M. Когда-то слово «миля» обозначало путь в тысячу двойных шагов.

Выступление учащегося : римские цифры долго держались в школьных учебниках и после проникновения в Европу современных цифр и поэтому назывались школьными.

Вопрос : Как вы считаете ребята, удобна ли римская нумерации в использовании?

Ответ : Римская нумерация не слишком удобна, чтобы записать даже некоторые однозначные цифры нужно писать два знака, для записи многозначного – еще больше. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно.

– Да, ребята, вы совершенно правы, у римской нумерации есть свои определенные недостатки и неудобства. Но темнее менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в некоторых странах Западной Европы до XVI века. Когда-то римляне завоевали многие страны и присоединили к своей империи. Со всех стран взимали огромные налоги, используя свои обозначения. Так что пришлось жителям этих стран учить римскую нумерацию, посылая проклятия на головы поработителей.

– Мы с вами не являемся жителями стран Римской империи, тогда для чего нам с вами в настоящее время знать римскую нумерацию?

Ответ : Чтобы понимать время на часах, определять дату в учебнике истории или у экспоната в музее, на уроке математики, в художественной литературе, для обозначения номера главы и т.п.

Вопрос : Если в римской нумерации есть только обозначения для цифр 1,5,10, 50, 100, 500, 1000, то, как записывать остальные числа?

Ответ : Для этого есть определенные правила. Остановимся на них подробнее (читают правила в учебнике с комментариями).

1. Если цифра с большим значением стоит слева от цифры с меньшим значением, то их значение складывается. Например: 6 – VI, 11 – XI, 60 – LX
2. Если цифра с меньшим значением стоит слева от цифры с большим значением, то из большего вычитается меньшее. Например: 4 – IV, 9 – IX, 40 – XL, 90 – XC.
3. Если рядом стоят две одинаковые цифры, то их значение складывается. Например: СС – 200, XX – 20.
4. Одна и та же цифра не может быть написана подряд более трех раз.

III. Практическое применение правил для перевода арабских цифр в римскую нумерацию и наоборот

– Сейчас мы с вами потренируемся записывать числа арабскими цифрами и наоборот, переходить в римскую нумерацию. У каждого на столе две карточки. Я попрошу вас число, записанное римскими цифрами записать арабскими, а записанное арабскими записать римскими. На выполнение задания у вас две минуты. Это задание вы выполняете в парах с соседом по парте.

Учащимся предлагаются следующие числа:

• В римской нумерации: CCC, LIX, XCV, LX, СXV, LXI, XVI, XIV, ССX, XXIX, XXII, LXXXIX, XLIV, DXL, LXXII
• Записанные арабскими цифрами: 9,15,29,49,427,41,58,67,99,1002,600,103,124,593,1541.

Для проверки правильности выполнения задания учитель показывает на доске число, записанное римскими цифрами, а учащийся, у которого имеется карточка с этим числом записанное арабскими цифрами, должен её поднять и показать классу. Соответственно, когда учитель показывает число, записанное арабскими цифрами, ученик показывает карточку с записью этого числа в римской нумерации. Если возникает заминка, это число разбирают всем классом.
Для выполнения следующего задания я попрошу вас разделиться на малые группы по 4 человека. Каждой группе предлагается решить творческое задание на применение знаний о римской нумерации. В течение 5 минут ребята выполняют это задание на листах формата А-4, а затем представляют решение всему классу.

На этом уроке учащимся были предложены следующие задачи:

• Сколько и каких чисел в римской системе счисления можно записать, используя только три спички?
• Нельзя ли из трех спичек сделать шесть, не ломая их?
• Как из двух спичек сделать десять, не ломая их?
• Как записать число 30 , чтобы оно при зеркальном отражении не изменяло своего значения?
• С помощью девяти спичек составлено число 300. Не изменяя количества спичек, уменьшите число в 3 раза.
• Из спичек составлено равенство: VI – IV = XI. Как получит верное равенство, переложив всего одну спичку?
• В харчевню пришли 11 человек и попросили подать им рыбы. Хозяин харчевни решил не упускать случая поживиться: имея в своем распоряжении три рыбы, он обещал подать на стол гостям одиннадцать. Гости заинтересовались и даже согласились заплатить деньги вперед. Как хозяин исполнил свое обещание?

Представители от каждой группы по очереди у доски представляют решение своей задачи.

IV. Подведение итогов урока, рефлексия, домашнее задание: составить викторину из пяти вопросов, проверяющих знания и умения по римской системе счисления.

Римские цифры мы используем не часто. И вроде бы все знают, что у нас традиционно римскими цифрами обозначают века, а годы и точные даты - арабскими цифрами. Вот на днях пришлось объяснять арабским:-)) и китайским студентам, что такое, например, XCIV или CCLXXVIII:-)). Много интересного для себя узнала, когда материал искала. Делюсь:-)) Может, кому-нибудь еще понадобится:-))

Римские цифры

Римские цифры - это особые знаки, используемые для записи десятичных разрядов и их половин. Для обозначения чисел применяется 7 букв латинского алфавита:

Римская цифра Число

I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих 7 римских цифр.

Мнемоническое правило для запоминания буквенных обозначений римских цифр в порядке убывания (автор правила - А.Касперович):

M ы
D аем
C оветы
L ишь
X орошо
V оспитанным
I ндивидам

Правила записи чисел римскими цифрами:

Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения),
- если меньшая цифра стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).

Второе правило применяется для того, чтобы избежать четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Так, римские цифры I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.

VI = 5+1 = 6,
IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII),
XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII),
XL = 50 - 10 =40 (вместо XXXX),
XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.

Следует отметить, что выполнение даже арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно. Вероятно, сложность вычислений в римской системе нумерации, основанной на использовании латинских букв, стала одной из веских причин замены ее на более удобную в этом плане десятичную систему цифр.

Римская система нумерации, господствовавшая в Европе в течение двух тысяч лет, в настоящее время находит весьма ограниченное применение. Римские цифры используются для обозначения веков (XII век), месяцев при указании даты на монументах (21.V.1987), времени на циферблатах часов, порядковых числительных, производных небольших порядков.

Дополнительная информация:

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример : число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Часы марки Tissot с традиционным написанием «IIII»

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

999. Тысяча (M), вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
95. Сто (C), вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
1950: Тысяча (M), вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Такой способ широко применяется западными кинокомпаниями при написании года выпуска фильма в титрах.

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV», главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».

Другая версия.

Для записи целых чисел в римской нумерации используются семь основных чисел:

I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

При этом некоторые из цифр (I, X, C, M) могут повторяться, но не более трех раз, таким образом с их помощью можно записать любое целое число не более 3999 (MMMCMXCIX). При записи чисел в римской системе счисления меньшая цифра может стоять справа от большей; в этом случае она прибавляется к ней. Например, число 283 по-римски записывается так:

т. е. 200+50+30+3=283. Здесь цифра, изображающая сотню, повторена два раза, а цифры, изображающие соответственно десяток и единицу, повторены по три раза.

Меньшая цифра может быть записана и слева от большей, тогда ее следует вычесть из большей. В этом случае повторения меньшей цифры не допускаются. Запишем по-римски число 94:

XCIV=100-10+5-1=94.

Это так называемое "правило вычитания": оно появилось в эпоху поздней античности (до этого римляне писали число 4 как IIII, а число 40 - как XXXX). Существует шесть вариантов использования "правила вычитания":

IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900

Необходимо отметить, что другие способы "вычитания" не допустимы; так, число 99 должно быть записано как XCIX, но не как IC. Однако, в наши дни в некоторых случаях используется и упрощенная запись римских чисел: например, в программе Microsoft Excel при преобразовании арабских цифр в римские при помощи функции "РИМСКОЕ()" можно использовать несколько видов представления чисел, от классического до сильно упрощенного (так, число 499 может быть записано как CDXCIX, LDVLIV, XDIX, VDIV или ID).

Отсюда понятно, что во избежание 4-х кратного повторения максимально возможное число здесь - 3999, т.е. MMMIM

С помощью римских цифр можно записывать и большие числа. Для этого над теми цифрами, которые обозначают тысячи, ставится черта, а над цифрами, которые обозначают миллионы, — двойная черта. Например, число 123123 будет выглядеть так:
_____
CXXIIICXXIII

А миллион как Ī , но только не с одной, а с двумя чертами во главе.

Примеры записи чисел римскими и арабскими цифрами

Римские цифры Арабские цифры

I 1 unus
II 2 duo
III 3 tres
IV 4 quattuor
V 5 quinque
VI 6 sex
VII 7 septem
VIII 8 octo
IX 9 novem
X 10 decem
XI 11 undecim
XII 12 duodecim
XIII 13 tredecim
XIV 14 quattuordecim
XV 15 quindecim
XVI 16 sedecim
XVII 17 septendecim
XVIII 18 duodeviginti
XIX 19 undeviginti
XX 20 viginti
XXI 21 unus et viginti
XXX 30 triginta
XL 40 quadraginta
L 50 quinquaginta
LX 60 sexaginta
LXX 70 septuaginta
LXXX 80 octoginta
XC 90 nonaginta
C 100 centum
CC 200 ducenti
CCC 300 trecenti
CD 400 quadringenti
D 500 quingenti
DC 600 sescenti
DCC 700 septingenti
DCCC 800 octingenti
CM 900 nongenti
M 1000 mille
MM 2000 duo milia
MMM 3000
MMMIM(наибольшее число) 3999

Дополнительные примеры:

XXXI 31
XLVI 46
XCIX 99
DLXXXIII 583
DCCCLXXXVIII 888
MDCLXVIII 1668
MCMLXXXIX 1989
MMIX 2009
MMXI 2011

Слайд 2

Цель работы:

Познакомиться с историей возникновения и развития римской системы счисления Познакомиться с правилами составления чисел римской системы счисления Узнать,как выполняли арифметические действия с этими числами

Слайд 3

ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ

Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации. У римлян были специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры имели такой вид: 1-I 5-V 10-X 50-L 100-C 500-D 1000-M Возможно, знак V означал раскрытую руку, а X – две таких руки. Но есть и другое объяснение.Когда счёт шёл десятками, то нарисовав 9 палочек,десятой из перечёркивали. А чтобы не писать слишком много палочек, перечёркивали одну палочку и писали так: Х. Так и получилась эта римская цифра, а цифру 5 писали просто разрезав X пополам. Так получилась V.

Слайд 4

Спорят учёные и о происхождении других римских чисел. Возможно, что обозначения С,М связаны с римскими названиями сотен и тысяч:1000- *милле* (слово *миля* когда-то обозначало расстояние в тысячу шагов). Обозначая числа, римляне записывали столько цифр,чтобы их сумма давала нужное число.Например число 7 они записывали так – VII, а число 362 – CCCLXII. Как видите, сначала идут большие числа, а затем меньшие. Но иногда римляне писали меньшую цифру перед большой. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось как IV (без одного 5), а число 9 – IX (без одного девять). Запись XC означала число 90 (без одного сто). Так что если вы увидите на старинном доме надпись сделанную римскими цифрами MDCCCXLIV , то легко определите, что он построен в 1844 году. Самым большим числом, которое умели обозначать римляне, было 100 000. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова *сотен тысяч* опускались. Запись означала 10 сотен тысяч,то есть миллион.

Слайд 5

Хотя римская нумерация была не слишком удобной, она распространилась по всей ойкумене- так называли древние греки весь обитаемый древний мир. Когда-то римляне завоевали многие страны и присоединили их к своей империи. Со всех стран они взимали громадные налоги и при этом пользовались своим обозначением чисел. Так что пришлось жителям этих стран учить римскую нумерацию, посылая проклятия на головы поработителей. И даже после того, как рухнула Римская империя, в деловых бумагах Западной Европы применялась эта неудобная нумерация. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы до 16 века.

Слайд 6

ПРАВИЛА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ

Для записи чисел в римской системе используются два правила: 1. Каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. 2. Каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

Слайд 7

ПРИМЕРЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ:

Пример 1. Число 444, имеющее в десятичной записи три одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV =(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида) Пример 2. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид: MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа, участвуют отдельные *цифры*. Пример 3. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII =(X+X+X)+(I+I)=30 +2 (две группы первого вида).

Издревле человек проявляет интерес к окружающему миру, пытается его изучить, а полученные знания систематизировать и упорядочить. Один из таких способ - счет. Для этого были придуманы В настоящее время существует множество способов счета и учета информации. В этой статье мы расскажем о том, что такое натуральные числа, какие бывают системы счисления, как их использовать, а также историю их возникновения.

Общие сведения

Так что такое натуральные числа? Определение говорит, что они являются простейшими, то есть используются в повседневной жизни для подсчета количества каких-либо предметов. В настоящее время применяется позиционная десятеричная система счисления. Приведем определение данному понятию. Системы счисления - это представление чисел при помощи письменных символов (знаков), символический способ записи чисел. Стоит разделять понятия "число" и "цифра". Первое представляет собой некую абстрактную сущность, меру для определения количества. Цифрами называют определенные символы, которые используются для записи чисел. Самая популярная и распространенная - это арабская система символов. В ней цифры представляются знаками от 0 (нуля) и до 9 (девяти). Именно она используется для обозначения натуральных чисел в настоящее время. Менее распространенной является римская система счисления. Но о ней подробнее мы расскажем дальше.

Из выше сказанного можно сделать вывод, что натуральные числа - это те, которые используются для счета предметов, указывают на порядковый номер какого-либо предмета среди аналогичных. Например, 5, 18, 596, 10873 и так далее.

Что такое числовой ряд?

Все натуральные числа, которые располагаются в порядке возрастания, образуют так называемый числовой ряд. Свое начало он берет с наименьшей цифры - единицы. Самого большого числа нет, так как данный ряд бесконечен. Таким образом, если к последующему числу мы прибавляем один, то получим следующее число. Стоит отметить, что число ноль не является натуральным числом. Оно означает полное отсутствие чего-либо, не имеет под собой материального основания. Следовательно, ноль нельзя отнести к классу под названием "натуральные числа". Обозначается множество натуральных чисел при помощи заглавной латинской буквы N.

Как они появились?

В самые древние времена для написания чисел использовали палочки. Такой способ позаимствовали римляне для своей непозиционной системы счисления (что это такое, мы расскажем дальше). При этом число записывалось без каких-либо символов, а как разность или сумма палочек.

Следующий этап развития системы счисления - обозначение при помощи букв. Затем появился позиционный класс чисел, который используется и по сей день. Новаторами в этой области стали древние вавилоняне и индусы, придумавшие шестидесятеричную и десятеричную системы соответственно. Стоит отметить, что широко используемая арабская система является производной от древнеиндийской. Арабские математики только дополнили ее цифрой нуль.

Классификация системы счисления

Так как чисел намного больше, чем соответствующих цифр, то для их записи принято использовать комбинацию (набор) цифр. Малое количество чисел (небольшое по величине) обозначается одной цифрой. Выходит, что системы счисления - это способы записи числовых значений при помощи цифр. Величина может зависеть от того, в каком порядке идут цифры, а может и не иметь значения. Данное свойство определяется системами счета, что служит основанием для классифицирования. Существует три группы (класса).

1. Смешанные.
2. Позиционные.
3. Непозиционные.

В качестве примера первой группы приведем денежные знаки. Рассмотрим российскую монетарную систему. В ней используются купюры и монеты таких номиналов, как: один, два, пять, десять, сто, пятьсот, тысяча и пять тысяч рублей, а также одна, пять, десять и пятьдесят копеек. Чтобы получить определенную сумму в рублях, необходимо использовать соответствующее количество денежных знаков различного номинального достоинства. Например, микроволновая печь стоит 6379 российских рублей. Чтобы сделать покупку, можно взять шесть купюр номиналом в тысячу рублей, 3 банкноты по сто рублей, одну купюру в пятьдесят рублей, две - по десять, одну монету в пять рублей и две монеты по два рубля. Если мы запишем количество монет или купюр, начиная от одной тысячи рублей и заканчивая копейкой, при этом заменяя неиспользуемые номиналы нулями, то получим следующее число: 603121200000. Если перемешать цифры в полученном ранее числе, то мы получим ложную цену на микроволновую печь. Поэтому такой способ записи относится к позиционному классу. Натуральные числа - это прямой пример позиционного класса.

Непозиционный класс - что это такое?

Непозиционная система счисления чисел характеризуются тем, что общая величина числа не зависит от положения цифры пи написании. Если к каждой цифре мы припишем соответствующий знак номинала, то такие составные символы (номинал плюс цифра) можно перемешивать. Другими словами, такая запись является непозиционной. В качестве чистого примера можно привести римскую систему. Ее рассмотрим более подробно.

Римские цифры

Этим понятием называют систему знаков (символов), которая была придумана древними римлянами для своей системы счисления. Суть ее состоит в следующем: все натуральные числа записываются повторением цифр. При этом, если меньшая цифра стоит перед большей, то первая вычитается из последней. Это называется принципом вычитания. Если имеет место четырехкратное повторение, данное правило на него не распространяется. А если же большая цифра стоит перед меньшей, то, наоборот, они складываются (принцип сложения). Историки отмечают, что данная система датируется примерно пятым веком до нашей эры у этрусков, которые, в свою очередь, могли ее перенять у протокельтов. Для правильного написания большого числа римскими символами необходимо сначала написать количество тысяч, потом - сотен, затем - десятков и в конце - единиц. Стоит отметить, что при этом только некоторые из цифр (например, I, M, X, C) могут дублироваться, но не больше, чем три раза. Следовательно, при помощи римских цифр можно записать практически любое целое число. Для современного человека, чтобы упростить подсчет, существует специальная таблица систем счисления римских цифр.

Использование римских цифр

Данная система счисления очень широко применялась в СССР при обозначении даты для указания месяца. Очень часто на надгробиях даты жизни и смерти указываются в особом формате, где порядковый номер месяца пишется римскими символами. В настоящее время, с переходом на компьютеризированную обработку информации, использование данной системы счисления практически кануло в Лету. Однако есть сферы, где «римский стиль» изображения цифр имеет свои особенности. Например, в странах Западной Европы очень часто используют эти символы на фронтонах зданий для обозначения номера года или в титрах видео- и кинопродукции. Так, в Литве на витринах магазинов или дорожных знаках, вывесках римскими цифрами обозначаются дни недели.

Современное применение римской системы счисления

В настоящее время данный способ написания чисел не имеет широкого применения. Однако исторически устоялось, что она применяется в сферах, о которых мы подробно расскажем в этом разделе. Во всем мире принято указывать номер тысячелетия или века римскими символами. Так же происходит и при написании "порядкового номера" монаршей особы. Например, Елизавета II, Людовик XIV и т.д. Это связано с тем, что данная система счисления более "величественная". Само ее появление ассоциируется с рассветом Римской империи - образцом традиции и классики. По тому же принципу данная система изображения цифр используется для маркировки циферблата в некоторых моделях часов. Еще один распространенный случай применения римских цифр - номера томов в многотомном литературном произведении. Например: «Война и мир», том III. Иногда таким образом нумеруются части книги, разделы или главы. В некоторых изданиях можно встретить обозначение страниц с предисловием к произведению. Это делают для того, чтобы при изменении текста предисловия не менять ссылки на него в теле основного текста. Римские цифры используют для обозначения важных исторических событий или пунктов перечня. Например, II мировая война, XVII съезд КПСС, XXII Олимпийские игры и тому подобное. Помимо тем, так или иначе связанных с историей, данную систему счисления используют в химии - для указания валентности элементов; в музыкальном искусстве - для указания порядкового номера ступени в звуковом ряде. Также римские цифры используют в медицине.