Тригонометрическая. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи Как находится аргумент

Определение 8.3 (1).

Длина |z| вектора z = (x,y) называется модулем комплексного числа z = х + yi

Поскольку длина каждой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, а абсолютная величина разности длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей стороны, то для любых двух комплексных чисел z 1 и z 2 имеют место неравенства

Определение 8.3 (2).

Аргумент комплексного числа. Если φ - угол, образованный ненулевым вектором z с действительной осью, то всякий угол вида (φ + 2πn, где n - целое число, и угол только такого вида, также будет углом, образованным вектором z с действительной осью.

Множество всех углов, которые образует ненулевой вектор z = = (x, у) с действительной осью, называется аргументом комплексного числа z = х + уi и обозначается arg z. Каждый элемент этого множества называется значением аргумента числа z (рис. 8.3(1)).

Рис. 8.3 (1).

Поскольку ненулевой вектор плоскости однозначно определяется своей длиной и углом, который он образует с осью ж, то два комплексных числа, отличные от нуля, равны тогда и только тогда, когда равны их абсолютные величины и аргументы.

Если на значения аргумента φ числа z наложить, например, условие 0≤φ<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Определение 8.3.(3)

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа z = х + уi ≠ 0 выражаются через его модуль r= |z| и аргумент φ следующим образом (из определения синуса и косинуса):

Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа z. Мы будем ее употреблять и для z = 0; в этом случае r = 0, а φ может принимать любое значение - аргумент числа 0 не определен. Итак, всякое комплексное число можно записать в тригонометрической форме.

Ясно также, что если комплексное число z записано в виде

то число r является его модулем, так как

А φ одним из значений его аргумента

Тригонометрическую форму записи комплексных чисел бывает удобно использовать при перемножении комплексных чисел, в частности, она позволяет выяснить геометрический смысл произведения комплексных чисел.

Найдем формулы для умножения и деления комплексных чисел при тригонометрической форме их записи. Если

то по правилу умножения комплексных чисел (используя формулы синуса и косинуса суммы)

Таким образом, при умножении комплексных чисел их абсолютные величины перемножаются, а аргументы складываются:

Применив эту формулу последовательно к n комплексным числам, получим

Если все n чисел равны, получим

Откуда для

выполняется

Отсюда для комплексного числа, абсолютная величина которого равна 1 (следовательно, оно имеет вид

Это равенство носит название формулы Муавра

Иначе говоря, при делении комплексных чисел их модули делятся,

а аргументы вычитаются.

Примеры 8.3 (1).

Изобразить на комплексной плоскости С множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:

Соответствующего этому числу: .
Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r.

Пусть и - вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Модуль комплексного числа" в других словарях:

модуль комплексного числа - kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. modulus of complex number vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. модуль комплексного числа, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (modulus) Величина числа с точки зрения его расстояния от 0. Модуль, или абсолютное значение реального числа х (обозначается |х|), является разностью между х и 0 независимо от знака. Следовательно, если х>0, то |х|=х и если х <0, то |х|=–х … Экономический словарь

Комплексного числа см. Абсолютная величина. Модуль перехода от системы логарифмов при основании a к системе при основании b есть число 1/logab … Большой Энциклопедический словарь

Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… … Википедия

Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… …

- (в математике) мера для сравнения однородных величин и для выражения одной из них помощью другой; м. выражается числом. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. МОДУЛЬ (лат.). 1) число, которым множатся… … Словарь иностранных слов русского языка

МОДУЛЬ комплексного числа, см. Абсолютная величина (см. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА). Модуль перехода от системы логарифмов при основании a к системе при основании b есть число 1/logab … Энциклопедический словарь

I Модуль (от лат. modulus мера) в архитектуре, условная единица, принимаемая для координации размеров частей здания или комплекса. В архитектуре разных народов в зависимости от особенностей строительной техники и композиции зданий за М.… … Большая советская энциклопедия

Я; м. [от лат. modulus мера] 1. чего. Спец. Величина, характеризующая какое л. свойство твёрдого тела. М. сжатия. М. упругости. 2. Матем. Действительное число, абсолютная величина отрицательного или положительного числа. М. комплексного числа. М … Энциклопедический словарь

Числовая характеристика какого либо математич. объекта. Обычно значение М. неотрицательное действительное число элемент, обладающий нек рыми характеристич. свойствами, обусловленными свойствами множества рассматриваемых объектов. Понятие М.… … Математическая энциклопедия

Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Чтобы определить понятие аргумента комплексного числа , необходимо рассмотреть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.

Инструкция

Плоскость, на которой представляют комплексные числа , называется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и аргумент. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Аргументом называют угол между вектором, соединяющим точку и начало координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).

Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Далее аргумент числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y / x.

Например, пусть дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Далее найдите синус угла: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Отсюда получается аргумент числа z равен 30°.

Пример 2. Пусть дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg = 5 / 5 = 1. Отсюда следует, что = 90°.

Пример 3. Пусть необходимо найти аргумент суммы двух комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Далее по приведенной выше схеме рассчитываете аргумент: tg = 9 / 3 = 3.

Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Дабы определить представление аргумента комплексного числа , нужно разглядеть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.

Инструкция

1. Плоскость, на которой представляют комплексные числа , именуется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и довод. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Доводом называют угол? между вектором, соединяющим точку и предисловие координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).

2. Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Дальше довод числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin ? = y / ? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y / x.

3. Скажем, пускай дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Дальше обнаружьте синус угла?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Отсель получается довод числа z равен 30°.

4. Пример 2. Пускай дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол? = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg ? = 5 / 5 = 1. Отсель следует, что? = 90°.

5. Пример 3. Пускай нужно обнаружить довод суммы 2-х комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Дальше по приведенной выше схеме рассчитываете довод: tg ? = 9 / 3 = 3.

Обратите внимание!
Если число z = 0, то значение довода для него не определено.

Полезный совет
Значение довода комплексного числа определяется с точностью до 2 * ? * k, где k – всякое целое число. Значение довода? такое, что –?