Pad tijela bačenog pod uglom prema horizontu. Primjeri riješenih zadataka iz fizike na temu "slobodno kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu". Maksimalna visina tijela

Teorija

Ako je tijelo bačeno pod uglom prema horizontu, tada u letu na njega utječu gravitacija i otpor zraka. Ako se zanemari sila otpora, jedina preostala sila je sila gravitacije. Prema tome, zbog Newtonovog 2. zakona, tijelo se kreće ubrzanjem jednakom ubrzanju slobodnog pada; projekcije ubrzanja na koordinatne ose su sjekira = 0, i na= -g.

Svako složeno kretanje materijalne tačke može se predstaviti kao nametanje nezavisnih kretanja duž koordinatnih osa, a u pravcu različitih osa može se razlikovati vrsta kretanja. U našem slučaju, kretanje letećeg tela može se predstaviti kao superpozicija dva nezavisna kretanja: jednoliko kretanje duž horizontalne ose (X-osa) i jednoliko ubrzano kretanje duž vertikalne ose (Y-osa) (Sl. 1) .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

,

gdje je početna brzina, α je ugao bacanja.

Koordinate tijela se stoga mijenjaju ovako:

Uz naš izbor početka koordinata, početne koordinate (slika 1) Zatim

Druga vrijednost vremena u kojem je visina jednaka nuli jednaka je nuli, što odgovara trenutku bacanja, tj. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta se dobija iz prve formule (1). Raspon leta je vrijednost koordinate X na kraju leta, tj. u trenutku koji je jednak t0. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobijamo:

Iz ove formule se vidi da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stepeni.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, morate u ovu formulu zamijeniti vrijednost vremena jednaku polovini vremena leta (2), jer maksimalna je visina leta u sredini putanje. Provodeći proračune, dobijamo

Ako je tijelo bačeno pod uglom prema horizontu, tada u letu na njega utječu gravitacija i otpor zraka. Ako se zanemari sila otpora, jedina preostala sila je sila gravitacije. Prema tome, zbog Newtonovog 2. zakona, tijelo se kreće ubrzanjem jednakom ubrzanju slobodnog pada; projekcije ubrzanja na koordinatne ose ax = 0, ay = - g.

Slika 1. Kinematske karakteristike tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Svako složeno kretanje materijalne tačke može se predstaviti kao nametanje nezavisnih kretanja duž koordinatnih osa, a u pravcu različitih osa može se razlikovati vrsta kretanja. U našem slučaju, kretanje letećeg tela može se predstaviti kao superpozicija dva nezavisna kretanja: jednoliko kretanje duž horizontalne ose (X-osa) i jednoliko ubrzano kretanje duž vertikalne ose (Y-osa) (Sl. 1) .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

gdje je $v_0$ početna brzina, $(\mathbf \alpha )$ je ugao bacanja.

Uz naš izbor ishodišta, početne koordinate (slika 1) su $x_0=y_0=0$. Tada dobijamo:

(1)

Analizirajmo formule (1). Odredimo vrijeme kretanja bačenog tijela. Da bismo to učinili, postavili smo y koordinatu jednaku nuli, jer u trenutku sletanja visina tela je nula. Odavde dobijamo za vrijeme leta:

Druga vrijednost vremena u kojem je visina jednaka nuli jednaka je nuli, što odgovara trenutku bacanja, tj. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta se dobija iz prve formule (1). Raspon leta je vrijednost x-koordinate na kraju leta, tj. u trenutku vremena jednakom $t_0$. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobijamo:

Iz ove formule se vidi da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stepeni.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, morate u ovu formulu zamijeniti vrijednost vremena jednaku polovini vremena leta (2), jer maksimalna je visina leta u sredini putanje. Provodeći proračune, dobijamo

Iz jednačina (1) može se dobiti jednačina putanje tijela, tj. jednačina koja povezuje x i y koordinate tijela tokom kretanja. Da biste to učinili, morate izraziti vrijeme iz prve jednačine (1):

i zamijenite ga u drugu jednačinu. Tada dobijamo:

Ova jednačina je jednačina putanje. Može se vidjeti da je ovo jednačina parabole sa granama prema dolje, što je označeno znakom “-” ispred kvadratnog člana. Treba imati na umu da su ugao bacanja $\alpha $ i njegove funkcije ovdje samo konstante, tj. konstantni brojevi.

Tijelo je bačeno brzinom v0 pod uglom $(\mathbf \alpha )$ prema horizontu. Vrijeme leta $t = 2 s$. Do koje visine Hmax će se tijelo podići?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Zakon kretanja tela je:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Početni vektor brzine formira ugao $(\mathbf \alpha )$ sa OX osom. shodno tome,

\ \ \

Kamen je bačen sa vrha planine pod uglom = 30$()^\circ$ prema horizontu početnom brzinom od $v_0 = 6 m/s$. Ugao nagnute ravni = 30$()^\circ$. Na kojoj udaljenosti od tačke bacanja će kamen pasti?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Postavimo početak koordinata na tačku pada, OX - duž nagnute ravni nadole, OY - okomito na nagnutu ravan nagore. Kinematske karakteristike kretanja:

zakon kretanja:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Zamjenom rezultirajuće vrijednosti $t_B$, nalazimo $S$:

Ako se otpor zraka može zanemariti, tada se proizvoljno bačeno tijelo kreće ubrzanjem slobodnog pada.

Razmotrimo prvo kretanje tijela bačenog horizontalno brzinom v_vec0 sa visine h iznad površine zemlje (slika 11.1).

U vektorskom obliku, ovisnost brzine tijela o vremenu t izražava se formulom

U projekcijama na koordinatne ose:

v x = v 0 , (2)
vy = -gt. (3)

1. Objasnite kako se formule dobijaju iz (2) i (3)

x = v 0 t, (4)
y \u003d h - gt 2 / 2. (pet)

Vidimo da tijelo, takoreći, vrši dvije vrste kretanja istovremeno: kreće se jednoliko po x osi i jednoliko ubrzano duž y osi bez početne brzine.

Slika 11.2 prikazuje položaj tijela u pravilnim intervalima. Dolje je prikazan položaj tijela koje se ravnomjerno kreće pravolinijskim istom početnom brzinom u istim trenucima vremena, a lijevo je prikazan položaj tijela koje slobodno pada.

Vidimo da je horizontalno bačeno tijelo uvijek na istoj vertikali sa tijelom koje se ravnomjerno kreće i na istoj horizontali sa tijelom koje slobodno pada.

2. Objasnite kako se formule (4) i (5) koriste za dobijanje izraza za vrijeme tpol i domet leta tijela l:

Prompt. Iskoristite činjenicu da je u trenutku pada y = 0.

3. Telo je bačeno horizontalno sa određene visine. U kom slučaju će domet leta tijela biti veći: s 4 puta povećanjem početne brzine ili s povećanjem početne visine za isti faktor? Koliko puta više?

Trajektorije

Na slici 11.2, putanja tijela bačenog vodoravno prikazana je crvenom isprekidanom linijom. Podsjeća na granu parabole. Provjerimo ovu pretpostavku.

4. Dokazati da je za tijelo bačeno horizontalno, jednadžba putanje kretanja, odnosno zavisnost y(x), izražena formulom

Prompt. Koristeći formulu (4), izrazite t u terminima x i zamijenite pronađeni izraz u formulu (5).

Formula (8) je zaista jednačina parabole. Njegov vrh se poklapa sa početnim položajem tijela, odnosno ima koordinate x = 0; y \u003d h, a grana parabole usmjerena je prema dolje (to je označeno negativnim koeficijentom ispred x 2).

5. Zavisnost y(x) izražava se u SI jedinicama formulom y = 45 - 0,05x 2 .
a) Kolika je početna visina i početna brzina tijela?
b) Koje je vrijeme leta i udaljenost?

6. Tijelo je bačeno vodoravno sa visine od 20 m početnom brzinom od 5 m/s.
a) Koliko dugo će trajati let tijela?
b) Kolika je udaljenost leta?
c) Kolika je brzina tijela neposredno prije udarca o tlo?
d) Pod kojim će uglom u odnosu na horizont biti usmjerena brzina tijela neposredno prije udara o tlo?
e) Koja formula u SI jedinicama izražava zavisnost modula brzine tijela od vremena?

2. Kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Slika 11.3 šematski prikazuje početni položaj tijela, njegovu početnu brzinu 0 (pri t = 0) i ubrzanje (ubrzanje slobodnog pada).

Početne projekcije brzine

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)

Da bismo skratili naredne unose i razjasnili njihovo fizičko značenje, zgodno je zadržati notaciju v 0x i v 0y dok se ne dobiju konačne formule.

Brzina tijela u vektorskom obliku u trenutku t iu ovom slučaju se izražava formulom

Međutim, sada u projekcijama na koordinatne ose

vx = v0x , (11)
vy = v 0y - gt. (12)

7. Objasnite kako se dobijaju sljedeće jednačine:

x = v 0x t, (13)
y \u003d v 0y t - gt 2 /2. (četrnaest)

Vidimo da i u ovom slučaju bačeno tijelo, takoreći, istovremeno sudjeluje u dvije vrste kretanja: jednoliko se kreće duž ose x i jednoliko ubrzano duž y osi početnom brzinom, poput tijela bačenog okomito. naviše.

Putanja

Slika 11.4 šematski prikazuje položaj tijela bačenog pod uglom prema horizontu u pravilnim intervalima. Vertikalne linije naglašavaju da se tijelo ravnomjerno kreće duž x-ose: susjedne linije su na jednakoj udaljenosti jedna od druge.

8. Objasnite kako dobiti sljedeću jednačinu za putanju tijela bačenog pod uglom prema horizontu:

Formula (15) je jednačina parabole čije su grane usmjerene naniže.

Jednačina putanje nam može puno reći o kretanju bačenog tijela!

9. Zavisnost y(x) izražena je u SI jedinicama formulom y = √3 * x - 1,25x 2 .
a) Kolika je horizontalna projekcija početne brzine?
b) Kolika je vertikalna projekcija početne brzine?
c) Pod kojim uglom u odnosu na horizontalu je tijelo bačeno?
d) Kolika je početna brzina tijela?

Parabolički oblik putanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu jasno je prikazan mlazom vode (slika 11.5).

Vrijeme uspona i ukupno vrijeme leta

10. Koristeći formule (12) i (14), pokaži da je vrijeme podizanja tijela t ispod i vrijeme cijelog leta t poda izraženo formulama

Prompt. U gornjoj tački putanje, v y = 0, a u trenutku pada tijela njegova koordinata y = 0.

Vidimo da je u ovom slučaju (baš kao i za tijelo bačeno okomito prema gore) cijelo vrijeme leta t pod 2 puta više od vremena uspona t ispod. I u ovom slučaju, kada gledate video unatrag, podizanje tijela će izgledati točno kao njegovo spuštanje, a spuštanje će izgledati kao uspon.

Visina i domet

11. Dokazati da su visina dizanja h i domet leta l izraženi formulama

Prompt. Da biste izveli formulu (18), koristite formule (14) i (16) ili formulu (10) iz § 6. Pomjeranje tokom pravolinijskog ravnomjerno ubrzanog kretanja; za izvođenje formule (19), koristite formule (13) i (17).

Imajte na umu: tunder vremena podizanja karoserije, cijelo vrijeme leta tfloor i visina dizanja h zavise samo od vertikalne projekcije početne brzine.

12. Na koju visinu se fudbalska lopta podigla nakon udarca ako je pala na tlo 4 s nakon udarca?

13. Dokažite to

Prompt. Koristite formule (9), (10), (18), (19).

14. Objasnite zašto će, sa istom početnom brzinom v 0, domet leta l biti isti pod dva ugla α 1 i α 2 povezana relacijom α 1 + α 2 = 90º (slika 11.6).

Prompt. Koristite prvu jednakost u formuli (21) i činjenicu da je sin α = cos(90º - α).

15. Dva tijela bačena u isto vrijeme i sa istim modulo početnim okom jedan bod. Ugao između početnih brzina je 20º. Pod kojim su uglovima prema horizontu tijela bačena?

Maksimalni domet i visina leta

Sa istim modulom početne brzine, domet leta i visina određuju se samo uglom α. Kako odabrati ovaj ugao tako da domet ili visina leta bude maksimalna?

16. Objasni zašto se maksimalni domet leta postiže pri α = 45º i izražava se formulom

l max \u003d v 0 2 / g. (22)

17. Dokažite da je maksimalna visina leta izražena formulom

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18. Tijelo bačeno pod uglom od 15º prema horizontu palo je na udaljenosti od 5 m od početne tačke.
a) Kolika je početna brzina tijela?
b) Na koju visinu se tijelo podiglo?
c) Koliki je maksimalni domet leta za istu modularnu početnu brzinu?
d) Do koje najveće visine bi se ovo tijelo moglo uzdići istom početnom brzinom u apsolutnoj vrijednosti?

Brzina u odnosu na vrijeme

Prilikom penjanja, brzina tijela bačenog pod uglom prema horizontu opada u apsolutnoj vrijednosti, a pri spuštanju raste.

19. Tijelo je bačeno pod uglom od 30º prema horizontu početnom brzinom od 10 m/s.
a) Kako je zavisnost vy(t) izražena u SI jedinicama?
b) Kako se v(t) izražava u SI jedinicama?
c) Kolika je najmanja brzina tijela tokom leta?
Prompt. Koristite formule (13) i (14), kao i Pitagorinu teoremu.

Dodatna pitanja i zadaci

20. Bacajući kamenčiće pod različitim uglovima, Saša je otkrio da ne može baciti kamenčić dalje od 40 m. Na kojoj je maksimalnoj visini Saša mogao baciti kamenčić?

21. Šljunak je zaglavljen između duplih guma zadnjeg točka kamiona. Na kojoj udaljenosti od kamiona mora ići automobil koji ga prati da mu ovaj kamenčić koji je otpao ne bi oštetio? Oba automobila se kreću brzinom od 90 km/h.
Prompt. Idite na referentni okvir povezan sa bilo kojim automobilom.

22. Pod kojim uglom prema horizontu treba baciti tijelo da bi:
a) da li je visina leta jednaka dometu?
b) visina leta je bila 3 puta veća od dometa?
c) domet leta je bio 4 puta veći od visine?

23. Tijelo je bačeno početnom brzinom od 20 m/s pod uglom od 60º prema horizontu. U kojim vremenskim intervalima nakon bacanja će brzina tijela biti usmjerena pod uglom od 45º u odnosu na horizontalu?

Razmotrimo, kao primjer primjene izvedenih formula, kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu u odsustvu otpora zraka. Recimo, na planini, na visini iznad nivoa mora, postoji top koji čuva priobalne vode. Neka projektil bude ispaljen pod uglom prema horizontu početnom brzinom iz tačke čiji je položaj određen radijus vektorom (slika 2.16).

Rice. 2.16. Kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Dodatak.

Izvođenje jednadžbi kretanja materijalne tačke u gravitaciono polje

Napišimo jednačinu kretanja (jednadžba Njutnov drugi zakon):

to znači da će se tijela - materijalne tačke - bilo koje mase pod istim početnim uslovima kretati u jednoličnom gravitacionom polju na isti način. Projicirajmo jednačinu (2.7.2) na ose kartezijanskog koordinatnog sistema. Horizontalna osa OH prikazano na sl. 13 isprekidana osa OY proći kroz tačku O vertikalno prema gore, a horizontalna os oz takođe prolazi kroz tačku O, direktno okomito na vektor na nas. Dobijamo:

Vertikalni smjer, po definiciji, je smjer vektora, dakle njegove projekcije na horizontalne ose OX I OY jednaki su nuli. Druga jednačina uzima u obzir da je vektor usmjeren prema dolje, a os OY- gore.

Rice. 2.17. Kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu.

Dodajmo jednačinama kretanja početne uslove koji određuju položaj i brzinu tijela u početnom trenutku vremena t0, neka bude t0 = 0. Zatim, prema sl. 2.7.4

Ako je izvod neke funkcije jednak nuli, tada je funkcija konstantna, respektivno, iz prve i treće jednačine (2.7.3) dobijamo:

U drugoj jednačini (2.7.3) derivacija je jednaka konstanti, što znači da funkcija linearno zavisi od svog argumenta, tj.

Kombinovanjem (2.7.7) i (2.7.9) dobijamo konačne izraze za zavisnosti projekcija brzine na koordinatne ose od vremena:

Treća jednačina (2.7.11) pokazuje da je putanja tijela ravna, da u potpunosti leži u ravni XOY, je vertikalna ravan definirana vektorima i . Očigledno, posljednja izjava je općenito: bez obzira na to kako se biraju smjerovi koordinatnih osa, putanja tijela bačenog pod uglom u odnosu na horizont je ravna, ona uvijek leži u ravni koja je određena početnim vektorom brzine i gravitacijom. vektor ubrzanja.

Ako se tri jednadžbe (2.7.10) pomnože sa jediničnim vektorima osi , , i i dodaju, a zatim se isto uradi sa tri jednačine (2.7.11), tada dobijamo vremensku zavisnost vektora brzine čestice i njegov radijus vektor. Uzimajući u obzir početne uslove, imamo:

Formule (2.7.12) i (2.7.13) se mogu dobiti odmah, direktno iz (2.7.2), s obzirom da je gravitaciono ubrzanje konstantan vektor. Ako je ubrzanje - derivacija vektora brzine - konstantna, tada vektor brzine linearno zavisi od vremena, a vektor radijusa, čiji je vremenski izvod vektor brzine koji linearno zavisi od vremena, kvadratno zavisi od vremena. Ovo je zapisano u relacijama (2.7.12) i (2.7.13) sa konstantama - konstantnim vektorima - odabranim prema početnim uslovima u obliku (2.7.4).

Iz (2.7.13), posebno, može se vidjeti da je radijus vektor zbir tri vektora koja se dodaju prema uobičajenim pravilima, što je jasno prikazano na Sl. 2.18.

Rice. 2.18. Predstavljanje radijus vektora r(t) u proizvoljnom vremenu t kao zbir tri vektora

Ovi vektori su:

Ovdje je princip nezavisnosti kretanja, poznat u drugim oblastima fizike kao princip superpozicije(preklopi). Uopšteno govoreći, prema principu superpozicije, neto efekat nekoliko radnji je zbir efekata svake akcije preduzete posebno. To je posljedica linearnosti jednadžbi kretanja.

Video 2.3. Nezavisnost horizontalnih i vertikalnih pokreta pri kretanju u polju gravitacije.

Postavimo ishodište na tačku pada. Sad =0 , osi će se, kao i ranije, rotirati tako da os 0x bila horizontalna, os 0g- okomito, a početna brzina je bila u ravnini x0y(Sl. 2.19).

Rice. 2.19. Projekcije početne brzine na koordinatne ose

Projektujemo na koordinatne ose (vidi (2.7.11)):

Putanja leta. Ako je vrijeme isključeno iz sistema dobijenih jednačina t, tada dobijamo jednačinu putanje:

Ovo je jednadžba parabole, čije su grane usmjerene prema dolje.

Domet leta pri pucanju sa visine h . U trenutku pada tijela (projektil pogađa metu koja se nalazi na površini mora). Horizontalna udaljenost od pištolja do mete je jednaka . Zamjena ; u jednadžbu putanje, dobijamo kvadratnu jednačinu za domet leta:

Kvadratna jednadžba ima dva rješenja (u ovom slučaju pozitivno i negativno). Potrebna nam je pozitivna odluka. Standardni izraz za korijen kvadratne jednadžbe našeg problema može se svesti na oblik:

se postiže na , ako h = 0.

Maksimalni domet leta. Kada se puca sa visoke planine, to više nije slučaj. Pronađite ugao pod kojim se postiže maksimalni domet leta. Ovisnost dometa leta o kutu je prilično komplicirana, a umjesto diferenciranja da bismo pronašli maksimum, učinit ćemo sljedeće. Zamislimo da povećavamo početni ugao. Prvo, domet leta se povećava (vidi formulu (2.7.15)), dostiže svoju maksimalnu vrijednost i ponovo počinje padati (na nulu kada se puca vertikalno prema gore). Dakle, za svaki raspon leta, osim maksimalnog, postoje dva smjera početne brzine.

Okrenimo se ponovo kvadratnoj jednadžbi za relativnost udaljenosti leta i razmotrimo je kao jednačinu za ugao . S obzirom na to

prepišimo to u obliku:

Ponovo smo dobili kvadratnu jednačinu, ovaj put za nepoznatu količinu. Jednačina ima dva korijena, što odgovara dva ugla pod kojima je domet leta . Ali kada , oba korijena moraju odgovarati. To znači da je diskriminanta kvadratne jednadžbe jednaka nuli:

odakle dolazi rezultat

Sa ovim rezultatom reproducira se formula (2.7.16)

Obično je visina mnogo manja od dometa leta na ravnici. Za , kvadratni korijen se može aproksimirati prvim članovima proširenja Taylorovog reda, i dobijamo približni izraz

odnosno domet metka se povećava približno za visinu pištolja.

Kada l = l max , I a = a max , kao što je već napomenuto, diskriminanta kvadratne jednadžbe jednaka je nuli, odnosno njeno rješenje ima oblik:

Pošto je tangenta manja od jedan, ugao pod kojim se postiže maksimalni domet leta je manji.

Maksimalna visina uspona iznad početne tačke. Ova vrijednost se može odrediti iz jednakosti na nulu vertikalne komponente brzine na vrhu putanje

U ovom slučaju, horizontalna komponenta brzine nije jednaka nuli