خانه

سقوط جسمی که با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می شود. نمونه هایی از مسائل حل شده در فیزیک با موضوع "حرکت آزاد جسم پرتاب شده در زاویه نسبت به افقی". حداکثر ارتفاع بلند کردن

تئوری

اگر جسمی در زاویه ای نسبت به افق پرتاب شود، در حین پرواز نیروی گرانش و نیروی مقاومت هوا بر آن اثر می گذارد. اگر نیروی مقاومت نادیده گرفته شود، تنها نیروی باقیمانده گرانش است. بنابراین، طبق قانون دوم نیوتن، جسم با شتابی برابر با شتاب گرانش حرکت می کند. پیش بینی شتاب در محورهای مختصات برابر است تبر = 0, و y= -g.

هر حرکت پیچیده یک نقطه مادی را می توان به صورت برهم نهی از حرکات مستقل در امتداد محورهای مختصات نشان داد و در جهت محورهای مختلف، نوع حرکت ممکن است متفاوت باشد. در مورد ما، حرکت یک جسم پرنده را می توان به عنوان برهم نهی دو حرکت مستقل نشان داد: حرکت یکنواخت در امتداد محور افقی (محور X) و حرکت شتاب یکنواخت در امتداد محور عمودی (محور Y) (شکل 1). .

بنابراین پیش بینی های سرعت بدن با گذشت زمان به صورت زیر تغییر می کند:

جایی که سرعت اولیه است، α زاویه پرتاب است.

بنابراین مختصات بدن به صورت زیر تغییر می کند:

با انتخاب ما از مبدا مختصات، مختصات اولیه (شکل 1) سپس

دومین مقدار زمانی که ارتفاع در آن صفر است، صفر است که مربوط به لحظه پرتاب است، یعنی. این مقدار یک معنای فیزیکی نیز دارد.

برد پرواز را از فرمول اول (1) بدست می آوریم. محدوده پرواز مقدار مختصات است ایکسدر پایان پرواز، یعنی. در زمانی برابر با t 0. با جایگزینی مقدار (2) به فرمول اول (1)، دریافت می کنیم:

(3)

از این فرمول می توان دریافت که بیشترین برد پرواز در زاویه پرتاب 45 درجه به دست می آید.

حداکثر ارتفاع بدنه پرتاب شده را می توان از فرمول دوم (1) بدست آورد. برای انجام این کار، باید مقدار زمانی معادل نصف زمان پرواز (2) را در این فرمول جایگزین کنید، زیرا در نقطه میانی مسیر است که ارتفاع پرواز حداکثر است. با انجام محاسبات، دریافت می کنیم

اگر جسمی در زاویه ای نسبت به افق پرتاب شود، در حین پرواز نیروی گرانش و نیروی مقاومت هوا بر آن اثر می گذارد. اگر نیروی مقاومت نادیده گرفته شود، تنها نیروی باقیمانده گرانش است. بنابراین، طبق قانون دوم نیوتن، جسم با شتابی برابر با شتاب گرانش حرکت می کند. پیش بینی شتاب بر روی محورهای مختصات ax = 0، ay = - g.

شکل 1. خصوصیات سینماتیکی یک جسم پرتاب شده با زاویه نسبت به افقی

بنابراین پیش بینی های سرعت بدن با گذشت زمان به صورت زیر تغییر می کند:

جایی که $v_0$ سرعت اولیه است، $(\mathbf \alpha )$ زاویه پرتاب است.

با انتخاب مبدا، مختصات اولیه (شکل 1) $x_0=y_0=0$ است. سپس دریافت می کنیم:

(1)

بیایید فرمول های (1) را تجزیه و تحلیل کنیم. اجازه دهید زمان حرکت بدن پرتاب شده را تعیین کنیم. برای این کار، مختصات y را برابر با صفر قرار می دهیم، زیرا در لحظه فرود ارتفاع بدن صفر است. از اینجا ما برای زمان پرواز دریافت می کنیم:

برد پرواز را از فرمول اول (1) بدست می آوریم. محدوده پرواز مقدار مختصات x در پایان پرواز است، یعنی. در زمان برابر با $t_0$. با جایگزینی مقدار (2) به فرمول اول (1)، دریافت می کنیم:

از این فرمول می توان دریافت که بیشترین برد پرواز در زاویه پرتاب 45 درجه به دست می آید.

از معادلات (1) می توان معادله مسیر حرکت بدن را به دست آورد، یعنی. معادله ای که مختصات x و y یک جسم را در حین حرکت مرتبط می کند. برای انجام این کار، باید زمان را از رابطه اول (1) بیان کنید:

و آن را جایگزین معادله دوم کنید. سپس دریافت می کنیم:

این معادله معادله مسیر حرکت است. مشاهده می شود که این معادله یک سهمی است که شاخه های آن پایین است، همانطور که با علامت "-" در مقابل عبارت درجه دوم نشان داده می شود. باید در نظر داشت که زاویه پرتاب $\alpha $ و توابع آن در اینجا به سادگی ثابت هستند، یعنی. اعداد ثابت

جسمی با سرعت v0 در زاویه $(\mathbf \alpha )$ نسبت به افق پرتاب می شود. زمان پرواز $t = 2 s $. Hmax بدن تا چه ارتفاعی بالا می رود؟

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

قانون حرکت بدن به شکل زیر است:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

بردار سرعت اولیه یک زاویه $(\mathbf \alpha )$ با محور OX تشکیل می دهد. از این رو،

\ \ \

یک سنگ از بالای کوه با زاویه = 30$()^\circ$ نسبت به افق با سرعت اولیه $v_0 = 6 m/s$ پرتاب می شود. زاویه صفحه شیبدار = 30$()^\circ$. سنگ در چه فاصله ای از نقطه پرتاب می افتد؟

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

بیایید مبدا مختصات را در نقطه پرتاب قرار دهیم، OX - در امتداد صفحه مایل به سمت پایین، OY - عمود بر صفحه شیب دار به سمت بالا. ویژگی های حرکتی حرکت:

قانون حرکت:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

با جایگزینی مقدار به دست آمده $t_В$، $S$ را پیدا می کنیم:

اگر بتوان مقاومت هوا را نادیده گرفت، جسمی که به هر طریقی پرتاب می شود با شتاب گرانش حرکت می کند.

اجازه دهید ابتدا حرکت جسمی را که به صورت افقی با سرعت v_vec0 از ارتفاع h از سطح زمین پرتاب می شود در نظر بگیریم (شکل 11.1).

در شکل برداری، وابستگی سرعت یک جسم به زمان t با فرمول بیان می شود

در پیش بینی ها روی محورهای مختصات:

v x = v 0 , (2)
v y = –gt. (3)

1. توضیح دهید که چگونه فرمول ها از (2) و (3) به دست می آیند.

x = v 0 t، (4)
y = h – gt 2/2. (5)

می بینیم که بدن به نظر می رسد دو نوع حرکت را به طور همزمان انجام می دهد: به طور یکنواخت در امتداد محور x حرکت می کند و به طور یکنواخت در امتداد محور y بدون سرعت اولیه شتاب می گیرد.

شکل 11.2 موقعیت بدن را در فواصل منظم نشان می دهد. در زیر موقعیت جسمی که به طور یکنواخت با همان سرعت اولیه حرکت می کند در همان لحظه های زمانی نشان داده شده است و در سمت چپ موقعیت جسمی است که آزادانه در حال سقوط است.

می بینیم که جسمی که به صورت افقی پرتاب می شود همیشه در همان عمود با یک جسم متحرک یکنواخت و در همان افقی با یک جسم آزادانه در حال سقوط است.

2. توضیح دهید که چگونه از فرمول های (4) و (5) عباراتی برای زمان tfloor و فاصله پرواز بدن l بدست می آوریم:

سرنخ. از این واقعیت استفاده کنید که در لحظه سقوط y = 0.

3. جسم از ارتفاع معینی به صورت افقی پرتاب می شود. در چه صورت برد پرواز بدن بیشتر خواهد بود: زمانی که سرعت اولیه 4 برابر افزایش می یابد یا زمانی که ارتفاع اولیه به همان عدد افزایش می یابد؟ چند برابر بیشتر؟

مسیر حرکت

در شکل 11.2، مسیر جسمی که به صورت افقی پرتاب شده است، با یک خط چین قرمز نشان داده شده است. شبیه شاخه ای از سهمی است. بیایید این فرض را بررسی کنیم.

4. ثابت کنید برای جسمی که به صورت افقی پرتاب می شود، معادله مسیر حرکت، یعنی وابستگی y(x) با فرمول بیان می شود.

سرنخ. با استفاده از فرمول (4)، t را بر حسب x بیان کنید و عبارت یافت شده را با فرمول (5) جایگزین کنید.

فرمول (8) در واقع یک معادله سهموی است. راس آن با موقعیت اولیه بدن منطبق است، یعنی دارای مختصات x = 0 است. y = h، و شاخه سهمی به سمت پایین هدایت می شود (این با ضریب منفی جلوی x 2 نشان داده می شود).

5. وابستگی y(x) در واحدهای SI با فرمول y = 45 – 0.05x 2 بیان می شود.
الف) ارتفاع اولیه و سرعت اولیه بدن چقدر است؟
ب) زمان و مسافت پرواز چقدر است؟

6. جسمی از ارتفاع 20 متری با سرعت اولیه 5 متر بر ثانیه به صورت افقی پرتاب می شود.
الف) پرواز بدن چقدر طول خواهد کشید؟
ب) برد پرواز چقدر است؟
ج) سرعت بدن درست قبل از برخورد با زمین چقدر است؟
د) سرعت بدن بلافاصله قبل از برخورد با زمین در چه زاویه ای نسبت به افق هدایت می شود؟
ه) وابستگی مدول سرعت جسم به زمان را چه فرمولی بر حسب واحد SI بیان می کند؟

2. حرکت جسم پرتاب شده با زاویه نسبت به افقی

شکل 11.3 به طور شماتیک موقعیت اولیه بدن، سرعت اولیه 0 (در t = 0) و شتاب (شتاب گرانشی) را نشان می دهد.

پیش بینی های سرعت اولیه

v 0x = v 0 cos α، (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)

برای کوتاه کردن ورودی های بعدی و روشن شدن معنای فیزیکی آنها، حفظ نماد v 0x و v 0y قبل از به دست آوردن فرمول های نهایی راحت است.

سرعت جسم به صورت برداری در زمان t نیز در این حالت با فرمول بیان می شود

با این حال، اکنون در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات

v x = v 0x , (11)
vy = v 0y – gt. (12)

7- نحوه بدست آوردن معادلات زیر را توضیح دهید:

x = v 0x t، (13)
y = v 0y t – gt 2/2. (14)

می بینیم که در این مورد نیز به نظر می رسد جسم پرتاب شده به طور همزمان درگیر دو نوع حرکت است: به طور یکنواخت در امتداد محور x حرکت می کند و به طور یکنواخت در امتداد محور y با سرعت اولیه شتاب می گیرد، مانند جسمی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود.

مسیر حرکت

شکل 11.4 به صورت شماتیک موقعیت جسمی را نشان می دهد که در فواصل زمانی منظم در زاویه ای نسبت به افقی پرتاب شده است. خطوط عمودی تاکید می کنند که بدن به طور یکنواخت در امتداد محور x حرکت می کند: خطوط مجاور در فواصل مساوی از یکدیگر قرار دارند.

8. نحوه بدست آوردن معادله زیر برای مسیر جسمی که با زاویه نسبت به افقی پرتاب می شود را توضیح دهید:

فرمول (15) معادله سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند.

معادله مسیر می تواند چیزهای زیادی در مورد حرکت یک جسم پرتاب شده به ما بگوید!

9. وابستگی y(x) در واحدهای SI با فرمول y = √3 * x – 1.25x 2 بیان می شود.
الف) برآمدگی افقی سرعت اولیه چقدر است؟
ب) برآمدگی عمودی سرعت اولیه چقدر است؟
ج) بدن با چه زاویه ای به سمت افقی پرتاب می شود؟
د) سرعت اولیه بدن چقدر است؟

شکل سهموی مسیر جسمی که در زاویه ای نسبت به افق پرتاب می شود به وضوح توسط جریانی از آب نشان داده شده است (شکل 11.5).

زمان صعود و کل زمان پرواز

10. با استفاده از فرمول های (12) و (14)، نشان دهید که زمان خیز بدن t در زیر و کل زمان پرواز t طبق فرمول ها بیان می شود.

سرنخ. در نقطه بالای مسیر v y = 0، و در لحظه سقوط جسم مختصات آن y = 0 است.

می بینیم که در این حالت (همانطور که برای بدنی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود) کل زمان پرواز t کف 2 برابر بیشتر از زمان خیز t در زیر است. و در این حالت، هنگام مشاهده فیلم به صورت معکوس، بالا آمدن بدنه دقیقاً شبیه نزول آن و فرود دقیقاً شبیه به بالا آمدن آن خواهد بود.

ارتفاع و برد پرواز

11. ثابت کنید که ارتفاع بالابر h و محدوده پرواز l با فرمول ها بیان می شوند

سرنخ. برای استخراج فرمول (18)، از فرمول (14) و (16) یا فرمول (10) از § 6 استفاده کنید. برای استخراج فرمول (19) از فرمول (13) و (17) استفاده کنید.

لطفاً توجه داشته باشید: زمان بلند کردن تندر بدنه، کل زمان پرواز در طبقه و ارتفاع بلند کردن ساعت فقط به برجستگی عمودی سرعت اولیه بستگی دارد.

12. اگر توپ فوتبال 4 ثانیه بعد از ضربه به زمین بیفتد تا چه ارتفاعی پس از ضربه بالا می رود؟

13. این را ثابت کنید

سرنخ. از فرمول های (9)، (10)، (18)، (19) استفاده کنید.

14. توضیح دهید که چرا، در همان سرعت اولیه v 0، محدوده پرواز l در دو زاویه α 1 و α 2 یکسان خواهد بود که با رابطه α 1 + α 2 = 90 درجه مربوط می شود (شکل 11.6).

سرنخ. از تساوی اول در فرمول (21) و این واقعیت که sin α = cos (90º – α) استفاده کنید.

15. دو جسم پرتاب شده در یک زمان و با یک مقدار اولیه و یک نقطه. زاویه بین سرعت های اولیه 20 درجه است. اجساد در چه زوایایی نسبت به افق پرتاب شدند؟

حداکثر برد و ارتفاع پرواز

در همان سرعت اولیه مطلق، برد و ارتفاع پرواز فقط با زاویه α تعیین می شود. چگونه این زاویه را طوری انتخاب کنیم که برد یا ارتفاع پرواز حداکثر باشد؟

16. توضیح دهید که چرا حداکثر برد پرواز در α = 45 درجه بدست می آید و با فرمول بیان می شود.

l max = v 0 2 /g. (22)

17. ثابت کنید که حداکثر ارتفاع پرواز با فرمول بیان می شود

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18. جسمی که با زاویه 15 درجه نسبت به افقی پرتاب شده بود در فاصله 5 متری از نقطه شروع سقوط کرد.
الف) سرعت اولیه بدن چقدر است؟
ب) بدن تا چه ارتفاعی بالا رفت؟
ج) حداکثر برد پرواز در همان سرعت اولیه مطلق چقدر است؟
د) این جسم تا چه حد حداکثر ارتفاع می تواند با همان سرعت اولیه مطلق بالا رود؟

وابستگی سرعت به زمان

هنگام صعود، سرعت جسمی که با زاویه نسبت به افقی پرتاب می شود، در مقدار مطلق کاهش می یابد و در هنگام پایین آمدن، افزایش می یابد.

19. جسمی با زاویه 30 درجه نسبت به افقی با سرعت اولیه 10 متر بر ثانیه پرتاب می شود.
الف) وابستگی vy(t) چگونه در واحدهای SI بیان می شود؟
ب) وابستگی v(t) چگونه در واحدهای SI بیان می شود؟
ج) حداقل سرعت یک جسم در حین پرواز چقدر است؟
سرنخ. از فرمول های (13) و (14) و نیز قضیه فیثاغورث استفاده کنید.

سوالات و وظایف اضافی

20. ساشا با پرتاب سنگریزه در زوایای مختلف متوجه شد که نمی تواند سنگریزه را بیشتر از 40 متر پرتاب کند. حداکثر ارتفاعی که ساشا می تواند سنگریزه را پرتاب کند چقدر است؟

21. سنگریزه ای بین لاستیک دوتایی عقب کامیون گیر کرده بود. خودرویی که به دنبال آن می رود تا چه فاصله ای از کامیون رانده شود تا این سنگ ریزه در صورت افتادن آسیبی به آن وارد نشود؟ هر دو خودرو با سرعت 90 کیلومتر در ساعت حرکت می کنند.
سرنخ. به چارچوب مرجع مرتبط با هر یک از خودروها بروید.

22. جسم را باید در چه زاویه ای نسبت به افق انداخت تا:
الف) ارتفاع پرواز برابر با برد بود؟
ب) ارتفاع پرواز 3 برابر بیشتر از برد بود؟
ج) برد پرواز 4 برابر بیشتر از ارتفاع بود؟

23. جسمی با سرعت اولیه 20 متر بر ثانیه در زاویه 60 درجه نسبت به افقی پرتاب می شود. در چه فواصل زمانی پس از پرتاب سرعت بدن در زاویه 45 درجه نسبت به افقی قرار می گیرد؟

اجازه دهید به عنوان نمونه ای از کاربرد فرمول های مشتق شده، حرکت جسمی را که در زاویه ای نسبت به افق پرتاب می شود در غیاب مقاومت هوا در نظر بگیریم. فرض کنید روی یک کوه، در ارتفاعی از سطح دریا، توپی وجود دارد که از آب های ساحلی محافظت می کند. اجازه دهید پرتابه در زاویه ای نسبت به افق با سرعت اولیه از نقطه ای که موقعیت آن توسط بردار شعاع تعیین می شود شلیک شود (شکل 2.16).

برنج. 2.16. حرکت جسمی که با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می شود

اضافه شدن.

استخراج معادلات حرکت یک نقطه مادی در میدان گرانش

اجازه دهید معادله حرکت را بنویسیم (معادله قانون دوم نیوتن):

این بدان معنی است که اجسام - نقاط مادی - با هر جرمی در شرایط اولیه یکسان در یک میدان گرانشی یکنواخت به همان روش حرکت می کنند. اجازه دهید معادله (2.7.2) را بر روی محور دستگاه مختصات دکارتی طرح کنیم. محور افقی اوهدر شکل نشان داده شده است. 13 خط نقطه، محور OYبیایید از طریق نقطه ترسیم کنیم در بارهعمودی به سمت بالا و محور افقی OZ، همچنین از نقطه عبور می کند در باره، آن را عمود بر بردار به سمت ما هدایت کنید. ما گرفتیم:

جهت عمودی، طبق تعریف، جهت بردار است، بنابراین پیش بینی آن بر روی محورهای افقی است گاو نرو OYبرابر با صفر هستند. معادله دوم این را در نظر می گیرد که بردار به سمت پایین و محور هدایت می شود OY- بالا

برنج. 2.17. حرکت جسمی که با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می شود.

بیایید شرایط اولیه را به معادلات حرکت اضافه کنیم که موقعیت و سرعت جسم را در لحظه اولیه زمان تعیین می کند. t 0، اجازه دهید t0 = 0. سپس مطابق شکل. 2.7.4

اگر مشتق تابعی برابر با صفر باشد، تابع به ترتیب ثابت است، از معادله اول و سوم (2.7.3) به دست می آوریم:

در رابطه دوم (2.7.3) مشتق برابر با یک ثابت است، به این معنی که تابع به صورت خطی به آرگومان خود بستگی دارد، یعنی

با ترکیب (2.7.7) و (2.7.9)، عبارات نهایی را برای وابستگی پیش بینی های سرعت بر روی محورهای مختصات در زمان به دست می آوریم:

معادله سوم (2.7.11) نشان می دهد که مسیر جسم صاف است و کاملاً در صفحه قرار دارد. XOY، صفحه عمودی است که توسط بردارها و . بدیهی است که آخرین گزاره کلی است: مهم نیست که جهت محورهای مختصات چگونه انتخاب می شود، مسیر جسمی که در زاویه ای نسبت به افق پرتاب می شود صاف است، همیشه در صفحه تعیین شده توسط بردار سرعت اولیه و آزاد قرار دارد. بردار شتاب سقوط

اگر سه معادله (2.7.10) در بردارهای واحد محورها، و و جمع شوند و سپس با سه معادله (2.7.11) به همین ترتیب عمل شود، وابستگی زمانی سرعت ذره را بدست می آوریم. بردار و بردار شعاع آن. با در نظر گرفتن شرایط اولیه داریم:

فرمول های (2.7.12) و (2.7.13) را می توان بلافاصله، مستقیماً از (2.7.2) به دست آورد، اگر در نظر بگیریم که شتاب گرانش یک بردار ثابت است. اگر شتاب - مشتق بردار سرعت - ثابت باشد، بردار سرعت به طور خطی به زمان بستگی دارد و بردار شعاع که مشتق زمانی آن بردار سرعت به طور خطی وابسته به زمان است، به طور درجه دوم به زمان بستگی دارد. این در روابط (2.7.12) و (2.7.13) با ثابت ها - بردارهای ثابت - با توجه به شرایط اولیه در فرم (2.7.4) انتخاب شده است.

به طور خاص از (2.7.13)، واضح است که بردار شعاع مجموع سه بردار است که طبق قوانین معمول جمع می شوند، که به وضوح در شکل نشان داده شده است. 2.18.

برنج. 2.18. نمایش بردار شعاع r(t) در زمان دلخواه t به صورت مجموع سه بردار

این بردارها عبارتند از:

در اینجا اصل استقلال حرکات، که در سایر حوزه های فیزیک به عنوان شناخته شده است اصل برهم نهی(پوشش ها). به طور کلی، بر اساس اصل برهم نهی، تأثیر حاصل از چندین تأثیر، مجموع تأثیرات هر تأثیر جداگانه است. این نتیجه خطی بودن معادلات حرکت است.

ویدئو 2.3. استقلال حرکات افقی و عمودی هنگام حرکت در میدان گرانش.

بیایید مبدا را در نقطه پرتاب قرار دهیم. اکنون =0 ، محورها مانند قبل چرخانده می شوند تا محور 0xافقی بود، محور 0у- عمودی و سرعت اولیه در هواپیما قرار داشت x0y(شکل 2.19).

برنج. 2.19. پیش بینی سرعت اولیه بر روی محورهای مختصات

بیایید روی محورهای مختصات طرح کنیم (نگاه کنید به (2.7.11)):

مسیر پرواز. اگر زمان را از سیستم معادلات به دست آمده حذف کنیم تی، سپس معادله مسیر را بدست می آوریم:

این معادله سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند.

برد پرواز هنگام شلیک از ارتفاع ساعت . در لحظه سقوط جسد (پرتابه به هدف واقع در سطح دریا برخورد می کند). فاصله افقی تفنگ تا هدف برابر است با . جایگزینی؛ در معادله مسیر، یک معادله درجه دوم برای برد پرواز به دست می آوریم:

معادله درجه دوم دو راه حل دارد (در این مورد مثبت و منفی). ما به یک راه حل مثبت نیاز داریم. عبارت استاندارد برای ریشه معادله درجه دوم مسئله ما را می توان به شکل زیر کاهش داد:

بدست می آید، اگر h = 0.

حداکثر برد پرواز. هنگام عکسبرداری از ارتفاعات کوه، دیگر اینطور نیست. بیایید زاویه ای را پیدا کنیم که در آن حداکثر برد پرواز به دست می آید. وابستگی برد پرواز به زاویه بسیار پیچیده است و به جای تمایز برای یافتن حداکثر، به صورت زیر عمل می کنیم. بیایید تصور کنیم که زاویه شروع را افزایش می دهیم. اول، برد پرواز افزایش می یابد (به فرمول (2.7.15) مراجعه کنید)، به حداکثر مقدار می رسد و دوباره شروع به سقوط می کند (هنگام عکسبرداری عمودی به سمت بالا به صفر). بنابراین، برای هر برد پرواز، به جز حداکثر، دو جهت سرعت اولیه وجود دارد.

اجازه دهید دوباره به معادله درجه دوم نسبیت برد پرواز بپردازیم و آن را معادله ای برای زاویه در نظر بگیریم. با توجه به اینکه

بیایید آن را به این شکل بازنویسی کنیم:

ما دوباره یک معادله درجه دوم به دست آوردیم، این بار برای یک کمیت مجهول. معادله دارای دو ریشه است که مربوط به دو زاویه است که در آن برد پرواز برابر است. اما زمانی که هر دو ریشه باید بر هم منطبق باشند. این بدان معنی است که ممیز معادله درجه دوم برابر با صفر است: