Dana je distribucija diskretne slučajne varijable. Diskretne slučajne varijable. Zakon distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable

x; značenje F(5); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz segmenta. Konstruirajte poligon distribucije.

1. Znan distribucijska funkcija F(x) diskretna slučajna varijabla x:

Postaviti zakon raspodjele slučajne varijable x u obliku tablice.

1. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

x	–28	–20	–12	–4
str	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Vjerojatnost da trgovina ima certifikate kvalitete za cijeli asortiman proizvoda je 0,7. Komisija je provjerila dostupnost certifikata u četiri trgovine na tom području. Izraditi zakon o raspodjeli, izračunati matematičko očekivanje i disperziju broja prodavaonica u kojima nisu pronađeni certifikati kvalitete prilikom kontrole.

1. Za određivanje prosječno trajanje izgaranje električnih žarulja u seriji od 350 identičnih kutija, iz svake kutije uzeta je na ispitivanje po jedna električna žarulja. Odozdo procijenite vjerojatnost da se prosječno trajanje gorenja odabranih električnih žarulja razlikuje od prosječnog trajanja gorenja cijele serije u apsolutnoj vrijednosti za manje od 7 sati, ako je poznato da standardna devijacija trajanja gorenja električnih žarulja u svaka kutija je manje od 9 sati.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će se među 500 veza dogoditi sljedeće:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, mod i medijan slučajne varijable x.

1. Automatska mašina izrađuje valjke. Smatra se da je njihov promjer normalno distribuirana slučajna varijabla sa srednjom vrijednošću od 10 mm. Kolika je standardna devijacija ako je s vjerojatnošću od 0,99 promjer u rasponu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Uzorak A: 6 9 7 6 4 4

Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcija 17.

1. Među 35 dijelova, 7 je nestandardnih. Nađite vjerojatnost da će dva nasumce uzeta dijela biti standardna.

1. Bacaju se tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bodova na ispuštenim stranama višekratnik broja 9.

1. Riječ "AVANTURA" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da slova izvađena redoslijedom pojavljivanja tvore riječ: a) AVANTURA; b) ZATVORENIK.

1. Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:
1. 2 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu kuglu.

1. A u jednom testu jednaka je 0,4. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
1. događaj A pojavljuje se 3 puta u nizu od 7 neovisnih ispitivanja;
2. događaj A pojavit će se ne manje od 220 i ne više od 235 puta u nizu od 400 suđenja.

1. Tvornica je u bazu poslala 5000 proizvoda dobre kvalitete. Vjerojatnost oštećenja svakog proizvoda u transportu je 0,002. Nađite vjerojatnost da tijekom putovanja neće biti oštećeno više od 3 proizvoda.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 9 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne su nasumično izvučene 3 kuglice, a iz druge 4. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

1. U kutiji je 10 olovaka. Nasumično su izvučene 4 olovke. Slučajna vrijednost x– broj plavih olovaka među odabranima. Nađite zakon njegove raspodjele, početni i središnji moment 2. i 3. reda.

1. Odjel tehnička kontrola provjerava 475 proizvoda na nedostatke. Vjerojatnost da je proizvod neispravan je 0,05. Odredite, s vjerojatnošću 0,95, granice unutar kojih će se nalaziti broj neispravnih proizvoda među testiranim.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,003. Odredite vjerojatnost da će se među 1000 veza dogoditi sljedeće:
1. najmanje 4 neispravna spoja;
2. više od dva pogrešna povezivanja.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, modus i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom distribucije:

1. Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:
1. stvoriti niz varijacija;

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

Mod i medijan;

Uzorak A: 0 0 2 2 1 4

1. izračunajte numeričke karakteristike niza varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcija 18.

1. Među 10 srećki 2 su dobitne. Odredite vjerojatnost da će od pet nasumično uzetih listića jedna biti dobitna.

1. Bacaju se tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bačenih bodova veći od 15.

1. Riječ “PERIMETAR” sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izvađena slova tvore riječ: a) OPSEG; b) METAR.

1. Urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:
1. 4 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu kuglu.

1. Vjerojatnost događanja događaja A u jednom pokusu jednak je 0,55. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
1. događaj A pojavit će se 3 puta u nizu od 5 izazova;
2. događaj A pojavit će se ne manje od 130 i ne više od 200 puta u nizu od 300 suđenja.

1. Vjerojatnost da se konzerva razbije je 0,0005. Odredite vjerojatnost da će među 2000 limenki dvije imati curenje.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 4 crne kuglice. Dvije se kuglice nasumično izvlače iz prve urne, a tri kuglice se nasumično izvlače iz druge urne. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Među dijelovima koji stižu na montažu, 0,1% je neispravno s prvog stroja, 0,2% s drugog, 0,25% s trećeg i 0,5% s četvrtog stroja. Omjeri produktivnosti stroja su 4:3:2:1. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Nađite vjerojatnost da je dio izrađen na prvom stroju.

1. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

1. Električar ima tri žarulje od kojih svaka ima kvar s vjerojatnošću 0,1 Žarulje se zavrnu u grlo i pusti se struja. Kada se struja uključi, neispravna žarulja odmah pregori i zamijeni se drugom. Odredite zakon raspodjele, matematičko očekivanje i disperziju broja ispitanih žarulja.

1. Vjerojatnost pogađanja mete je 0,3 za svaki od 900 neovisnih hitaca. Pomoću Čebiševljeve nejednakosti procijenite vjerojatnost da će meta biti pogođena najmanje 240 puta, a najviše 300 puta.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će se među 800 veza dogoditi sljedeće:
1. najmanje tri neispravna spoja;
2. više od četiri netočna povezivanja.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom gustoće distribucije:

Nađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Nacrtajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom distribucije:

1. Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:
1. stvoriti niz varijacija;
2. izračunati relativne i akumulirane frekvencije;
3. sastaviti empirijsku funkciju distribucije i nacrtati je;
4. izračunajte numeričke karakteristike niza varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak A: 4 7 6 3 3 4

1. Koristeći uzorak B, riješite sljedeće probleme:
1. stvoriti grupiranu seriju varijacija;
2. izgraditi histogram i frekvencijski poligon;
3. izračunajte numeričke karakteristike niza varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcija 19.

1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su odabrane nasumično pomoću njihovih osobnih brojeva. Nađite vjerojatnost da će svi odabrani ljudi biti muškarci.

2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerojatnost da će samo dva novčića imati "grb".

3. Riječ “PSIHOLOGIJA” sastoji se od kartica od kojih svaka ima jedno slovo napisano na sebi. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izvađena slova tvore riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE.

4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:

a. 3 bijele kuglice;

b. manje od 3 bijele kuglice;

c. barem jednu bijelu kuglu.

5. Vjerojatnost događanja događaja A u jednom pokusu jednak je 0,5. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

a. događaj A pojavljuje se 3 puta u nizu od 5 neovisnih ispitivanja;

b. događaj A pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u seriji od 50 suđenja.

6. Postoji 100 strojeva iste snage, koji rade neovisno jedan o drugom u istom režimu, pri čemu im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Kolika je vjerojatnost da će u bilo kojem trenutku biti uključeno od 70 do 86 strojeva?

7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne nasumično se izvlače 4 kuglice, a iz druge 1 kuglica. Odredite vjerojatnost da među izvučenim kuglicama budu samo 4 crne kuglice.

8. Autosalon dnevno prima automobile tri marke u količinama: “Moskvich” – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima Moskvich, 0,5% ima protuprovalni uređaj, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Nađite vjerojatnost da automobil odveden na pregled ima protuprovalni uređaj.

9. Na segmentu se slučajno biraju brojevi i . Odredite vjerojatnost da ti brojevi zadovoljavaju nejednadžbe.

10. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

x
str	0,1	0,2	0,3	0,4

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x; značenje F(2); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz intervala. Konstruirajte poligon distribucije.

Zadan je niz distribucije diskretne slučajne varijable. Pronađite vjerojatnost koja nedostaje i nacrtajte funkciju distribucije. Izračunajte matematičko očekivanje i varijancu ove količine.

Slučajna varijabla X poprima samo četiri vrijednosti: -4, -3, 1 i 2. Svaku od ovih vrijednosti poprima s određenom vjerojatnošću. Budući da zbroj svih vjerojatnosti mora biti jednak 1, vjerojatnost koja nedostaje jednaka je:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sastavimo funkciju distribucije slučajne varijable X. Poznato je da je funkcija distribucije , tada:

Stoga,

Nacrtajmo funkciju F(x) .

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable jednako je zbroju umnožaka vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti, tj.

Varijancu diskretne slučajne varijable nalazimo pomoću formule:

PRIMJENA

Elementi kombinatorike Ovdje: - faktorijel broja

Radnje na događajima Događaj je svaka činjenica koja se može ili ne mora dogoditi kao rezultat iskustva. Spajanje događaja A I U- ovaj događaj S koji se sastoji od pojave ili događaja A, ili događaja U, ili oba događaja istovremeno. Oznaka: ; Crossing Events A I U- ovaj događaj S, koji se sastoji od istodobnog događanja oba događaja. Oznaka: ;

Klasična definicija vjerojatnosti Vjerojatnost događaja A je omjer broja eksperimenata , povoljno za nastanak događaja A, na ukupan broj eksperimenata :

Formula množenja vjerojatnosti Vjerojatnost događaja može se pronaći pomoću formule: - vjerojatnost događaja A, Vjerojatnost događaja U, - vjerojatnost događaja U pod uvjetom da događaj A se već dogodilo. Ako su događaji A i B neovisni (pojava jednog ne utječe na pojavu drugog), tada je vjerojatnost događaja jednaka:

Formula za zbrajanje vjerojatnosti Vjerojatnost događaja može se pronaći pomoću formule: Vjerojatnost događaja A, Vjerojatnost događaja U, - vjerojatnost zajedničkog događanja događaja A I U. Ako su događaji A i B nekompatibilni (ne mogu se dogoditi istovremeno), tada je vjerojatnost događaja jednaka:

Formula ukupne vjerojatnosti Neka događaj A može se dogoditi istovremeno s jednim od događaja , , …, - nazovimo ih hipotezama. Poznat i kao - vjerojatnost izvršenja ja-ta hipoteza i - vjerojatnost pojave događaja A pri izvođenju ja-ta hipoteza. Zatim vjerojatnost događaja A može se pronaći po formuli:

Bernoullijeva shema Neka postoji n neovisnih testova. Vjerojatnost nastanka (uspjeha) događaja A u svakom od njih je stalan i jednak str, vjerojatnost kvara (tj. da se događaj neće dogoditi A) q = 1 - str. Zatim vjerojatnost pojave k uspjeh u n testovi se mogu pronaći pomoću Bernoullijeve formule: Najvjerojatniji broj uspjeha u Bernoullijevoj shemi je broj pojavljivanja nekog događaja koji ima najveću vjerojatnost. Može se pronaći pomoću formule:

Slučajne varijable diskretan kontinuirani (na primjer, broj djevojaka u obitelji s 5 djece) (na primjer, vrijeme kada kuhalo za vodu ispravno radi) Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable Neka je diskretna količina dana nizom distribucije: x R , , …, - vrijednosti slučajne varijable x; , , …, su odgovarajuće vrijednosti vjerojatnosti. Funkcija distribucije Funkcija distribucije slučajne varijable x nazvana funkcija , dana na cijelom brojevnom pravcu i jednaka vjerojatnosti da x bit će manje x:

Pitanja za ispit

Događaj. Operacije na slučajnim događajima.

Pojam vjerojatnosti događaja.

Pravila za zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Uvjetne vjerojatnosti.

Formula ukupne vjerojatnosti. Bayesova formula.

Bernoullijeva shema.

Slučajna varijabla, njena funkcija razdiobe i serija razdiobe.

Osnovna svojstva funkcije distribucije.

Očekivana vrijednost. Svojstva matematičkog očekivanja.

Disperzija. Svojstva disperzije.

Gustoća distribucije vjerojatnosti jednodimenzionalne slučajne varijable.

Vrste razdioba: uniformna, eksponencijalna, normalna, binomna i Poissonova razdioba.

Lokalni i integralni teoremi Moivre-Laplacea.

Zakon i funkcija distribucije sustava dviju slučajnih varijabli.

Gustoća distribucije sustava dviju slučajnih varijabli.

Uvjetni zakoni distribucije, uvjetno matematičko očekivanje.

Zavisne i nezavisne slučajne varijable. Koeficijent korelacije.

Uzorak. Obrada uzoraka. Poligon i frekvencijski histogram. Empirijska funkcija distribucije.

Koncept procjene parametara distribucije. Zahtjevi za ocjenjivanje. Interval pouzdanosti. Konstrukcija intervala za procjenu matematičkog očekivanja i standardne devijacije.

Statističke hipoteze. Kriteriji pristanka.

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Slučajne varijable".

Zadatak 1 . Za lutriju je izdano 100 listića. Izvučen je jedan dobitak od 50 USD. i deset dobitaka po 10 USD. Nađite zakon raspodjele vrijednosti X - cijene mogućih dobitaka.

Riješenje. Moguće vrijednosti za X: x 1 = 0; x 2 = 10 i x 3 = 50. Budući da ima 89 “praznih” listića, str 1 = 0,89, vjerojatnost dobitka 10 USD. (10 ulaznica) – str 2 = 0,10 i osvojiti 50 USD -str 3 = 0,01. Tako:

	0,89	0,10	0,01

Jednostavan za upravljanje: .

Zadatak 2. Vjerojatnost da je kupac unaprijed pročitao reklamu proizvoda je 0,6 (p=0,6). Selektivna kontrola kvalitete oglašavanja provodi se anketiranjem kupaca prije prvog koji je prethodno proučio oglašavanje. Napravite niz distribucije za broj anketiranih kupaca.

Riješenje. Prema uvjetima zadatka p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Zamjenom ovih vrijednosti dobivamo: i konstruirajte distribucijski niz:

p i		0,24

Zadatak 3. Računalo se sastoji od tri neovisna elementa: sistemske jedinice, monitora i tipkovnice. S jednim oštrim povećanjem napona, vjerojatnost kvara svakog elementa je 0,1. Na temelju Bernoullijeve distribucije izraditi zakon raspodjele za broj otkazanih elemenata tijekom strujnog udara u mreži.

Riješenje. Razmotrimo Bernoullijeva distribucija(ili binom): vjerojatnost da n testova, događaj A će se pojaviti točno k jednom: , ili:

	q n					str n

U Vratimo se zadatku.

Moguće vrijednosti za X (broj kvarova):

x 0 =0 – niti jedan element nije otkazao;

x 1 =1 – kvar jednog elementa;

x 2 =2 – kvar dva elementa;

x 3 =3 – otkaz svih elemenata.

Kako je prema uvjetu p = 0,1, onda je q = 1 – p = 0,9. Koristeći Bernoullijevu formulu, dobivamo

, ,

, .

Kontrolirati: .

Prema tome, traženi zakon raspodjele:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Problem 4. Proizvedeno 5000 metaka. Vjerojatnost da je jedan uložak neispravan . Koja je vjerojatnost da će u cijeloj seriji biti točno 3 neispravna patrona?

Riješenje. Primjenjivo Poissonova distribucija: Ova distribucija se koristi za određivanje vjerojatnosti da, za vrlo velike

broj testova (masovnih testova), u svakom od kojih je vjerojatnost događaja A vrlo mala, događaj A će se dogoditi k puta: , Gdje .

Ovdje je n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Nalazimo , zatim željenu vjerojatnost: .

Problem 5. Pri pucanju do prvog pogotka s vjerojatnošću pogotka p = 0,6 kod pucanja treba pronaći vjerojatnost da će do pogotka doći pri trećem hicu.

Riješenje. Primijenimo geometrijsku raspodjelu: neka proizvode nezavisni testovi, u svakom od kojih događaj A ima vjerojatnost pojavljivanja p (i nepojavljivanja q = 1 – p). Test završava čim se dogodi događaj A.

Pod takvim uvjetima, vjerojatnost da će se događaj A dogoditi u k-tom pokušaju određena je formulom: . Ovdje je p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4; k = 3. Prema tome, .

Problem 6. Neka je dan zakon raspodjele slučajne varijable X:

Nađite matematičko očekivanje.

Riješenje. .

Imajte na umu da je vjerojatnosno značenje matematičkog očekivanja prosječna vrijednost slučajne varijable.

Problem 7. Pronađite varijancu slučajne varijable X sa sljedećim zakonom distribucije:

Riješenje. Ovdje .

Zakon distribucije za kvadrat vrijednosti X 2 :

x 2

Zahtijevana varijanca: .

Disperzija karakterizira mjeru odstupanja (disperzije) slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.

Problem 8. Neka je slučajna varijabla dana distribucijom:

			10m

Pronađite njegove numeričke karakteristike.

Rješenje: m, m 2 ,

M 2 , m.

Za slučajnu varijablu X možemo reći jedno: njezino matematičko očekivanje je 6,4 m s varijancom od 13,04 m 2 , ili – njegovo matematičko očekivanje je 6,4 m s odstupanjem od m. Druga je formulacija očito jasnija.

Zadatak 9. Slučajna vrijednost x dana distribucijskom funkcijom:
.

Nađite vjerojatnost da će kao rezultat testa vrijednost X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu .

Riješenje. Vjerojatnost da će X uzeti vrijednost iz zadanog intervala jednaka je prirastu integralne funkcije u tom intervalu, tj. . U našem slučaju i, dakle

.

Zadatak 10. Diskretna slučajna varijabla x daje zakon raspodjele:

Pronađite funkciju distribucije F(x ) i iscrtajte ga.

Riješenje. Budući da funkcija distribucije,

Za , To

u ;

u ;

u ;

u ;

Relevantni grafikon:

Problem 11. Kontinuirana slučajna varijabla x dana funkcijom diferencijalne distribucije: .

Pronađite vjerojatnost pogotka X po intervalu

Riješenje. Imajte na umu da je ovo poseban slučaj zakona eksponencijalne distribucije.

Upotrijebimo formulu: .

Zadatak 12. Pronađite numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable X određene zakonom distribucije:

	–5
	X2: X 2 . , Gdje – Laplaceova funkcija. Vrijednosti ove funkcije nalaze se pomoću tablice. U našem slučaju: . Iz tablice nalazimo: , dakle:

x dan je zakonom distribucije vjerojatnosti: Tada je njegova standardna devijacija jednaka ... 0,80

Riješenje:
Standardna devijacija slučajne varijable X definirana je kao , gdje se varijanca diskretne slučajne varijable može izračunati pomoću formule . Zatim , i

Riješenje:
A(nasumično izvučena kugla je crna) primjenjujemo formulu ukupne vjerojatnosti: Ovdje je vjerojatnost da je bijela kugla prebačena iz prve žare u drugu žaru; – vjerojatnost da je crna kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu; – uvjetna vjerojatnost da je izvučena kuglica crna ako je bijela kuglica premještena iz prve urne u drugu; – uvjetna vjerojatnost da je izvučena kugla crna ako je crna kugla premještena iz prve urne u drugu.

Diskretna slučajna varijabla X dana je zakonom distribucije vjerojatnosti: Tada je vjerojatnost jednak...

Riješenje:
Varijanca diskretne slučajne varijable može se izračunati pomoću formule. Zatim

Ili . Rješavanjem posljednje jednadžbe dobivamo dva korijena i

Tema: Određivanje vjerojatnosti
U seriji od 12 dijelova nalazi se 5 neispravnih dijelova. Nasumično su odabrana tri dijela. Tada je vjerojatnost da među odabranim dijelovima nema odgovarajućih dijelova jednaka...

Riješenje:
Za izračun događaja A (među odabranim dijelovima nema odgovarajućih dijelova) koristimo formulu gdje je n m– broj elementarnih ishoda povoljnih za pojavu događaja A. u našem slučaju ukupni broj mogućih elementarnih ishoda jednak je broju načina na koje se tri detalja mogu izdvojiti iz 12 dostupnih, to jest, .

A ukupan broj povoljnih ishoda jednak je broju načina na koji se iz pet mogu izvući tri neispravna dijela, tj.

Banka izdaje 44 posto svih kredita pravnim osobama, a 56 posto građanima. Vjerojatnost da entitet neće vratiti zajam na vrijeme, jednako 0,2; a za pojedinca je ta vjerojatnost 0,1. Tada je vjerojatnost da će sljedeći kredit biti vraćen na vrijeme...

0,856

Riješenje:
Za izračunavanje vjerojatnosti događaja A(izdani kredit će biti vraćen na vrijeme) primijeniti formulu ukupne vjerojatnosti: . Ovdje je vjerojatnost da je zajam izdan pravnoj osobi; – vjerojatnost da je kredit izdan pojedincu; – uvjetna vjerojatnost da će kredit biti vraćen na vrijeme ako je izdan pravnoj osobi; – uvjetna vjerojatnost da će zajam biti vraćen na vrijeme ako je izdan pojedincu. Zatim

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli
Za diskretnu slučajnu varijablu X

0,655

Tema: Određivanje vjerojatnosti
Kocke baca dvaput. Tada je vjerojatnost da zbroj bačenih bodova nije manji od devet...

Riješenje:
Za izračun događaja (zbroj bačenih bodova bit će najmanje devet) koristimo se formulom , gdje je ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa, a m– broj elementarnih ishoda koji su povoljni za nastanak događaja A. U našem slučaju to je moguće elementarni ishodi testova, od kojih su povoljni ishodi oblika , , , , , , , i , tj. Stoga,

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli

funkcija distribucije vjerojatnosti ima oblik:

Tada vrijednost parametra može biti jednaka...

			0,7
			0,85
			0,6

Riješenje:
A-priorat . Stoga, i . Ovi uvjeti su zadovoljeni, na primjer, vrijednošću

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Kontinuirana slučajna varijabla određena je funkcijom distribucije vjerojatnosti:

Tada je njegova varijanca...

Riješenje:
Ova slučajna varijabla je jednoliko raspoređena u intervalu. Zatim se njegova varijanca može izračunati pomoću formule . To je

Tema: Totalna vjerojatnost. Bayesove formule
Prva urna sadrži 6 crnih kuglica i 4 bijele kuglice. Druga urna sadrži 2 bijele i 8 crnih kuglica. Jedna je kugla uzeta iz nasumične urne, za koju se pokazalo da je bijela. Tada je vjerojatnost da je ova kugla izvučena iz prve urne...

Riješenje:
A(slučajno izvučena kuglica je bijela) prema formuli ukupne vjerojatnosti: . Ovdje je vjerojatnost da je kuglica izvučena iz prve urne; je vjerojatnost da je kuglica izvučena iz druge urne; – uvjetna vjerojatnost da je izvučena kuglica bijela ako je izvučena iz prve urne; je uvjetna vjerojatnost da je izvučena kugla bijela ako je izvučena iz druge urne.
Zatim .
Izračunajmo sada uvjetnu vjerojatnost da je ova kugla izvučena iz prve urne pomoću Bayesove formule:

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla x dana je zakonom distribucije vjerojatnosti:

Tada je njegova varijanca...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Riješenje:
Varijanca diskretne slučajne varijable može se izračunati pomoću formule

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli

Riješenje:
A-priorat . Zatim
a) u , ,
b) u , ,
c) u , ,
d) u , ,
d) na , .
Stoga,

Tema: Određivanje vjerojatnosti
Točka je nasumično bačena unutar kruga radijusa 4. Tada je vjerojatnost da će točka biti izvan kvadrata upisanog u krug...

Tema: Određivanje vjerojatnosti
U seriji od 12 dijelova nalazi se 5 neispravnih dijelova. Nasumično su odabrana tri dijela. Tada je vjerojatnost da među odabranim dijelovima nema neispravnih dijelova jednaka...

Riješenje:
Za izračun događaja (među odabranim dijelovima nema neispravnih dijelova) koristimo formulu, gdje n je ukupan broj mogućih ishoda elementarnog testa, i m– broj elementarnih ishoda koji su povoljni za nastanak događaja. U našem slučaju ukupan broj mogućih elementarnih ishoda jednak je broju načina na koji se od 12 raspoloživih detalja mogu izdvojiti tri, tj. A ukupan broj povoljnih ishoda jednak je broju načina na koji se iz sedam mogu izdvojiti tri nedefektna dijela, tj. Stoga,

Tema: Totalna vjerojatnost. Bayesove formule

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Riješenje:
Za izračunavanje vjerojatnosti događaja A
Zatim

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla određena je zakonom distribucije vjerojatnosti:

Zatim vjerojatnost jednak...

Riješenje:
Upotrijebimo formulu . Zatim

Tema: Totalna vjerojatnost. Bayesove formule

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Riješenje:
Prvo izračunajmo vjerojatnost događaja A
.
.

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Tada je njegovo matematičko očekivanje...

Riješenje:
Upotrijebimo formulu . Zatim .

Tema: Određivanje vjerojatnosti

Riješenje:

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Kontinuirana slučajna varijabla određena je gustoćom distribucije vjerojatnosti . Zatim matematičko očekivanje a a standardna devijacija ove slučajne varijable jednaka je ...

Riješenje:
Gustoća distribucije vjerojatnosti normalno raspodijeljene slučajne varijable ima oblik , Gdje , . Zato .

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla određena je zakonom distribucije vjerojatnosti:

Zatim vrijednosti a I b mogu biti jednaki...

Riješenje:
Budući da je zbroj vjerojatnosti mogućih vrijednosti jednak 1, tada je . Odgovor zadovoljava ovaj uvjet: .

Tema: Određivanje vjerojatnosti
Manji krug polumjera 5 postavljen je u krug polumjera 8. Tada je vjerojatnost da točka bačena nasumce u veći krug također padne u manji krug je...

Riješenje:
Za izračunavanje vjerojatnosti željenog događaja koristimo formulu , gdje je površina manjeg kruga, a je površina većeg kruga. Stoga, .

Tema: Totalna vjerojatnost. Bayesove formule
Prva urna sadrži 3 crne kugle i 7 bijelih kugli. Druga urna sadrži 4 bijele kugle i 5 crnih kugli. Jedna je kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu. Tada je vjerojatnost da će kuglica nasumično izvučena iz druge urne biti bijela...

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Riješenje:
Za izračunavanje vjerojatnosti događaja A(slučajno izvučena kuglica je bijela) primijenite formulu ukupne vjerojatnosti: . Ovdje je vjerojatnost da je bijela kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu; – vjerojatnost da je crna kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu; – uvjetna vjerojatnost da je izvučena kuglica bijela ako je bijela kuglica premještena iz prve urne u drugu; – uvjetna vjerojatnost da je izvučena kugla bijela ako se crna kugla premjesti iz prve urne u drugu.
Zatim

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli
Za diskretnu slučajnu varijablu:

funkcija distribucije vjerojatnosti ima oblik:

Tada vrijednost parametra može biti jednaka...

			0,7
			0,85
			0,6

ZADATAK BR. 10 prijavi pogrešku
Tema: Totalna vjerojatnost. Bayesove formule
Banka izdaje 70% svih kredita pravnim osobama, a 30% fizičkim osobama. Vjerojatnost da pravna osoba neće na vrijeme vratiti kredit je 0,15; a za pojedinca je ta vjerojatnost 0,05. Zaprimljena je poruka da kredit nije vraćen. Tada je vjerojatnost da pravna osoba nije vratila ovaj kredit...

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Riješenje:
Prvo izračunajmo vjerojatnost događaja A(izdani kredit neće biti vraćen na vrijeme) prema formuli ukupne vjerojatnosti: . Ovdje je vjerojatnost da je zajam izdan pravnoj osobi; – vjerojatnost da je kredit izdan pojedincu; – uvjetna vjerojatnost da kredit neće biti vraćen na vrijeme ako je izdan pravnoj osobi; – uvjetna vjerojatnost da kredit neće biti vraćen na vrijeme ako je izdan pojedincu. Zatim
.
Izračunajmo sada uvjetnu vjerojatnost da ovaj kredit nije vraćen od strane pravne osobe, koristeći Bayesovu formulu:
.

ZADATAK BR. 11 prijavi pogrešku
Tema: Određivanje vjerojatnosti
U seriji od 12 dijelova nalazi se 5 neispravnih dijelova. Nasumično su odabrana tri dijela. Tada je vjerojatnost da među odabranim dijelovima nema odgovarajućih dijelova jednaka...

Riješenje:
Za izračun događaja (nema odgovarajućih dijelova među odabranim dijelovima) koristimo formulu, gdje n je ukupan broj mogućih ishoda elementarnog testa, i m– broj elementarnih ishoda koji su povoljni za nastanak događaja. U našem slučaju ukupan broj mogućih elementarnih ishoda jednak je broju načina na koji se od 12 raspoloživih detalja mogu izdvojiti tri, tj. A ukupan broj povoljnih ishoda jednak je broju načina na koji se iz pet mogu izvući tri neispravna dijela, tj. Stoga,

ZADATAK BR. 12 prijavi pogrešku
Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Kontinuirana slučajna varijabla određena je gustoćom distribucije vjerojatnosti:

Tada je njegova varijanca...

Riješenje:
Varijanca kontinuirane slučajne varijable može se izračunati pomoću formule

Zatim

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla određena je zakonom distribucije vjerojatnosti:

Tada njegova funkcija distribucije vjerojatnosti ima oblik...

Riješenje:
A-priorat . Zatim
a) u , ,
b) u , ,
c) u , ,
d) u , ,
d) na , .
Stoga,

Tema: Totalna vjerojatnost. Bayesove formule
Postoje tri urne koje sadrže 5 bijelih i 5 crnih kuglica i sedam urni koje sadrže 6 bijelih i 4 crne kugle. Iz nasumične urne izvlači se jedna kuglica. Tada je vjerojatnost da je ova lopta bijela...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Riješenje:
Za izračunavanje vjerojatnosti događaja A(slučajno izvučena kuglica je bijela) primijenite formulu ukupne vjerojatnosti: . Ovdje je vjerojatnost da je kuglica izvučena iz prve serije urni; – vjerojatnost da je kuglica izvučena iz druge serije urni; – uvjetna vjerojatnost da je izvučena kuglica bijela ako je izvučena iz prve serije urni; – uvjetna vjerojatnost da je izvučena kugla bijela ako je izvučena iz druge serije urni.
Zatim .

Tema: Zakoni distribucije vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla određena je zakonom distribucije vjerojatnosti:

Zatim vjerojatnost jednak...

Tema: Određivanje vjerojatnosti
Kocka se baca dva puta. Tada je vjerojatnost da je zbroj izvučenih bodova deset...