Dom

Graf funkcije y 3x 8. Kvadratne i kubne funkcije

Konstruiranje grafova funkcija koji sadrže module obično uzrokuje znatne poteškoće za školsku djecu. Ipak, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje takvih problema i lako možete izgraditi grafikon čak i za naizgled složena funkcija. Hajde da shvatimo koji su to algoritmi.

1. Crtanje grafa funkcije y = |f(x)|

Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija uvijek se nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Crtanje grafa funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.

1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).

2) Ostavite nepromijenjene sve točke na grafu koje su iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 – 4x + 3|

1) Gradimo graf funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očito je da je graf te funkcije parabola. Nađimo koordinate svih točaka sjecišta parabole s koordinatnim osima i koordinate vrha parabole.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Dakle, parabola siječe os 0x u točkama (3, 0) i (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Dakle, parabola siječe os 0y u točki (0, 3).

Koordinate vrha parabole:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Dakle, točka (2, -1) je vrh ove parabole.

Nacrtajte parabolu pomoću dobivenih podataka (Sl. 1)

2) Dio grafikona koji leži ispod 0x osi prikazuje se simetrično u odnosu na 0x os.

3) Dobivamo graf izvorne funkcije ( riža. 2, prikazano isprekidanom linijom).

2. Crtanje funkcije y = f(|x|)

Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko osi 0y.

Crtanje grafa funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.

1) Grafički nacrtajte funkciju y = f(x).

2) Ostaviti onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikažite dio grafikona naveden u točki (2) simetrično na 0y os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 2. Nacrtajte graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3

Kako je x 2 = |x| 2, tada se izvorna funkcija može prepisati u sljedećem obliku: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.

1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (vidi također riža. 1).

2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikažite desnu stranu grafikona simetrično na os 0y.

(slika 3).

Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|

Primjenjujemo gore navedenu shemu.

1) Grafički nacrtajte funkciju y = log 2 x (Sl. 4).

3. Crtanje funkcije y = |f(|x|)|

Primijetimo da funkcije oblika y = |f(|x|)| su također parni. Doista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su stoga njihovi grafovi simetrični oko osi 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. To znači da se grafovi takvih funkcija nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:

1) Pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(|x|).

2) Ostavite nepromijenjen dio grafa koji je iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Primijetimo da je x 2 = |x| 2. To znači da umjesto izvorne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1

možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jer im se grafovi podudaraju.

Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za ovo koristimo algoritam 2.

a) Grafički nacrtajte funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (Sl. 6).

b) Ostavljamo onaj dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

c) Rezultirajući dio grafa prikazujemo simetrično na 0y os.

d) Dobiveni graf prikazan je isprekidanom linijom na slici (Sl. 7).

2) Nema točaka iznad 0x osi; ostavite točke na 0x osi nepromijenjene.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.

4) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (Sl. 8).

Primjer 5. Grafički nacrtajte funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Prvo trebate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na Algoritam 2.

a) Pažljivo iscrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (Sl. 9).

Imajte na umu da je ova funkcija frakcijsko linearna i da je njen graf hiperbola. Da biste iscrtali krivulju, prvo trebate pronaći asimptote grafikona. Horizontalno – y = 2/1 (omjer koeficijenata od x u brojniku i nazivniku razlomka), okomito – x = -3.

2) Onaj dio grafa koji se nalazi iznad 0x osi ili na njoj ostavit ćemo nepromijenjen.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x bit će prikazan simetrično u odnosu na 0x.

4) Konačni grafikon je prikazan na slici (Sl. 11).

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Pogledajmo kako izgraditi graf s modulom.

Nađimo točke na čijem se prijelazu mijenja predznak modula.
Svaki izraz pod modulom izjednačujemo s 0. Imamo dva od njih x-3 i x+3.
x-3=0 i x+3=0
x=3 i x=-3

Naš brojevni pravac bit će podijeljen na tri intervala (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). U svakom intervalu morate odrediti predznak modularnih izraza.

1. Ovo je vrlo lako učiniti, razmotrite prvi interval (-∞;-3). Uzmimo bilo koju vrijednost iz ovog segmenta, na primjer, -4, i zamijenimo vrijednost x u svaku od modularnih jednadžbi.
x=-4
x-3=-4-3=-7 i x+3=-4+3=-1

Oba izraza imaju negativne predznake, što znači da ispred predznaka modula u jednadžbi stavimo minus, a umjesto predznaka modula stavimo zagrade i dobijemo traženu jednadžbu na intervalu (-∞;-3).

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

Na intervalu (-∞;-3) dobiven je graf linearna funkcija(izravno) y=6

2. Razmotrimo drugi interval (-3;3). Pronađimo kako će jednadžba grafa izgledati na ovom segmentu. Uzmimo bilo koji broj od -3 do 3, na primjer, 0. Zamijenite 0 umjesto vrijednosti x.
x=0
x-3=0-3=-3 i x+3=0+3=3

Prvi izraz x-3 ima negativan predznak, a drugi izraz x+3 ima pozitivan predznak. Stoga ispred izraza x-3 pišemo znak minus, a ispred drugog izraza znak plus.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

Na intervalu (-3;3) dobili smo graf linearne funkcije (prava crta) y=-2x

3. Razmotrimo treći interval (3;+∞). Uzmimo bilo koju vrijednost iz ovog segmenta, na primjer 5, i zamijenimo vrijednost x u svaku od modularnih jednadžbi.

x=5
x-3=5-3=2 i x+3=5+3=8

Za oba izraza predznaci su se pokazali pozitivnima, što znači da ispred znaka modula u jednadžbi stavljamo plus, a umjesto znaka modula stavljamo zagrade i dobivamo traženu jednadžbu na intervalu (3;+ ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

Na intervalu (3;+∞) dobili smo graf linearne funkcije (prava crta) u=-6

4. Sada sažmimo graf y=|x-3|-|x+3|.
Na intervalu (-∞;-3) gradimo graf linearne funkcije (pravac) y=6.
Na intervalu (-3;3) gradimo graf linearne funkcije (prava crta) y=-2x.
Da bismo konstruirali graf od y = -2x, odabiremo nekoliko točaka.
x=-3 y=-2*(-3)=6 rezultat je točka (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 rezultat je točka (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 rezultat je točka (3;-6)
Na intervalu (3;+∞) gradimo graf linearne funkcije (pravac) u=-6.

5. Sada analizirajmo rezultat i odgovorimo na pitanje, pronađimo vrijednost k pri kojoj pravac y=kx ima s grafom y=|x-3|-|x+3| data funkcija ima točno jednu zajedničku točku.

Pravac y=kx za bilo koju vrijednost k uvijek će prolaziti kroz točku (0;0). Dakle, možemo promijeniti samo nagib ove linije y=kx, a koeficijent k je odgovoran za nagib.

Ako je k bilo koji pozitivan broj, tada će postojati jedno sjecište pravca y=kx s grafom y=|x-3|-|x+3|. Ova opcija nam odgovara.