Integracija frakciono racionalnih funkcija tipa 4. Integracija razlomačko-racionalne funkcije. Metoda neodređenih koeficijenata. Obrazovna ustanova "Bjeloruska država

“Matematičar, baš kao i umjetnik ili pjesnik, stvara uzorke. A ako su njegovi obrasci stabilniji, to je samo zato što su sastavljeni od ideja... Obrasci matematičara, baš kao i obrasci umjetnika ili pjesnika, moraju biti lijepi; Ideje, kao i boje ili riječi, moraju odgovarati jedna drugoj. Ljepota je prvi uvjet: nema mjesta na svijetu za ružnu matematiku».

G.H.Hardy

U prvom poglavlju primijećeno je da ima dosta primitivnih jednostavne funkcije, koja se više ne može izraziti kroz elementarne funkcije. U tom smislu golemu praktičnu važnost dobivaju one klase funkcija za koje s pravom možemo reći da su njihovi antiderivati ​​elementarne funkcije. Ova klasa funkcija uključuje racionalne funkcije, koji predstavlja omjer dvaju algebarskih polinoma. Mnogi problemi dovode do integracije racionalnih razlomaka. Stoga je vrlo važno moći integrirati takve funkcije.

2.1.1. Razlomačke racionalne funkcije

Racionalni razlomak(ili razlomačka racionalna funkcija) naziva se relacija dvaju algebarskih polinoma:

gdje su i polinomi.

Podsjetimo da polinom (polinom, cijeli racionalna funkcija ) nti stupanj naziva funkcija oblika

Gdje – realni brojevi. Na primjer,

– polinom prvog stupnja;

– polinom četvrtog stupnja itd.

Racionalni razlomak (2.1.1) naziva se ispraviti, ako je stepen niži od stepena , tj. n<m, inače se razlomak zove pogrešno.

Svaki nepravi razlomak može se prikazati kao zbroj polinoma (cijeli dio) i pravog razlomka (razlomački dio). Odvajanje cijelog i razlomačkog dijela nepravog razlomka može se izvršiti prema pravilu za dijeljenje polinoma s “kutom”.

Primjer 2.1.1. Prepoznajte cijele i razlomljene dijelove sljedećih nepravih racionalnih razlomaka:

A) , b) .

Riješenje . a) Algoritmom dijeljenja “kuta” dobivamo

Dakle, dobivamo

.

b) Ovdje također koristimo algoritam dijeljenja “kuta”:

Kao rezultat toga, dobivamo

.

Sažmimo. U općem slučaju, neodređeni integral racionalnog razlomka može se prikazati kao zbroj integrala polinoma i pravilnog racionalnog razlomka. Pronalaženje antiderivacija polinoma nije teško. Stoga ćemo u nastavku uglavnom razmatrati pravilne racionalne razlomke.

2.1.2. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Među pravim racionalnim razlomcima postoje četiri vrste, koje se klasificiraju kao najjednostavniji (elementarni) racionalni razlomci:

gdje je cijeli broj, , tj. kvadratni trinom nema pravih korijena.

Integriranje prostih razlomaka 1. i 2. vrste ne predstavlja velike poteškoće:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Razmotrimo sada integraciju prostih razlomaka 3. vrste, ali nećemo razmatrati razlomke 4. vrste.

Počnimo s integralima oblika

.

Taj se integral obično izračunava izdvajanjem savršenog kvadrata nazivnika. Rezultat je tablični integral sljedećeg oblika

ili .

Primjer 2.1.2. Pronađite integrale:

A) , b) .

Riješenje . a) Odaberite cijeli kvadrat iz kvadratnog trinoma:

Odavde nalazimo

b) Izoliranjem potpunog kvadrata iz kvadratnog trinoma dobivamo:

Tako,

.

Za pronalaženje integrala

možete izolirati derivaciju nazivnika u brojniku i proširiti integral u zbroj dvaju integrala: prvi od njih zamjenom svodi se na izgled

,

a drugi - onom o kojem se gore raspravljalo.

Primjer 2.1.3. Pronađite integrale:

.

Riješenje . primijeti da . Izolirajmo derivaciju nazivnika u brojniku:

Prvi integral se izračunava pomoću supstitucije :

U drugom integralu odabiremo potpuni kvadrat u nazivniku

Konačno, dobivamo

2.1.3. Pravilno racionalno širenje razlomaka
za zbroj prostih razlomaka

Bilo koji pravi racionalni razlomak može se na jedinstven način prikazati kao zbroj prostih razlomaka. Da biste to učinili, nazivnik se mora faktorizirati. Iz više algebre poznato je da svaki polinom s realnim koeficijentima

Integracija racionalnih funkcija Razlomak - racionalna funkcija Najjednostavniji racionalni razlomci Rastavljanje racionalnog razlomka na proste razlomke Integracija prostih razlomaka Opće pravilo za integraciju racionalnih razlomaka

polinom n. stupnja. Razlomačko-racionalna funkcija Razlomačko-racionalna funkcija je funkcija jednaka omjeru dvaju polinoma: Racionalni razlomak nazivamo pravim ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, odnosno m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Razlomak - racionalna funkcija Svedi nepravi razlomak na ispravan oblik: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najjednostavniji racionalni razlomci Pravilni racionalni razlomci oblika: Zovu se najjednostavniji racionalni razlomci vrsta. sjekira A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rastavljanje racionalnog razlomka na jednostavne razlomke Teorem: Svaki pravi racionalni razlomak, čiji je nazivnik faktoriziran: može se prikazati, štoviše, na jedinstven način u obliku zbroja jednostavnih razlomaka: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Rastavljanje racionalnog razlomka na jednostavne razlomke Objasnimo formulaciju teorema na sljedećim primjerima: Za pronalaženje nesigurnih koeficijenata A, B, C, D... koriste se dvije metode: metoda usporedbe koeficijenata i metoda parcijalnih vrijednosti varijable. Pogledajmo prvu metodu na primjeru. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rastavljanje racionalnog razlomka na jednostavne razlomke Predstavimo razlomak kao zbroj jednostavnih razlomaka: Najjednostavnije razlomke dovedemo na zajednički nazivnik Izjednačimo brojnike dobivenog i izvornog razlomka Izjednačimo koeficijente pri istim potencijama x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integracija najjednostavnijih razlomaka Nađimo integrale najjednostavnijih racionalnih razlomaka: Pogledajmo integraciju razlomaka tipa 3 na primjeru. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integracija jednostavnih razlomakadx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integracija jednostavnih razlomaka Integral ovog tipa pomoću supstitucije: svodi se na zbroj dvaju integrala: Prvi integral izračunava se uvođenjem t ispod predznaka diferencijala. Drugi integral izračunava se pomoću formule ponavljanja: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integracija prostih razlomaka a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Opće pravilo za integriranje racionalnih razlomaka Ako je razlomak nepravi, onda ga predstavite kao zbroj polinoma i pravilnog razlomka. Faktorizirajući nazivnik pravilnog racionalnog razlomka, predstaviti ga kao zbroj prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima.Neodređene koeficijente pronaći metodom uspoređivanja koeficijenata ili metodom parcijalnih vrijednosti varijable. Integrirajte polinom i dobiveni zbroj prostih razlomaka.

Primjer Stavimo razlomak u pravilan oblik. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 2 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 234 234 234 234 234 234 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 48 52 5 xxx 5105 2 xx 2 xx 2 xx

Primjer Rastavimo nazivnik pravog razlomka na faktore. Predstavimo razlomak kao zbroj prostih razlomaka. Nađimo neodređene koeficijente koristeći metodu parcijalnih vrijednosti varijable xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Primjer dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Racionalna funkcija je razlomak oblika , čiji su brojnik i nazivnik polinomi ili produkti polinoma.

Primjer 1. Korak 2.

.

Neodređene koeficijente množimo s polinomima koji nisu u ovom pojedinačnom razlomku, ali koji se nalaze u drugim rezultirajućim razlomcima:

Otvorimo zagrade i izjednačimo brojnik izvornog integranda s rezultirajućim izrazom:

U obje strane jednakosti tražimo članove s istim potencijama x i od njih sastavljamo sustav jednadžbi:

.

Poništavamo sve x-ove i dobivamo ekvivalentni sustav jednadžbi:

.

Dakle, konačno širenje integranda u zbroj prostih razlomaka je:

.

Primjer 2. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju izvornog razlomka u zbroj jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojnicima:

.

Sada počinjemo tražiti nesigurne koeficijente. Da bismo to učinili, izjednačimo brojnik izvornog razlomka u funkcijskom izrazu s brojnikom izraza dobivenog nakon svođenja zbroja razlomaka na zajednički nazivnik:

Sada trebate izraditi i riješiti sustav jednadžbi. Da bismo to učinili, izjednačimo koeficijente varijable s odgovarajućim stupnjem u brojniku izvornog izraza funkcije i slične koeficijente u izrazu dobivenom u prethodnom koraku:

Rješavamo dobiveni sustav:

Dakle, odavde

.

Primjer 3. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju izvornog razlomka u zbroj jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojnicima:

Počinjemo tražiti nesigurne koeficijente. Da bismo to učinili, izjednačimo brojnik izvornog razlomka u funkcijskom izrazu s brojnikom izraza dobivenog nakon svođenja zbroja razlomaka na zajednički nazivnik:

Kao i u prethodnim primjerima, sastavljamo sustav jednadžbi:

Smanjujemo x-ove i dobivamo ekvivalentni sustav jednadžbi:

Rješavanjem sustava dobivamo sljedeće vrijednosti nesigurnih koeficijenata:

Dobivamo konačnu dekompoziciju integranda u zbroj prostih razlomaka:

.

Primjer 4. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju izvornog razlomka u zbroj jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojnicima:

.

Već iz prethodnih primjera znamo kako izjednačiti brojnik izvornog razlomka s izrazom u brojniku koji se dobije nakon rastavljanja razlomka na zbroj prostih razlomaka i dovođenja tog zbroja na zajednički nazivnik. Stoga, samo u svrhu kontrole, predstavljamo rezultirajući sustav jednadžbi:

Rješavanjem sustava dobivamo sljedeće vrijednosti nesigurnih koeficijenata:

Dobivamo konačnu dekompoziciju integranda u zbroj prostih razlomaka:

Primjer 5. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju izvornog razlomka u zbroj jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojnicima:

.

Taj zbroj neovisno svodimo na zajednički nazivnik, izjednačujući brojnik ovog izraza s brojnikom izvornog razlomka. Rezultat bi trebao biti sljedeći sustav jednadžbi:

Rješavanjem sustava dobivamo sljedeće vrijednosti nesigurnih koeficijenata:

.

Dobivamo konačnu dekompoziciju integranda u zbroj prostih razlomaka:

.

Primjer 6. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju izvornog razlomka u zbroj jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojnicima:

S ovom količinom izvodimo iste radnje kao u prethodnim primjerima. Rezultat bi trebao biti sljedeći sustav jednadžbi:

Rješavanjem sustava dobivamo sljedeće vrijednosti nesigurnih koeficijenata:

.

Dobivamo konačnu dekompoziciju integranda u zbroj prostih razlomaka:

.

Primjer 7. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju izvornog razlomka u zbroj jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojnicima:

.

Nakon određenih radnji s rezultirajućim iznosom treba dobiti sljedeći sustav jednadžbi:

Rješavanjem sustava dobivamo sljedeće vrijednosti nesigurnih koeficijenata:

Dobivamo konačnu dekompoziciju integranda u zbroj prostih razlomaka:

.

Primjer 8. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju izvornog razlomka u zbroj jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojnicima:

.

Napravimo neke promjene u radnjama koje su već automatizirane da bismo dobili sustav jednadžbi. Postoji umjetna tehnika koja u nekim slučajevima pomaže u izbjegavanju nepotrebnih izračuna. Dovođenjem zbroja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo i izjednačavanjem brojnika ovog izraza s brojnikom izvornog razlomka, dobivamo.