Dom

Vektor se nalazi. Vektori na ravnini i prostoru - osnovne definicije. Određivanje kuta između pravca i ravnine

DEFINICIJA

Vektor(od lat. " vektor" - "noseći") - usmjereni segment ravne linije u prostoru ili na ravnini.

Grafički se vektor prikazuje kao usmjereni isječak ravne linije određene duljine. Vektor čiji je početak u točki, a kraj u točki označava se kao (slika 1). Vektor se također može označiti jednim malim slovom, na primjer, .

Ako je koordinatni sustav određen u prostoru, tada se vektor može jedinstveno odrediti skupom njegovih koordinata. Odnosno, vektor se shvaća kao objekt koji ima veličinu (duljinu), smjer i točku primjene (početak vektora).

Načela vektorskog računa pojavila su se u djelima njemačkog matematičara, mehaničara, fizičara, astronoma i geodeta Johanna Carla Friedricha Gaussa (1777.-1855.) 1831. godine. Radove o operacijama s vektorima objavio je irski matematičar, mehaničar i teorijski fizičar Sir William Rowan Hamilton (1805.-1865.) u sklopu svog kvaternionskog računa. Znanstvenik je predložio izraz "vektor" i opisao neke operacije na vektorima. Vektorski je račun dalje razvijen zahvaljujući radu britanskog fizičara, matematičara i mehaničara Jamesa Clerka Maxwella (1831.-1879.) o elektromagnetizmu. 1880-ih godina objavljena je knjiga “Elementi vektorske analize” američkog fizičara, fizikalnog kemičara, matematičara i mehaničara Josiaha Willarda Gibbsa (1839.-1903.). Moderna vektorska analiza opisana je 1903. godine u djelima engleskog samoukog znanstvenika, inženjera, matematičara i fizičara Olivera Heavisidea (1850.-1925.).

DEFINICIJA

Duljina ili vektorski modul je duljina usmjerenog segmenta koji definira vektor. Označava se kao .

Glavne vrste vektora

Nulti vektor naziva se vektor čija se početna i završna točka podudaraju. Duljina nultog vektora je nula.

Vektori paralelni s jednim pravcem ili koji leže na jednom pravcu nazivaju se kolinearni(slika 2).

surežirao, ako im se smjerovi poklapaju.

Na slici 2 to su vektori i . Kosmjernost vektora je označena na sljedeći način: .

Dva kolinearna vektora nazivaju se suprotno usmjerena, ako su im smjerovi suprotni.

Na slici 3 to su vektori i . Oznaka: .

1. Što je vektor?

2. Zbrajanje vektora.

3. Jednakost vektora.

4. Skalarni produkt dvaju vektora i njegova svojstva.

5. Svojstva operacija na vektorima.

6. Dokazi i rješavanje problema.

Jedan od temeljnih pojmova moderne matematike je vektor i njegova generalizacija - tenzor. Evolucija koncepta vektora izvršena je zahvaljujući širokoj upotrebi ovog koncepta u raznim područjima matematike, mehanike, kao iu tehnologiji.

Kraj prošlog i početak sadašnjeg stoljeća obilježen je raširenim razvojem vektorskog računa i njegovih primjena. Stvorene su vektorska algebra i vektorska analiza te opća teorija vektorskog prostora. Te su teorije korištene za konstrukciju posebne i opće teorije relativnosti, koje igraju iznimno važnu ulogu u modernoj fizici.

U skladu sa zahtjevima novog programa matematike, pojam vektora postao je jedan od vodećih pojmova u školskom kolegiju matematike.

Što je vektor? Čudno je da odgovor na ovo pitanje predstavlja određene poteškoće. Postoje različiti pristupi definiranju pojma vektora; Štoviše, čak i ako se ograničimo samo na elementarni geometrijski pristup pojmu vektora, koji je za nas ovdje najzanimljiviji, tada će i tada postojati različiti pogledi na taj pojam. Naravno, bez obzira koju definiciju uzmemo, vektor - s elementarne geometrijske točke gledišta - je geometrijski objekt karakteriziran smjerom (tj. dana linija s točnošću do paralelnosti i smjerom na njoj) i duljinom. takva definicija je preopćenita, ne evocira specifične geometrijske ideje. Prema ovoj općoj definiciji, paralelni prijenos se može smatrati vektorom. Doista, može se prihvatiti sljedeća definicija: "Svaki paralelni prijenos naziva se vektor." Ova definicija je logički besprijekorna i na njoj se može izgraditi cjelokupna teorija djelovanja na vektore i razviti primjene te teorije. No, ova nas definicija, unatoč svojoj potpunoj specifičnosti, ni ovdje ne može zadovoljiti, budući da nam se ideja vektora kao geometrijske transformacije čini nedovoljno jasnom i dalekom od fizikalnih pojmova vektorskih veličina.

Tako, vektor je skupina svih segmenata međusobno paralelnih, jednako usmjerenih i iste duljine (slika 1).

Vektor je na crtežima prikazan segmentom sa strelicom (tj. nije prikazana cijela porodica segmenata koji predstavljaju vektor, već samo jedan od tih segmenata). Podebljana latinična slova koriste se za označavanje vektora u knjigama i člancima. a, b, c i tako dalje, au bilježnicama i na ploči - latinična slova s crticom na vrhu , Istim slovom, ali ne podebljanim, već svijetlim (iu bilježnici i na ploči isto slovo bez crtice) označava se duljina vektora. Duljina se ponekad označava i okomitim crticama - kao modul (apsolutna vrijednost) broja. Dakle, duljina vektora A označen sa A ili ja A I, a u rukopisnom tekstu duljina vektora A označen sa A ili ja A I. U vezi s prikazom vektora u obliku segmenata (slika 2), treba imati na umu da su krajevi segmenta koji prikazuje vektor nejednaki: jedan kraj segmenta prema drugom.

Postoji razlika između početka i kraja vektora (točnije segmenta koji predstavlja vektor).

Često se pojmu vektora daje drugačija definicija: vektor je usmjereni segment. U ovom slučaju, vektori (tj. usmjereni segmenti) iste duljine i istog smjera (Sl. 3) se dogovoreno smatraju jednakima.

Vektori se nazivaju identično usmjerenim ako su im polupravci identično usmjereni.

Vektorski dodatak.

Sve što je rečeno još ne čini pojam vektora dovoljno smislenim i korisnim. Pojam vektora dobiva veće značenje i bogatije mogućnosti primjene kada uvedemo svojevrsnu “geometrijsku aritmetiku” - vektorsku aritmetiku, koja nam omogućuje zbrajanje vektora, oduzimanje i izvršavanje čitavog niza drugih operacija nad njima. Napomenimo u tom smislu da pojam broja postaje zanimljiv tek uvođenjem računskih operacija, a ne sam po sebi.

Zbroj vektora A I V s koordinatama 1, 2 i 1, 2 nazvan vektor S s koordinatama 1 + u 1 i 2 + u 2, oni. A(a 1; a 2) + V(u 1; u 2) = S(a 1 + u 1; a 2 + u 2).

Posljedica:

Da bi se dokazalo da je zbrajanje vektora na ravnini komutativno, potrebno je razmotriti primjer. A I V – vektori (slika 5).

Neka

1. Konstruiraj paralelogram OASV: AM II OV, VN II OA.

Da bismo dokazali asocijativnost, crtamo vektor iz proizvoljne točke O OA = a, iz vektora točke A AB = in a od točke u – vektor prije Krista = s. Zatim imamo: AB + BC = AC.
odakle slijedi jednakost a + (u + c) = (a + b)+ s. Imajte na umu da gornji dokaz uopće ne koristi crtež. Ovo je tipično (uz određenu vještinu) za rješavanje problema pomoću vektora. Zadržimo se sada na slučaju kada vektori A I V usmjereni su u suprotnim smjerovima i imaju jednake duljine; takvi se vektori nazivaju suprotnim. Naše pravilo zbrajanja vektora rezultira zbrojem dva suprotna vektora koji je "vektor" koji ima nultu duljinu i nema smjer; ovaj "vektor" je predstavljen "odsječkom nulte duljine", tj. točka. Ali ovo je također vektor koji se naziva nula i označava se simbolom 0.

Jednakost vektora.

Kaže se da su dva vektora jednaka ako se kombiniraju paralelnom translacijom. To znači da postoji paralelna translacija koja vodi početak i kraj jednog vektora na početak i kraj drugog vektora.

Iz ove definicije jednakosti vektora proizlazi da su različiti vektori jednako usmjereni i jednaki po apsolutnoj vrijednosti.

I obrnuto: ako su vektori jednako usmjereni i jednaki po apsolutnoj vrijednosti, onda su jednaki.

Doista, neka vektori AB I S D – identično usmjereni vektori, jednaki po apsolutnoj vrijednosti (slika 6). Paralelna translacija koja pomiče točku C u točku A kombinira polupravac CD s polupravcem AB, budući da su jednako usmjereni. A budući da su segmenti AB i CD jednaki, tada se točka D kombinira s točkom B, odnosno paralelna translacija prevodi vektor CD vektorirati AB. To znači da vektori AB I S D su jednaki, kao što je potrebno dokazati.

Takav koncept kao što je vektor razmatra se u gotovo svim prirodnim znanostima, a može imati potpuno različita značenja, tako da je nemoguće dati jednoznačnu definiciju vektora za sva područja. Ali pokušajmo to shvatiti. Dakle, što je vektor?

Pojam vektora u klasičnoj geometriji

Vektor u geometriji je segment za koji je naznačeno koja mu je točka početak, a koja kraj. To jest, pojednostavljeno rečeno, usmjereni segment naziva se vektor.

U skladu s tim, vektor je označen (što je to - objašnjeno gore), kao i segment, odnosno dva velika slova latinične abecede uz dodatak crte ili strelice koja pokazuje desno na vrhu. Može se potpisati i malim (malim) slovom latinične abecede crtom ili strelicom. Strelica uvijek pokazuje udesno i ne mijenja se ovisno o položaju vektora.

Dakle, vektor ima smjer i duljinu.

Oznaka vektora sadrži i njegov smjer. To je izraženo kao na donjoj slici.

Promjena smjera preokreće vrijednost vektora.

Duljina vektora je duljina segmenta iz kojeg je sastavljen. Označava se kao modul vektora. Ovo je prikazano na slici ispod.

Prema tome, vektor čija je duljina nula je nula. Iz ovoga slijedi da je nulti vektor točka, a njegova početna i krajnja točka se podudaraju.

Duljina vektora uvijek je nenegativna veličina. Drugim riječima, ako postoji segment, tada on nužno ima određenu duljinu ili je točka, tada je njegova duljina nula.

Sam pojam točke je bazičan i nema definiciju.

Vektorski dodatak

Postoje posebne formule i pravila za vektore koji se mogu koristiti za izvođenje zbrajanja.

Pravilo trokuta. Za dodavanje vektora prema ovom pravilu dovoljno je spojiti kraj prvog vektora i početak drugog paralelnim prevođenjem i povezati ih. Rezultirajući treći vektor bit će jednak zbroju druga dva.

Pravilo paralelograma. Za zbrajanje pomoću ovog pravila morate nacrtati oba vektora iz jedne točke, a zatim nacrtati drugi vektor s kraja svakog od njih. Odnosno, drugi će biti izvučen iz prvog vektora, a prvi iz drugog. Rezultat je nova sjecišna točka i formiran je paralelogram. Ako kombinirate točku sjecišta početaka i krajeva vektora, tada će rezultirajući vektor biti rezultat zbrajanja.

Oduzimanje se može izvesti na sličan način.

Vektorska razlika

Slično zbrajanju vektora, moguće ih je i oduzimati. Temelji se na principu prikazanom na donjoj slici.

Odnosno, dovoljno je prikazati oduzeti vektor u obliku vektora nasuprot njemu i izvršiti izračun koristeći principe zbrajanja.

Također, apsolutno bilo koji vektor različit od nule može se pomnožiti bilo kojim brojem k, to će promijeniti njegovu duljinu za k puta.

Osim ovih, postoje i druge vektorske formule (na primjer, za izražavanje duljine vektora preko njegovih koordinata).

Lokacija vektora

Sigurno su mnogi naišli na takav koncept kao kolinearni vektor. Što je kolinearnost?

Kolinearnost vektora je ekvivalent paralelnosti pravaca. Ako dva vektora leže na pravcima koji su međusobno paralelni ili na istom pravcu, onda se takvi vektori nazivaju kolinearima.

Smjer. Međusobno kolinearni vektori mogu biti suusmjereni ili suprotno usmjereni, što je određeno smjerom vektora. Prema tome, ako je vektor susmjeran s drugim, tada je vektor nasuprot njemu usmjeren suprotno.

Prva slika prikazuje dva suprotno usmjerena vektora i treći koji im nije kolinearan.

Nakon uvođenja navedenih svojstava, moguće je definirati jednake vektore - to su vektori koji su usmjereni u jednom smjeru i imaju jednaku duljinu segmenata od kojih su formirani.

U mnogim se znanostima također koristi pojam radijus vektora. Takav vektor opisuje položaj jedne točke na ravnini u odnosu na drugu fiksnu točku (često je to ishodište).

Vektori u fizici

Pretpostavimo da se prilikom rješavanja zadatka pojavio uvjet: tijelo se giba brzinom 3 m/s. To znači da se tijelo giba određenim smjerom po jednoj ravnoj liniji, pa će ova varijabla biti vektorska veličina. Za rješavanje je važno znati i vrijednost i smjer, jer ovisno o razmatranju, brzina može biti 3 m/s ili -3 m/s.

Općenito, vektor se u fizici koristi za označavanje smjera sile koja djeluje na tijelo i za određivanje rezultante.

Kada su te sile prikazane na slici, označene su strelicama s vektorskom oznakom iznad. Klasično, duljina strelice je jednako važna; ona se koristi da pokaže koja je sila jača, ali to je sekundarno svojstvo i na njega se ne treba oslanjati.

Vektor u linearnoj algebri i računu

Elementi linearnih prostora nazivaju se i vektori, ali u ovom slučaju oni predstavljaju uređeni sustav brojeva koji opisuju neke od elemenata. Stoga smjer u ovom slučaju više nema nikakvu važnost. Definicija vektora u klasičnoj geometriji i u kalkulusu vrlo su različite.

Projiciranje vektora

Projektirani vektor - što je to?

Često je za ispravan i prikladan izračun potrebno proširiti vektor smješten u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom prostoru duž koordinatnih osi. Ova je operacija nužna, primjerice, u mehanici pri proračunu sila koje djeluju na tijelo. Vektor se često koristi u fizici.

Za izvođenje projekcije dovoljno je spustiti okomice s početka i kraja vektora na svaku od koordinatnih osi; segmenti dobiveni na njima nazvat će se projekcija vektora na os.

Za izračunavanje duljine projekcije dovoljno je njezinu izvornu duljinu pomnožiti s određenom trigonometrijskom funkcijom koja se dobiva rješavanjem mini-problema. U biti, postoji pravokutni trokut u kojem je hipotenuza izvorni vektor, jedan od krakova je projekcija, a drugi krak je spuštena okomica.

U ovom članku počet ćemo raspravljati o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da svedete mnoge geometrijske probleme na jednostavnu aritmetiku. Ovaj "štap" može vam znatno olakšati život, pogotovo kada niste sigurni u konstruiranju prostornih figura, presjeka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda koju ćemo ovdje početi razmatrati omogućit će vam da gotovo potpuno apstrahirate od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "koordinatna metoda". U ovom ćemo članku razmotriti sljedeća pitanja:

Koordinatna ravnina
Točke i vektori na ravnini
Konstruiranje vektora iz dvije točke
Duljina vektora (udaljenost između dvije točke).
Koordinate sredine segmenta
Točkasti umnožak vektora
Kut između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatna metoda tako zove? Tako je, dobio je ovo ime jer ne radi s geometrijskim objektima, već s njihovim numeričkim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja nam omogućuje prijelaz s geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sustava. Ako je izvorna figura ravna, onda su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom ćemo članku razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavni cilj članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatne metode (ponekad se pokažu korisnima pri rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka na ovu temu posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerojatno iz pojma koordinatnog sustava. Sjetite se kada ste je prvi put sreli. Čini mi se da u 7. razredu, kada ste učili o postojanju linearne funkcije npr. Dopustite mi da vas podsjetim da ste to gradili točku po točku. Sjećaš li se? Odabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i tako izračunali. Na primjer, ako, onda, ako, onda itd. Što ste dobili na kraju? I dobili ste bodove s koordinatama: i. Zatim ste nacrtali „križ“ (koordinatni sustav), na njemu odabrali mjerilo (koliko ćete ćelija imati kao jedinični segment) i na njemu označili dobivene točke koje ste zatim povezali ravnom linijom; pravac je graf funkcije.

Ovdje postoji nekoliko točaka koje bi vam trebalo malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga pogodnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na crtež.

2. Prihvaćeno je da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Sjeku se pod pravim kutom, a točka njihova sjecišta naziva se ishodištem. Označava se slovom.

4. Pri pisanju koordinata točke, npr. lijevo u zagradi nalazi se koordinata točke po osi, a desno po osi. Konkretno, to jednostavno znači da u točki

5. Da biste odredili bilo koju točku na koordinatnoj osi, morate navesti njezine koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju točku koja leži na osi,

7. Za bilo koju točku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-os

9. Os se naziva y-os

Sada poduzmimo sljedeći korak: označimo dvije točke. Spojimo ove dvije točke segmentom. I stavit ćemo strelicu kao da crtamo segment od točke do točke: to jest, učinit ćemo naš segment usmjerenim!

Sjećate li se kako se zove drugi segment smjera? Tako je, zove se vektor!

Dakle, ako povežemo točku s točkom, i početak će biti točka A, a kraj će biti točka B, tada dobivamo vektor. Također si radio ovu konstrukciju u 8. razredu, sjećaš se?

Ispada da se vektori, kao i točke, mogu označiti s dva broja: ti se brojevi nazivaju vektorskim koordinatama. Pitanje: Mislite li da nam je dovoljno znati koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! A to se radi vrlo jednostavno:

Dakle, budući da je u vektoru točka početak, a točka kraj, vektor ima sljedeće koordinate:

Na primjer, if, tada su koordinate vektora

Sada učinimo suprotno, pronađimo koordinate vektora. Što za to trebamo promijeniti? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u točki, a kraj će biti u točki. Zatim:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znakovi u koordinatama. Oni su suprotnosti. Ova se činjenica obično piše ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja točka je početak vektora, a koja kraj, tada se vektori ne označavaju s dva velika slova, već s jednim malim slovom, na primjer: , itd.

Sada malo praksa sami i pronađite koordinate sljedećih vektora:

Ispitivanje:

Sada riješite malo teži problem:

Vektor s početkom u točki ima ko-ili-di-na-ti. Pronađite točke aps-cis-su.

Sve je isto prilično prozaično: Neka su koordinate točke. Zatim

Sastavio sam sustav na temelju definicije vektorskih koordinata. Tada točka ima koordinate. Zanima nas apscisa. Zatim

Odgovor:

Što još možete učiniti s vektorima? Da, gotovo sve je isto kao i s običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, o jednom ćemo ovdje malo kasnije)

Vektori se mogu dodavati jedan drugome
Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) proizvoljnim brojem koji nije nula
Vektori se mogu međusobno množiti

Sve te operacije imaju vrlo jasan geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za zbrajanje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili skuplja ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli s brojem:

No, ovdje će nas zanimati pitanje što se događa s koordinatama.

1. Pri zbrajanju (oduzimanju) dva vektora zbrajamo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Prilikom množenja (dijeljenja) vektora brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Odredite količinu co-or-di-nat century-to-ra.

Najprije pronađimo koordinate svakog od vektora. Obje imaju isto ishodište - ishodišnu točku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Izračunajmo sada koordinate vektora. Tada je zbroj koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

Odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Odredi zbroj vektorskih koordinata

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije točke na koordinatnoj ravnini. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva točka, a druga. Označimo udaljenost između njih sa. Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Što sam učinio? Prvo sam spojio točke i, također, iz točke sam nacrtao pravac paralelan s osi, a iz točke sam nacrtao pravac paralelan s osi. Jesu li se presijecali u jednoj točki, tvoreći izvanrednu figuru? Što je tako posebno na njoj? Da, ti i ja znamo gotovo sve o pravokutnom trokutu. Pa, Pitagorin teorem sigurno. Traženi segment je hipotenuza ovog trokuta, a segmenti su katete. Koje su koordinate točke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni s osi i, odnosno, njihove duljine je lako pronaći: ako duljine segmenata označimo s, odnosno, tada

Sada upotrijebimo Pitagorin teorem. Znamo duljine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, udaljenost između dviju točaka je korijen zbroja kvadrata razlika iz koordinata. Ili - udaljenost između dviju točaka je duljina odsječka koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između točaka ne ovisi o smjeru. Zatim:

Odavde izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo izračunavanje udaljenosti između dvije točke:

Na primjer, ako je udaljenost između i jednaka

Ili idemo na drugi način: pronađimo koordinate vektora

I nađite duljinu vektora:

Kao što vidite, to je ista stvar!

Sada malo vježbajte sami:

Zadatak: pronaći udaljenost između naznačenih točaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema koristeći istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Pronađite kvadrat duljine kapka.

2. Pronađite kvadrat duljine kapka

Mislim da ste se s njima nosili bez poteškoća? Provjeravamo:

1. A ovo je za pozornost) Već smo ranije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove duljine bit će jednak:

2. Odredi koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove duljine

Ništa komplicirano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeći problemi ne mogu se jednoznačno klasificirati; više se tiču opće erudicije i sposobnosti crtanja jednostavnih slika.

1. Pronađite sinus kuta iz reza, spajajući točku, s osi apscise.

Kako ćemo dalje ovdje? Moramo pronaći sinus kuta između i osi. Gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravokutnom trokutu. Dakle, što trebamo učiniti? Izgradite ovaj trokut!

Budući da su koordinate točke i, tada je segment jednak, i segmentu. Moramo pronaći sinus kuta. Dopustite mi da vas podsjetim da je sinus dakle omjer suprotne strane prema hipotenuzi

Što nam preostaje? Pronađite hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: koristeći Pitagorin poučak (krake su poznate!) ili koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka (zapravo, ista stvar kao i prva metoda!). Ja ću ići drugim putem:

Odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se učiniti još lakšim. Ona je na koordinatama točke.

Zadatak 2. Od točke per-pen-di-ku-lyar se spušta na os ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnovica okomice je točka u kojoj ona siječe x-os (os), za mene je to točka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Zanima nas apscisa - odnosno "x" komponenta. Ona je ravnopravna.

Odgovor: .

Zadatak 3. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite zbroj udaljenosti od točke do koordinatnih osi.

Zadatak je općenito elementaran ako se zna kolika je udaljenost točke od osi. Znaš? Nadam se, ali ipak ću vas podsjetiti:

Dakle, na mom crtežu iznad, jesam li već nacrtao jednu takvu okomicu? Na kojoj se osi nalazi? Do osi. I kolika mu je onda duljina? Ona je ravnopravna. Sada sami povucite okomicu na os i pronađite njezinu duljinu. Bit će ravnopravno, zar ne? Tada im je zbroj jednak.

Odgovor: .

Zadatak 4. U uvjetima zadatka 2 pronađite ordinatu točke simetrične točki u odnosu na apscisnu os.

Mislim da vam je intuitivno jasno što je simetrija? Imaju ga mnogi predmeti: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogi geometrijski oblici: lopta, cilindar, kvadrat, romb itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: lik se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovica. Ova simetrija se naziva osna simetrija. Što je onda os? To je upravo linija po kojoj se figura može, relativno govoreći, "presjeći" na jednake polovice (na ovoj slici je os simetrije ravna):

Sada se vratimo našem zadatku. Znamo da tražimo točku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova os os simetrije. To znači da trebamo označiti točku tako da os siječe segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu točku. Sada usporedite s mojim rješenjem:

Je li i vama ispalo na isti način? Fino! Zanima nas ordinata pronađene točke. Jednako je

Odgovor:

Sada mi recite, nakon nekoliko sekundi razmišljanja, kolika će biti apscisa točke simetrične točki A u odnosu na ordinatu? Koji je tvoj odgovor? Točan odgovor: .

Općenito, pravilo se može napisati ovako:

Točka simetrična točki u odnosu na apscisnu os ima koordinate:

Točka simetrična točki u odnosu na ordinatnu os ima koordinate:

E, sad je potpuno strašno zadatak: pronađite koordinate točke simetrične točki u odnosu na ishodište. Ti prvo razmisli svojom glavom, a onda pogledaj moj crtež!

Odgovor:

Sada problem paralelograma:

Zadatak 5: Točke se pojavljuju ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite ili-di-na-tu točku.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logičkom i koordinatnom metodom. Prvo ću upotrijebiti metodu koordinata, a onda ću vam reći kako to možete drugačije riješiti.

Posve je jasno da je apscisa točke jednaka. (leži na okomici povučenoj iz točke na os apscisa). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naš lik paralelogram, to znači. Nađimo duljinu segmenta pomoću formule za udaljenost između dviju točaka:

Spuštamo okomicu koja povezuje točku s osi. Točku sjecišta označit ću slovom.

Duljina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem gdje smo raspravljali o ovoj točki), tada ćemo pronaći duljinu segmenta koristeći Pitagorin teorem:

Duljina segmenta točno se podudara s njegovom ordinatom.

Odgovor: .

Drugo rješenje (dat ću samo sliku koja to ilustrira)

Napredak rješenja:

1. Ponašanje

2. Odredi koordinate točke i dužinu

3. Dokažite to.

Još jedan problem duljine segmenta:

Točke se pojavljuju na vrhu trokuta. Odredite duljinu njegove srednje crte, paralelne.

Sjećate li se što je srednja linija trokuta? Onda je ovaj zadatak za vas elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trokuta je crta koja spaja središta suprotnih stranica. Paralelan je s osnovicom i jednak je njezinoj polovici.

Baza je segment. Duljinu smo morali tražiti ranije, jednaka je. Tada je duljina srednje linije upola manja i jednaka.

Odgovor: .

Komentar: ovaj problem se može riješiti na drugi način, na koji ćemo se osvrnuti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte na njima, vrlo su jednostavni, ali vam pomažu da bolje koristite metodu koordinata!

1. Bodovi su vrh tra-pe-cija. Odredi duljinu njegove središnje crte.

2. Bodovi i nastupi ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite ili-di-na-tu točku.

3. Pronađite duljinu iz reza, povezujući točku i

4. Pronađite područje iza obojene figure na koordinatnoj ravnini.

5. Kroz točku prolazi kružnica sa središtem u na-cha-le ko-or-di-nat. Nađi joj ra-di-us.

6. Pronađite-di-te ra-di-us kruga, opišite-san-noy o pravokutnom-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili -di-na-vi ste tako-odgovorni -ali

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovici zbroja njegovih osnovica. Baza je jednaka, a baza. Zatim

Odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog problema je zapažanje da (pravilo paralelograma). Izračunavanje koordinata vektora nije teško: . Prilikom dodavanja vektora dodaju se i koordinate. Onda ima koordinate. Točka također ima te koordinate, budući da je ishodište vektora točka s koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je ravnopravna.

Odgovor:

3. Odmah postupamo prema formuli za udaljenost između dvije točke:

Odgovor:

4. Pogledaj sliku i reci mi između koje dvije figure je osjenčano područje "u sendviču"? Nalazi se između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje točke i njegova duljina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo s velikim kvadratom: njegova je stranica segment koji povezuje točke, a duljina je jednaka

Tada je površina velikog kvadrata

Pronalazimo područje željene figure pomoću formule:

Odgovor:

5. Ako kružnica ima ishodište kao središte i prolazi kroz točku, tada će njen polumjer biti točno jednak duljini segmenta (nacrtajte i shvatit ćete zašto je to očito). Nađimo duljinu ovog segmenta:

Odgovor:

6. Poznato je da je polumjer kruga opisanog oko pravokutnika jednak polovici njegove dijagonale. Nađimo duljinu bilo koje od dvije dijagonale (uostalom, u pravokutniku su jednake!)

Odgovor:

Pa, jeste li se snašli u svemu? Nije bilo teško to shvatiti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - biti u stanju napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje doslovno još dvije točke o kojima bih želio razgovarati.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka se daju dva boda. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je točka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo je pravilo vrlo jednostavno i učenicima obično ne stvara poteškoće. Pogledajmo kod kojih problema i kako se koristi:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Čini se da su bodovi vrh svijeta. Find-di-te or-di-na-tu bodova per-re-se-che-niya njegovog dia-go-na-ley.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su središte kruga, opišite-san-noy o pravokutnom-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili-di-na-vas tako-odgovorno-ali.

rješenja:

1. Prvi problem je jednostavno klasičan. Odmah nastavljamo s određivanjem sredine segmenta. Ima koordinate. Ordinata je jednaka.

Odgovor:

2. Lako je vidjeti da je ovaj četverokut paralelogram (čak i romb!). To možete i sami dokazati tako da izračunate duljine stranica i međusobno ih usporedite. Što znam o paralelogramima? Njegove dijagonale sjecištem dijeli na pola! Da! Dakle, koja je točka presjeka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje dijagonale! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada točka ima koordinate Ordinata točke jednaka je.

Odgovor:

3. S čime se poklapa središte kružnice opisane oko pravokutnika? Poklapa se s točkom sjecišta njegovih dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika? Oni su jednaki i točka sjecišta ih dijeli na pola. Zadatak se sveo na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Onda ako je središte opisane kružnice, tada je središte. Tražim koordinate: Apscisa je jednaka.

Odgovor:

Sada malo vježbajte sami, ja ću samo dati odgovore na svaki problem kako biste se mogli testirati.

1. Pronađite-di-te ra-di-us kruga, opišite-san-noy o trokutu-no-ka, vrhovi nečega imaju co-or-di -no misters

2. Pronađite-di-te ili-di-on-to središte kruga, opišite-san-noy o trokutu-no-ka, čiji vrhovi imaju koordinate

3. Kakva bi ra-di-u-sa trebala biti kružnica sa središtem u točki tako da dodiruje ab-ciss os?

4. Pronađi-di-one ili-di-na-tu točku ponovne se-ce-cije osi i iz-rezati, spojiti-točku i

odgovori:

Je li sve bilo uspješno? Stvarno se tome nadam! Sada - posljednji pritisak. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti izravno se odnosi ne samo na jednostavne probleme o koordinatnoj metodi iz dijela B, već se također nalazi posvuda u problemu C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate li se koje sam operacije na vektorima obećao uvesti i koje sam na kraju uveo? Jeste li sigurni da nisam ništa zaboravio? Zaboravio! Zaboravio sam objasniti što znači množenje vektora.

Postoje dva načina za množenje vektora s vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Križni umnožak napravljen je prilično pametno. Kako to učiniti i zašto je to potrebno, raspravljat ćemo u sljedećem članku. A u ovom ćemo se fokusirati na skalarni produkt.

Postoje dva načina koji nam omogućuju da to izračunamo:

Kao što pretpostavljate, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, pogledajmo prvo prvu metodu:

Točkasti umnožak preko koordinata

Nađi: - općeprihvaćeni zapis za skalarni produkt

Formula za izračun je sljedeća:

Odnosno, skalarni produkt = zbroj produkata vektorskih koordinata!

Primjer:

Pronađi-di-te

Riješenje:

Nađimo koordinate svakog od vektora:

Skalarni produkt izračunavamo pomoću formule:

Odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplicirano!

Pa, sada pokušajte sami:

· Pronađite skalarni pro-iz-ve-de-nie stoljeća i

Jeste li uspjeli? Možda ste primijetili malu kvaku? Provjerimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom problemu! Odgovor: .

Osim koordinatnog, postoji još jedan način za izračunavanje skalarnog umnoška, naime kroz duljine vektora i kosinus kuta između njih:

Označava kut između vektora i.

To jest, skalarni umnožak jednak je umnošku duljina vektora i kosinusa kuta između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je puno jednostavnija, barem nema kosinusa u njoj. A potreban je kako bismo iz prve i druge formule ti i ja mogli zaključiti kako pronaći kut između vektora!

Sjetimo se onda formule za duljinu vektora!

Onda ako zamijenim ove podatke u formulu skalarnog umnoška, dobit ću:

Ali na drugi način:

Pa što smo ti i ja dobili? Sada imamo formulu koja nam omogućuje izračunavanje kuta između dva vektora! Ponekad se zbog kratkoće piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje kuta između vektora je sljedeći:

Izračunaj skalarni produkt preko koordinata
Odredite duljine vektora i pomnožite ih
Podijelite rezultat iz točke 1 s rezultatom iz točke 2

Vježbajmo s primjerima:

1. Pronađite kut između vjeđa i. Dajte odgovor u gradu-du-sah.

2. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite kosinus između vektora

Učinimo ovo: ja ću ti pomoći riješiti prvi problem, a drugi pokušaj riješiti sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo izračunali njihov skalarni produkt i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove duljine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus kuta? Ovo je kut.

Odgovor:

E, sad sami riješite drugi zadatak, pa onda uspoređujte! Dat ću samo vrlo kratko rješenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Dopustiti biti kut između vektora i, tada

Odgovor:

Treba napomenuti da su problemi izravno na vektorima i koordinatnoj metodi u dijelu B ispitnog rada prilično rijetki. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sustava. Stoga ovaj članak možete smatrati temeljem na temelju kojeg ćemo napraviti prilično pametne konstrukcije koje će nam trebati za rješavanje složenih problema.

KOORDINATE I VEKTORI. PROSJEČNA RAZINA

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U posljednjem smo dijelu izveli niz važnih formula koje vam omogućuju da:

Pronađite vektorske koordinate
Nađite duljinu vektora (alternativno: udaljenost između dviju točaka)
Zbrajanje i oduzimanje vektora. Pomnožite ih s realnim brojem
Pronađite središte segmenta
Izračunajte točkasti umnožak vektora
Nađi kut između vektora

Naravno, cijela koordinatna metoda ne stane u ovih 6 točaka. To je temelj takve znanosti kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na sveučilištu. Samo želim izgraditi temelj koji će vam omogućiti rješavanje problema u jednoj državi. ispit. Bavili smo se zadacima Dijela B. Sada je vrijeme da prijeđemo na potpuno novu razinu! Ovaj članak bit će posvećen metodi rješavanja onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ova razumnost određena je onim što se traži da se nađe u problemu i koja je brojka dana. Dakle, koristio bih metodu koordinata ako su pitanja:

Nađi kut između dviju ravnina
Nađi kut između pravca i ravnine
Nađi kut između dviju ravnih linija
Nađi udaljenost od točke do ravnine
Nađi udaljenost od točke do pravca
Nađi udaljenost od pravca do ravnine
Nađi udaljenost između dviju linija

Ako je lik iz zadatka rotacijsko tijelo (lopta, valjak, stožac...)

Prikladne brojke za metodu koordinata su:

Pravokutni paralelopiped
Piramida (trokutna, četverokutna, šesterokutna)

Također iz mog iskustva neprikladno je koristiti metodu koordinata za:

Određivanje površina presjeka
Izračunavanje volumena tijela

No, treba odmah napomenuti da su tri "nepovoljne" situacije za koordinatni metod u praksi vrlo rijetke. U većini zadataka može postati vaš spas, pogotovo ako niste baš dobri u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje ponekad mogu biti prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam gore naveo? Više nisu ravni, poput, na primjer, kvadrata, trokuta, kruga, već voluminozni! U skladu s tim, trebamo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sustav. Lako ju je konstruirati: osim apscisne i ordinatne osi uvest ćemo još jednu os, aplikativnu os. Slika shematski prikazuje njihov relativni položaj:

Sve su one međusobno okomite i sijeku se u jednoj točki koju ćemo nazvati koordinatnim ishodištem. Kao i do sada, os apscisa ćemo označiti, os ordinata - , a uvedenu aplikacionu os - .

Ako je prije svaka točka na ravnini bila karakterizirana s dva broja - apscisom i ordinatom, tada je svaka točka u prostoru već opisana s tri broja - apscisom, ordinatom i aplikatom. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikata je .

Ponekad se apscisa točke naziva i projekcija točke na apscisnu os, ordinata - projekcija točke na ordinatnu os, a aplikata - projekcija točke na apliciranu os. Prema tome, ako je dana točka, tada je točka s koordinatama:

naziva se projekcija točke na ravninu

Postavlja se prirodno pitanje: vrijede li sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj u prostoru? Odgovor je da, pošteni su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili o kojem se radi. U svim formulama morat ćemo dodati još jedan član koji je odgovoran za aplikacionu os. Naime.

1. Ako su dane dvije točke: , tada:

Vektorske koordinate:
Udaljenost između dvije točke (ili duljina vektora)
Središte segmenta ima koordinate

2. Ako su dana dva vektora: i, tada:

Njihov skalarni proizvod jednak je:
Kosinus kuta između vektora jednak je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumijete, dodavanjem još jedne koordinate uvodi se značajna raznolikost u spektar figura koje "žive" u ovom prostoru. A za daljnje pripovijedanje morat ću uvesti neku, grubo rečeno, "generalizaciju" ravne linije. Ova "generalizacija" bit će ravnina. Što znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje što je avion? Jako je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo rečeno, ovo je neka vrsta beskonačnog "plahta" zaglavljenog u prostoru. Pod beskonačnom treba podrazumijevati da se ravnina proteže u svim smjerovima, odnosno da je njena površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo "praktično" objašnjenje ne daje niti najmanju ideju o strukturi aviona. I ona je ta koja će nas zanimati.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

pravac prolazi kroz dvije različite točke na ravnini, a samo jedna:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu pravca iz dvije zadane točke; to nije nimalo teško: ako prva točka ima koordinate: a druga, onda će jednadžba pravca biti sljedeća:

Uzeli ste ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba pravca izgleda ovako: neka su nam zadane dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba pravca koji kroz njih prolazi ima oblik:

Na primjer, linija prolazi kroz točke:

Kako ovo treba razumjeti? Ovo treba shvatiti na sljedeći način: točka leži na pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju sljedeći sustav:

Jednadžba pravca nas neće previše zanimati, ali moramo obratiti pozornost na vrlo važan koncept vektora pravca pravca. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na zadanoj liniji ili je paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Neka je točka koja leži na liniji i neka je njezin vektor smjera. Tada se jednadžba pravca može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neće me jako zanimati jednadžba ravne linije, ali stvarno trebam da zapamtite što je vektor smjera! Opet: ovo je SVAKI vektor različit od nule koji leži na pravoj ili paralelan s njom.

Povući jednadžba ravnine na temelju tri zadane točke više nije tako trivijalan i to se pitanje obično ne obrađuje u srednjoškolskim tečajevima. Ali uzalud! Ova tehnika je vitalna kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste željni naučiti nešto novo? Štoviše, moći ćete impresionirati svog profesora na sveučilištu kada se pokaže da već znate kako koristiti tehniku koja se obično proučava na tečaju analitičke geometrije. Pa krenimo.

Jednadžba ravnine se ne razlikuje previše od jednadžbe pravca na ravnini, naime ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), već varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravnine ne razlikuje se mnogo od jednadžbe ravne linije (linearna funkcija). Međutim, sjećate se oko čega smo se ti i ja svađali? Rekli smo da ako imamo tri točke koje ne leže na istom pravcu, onda se iz njih može jedinstveno rekonstruirati jednadžba ravnine. Ali kako? Pokušat ću ti objasniti.

Budući da je jednadžba ravnine:

A točke pripadaju ovoj ravnini, tada kada zamijenimo koordinate svake točke u jednadžbu ravnine, trebali bismo dobiti točan identitet:

Dakle, potrebno je riješiti tri jednadžbe s isto toliko nepoznanica! Dilema! Međutim, to uvijek možete pretpostaviti (da biste to učinili morate podijeliti sa). Tako dobivamo tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Međutim, nećemo riješiti takav sustav, već ćemo ispisati tajanstveni izraz koji iz njega proizlazi:

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke

\[\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stop! Što je to? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekt koji vidite ispred sebe nema nikakve veze s modulom. Taj se objekt naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se budete bavili metodom koordinata na ravnini, vrlo često ćete se susretati s tim istim odrednicama. Što je determinanta trećeg reda? Začudo, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji konkretni broj ćemo usporediti s determinantom.

Zapišimo prvo determinantu trećeg reda u općenitijem obliku:

Gdje su neki brojevi. Štoviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj retka, a pod indeksom broj stupca. Na primjer, to znači da je ovaj broj na sjecištu drugog reda i trećeg stupca. Postavimo sljedeće pitanje: kako ćemo točno izračunati takvu determinantu? Odnosno, koji konkretni broj ćemo s njim usporediti? Za determinantu trećeg reda postoji heurističko (vizualno) pravilo trokuta, ono izgleda ovako:

Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na glavnu dijagonalu umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na glavna dijagonala
Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog kuta do donjeg lijevog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na sekundarnu dijagonalu Umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na sekundarna dijagonala
Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobivenih na koraku i

Ako sve to zapišemo brojevima, dobit ćemo sljedeći izraz:

Međutim, nema potrebe pamtiti način izračunavanja u ovom obliku; dovoljno je samo zadržati u glavi trokute i samu ideju što se čemu dodaje, a što se zatim oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta primjerom:

1. Izračunajte determinantu:

Odgonetnimo što dodajemo, a što oduzimamo:

Uvjeti koji dolaze s plusom:

Ovo je glavna dijagonala: umnožak elemenata jednak je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Zbrojite tri broja:

Uvjeti koji dolaze s minusom

Ovo je bočna dijagonala: umnožak elemenata jednak je

Prvi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Drugi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Zbrojite tri broja:

Sve što treba učiniti je oduzeti zbroj članova "plus" od zbroja članova "minus":

Tako,

Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog ili nadnaravnog u izračunavanju determinanti trećeg reda. Samo je važno zapamtiti trokute i ne činiti aritmetičke pogreške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
Zbroj članova s plusom:
Prvi trokut okomit na sekundarnu dijagonalu:
Drugi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
Zbroj članova s minusom:
Zbroj članova s plusom minus zbroj članova s minusom:

Evo još par odrednica, njihove vrijednosti izračunajte sami i usporedite s odgovorima:

odgovori:

Pa, je li se sve poklopilo? Super, onda možete nastaviti! Ako postoje poteškoće, moj savjet je sljedeći: na internetu postoji mnogo programa za izračunavanje determinante na mreži. Sve što trebate je smisliti vlastitu odrednicu, sami je izračunati, a zatim usporediti s onim što program izračuna. I tako sve dok se rezultati ne počnu poklapati. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo stići!

Vratimo se sada na determinantu koju sam napisao kada sam govorio o jednadžbi ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:

Sve što trebate je izravno izračunati njegovu vrijednost (pomoću metode trokuta) i postaviti rezultat na nulu. Naravno, budući da su to varijable, dobit ćete neki izraz koji ovisi o njima. Upravo će taj izraz biti jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na istoj pravoj liniji!

Ilustrirajmo to jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Sastavljamo determinantu za ove tri točke:

Pojednostavimo:

Sada ga izračunavamo izravno pomoću pravila trokuta:

\[(\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno|. = \lijevo((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \lijevo((z + 1) \desno) + \lijevo((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednadžba ravnine koja prolazi kroz točke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Pa, raspravimo sada rješenje:

Kreirajmo determinantu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednadžba ravnine ima oblik:

Ili, smanjujući za, dobivamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke:

odgovori:

Je li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, moj savjet je sljedeći: uzmite tri točke iz glave (s velikim stupnjem vjerojatnosti neće ležati na istoj ravnoj liniji), izgradite ravninu na temelju njih. I onda se provjerite na internetu. Na primjer, na web mjestu:

No uz pomoć determinanti nećemo konstruirati samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da za vektore nije definiran samo točkasti produkt. Postoji i vektorski proizvod, kao i mješoviti proizvod. A ako je skalarni umnožak dva vektora broj, tada će vektorski umnožak dva vektora biti vektor, a taj će vektor biti okomit na zadane:

Štoviše, njegov će modul biti jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i. Trebat će nam ovaj vektor za izračunavanje udaljenosti od točke do pravca. Kako možemo izračunati vektorski produkt vektora i ako su zadane njihove koordinate? U pomoć nam ponovno dolazi determinanta trećeg reda. Međutim, prije nego prijeđem na algoritam za izračunavanje vektorskog produkta, moram napraviti malu digresiju.

Ova digresija se odnosi na bazne vektore.

Oni su shematski prikazani na slici:

Što mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očita, jer:

Vektorsko umjetničko djelo

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski produkt dvaju vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Dajmo sada neke primjere izračuna unakrsnog umnoška:

Primjer 1: Pronađite umnožak vektora:

Rješenje: Izmišljam odrednicu:

I izračunam:

Od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

Tako:

Sada pokušajte.

Spreman? Provjeravamo:

I to tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

Pronađite vektorski produkt sljedećih vektora:
Pronađite vektorski produkt sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti umnožak tri vektora

Posljednja konstrukcija koja će mi trebati je mješoviti umnožak tri vektora. On je, kao i skalar, broj. Postoje dva načina za izračunavanje. - kroz odrednicu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, neka su nam dana tri vektora:

Tada se mješoviti umnožak triju vektora, označen s, može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti umnožak je skalarni umnožak vektora i vektorski umnožak dva druga vektora

Na primjer, mješoviti umnožak tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati pomoću vektorskog umnoška i uvjerite se da rezultati odgovaraju!

I opet dva primjera za neovisna rješenja:

odgovori:

Odabir koordinatnog sustava

Pa, sada imamo sve potrebne temelje znanja za rješavanje složenih problema stereometrijske geometrije. Međutim, prije nego što prijeđemo izravno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno izabrati koordinatni sustav za određeni lik. Uostalom, odabir relativnog položaja koordinatnog sustava i figure u prostoru u konačnici će odrediti koliko će izračuni biti glomazni.

Dopustite mi da vas podsjetim da u ovom odjeljku razmatramo sljedeće brojke:

Pravokutni paralelopiped
Ravna prizma (trokutna, šesterokutna...)
Piramida (trokutasta, četverokutna)
Tetraedar (isto kao trokutasta piramida)

Za pravokutni paralelopiped ili kocku preporučujem vam sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postavit ću figuru "u kut". Kocka i paralelopiped su jako dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrhova sljedeće:

Naravno, ne morate to pamtiti, ali preporučljivo je zapamtiti kako najbolje postaviti kocku ili pravokutni paralelopiped.

Ravna prizma

Prizma je štetnija figura. Može se pozicionirati u prostoru na različite načine. Međutim, sljedeća opcija mi se čini najprihvatljivijom:

Trokutasta prizma:

Odnosno, jednu od strana trokuta u potpunosti postavljamo na os, a jedan od vrhova podudara se s ishodištem koordinata.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova se podudara s ishodištem, a jedna od strana leži na osi.

Četverokuta i šesterokutna piramida:

Situacija je slična kocki: dvije stranice baze poravnamo s koordinatnim osima, a jedan od vrhova poravnamo s ishodištem koordinata. Jedina će mala poteškoća biti izračunati koordinate točke.

Za šesterokutnu piramidu - isto što i za šesterokutnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti pronaći koordinate vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trokutastu prizmu: jedan vrh se poklapa s ishodištem, jedna stranica leži na koordinatnoj osi.

Pa, sada smo ti i ja konačno blizu toga da počnemo rješavati probleme. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema podijeljena je u 2 kategorije: problemi kuta i problemi udaljenosti. Prvo ćemo pogledati probleme pronalaženja kuta. Oni su pak podijeljeni u sljedeće kategorije (kako složenost raste):

Zadaci za pronalaženje kutova

Određivanje kuta između dviju ravnih linija
Određivanje kuta između dvije ravnine

Pogledajmo ove probleme redom: počnimo s pronalaženjem kuta između dviju ravnih linija. Pa, zapamtite, nismo li ti i ja već rješavali slične primjere? Sjećate li se, već smo imali nešto slično... Tražili smo kut između dva vektora. Da vas podsjetim, ako su data dva vektora: i, onda se kut između njih nalazi iz relacije:

Sada nam je cilj pronaći kut između dviju ravnih linija. Pogledajmo "ravnu sliku":

Koliko smo kutova dobili kada su se dvije ravne crte sijekle? Samo nekoliko stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su ostali okomiti na njih (i stoga se poklapaju s njima). Dakle, koji kut trebamo smatrati kutom između dviju ravnih linija: ili? Ovdje vrijedi pravilo: kut između dviju ravnih linija uvijek nije veći od stupnjeva. Odnosno, iz dva kuta uvijek ćemo odabrati kut s najmanjom stupnjevitom mjerom. Odnosno, na ovoj slici kut između dviju ravnih linija je jednak. Kako se svaki put ne bi mučili s traženjem najmanjeg od dva kuta, lukavi matematičari predložili su korištenje modula. Dakle, kut između dviju ravnih linija određuje se formulom:

Vi ste se, kao pažljivi čitatelj, trebali zapitati: odakle, točno, uzimamo te iste brojeve koji su nam potrebni za izračunavanje kosinusa kuta? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera pravaca! Dakle, algoritam za pronalaženje kuta između dviju ravnih linija je sljedeći:

Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

Tražimo koordinate vektora smjera prve ravnice
Tražimo koordinate vektora smjera druge ravnice
Izračunavamo modul njihovog skalarnog umnoška
Tražimo duljinu prvog vektora
Tražimo duljinu drugog vektora
Pomnožite rezultate iz točke 4 s rezultatima iz točke 5
Rezultat točke 3. dijelimo s rezultatom točke 6. Dobivamo kosinus kuta između pravaca
Ako nam ovaj rezultat omogućuje točan izračun kuta, tražimo ga
Inače pišemo kroz arc kosinus

E, sad je vrijeme da prijeđemo na probleme: za prva dva ću detaljno demonstrirati rješenje, za još jedan ću ukratko prikazati rješenje, a za posljednja dva problema ću dati samo odgovore; morate sami izvršiti sve izračune za njih.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-reu pronađite kut između visine tet-ra-ed-ra i srednje strane.

2. U desnoj šesterokutnoj pi-ra-mi-de, stotinu os-no-va-niya su jednake, a bočni rubovi su jednaki, pronađite kut između linija i.

3. Duljine svih bridova desnog četverougljenog pi-ra-mi-dyja su međusobno jednake. Nađite kut između ravnih linija i ako iz reza - ste s danim pi-ra-mi-dy, točka je se-re-di-na svojim bo-co- drugim rebrima

4. Na rubu kocke nalazi se točka tako da Nađi kut između ravnih linija i

5. Točka – na bridovima kocke Nađi kut između ravnih linija i.

Nisam slučajno posložio zadatke ovim redoslijedom. Dok se još niste počeli snalaziti u koordinatnoj metodi, ja ću sam analizirati "najproblematičnije" figure, a vama ću ostaviti da se pozabavite najjednostavnijom kockom! Postupno ćete morati naučiti raditi sa svim figurama; ja ću povećavati složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, smjestite ga u koordinatni sustav kao što sam ranije predložio. Budući da je tetraedar pravilan, sva njegova lica (uključujući bazu) su pravilni trokuti. Budući da nam nije dana duljina stranice, mogu uzeti da je jednaka. Mislim da shvaćate da kut zapravo neće ovisiti o tome koliko je naš tetraedar "ispružen"?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću mu nacrtati bazu (također će nam koristiti).

Moram pronaći kut između i. Što znamo? Znamo samo koordinatu točke. To znači da trebamo pronaći koordinate točaka. Sada mislimo: točka je točka presjeka visina (ili simetrala ili medijana) trokuta. A točka je uzdignuta točka. Točka je sredina segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate točaka: .

Počnimo s najjednostavnijom stvari: koordinatama točke. Pogledajte sliku: Jasno je da je aplikata točke jednaka nuli (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je jednaka (jer je medijan). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako može učiniti na temelju Pitagorinog teorema: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan od kateta je jednak. Tada:

Na kraju imamo: .

Nađimo sada koordinate točke. Jasno je da mu je aplikata opet jednaka nuli, a ordinata ista kao i točka, tj. Nađimo njegovu apscisu. Ovo se radi prilično trivijalno ako se toga sjećate visine jednakostraničnog trokuta točkom presjeka dijele se proporcionalno, računajući od vrha. Budući da je: , tada je tražena apscisa točke, jednaka duljini segmenta, jednaka: . Dakle, koordinate točke su:

Nađimo koordinate točke. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. A aplikacija je jednaka duljini segmenta. - ovo je jedna od krakova trokuta. Hipotenuza trokuta je segment - kateta. Traži se iz razloga koje sam podebljao:

Točka je sredina segmenta. Zatim se moramo sjetiti formule za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: zamijenimo sve podatke u formulu:

Tako,

Odgovor:

Ne bi vas trebali plašiti takvi "strašni" odgovori: za C2 probleme to je uobičajena praksa. Prije bih se iznenadio “prekrasnim” odgovorom u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktički nisam pribjegao ničemu osim Pitagorinom teoremu i svojstvu visina jednakostraničnog trokuta. To jest, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobitak u tome djelomično se "gasi" prilično glomaznim izračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Prikažimo pravilnu šesterokutnu piramidu zajedno s koordinatnim sustavom, kao i njezinom bazom:

Moramo pronaći kut između linija i. Dakle, naš zadatak se svodi na pronalaženje koordinata točaka: . Posljednja tri ćemo koordinate pronaći pomoću malog crteža, a koordinatu vrha ćemo pronaći preko koordinate točke. Ima puno posla, ali moramo početi!

a) Koordinata: jasno je da su joj aplikata i ordinata jednake nuli. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut. Nažalost, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušat ćemo pronaći krak (jer je jasno da će nam dvostruka duljina kraka dati apscisu točke). Kako to možemo tražiti? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šesterokut. Što to znači? To znači da su sve strane i svi kutovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav kut. Imate li ideja? Ima puno ideja, ali postoji formula:

Zbroj kutova pravilnog n-kuta je .

Dakle, zbroj kutova pravilnog šesterokuta jednak je stupnjevima. Tada je svaki od kutova jednak:

Pogledajmo ponovno sliku. Jasno je da je segment simetrala kuta. Tada je kut jednak stupnjevima. Zatim:

Odakle onda.

Dakle, ima koordinate

b) Sada lako možemo pronaći koordinatu točke: .

c) Odredi koordinate točke. Budući da se njegova apscisa podudara s duljinom segmenta, ona je jednaka. Određivanje ordinate također nije teško: ako spojimo točke i označimo točku sjecišta pravca kao, recimo, . (uradi sam jednostavna konstrukcija). Tada je dakle ordinata točke B jednaka zbroju duljina odsječaka. Pogledajmo ponovno trokut. Zatim

Tada od Tada točka ima koordinate

d) Nađimo sada koordinate točke. Promotrimo pravokutnik i dokažimo da su dakle koordinate točke:

e) Ostalo je pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. Pronađimo aplikaciju. Od tad. Razmotrimo pravokutni trokut. Prema uvjetima problema, bočni rub. Ovo je hipotenuza mog trokuta. Tada je visina piramide krak.

Tada točka ima koordinate:

Eto, to je to, imam koordinate svih točaka koje me zanimaju. Tražim koordinate vektora usmjeravanja ravnih linija:

Tražimo kut između ovih vektora:

Odgovor:

Opet, u rješavanju ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane tehnike osim formule za zbroj kutova pravilnog n-kuta, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trokuta.

3. Budući da nam opet nisu zadane duljine bridova u piramidi, smatrat ću ih jednakima jedan. Dakle, budući da su SVI bridovi, a ne samo bočni, međusobno jednaki, tada se u osnovi piramide i mene nalazi kvadrat, a bočne strane su pravilni trokuti. Nacrtajmo takvu piramidu, kao i njenu bazu na ravnini, bilježeći sve podatke navedene u tekstu zadatka:

Tražimo kut između i. Napravit ću vrlo kratke izračune kada budem tražio koordinate točaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njegove koordinate:

c) Naći ću duljinu isječka pomoću Pitagorinog poučka u trokutu. Mogu ga pronaći koristeći Pitagorin teorem u trokutu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Koordinate vektora

f) Koordinate vektora

g) Traženje kuta:

Kocka je najjednostavnija figura. Sigurna sam da ćeš to sama shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Određivanje kuta između pravca i ravnine

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još kompliciraniji. Da bismo pronašli kut između pravca i ravnine, postupit ćemo na sljedeći način:

Pomoću tri točke konstruiramo jednadžbu ravnine
,
pomoću determinante trećeg reda.
Pomoću dvije točke tražimo koordinate usmjeravajućeg vektora pravca:
Primjenjujemo formulu za izračunavanje kuta između pravca i ravnine:

Kao što vidite, ova je formula vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje kutova između dviju ravnih linija. Struktura na desnoj strani jednostavno je ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus kao prije. Pa, dodana je jedna gadna akcija - traženje jednadžbe ravnine.

Nemojmo odugovlačiti primjeri rješenja:

1. Glavni-ali-va-ni-em izravna prizma-mi smo jednako-siromašan trokut. Nađi kut između pravca i ravnine

2. U pravokutnom par-ral-le-le-pi-pe-de sa zapada Nađite kut između pravca i ravnine

3. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki. Nađi kut između pravca i ravnine.

4. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em poznatih rebara Pronađite kut, ob-ra-zo-van -ravan u osnovi i ravan, koji prolazi kroz sivu rebra i

5. Duljine svih bridova pravilnog četverokutnog pi-ra-mi-dyja s vrhom su međusobno jednake. Nađite kut između pravca i ravnine ako je točka na strani ruba pi-ra-mi-dyja.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći ukratko, a posljednja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste imali posla s trokutastim i četverokutnim piramidama, ali još ne s prizmama.

rješenja:

1. Nacrtajmo prizmu, kao i njenu bazu. Kombinirajmo ga s koordinatnim sustavom i zabilježimo sve podatke koji su navedeni u tvrdnji problema:

Ispričavam se zbog nekih nepoštivanja proporcija, ali za rješavanje problema to zapravo i nije toliko važno. Ravnina je jednostavno "stražnji zid" moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednadžba takve ravnine ima oblik:

Međutim, to se može prikazati izravno:

Izaberimo proizvoljne tri točke na ovoj ravnini: na primjer, .

Napravimo jednadžbu ravnine:

Vježba za vas: izračunajte sami ovu odrednicu. Jeste li uspjeli? Tada jednadžba ravnine izgleda ovako:

Ili jednostavno

Tako,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate vektora smjera pravca. Budući da se točka poklapa s ishodištem koordinata, koordinate vektora će se jednostavno poklapati s koordinatama točke. Da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći koordinate točke.

Da biste to učinili, razmislite o trokutu. Nacrtajmo visinu (također poznatu kao središnja i simetrala) iz vrha. Budući da je ordinata točke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove točke, moramo izračunati duljinu segmenta. Prema Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada točka ima koordinate:

Točka je "izdignuta" točka:

Tada su vektorske koordinate:

Odgovor:

Kao što vidite, ne postoji ništa bitno teško pri rješavanju takvih problema. Zapravo, proces je malo više pojednostavljen "ravnošću" figure kao što je prizma. Sada prijeđimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtajte paralelepiped, nacrtajte ravninu i ravnu liniju u njoj, a također zasebno nacrtajte njegovu donju bazu:

Prvo nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate triju točaka koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate dobivene su na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći na slici iz točke). Zatim sastavljamo jednadžbu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora vođenja: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju s koordinatama točke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate točke, uzdignute duž aplicirane osi za jedan! . Zatim tražimo željeni kut:

Odgovor:

3. Nacrtaj pravilnu šesterokutnu piramidu, a zatim u nju nacrtaj ravninu i pravu.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravninu, a da ne spominjemo rješavanje ovog problema, ali koordinatna metoda nije važna! Njegova svestranost je njegova glavna prednost!

Ravnina prolazi kroz tri točke: . Tražimo njihove koordinate:

1) . Koordinate zadnje dvije točke saznajte sami. Za ovo ćete morati riješiti problem šesterokutne piramide!

2) Konstruiramo jednadžbu ravnine:

Tražimo koordinate vektora: . (Pogledajte ponovno problem trokutaste piramide!)

3) Traženje kuta:

Odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ničeg nadnaravno teškog. Samo trebate biti vrlo oprezni s korijenjem. Dat ću odgovore samo na zadnja dva problema:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema svugdje je ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u određene formule. Moramo razmotriti još jednu klasu problema za izračunavanje kutova, naime:

Izračunavanje kutova između dvije ravnine

Algoritam rješenja bit će sljedeći:

Pomoću tri točke tražimo jednadžbu prve ravnine:
Pomoću ostale tri točke tražimo jednadžbu druge ravnine:
Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnim dvjema, uz pomoć kojih smo tražili kutove između ravnih linija i između prave i ravnine. Tako da vam neće biti teško zapamtiti ovo. Prijeđimo na analizu zadataka:

1. Jednaka je stranica baze pravilne trokutaste prizme, a jednaka je dijagonala bočne plohe. Odredite kut između ravnine i ravnine osi prizme.

2. U pravom četverokutnom pi-ra-mi-deu, čiji su svi rubovi jednaki, pronađite sinus kuta između ravnine i ravninske kosti, koji prolazi kroz točku per-pen-di-ku- lažljivac-ali ravna.

3. U pravilnoj četverokutnoj prizmi stranice baze su jednake, a bočni bridovi jednaki. Postoji točka na rubu od-me-che-on tako da. Pronađite kut između ravnina i

4. U pravilnoj četverokutnoj prizmi stranice baze su jednake, a bočni bridovi su jednaki. Postoji točka na rubu od točke tako da Pronađite kut između ravnina i.

5. U kocki nađi ko-si-nus kuta između ravnina i

Rješenja problema:

1. Crtam pravilnu (jednakostranični trokut na bazi) trokutastu prizmu i na njoj označavam ravnine koje se pojavljuju u tvrdnji problema:

Moramo pronaći jednadžbe dviju ravnina: Jednadžba baze je trivijalna: možete sastaviti odgovarajuću determinantu pomoću tri točke, ali ja ću odmah sastaviti jednadžbu:

Pronađimo sada jednadžbu Točka ima koordinate Točka - Budući da je medijan i visina trokuta, lako se pronalazi pomoću Pitagorinog teorema u trokutu. Tada točka ima koordinate: Nađimo primjenu točke, razmotrimo pravokutni trokut

Tada dobivamo sljedeće koordinate: Sastavljamo jednadžbu ravnine.

Izračunavamo kut između ravnina:

Odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je razumjeti kakva je to tajanstvena ravnina koja prolazi okomito kroz točku. Pa, glavno je, što je to? Glavna stvar je pažljivost! Zapravo, linija je okomita. Pravac je također okomit. Tada će ravnina koja prolazi kroz ove dvije linije biti okomita na liniju i, usput, prolaziti kroz točku. Ova ravnina također prolazi kroz vrh piramide. Zatim željeni avion - A avion nam je već dat. Tražimo koordinate točaka.

Koordinatu točke nalazimo kroz točku. Iz male slike lako je zaključiti da će koordinate točke biti sljedeće: Što sada treba pronaći da bismo pronašli koordinate vrha piramide? Također morate izračunati njegovu visinu. To se radi pomoću istog Pitagorinog teorema: prvo to dokažite (trivijalno iz malih trokuta koji tvore kvadrat u osnovi). Budući da prema uvjetu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednadžbu ravnine:

Vi ste već stručnjak za izračunavanje determinanti. Bez problema ćete dobiti:

Ili drugačije (ako obje strane pomnožimo korijenom iz dva)

Nađimo sada jednadžbu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobivamo jednadžbu ravnine, zar ne? Ako ne razumiješ odakle je došao ovaj minus jedan, onda se vrati na definiciju jednadžbe ravnine! Samo se prije toga uvijek pokazalo moj avion je pripadao ishodištu koordinata!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednadžba ravnine podudara s jednadžbom pravca koji prolazi kroz točke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunajmo kut:

Moramo pronaći sinus:

Odgovor:

3. Varljivo pitanje: što mislite što je pravokutna prizma? Ovo je samo paralelopiped kojeg dobro poznajete! Odmah napravimo crtež! Ne morate čak ni prikazivati bazu zasebno; ovdje je od male koristi:

Ravnina je, kao što smo ranije primijetili, napisana u obliku jednadžbe:

Sada napravimo avion

Odmah stvaramo jednadžbu ravnine:

Tražim kut:

Sada odgovori na posljednja dva problema:

Pa, sad je vrijeme da malo predahnemo, jer ti i ja smo super i napravili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredna razina

U ovom ćemo članku s vama raspravljati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti korištenjem koordinatne metode: problemima izračuna udaljenosti. Naime, razmotrit ćemo sljedeće slučajeve:

Izračunavanje udaljenosti između linija koje se sijeku.

Poredao sam ove zadatke prema rastućoj težini. Ispada da ga je najlakše pronaći udaljenost od točke do ravnine, a najteže je pronaći udaljenost između križnih linija. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odugovlačiti i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine

Što nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate točke

Dakle, kada imamo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako konstruiramo jednadžbu ravnine iz prethodnih problema o kojima sam govorio u prošlom dijelu. Prijeđimo odmah na zadatke. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem vam da odlučite, i malo detaljnije, 3, 4 - samo odgovor, sami rješavate problem i uspoređujete. Počnimo!

Zadaci:

1. Dana je kocka. Duljina brida kocke je jednaka. Nađi udaljenost se-re-di-na od presjeka do ravnine

2. S obzirom na desno četiri ugljena pi-ra-mi-yes, stranica stranice je jednaka bazi. Pronađite udaljenost od točke do ravnine gdje - se-re-di-na rubovima.

3. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em, bočni rub je jednak, a sto-ro-na os-no-va-nia je jednak. Pronađite udaljenost od vrha do ravnine.

4. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki. Nađi udaljenost od točke do ravnine.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku s jednostrukim bridovima, konstruirajte isječak i ravninu, sredinu isječka označite slovom

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate točke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednadžbu ravnine koristeći tri točke

\[\lijevo| (\početak(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\kraj(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi pronalaziti udaljenost:

2. Ponovno krećemo s crtežom na kojem označavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno posebno nacrtati njezinu bazu.

Ni činjenica da šapom crtam kao kokoš neće nas spriječiti da s lakoćom riješimo ovaj problem!

Sada je jednostavno pronaći koordinate točke

Budući da su koordinate točke, dakle

2. Kako su koordinate točke a sredina segmenta, tada

Bez ikakvih problema možemo pronaći koordinate još dvije točke na ravnini i pojednostaviti je:

\[\lijevo| (\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Budući da točka ima koordinate: , izračunavamo udaljenost:

Odgovor (vrlo rijetko!):

Pa, jeste li shvatili? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehničko kao i u primjerima koje smo pogledali u prethodnom dijelu. Stoga sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću vam dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od pravca do ravnine

Zapravo, nema tu ništa novo. Kako se pravac i ravnina mogu postaviti jedna u odnosu na drugu? Imaju samo jednu mogućnost: sijeku se ili je ravna linija paralelna s ravninom. Što mislite kolika je udaljenost pravca od ravnine s kojom se taj pravac siječe? Čini mi se da je ovdje jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nije zanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, budući da je pravac paralelan s ravninom, svaka točka pravca je jednako udaljena od te ravnine:

Tako:

To znači da se moj zadatak sveo na prethodni: tražimo koordinate bilo koje točke na pravoj liniji, tražimo jednadžbu ravnine i računamo udaljenost od točke do ravnine. Zapravo, takvi su zadaci iznimno rijetki na Jedinstvenom državnom ispitu. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatna metoda nije bila baš primjenjiva na njega!

Sada prijeđimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti točke od pravca

Što trebamo?

1. Koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje točke koja leži na pravcu

3. Koordinate vektora usmjeravanja pravca

Koju formulu koristimo?

Trebalo bi vam biti jasno što znači nazivnik ovog razlomka: to je duljina vektora usmjeravanja pravca. Ovo je vrlo lukav brojnik! Izraz označava modul (duljinu) vektorskog umnoška vektora i Kako izračunati vektorski umnožak, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Obnovite svoje znanje, sad će nam jako trebati!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje točke na liniji do koje tražimo udaljenost:

3. Konstruirajte vektor

4. Konstruirajte smjerni vektor pravca

5. Izračunajte vektorski produkt

6. Tražimo duljinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Dakle, sada usmjerite svu svoju pozornost!

1. Zadan je pravi trokutasti pi-ra-mi-da s vrhom. Sto-ro-na temelju pi-ra-mi-dy je jednak, vi ste jednaki. Pronađite udaljenost od sivog ruba do ravne crte, gdje su točke i sivi rubovi i od veterinara.

2. Duljine rebara i ravnog kuta-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da su prema tome jednake i Nađi udaljenost od vrha do ravne crte.

3. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki, nađite udaljenost točke od prave crte

rješenja:

1. Izrađujemo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla! Prvo bih želio riječima opisati što ćemo tražiti i kojim redom:

1. Koordinate točaka i

2. Koordinate točke

3. Koordinate točaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov umnožak

6. Duljina vektora

7. Duljina vektorskog umnoška

8. Udaljenost od do

Pa, čeka nas puno posla! Idemo na to zasukanih rukava!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate točke je nula, a ordinata je jednaka njezinoj apscisi, jer je visina jednakostraničnog trokuta, podijeljen je u omjeru, računajući od vrha, odavde. Konačno smo dobili koordinate:

Koordinate točke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

Sredina segmenta

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski produkt:

6. Duljina vektora: najlakši način za zamjenu je da je segment središnja linija trokuta, što znači da je jednak polovici baze. Tako.

7. Izračunajte duljinu vektorskog produkta:

8. Konačno, nalazimo udaljenost:

Uf, to je to! Iskreno ću vam reći: rješavanje ovog problema tradicionalnim metodama (kroz izgradnju) bilo bi puno brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je jasan algoritam rješenja? Stoga ću vas zamoliti da preostala dva problema riješite sami. Usporedimo odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) te probleme riješiti konstrukcijama, nego pribjegavati koordinatnoj metodi. Demonstrirao sam ovu metodu rješenja samo kako bih vam pokazao univerzalnu metodu koja vam omogućuje da "ništa ne dovršite."

Konačno, razmotrite posljednju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti između linija koje se sijeku

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. Što imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje točke prvog i drugog pravca:

Kako ćemo pronaći udaljenost između linija?

Formula je sljedeća:

Brojnik je modul mješovitog umnoška (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik je, kao i u prethodnoj formuli (modul vektorskog umnoška vektora smjera pravaca, udaljenost između kojih smo traže).

Podsjetit ću te na to

Zatim formula za udaljenost može se prepisati kao:

Ovo je determinanta podijeljena determinantom! Iako, da budem iskren, nemam ovdje vremena za šalu! Ova formula je zapravo vrlo glomazna i dovodi do prilično složenih izračuna. Da sam na tvom mjestu, pribjegao bih mu samo u krajnjem slučaju!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema pomoću gornje metode:

1. U pravilnoj trokutastoj prizmi, čiji su svi bridovi jednaki, pronađite udaljenost između ravnih linija i.

2. S obzirom na pravilnu trokutastu prizmu, svi rubovi baze jednaki su presjeku koji prolazi kroz tijelo rebra, a se-re-di-well rebra su kvadrat. Pronađite udaljenost između ravnih linija i

Ja odlučujem o prvom, a na temelju njega ti o drugom!

1. Crtam prizmu i označavam ravne linije i

Koordinate točke C: tada

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Koordinate točke

Vektorske koordinate

\[\lijevo((B,\strelica gore desno (A(A_1)) \strelica desno (B(C_1)) ) \desno) = \lijevo| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niza))\kraj(niza)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Računamo vektorski produkt između vektora i

\[\desna strelica (A(A_1)) \cdot \desna strelica (B(C_1)) = \lijevo| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niza)\kraj(niza) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\strelica desno k + \frac(1)(2)\strelica desno i \]

Sada izračunavamo njegovu duljinu:

Odgovor:

Sada pokušajte pažljivo izvršiti drugi zadatak. Odgovor na njega će biti: .

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor se označava sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - duljina segmenta koji predstavlja vektor. Označava se kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbroj vektora: .

Proizvod vektora:

Točkasti umnožak vektora:

Skalarni umnožak vektora jednak je umnošku njihovih apsolutnih vrijednosti i kosinusa kuta između njih:

PREOSTALIH 2/3 ČLANKA DOSTUPNO JE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Postanite YouClever student,

Pripremite se za Jedinstveni državni ispit ili Jedinstveni državni ispit iz matematike po cijeni "šalice kave mjesečno",

Također dobivate neograničeni pristup udžbeniku "YouClever", programu pripreme "100gia" (knjiga rješavača), neograničenom probnom Jedinstvenom državnom ispitu i Jedinstvenom državnom ispitu, 6000 problema s analizom rješenja i drugim uslugama YouClever i 100gia.

Napokon sam se dočepao ove goleme i dugo očekivane teme. analitička geometrija. Prvo malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno se sada sjećate školskog tečaja geometrije s brojnim teoremima, njihovim dokazima, crtežima itd. Što kriti, neomiljen i često opskuran predmet za značajan dio učenika. Analitička geometrija, čudno, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Što znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dvije otrcane matematičke fraze: "metoda grafičkog rješenja" i "metoda analitičkog rješenja". Grafička metoda, naravno, povezan je s konstrukcijom grafikona i crteža. Analitički isti metoda uključuje rješavanje problema uglavnom kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan; često je dovoljno pažljivo primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, to uopće nećemo moći učiniti bez crteža, a osim toga, radi boljeg razumijevanja materijala, pokušat ću ih citirati izvan nužde.

Novootvoreni tečaj geometrije ne pretendira biti teorijski dovršen; usmjeren je na rješavanje praktičnih problema. U predavanja ću uključiti samo ono što je, s moje točke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako trebate potpuniju pomoć za bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću dosta dostupnu literaturu:

1) Stvar koju, bez šale, poznaje više generacija: Školski udžbenik geometrije, autori - L.S. Atanasyan i tvrtka. Ova vješalica za školsku svlačionicu već je prošla kroz 20 (!) Reprinta, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 sveska. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za srednju školu, trebat će vam prvi svezak. Zadaci koji se rijetko susreću mogu mi ispasti iz vida, a tutorijal će mi biti od neprocjenjive pomoći.

Obje se knjige mogu besplatno preuzeti s interneta. Osim toga, možete koristiti moju arhivu s gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Među alatima, ponovno predlažem vlastiti razvoj - programski paket u analitičkoj geometriji, što će znatno pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitatelj upoznat s osnovnim geometrijskim pojmovima i likovima: točka, pravac, ravnina, trokut, paralelogram, paralelopiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorin teorem, pozdrav ponavljačima)

A sada ćemo redom razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Preporučam dalje čitanje najvažniji članak Točkasti umnožak vektora, I također Vektor i mješoviti umnožak vektora. Lokalni zadatak - Podjela segmenta u tom pogledu - također neće biti suvišan. Na temelju gore navedenih informacija, možete svladati jednadžba pravca u ravnini S najjednostavniji primjeri rješenja, koji će omogućiti naučiti rješavati geometrijske probleme. Sljedeći članci također su korisni: Jednadžba ravnine u prostoru, Jednadžbe pravca u prostoru, Osnovni problemi na pravcu i ravnini, drugi dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Koncept vektora. Besplatni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vektor nazvao usmjerena segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je točka, kraj segmenta je točka. Sam vektor je označen sa . Smjer je bitno, ako pomaknete strelicu na drugi kraj segmenta, dobit ćete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjetiti koncept vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate se složiti, ući na vrata instituta ili izaći s vrata instituta potpuno su različite stvari.

Pogodno je pojedine točke ravnine ili prostora smatrati tzv nulti vektor. Za takav vektor, kraj i početak se podudaraju.

!!! Bilješka: Ovdje i dalje možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravnini ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština izloženog gradiva vrijedi i za ravninu i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah primijetili štap bez strelice u oznaci i rekli, ima i strelica na vrhu! Istina, možete to napisati strelicom: , ali i to je moguće unos koji ću koristiti u budućnosti. Zašto? Očigledno se ta navika razvila iz praktičnih razloga; pokazalo se da su moji strijelci u školi i na fakultetu previše različiti i čupavi. U obrazovnoj literaturi ponekad se uopće ne bave klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime impliciraju da je riječ o vektoru.

To je bila stilistika, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati s dva velika latinična slova:
i tako dalje. U ovom slučaju prvo slovo Obavezno označava početnu točku vektora, a drugo slovo krajnju točku vektora.

2) Vektori se također pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor može se zbog kratkoće preoznačiti malim latiničnim slovom.

Duljina ili modul vektor različit od nule naziva se duljina segmenta. Duljina nultog vektora je nula. Logično.

Duljina vektora je označena znakom modula: ,

Kako pronaći duljinu vektora naučit ćemo (ili ćemo to ponoviti, kako tko) malo kasnije.

To su bile osnovne informacije o vektorima, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Jednostavno rečeno - vektor se može iscrtati iz bilo koje točke:

Navikli smo takve vektore nazivati jednakima (definicija jednakih vektora bit će dana u nastavku), ali s čisto matematičke točke gledišta, oni su ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Zato što tijekom rješavanja problema možete "pričvrstiti" ovaj ili onaj "školski" vektor na BILO KOJU točku ravnine ili prostora koji vam je potreban. Ovo je vrlo cool značajka! Zamislimo usmjereni segment proizvoljne duljine i smjera - može se "klonirati" beskonačno mnogo puta iu bilo kojoj točki prostora, zapravo postoji SVUDA. Postoji jedna studentska izreka: Svakog predavača briga za vektor. Uostalom, nije to samo duhovita rima, sve je gotovo točno - tu se može dodati i režirani segment. Ali nemojte se žuriti radovati, sami studenti često pate =)

Tako, slobodni vektor- Ovo gomila identično usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, dana na početku odlomka: “Usmjereni segment naziva se vektor...” podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz danog skupa, koji je vezan za određenu točku u ravnini ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stajališta fizike koncept slobodnog vektora općenito netočan, a bitna je točka primjene. Dapače, izravan udarac iste snage u nos ili čelo, dovoljan da razvijem moj glupi primjer, povlači za sobom različite posljedice. Međutim, neslobodan vektori se također nalaze u tijeku vyshmat (ne idite tamo :)).

Akcije s vektorima. Kolinearnost vektora

Školski tečaj geometrije pokriva niz radnji i pravila s vektorima: zbrajanje po pravilu trokuta, zbrajanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni produkt vektora itd. Kao polazište, ponovimo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo zbrajanja vektora pomoću pravila trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i:

Morate pronaći zbroj ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, izdvojit ćemo vektor iz kraj vektor:

Zbroj vektora je vektor. Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega unijeti fizičko značenje: neka tijelo putuje duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbroj vektora vektor rezultirajuće staze s početkom u polaznoj točki i krajem u dolaznoj točki. Slično je pravilo formulirano za zbroj bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem vrlo nagnuto duž cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbroja.

Usput, ako je vektor odgođen od započeo vektora, tada dobivamo ekvivalent pravilo paralelograma zbrajanje vektora.

Prvo o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearni, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim pravcima. Grubo rečeno, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearni".

Zamislimo dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, tada se takvi vektori nazivaju surežirao. Ako strelice pokazuju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotnih smjerova.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenim simbolom paralelnosti: , dok je moguće detaljiziranje: (vektori su suusmjereni) ili (vektori su suprotno usmjereni).

Posao vektor različit od nule na broju je vektor čija je duljina jednaka , a vektori i su suusmjereni i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti uz pomoć slike:

Pogledajmo to detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, tada vektor mijenja smjer na suprotnost.

2) Duljina. Ako je množitelj sadržan unutar ili , tada je duljina vektora smanjuje se. Dakle, duljina vektora je pola duljine vektora. Ako je modul množitelja veći od jedan, tada je duljina vektora povećava se na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . Vrijedi i obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti kroz drugi, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Tako: ako vektor pomnožimo s brojem, dobivamo kolinear(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su suusmjereni. Vektori i također su suusmjereni. Svaki vektor prve skupine je suprotno usmjeren u odnosu na bilo koji vektor druge skupine.

Koji vektori su jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su u istom smjeru i imaju istu duljinu. Imajte na umu da kodirekcionost implicira kolinearnost vektora. Definicija bi bila netočna (suvišna) ako kažemo: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, suusmjereni i imaju istu duljinu."

Sa stajališta pojma slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, kao što je objašnjeno u prethodnom paragrafu.

Vektorske koordinate u ravnini i prostoru

Prva točka je razmatranje vektora na ravnini. Oslikajmo kartezijanski pravokutni koordinatni sustav i iscrtajmo ga iz ishodišta koordinata singl vektori i:

Vektori i ortogonalni. Ortogonalno = Okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi odn. kolinearnost I ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektora piše se uobičajenim simbolom okomitosti, na primjer: .

Vektori koji se razmatraju nazivaju se koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori tvore osnova na površini. Što je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno; detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora Jednostavnim riječima, baza i ishodište koordinata definiraju cijeli sustav - to je svojevrsni temelj na kojem vrije puni i bogati geometrijski život.

Ponekad se konstruirana osnova naziva ortonormalno osnovica ravnine: “orto” - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev “normaliziran” znači jedinica, tj. duljine baznih vektora jednake su jedinici.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama unutar kojih u strogom nizu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori Zabranjeno je preurediti.

Bilo koje ravninski vektor jedini način izraženo kao:
, Gdje - brojevima koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. I sam izraz nazvao vektorska dekompozicijapo osnovi .

Večera poslužena:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri rastavljanju vektora na bazu koriste upravo razmotreni:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) zbrajanje vektora prema pravilu trokuta: .

Sada mentalno iscrtajte vektor iz bilo koje druge točke na ravnini. Posve je očito da će ga njegovo propadanje “nemilosrdno pratiti”. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom." Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za svaki vektor. Smiješno je da sami bazični (slobodni) vektori ne moraju biti iscrtani iz ishodišta; jedan se može crtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se neće promijeniti! Istina, ne morate to učiniti, jer će i učitelj pokazati originalnost i izvući vam "kredit" na neočekivanom mjestu.

Vektori točno prikazuju pravilo množenja vektora brojem, vektor je suusmjeren s baznim vektorom, vektor je usmjeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, možete je precizno zapisati ovako:

A bazični vektori su, usput rečeno, ovakvi: (zapravo, oni se izražavaju kroz sebe).

I konačno: , . Usput, što je vektorsko oduzimanje i zašto nisam govorio o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj zbrajanja. Dakle, ekspanzije vektora “de” i “e” lako se zapisuju kao zbroj: , . Slijedite crtež kako biste vidjeli koliko jasno dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta funkcionira u ovim situacijama.

Razmotrena dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u ort sustavu(tj. u sustavu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora; sljedeća opcija je uobičajena:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori zapisani su na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije notacije.

Dvojio sam da li da govorim, ali ću ipak reći: vektorske koordinate se ne mogu preuređivati. Strogo na prvom mjestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru, strogo na drugom mjestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Doista, i su dva različita vektora.

Odredili smo koordinate u avionu. Pogledajmo sada vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je gotovo sve isto! Samo će dodati još jednu koordinatu. Teško je napraviti trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odvojiti od ishodišta:

Bilo koje 3D prostorni vektor jedini način proširiti preko ortonormirane baze:
, gdje su koordinate vektora (broja) u ovoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako ovdje rade vektorska pravila. Prvo, množenje vektora s brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (malinasta strelica). Drugo, ovdje je primjer dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor zbroja počinje u početnoj točki polazišta (početak vektora) i završava u konačnoj točki dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni; pokušajte mentalno odvojiti vektor od bilo koje druge točke i shvatit ćete da će njegova dekompozicija "ostati s njim".

Slično ravnom slučaju, uz pisanje inačice sa zagradama imaju široku primjenu: bilo .

Ako u ekspanziji nedostaje jedan (ili dva) koordinatna vektora, tada se na njihovo mjesto stavljaju nule. Primjeri:
vektor (pedantno ) - idemo pisati ;
vektor (pedantno ) - idemo pisati ;
vektor (pedantno ) - idemo pisati .

Bazisni vektori se pišu na sljedeći način:

To je možda sav minimum teorijskog znanja potrebnog za rješavanje problema analitičke geometrije. Pojmova i definicija može biti mnogo, pa preporučujem da teapots ponovno pročitaju i shvate ove informacije. I bit će korisno za svakog čitatelja da se s vremena na vrijeme obrati na osnovnu lekciju kako bi bolje usvojio materijal. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormirana baza, vektorska dekompozicija - ovi i drugi pojmovi često će se koristiti u budućnosti. Napominjem da materijali na stranici nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa ili kolokvija iz geometrije, budući da pažljivo šifriram sve teoreme (i bez dokaza) - na štetu znanstvenog stila prezentacije, ali plus vašem razumijevanju predmet. Za detaljne teorijske informacije molimo poklonite se profesoru Atanasyanu.

I prelazimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije s vektorima u koordinatama

Vrlo je poželjno naučiti rješavati zadatke koji će se razmatrati potpuno automatski, te formule zapamtiti, ne morate ga čak ni namjerno zapamtiti, oni će sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, budući da se drugi problemi analitičke geometrije temelje na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti dosadno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune . Nema potrebe da zakopčavate gornje gumbe na košulji, mnoge su vam stvari poznate iz škole.

Izlaganje gradiva ići će paralelnim tijekom - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule... vidjet ćete i sami.

Kako pronaći vektor iz dvije točke?

Ako su zadane dvije točke ravnine i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su zadane dvije točke u prostoru i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, od koordinata kraja vektora trebate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.

Vježba: Za iste točke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke ravnine i . Pronađite vektorske koordinate

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeći unos:

O tome će odlučiti esteti:

Osobno sam se navikao na prvu verziju snimke.

Odgovor:

Prema uvjetu, nije bilo potrebno konstruirati crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali kako bih razjasnio neke točke za lutke, neću biti lijen:

Svakako morate razumjeti razlika između koordinata točke i koordinata vektora:

Koordinate točke– to su obične koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu. Mislim da svi znaju crtati točke na koordinatnoj ravnini od 5-6 razreda. Svaka točka ima točno određeno mjesto na ravnini i ne može se nikamo pomaknuti.

Koordinate vektora– to je njegovo proširenje prema osnovi, u ovom slučaju. Svaki vektor je slobodan, pa ga po želji ili potrebi možemo lako odmaknuti od neke druge točke na ravnini (da ne bude zabune, ponovno ga označiti, na primjer, s ). Zanimljivo je da za vektore uopće ne morate graditi osi ili pravokutni koordinatni sustav; potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju ortonormirana baza ravnine.

Čini se da su zapisi koordinata točaka i koordinata vektora slični: , i značenje koordinata apsolutno drugačiji, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ta se razlika, naravno, odnosi i na prostor.

Dame i gospodo, napunimo ruke:

Primjer 2

a) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda je to dovoljno. Ovo su primjeri za koje se sami odlučite, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Nema potrebe za izradom crteža. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Što je važno pri rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je biti IZUZETNO OPREZAN kako biste izbjegli majstorsku pogrešku "dva plus dva jednako je nula". Ispričavam se odmah ako sam negdje pogriješio =)

Kako pronaći duljinu segmenta?

Duljina je, kao što je već navedeno, označena znakom modula.

Ako su dane dvije točke ravnine i , tada se duljina segmenta može izračunati pomoću formule

Ako su dane dvije točke u prostoru i , tada se duljina segmenta može izračunati pomoću formule

Bilješka: Formule će ostati točne ako se odgovarajuće koordinate zamijene: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Radi jasnoće, napravit ću crtež

Segment linije - ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nikamo premjestiti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dvije ćelije u bilježnici), tada se dobiveni odgovor može provjeriti običnim ravnalom izravnim mjerenjem duljine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali u njemu postoji nekoliko važnijih točaka koje bih želio razjasniti:

Prvo, u odgovor smo stavili dimenziju: “jedinice”. Uvjet ne kaže ŠTO je to, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: "jedinice" - skraćeno "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani zadatak:

obrati pozornost na važna tehnika – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat izračuna, imamo rezultat, a dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Detaljnije proces izgleda ovako: . Naravno, ostaviti odgovor onakvim kakav jest ne bi bila greška - ali bi svakako bila mana i težak argument za zamjerku od strane nastavnika.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često korijen proizvodi prilično veliki broj, na primjer . Što učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo je li broj djeljiv s 4: . Da, bio je potpuno podijeljen, dakle: . Ili se možda broj opet može podijeliti sa 4? . Tako: . Posljednja znamenka broja je neparna, pa dijeljenje s 4 treći put očito neće uspjeti. Pokušajmo podijeliti s devet: . Kao rezultat:
Spreman.

Zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izvući kao cjelinu, onda faktor pokušavamo izbaciti ispod korijena - kalkulatorom provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Pri rješavanju raznih zadataka često se susreću korijeni; uvijek pokušajte izvući faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme s dovršavanjem rješenja na temelju komentara nastavnika.

Ponovimo i kvadriranje korijena i druge potencije:

Pravila za rad s potencijama u općem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz navedenih primjera sve ili gotovo sve već jasno.

Zadatak za samostalno rješavanje segmentom u prostoru:

Primjer 4

Daju se bodovi i . Pronađite duljinu segmenta.

Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

Kako pronaći duljinu vektora?

Ako je zadan ravninski vektor, tada se njegova duljina izračunava formulom.

Ako je zadan prostorni vektor, tada se njegova duljina izračunava formulom .

Ove formule (kao i formule za duljinu segmenta) lako se izvode korištenjem dobro poznatog Pitagorinog teorema.

Što drugo čitati

Najpikantnije salate. Salata „Ljuto. Pikantna salata s govedinom i kiselim krastavcima Pikantna salata jedno je od najsvestranijih jela. Postoji nekoliko desetaka recepata za...

Koliko nacija ili narodnosti živi u Rusiji 1. Osobitosti nacionalnog sastava Rusije……………………………………………2 2. Kratka povijest naseljavanja Rusije…………………………………………… ….5 3 ....

Sažetak za znanstveno-praktičnu konferenciju "Sinonimi ruskog jezika" Poznavanje sinonimskog bogatstva zavičajnog jezika neophodan je uvjet ljudske govorne kulture. Sinonimi su (grčki....

Vektor se nalazi. Vektori na ravnini i prostoru - osnovne definicije. Određivanje kuta između pravca i ravnine

Glavne vrste vektora

Pojam vektora u klasičnoj geometriji

Vektorski dodatak

Vektorska razlika

Lokacija vektora

Vektori u fizici

Vektor u linearnoj algebri i računu

Projiciranje vektora

KOORDINATE I VEKTORI. PROSJEČNA RAZINA

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke

Vektorsko umjetničko djelo

Mješoviti umnožak tri vektora

Odabir koordinatnog sustava

Ravna prizma

Trokutasta prizma:

Heksagonalna prizma:

Četverokuta i šesterokutna piramida:

Tetraedar (trokutasta piramida)

Određivanje kuta između pravca i ravnine

Izračunavanje kutova između dvije ravnine

Koordinate i vektori. Napredna razina

Izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine

Izračunavanje udaljenosti od pravca do ravnine

Izračunavanje udaljenosti točke od pravca

Izračunavanje udaljenosti između linija koje se sijeku

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

PREOSTALIH 2/3 ČLANKA DOSTUPNO JE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Koncept vektora. Besplatni vektor

Akcije s vektorima. Kolinearnost vektora

Pravilo zbrajanja vektora pomoću pravila trokuta

Koji vektori su jednaki?

Vektorske koordinate u ravnini i prostoru

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.Akcije s vektorima u koordinatama

Kako pronaći vektor iz dvije točke?

Kako pronaći duljinu segmenta?

Kako pronaći duljinu vektora?

Što drugo čitati

POSLJEDNJE BILJEŠKE

Kategorije

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije s vektorima u koordinatama