Jednadžbe eksponencijalne snage. Predavanje: “Metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi

1º. Eksponencijalne jednadžbe nazivaju se jednadžbe koje sadrže varijablu u eksponentu.

Riješenje eksponencijalne jednadžbe na temelju svojstva stupnja: dvije potencije s istom bazom jednake su ako i samo ako su im eksponenti jednaki.

2º. Osnovne metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi:

1) najjednostavnija jednadžba ima rješenje;

2) jednadžba oblika logaritamska bazi a svesti u oblik;

3) jednadžba oblika je ekvivalentna jednadžbi ;

4) jednadžba oblika je ekvivalentna jednadžbi.

5) jednadžba oblika se supstitucijom svodi na jednadžbu, a zatim se rješava skup jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi;

6) jednadžba s recipročnim veličinama supstitucijom svode na jednadžbu, a zatim rješavaju skup jednadžbi;

7) jednadžbe homogene u odnosu na g(x) I b g(x) s obzirom na to ljubazan zamjenom se svode na jednadžbu, a zatim se rješava skup jednadžbi.

Klasifikacija eksponencijalnih jednadžbi.

1. Jednadžbe se rješavaju odlaskom na jednu bazu.

Primjer 18. Riješite jednadžbu .

Rješenje: Iskoristimo činjenicu da su sve baze potencija potencije broja 5: .

2. Jednadžbe se rješavaju prelaskom na jedan eksponent.

Ove se jednadžbe rješavaju transformacijom izvorne jednadžbe u oblik , koji je sveden na najjednostavniji korištenjem svojstva proporcije.

Primjer 19. Riješite jednadžbu:

3. Jednadžbe se rješavaju izbacivanjem zajedničkog faktora iz zagrada.

Ako se svaki eksponent u jednadžbi razlikuje od drugoga za određeni broj, tada se jednadžbe rješavaju tako da se eksponent s najmanjim eksponentom stavlja izvan zagrade.

Primjer 20. Riješite jednadžbu.

Rješenje: Uzmimo stupanj s najmanjim eksponentom iz zagrada na lijevoj strani jednadžbe:

Primjer 21. Riješite jednadžbu

Rješenje: Grupirajmo zasebno na lijevoj strani jednadžbe članove koji sadrže potencije s bazom 4, na desnoj strani - s bazom 3, pa stavimo potencije s najmanjim eksponentom izvan zagrada:

4. Jednadžbe koje se svode na kvadratne (ili kubne) jednadžbe.

Sljedeće jednadžbe svode se na kvadratnu jednadžbu za novu varijablu y:

a) vrstu zamjene, u ovom slučaju;

b) vrstu supstitucije i .

Primjer 22. Riješite jednadžbu .

Rješenje: Napravimo promjenu varijable i riješimo kvadratna jednadžba:

.

Odgovor: 0; 1.

5. Jednadžbe koje su homogene u odnosu na eksponencijalne funkcije.

Jednadžba oblika je homogena jednadžba drugi stupanj u odnosu na nepoznate a x I b x. Takve se jednadžbe reduciraju tako da se obje strane najprije podijele s i zatim zamijene u kvadratne jednadžbe.

Primjer 23. Riješite jednadžbu.

Rješenje: obje strane jednadžbe podijelite s:

Stavljajući , dobivamo kvadratnu jednadžbu s korijenima .

Sada se problem svodi na rješavanje skupa jednadžbi . Iz prve jednadžbe nalazimo da je . Druga jednadžba nema korijena, jer za bilo koju vrijednost x.

Odgovor: -1/2.

6. Racionalne jednadžbe s obzirom na eksponencijalne funkcije.

Primjer 24. Riješite jednadžbu.

Rješenje: Brojnik i nazivnik razlomka podijelite s 3 x a umjesto dva dobijemo jedan eksponencijalna funkcija:

7. Jednadžbe oblika .

Takve jednadžbe sa skupom dopuštenih vrijednosti (APV), određenim uvjetom, uzimanjem logaritma obje strane jednadžbe svode se na ekvivalentnu jednadžbu, koja je pak ekvivalentna skupu dviju jednadžbi ili.

Primjer 25. Riješi jednadžbu: .

.

Didaktički materijal.

Riješite jednadžbe:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Pronađite umnožak korijena jednadžbe .

27. Nađi zbroj korijena jednadžbe .

Pronađite značenje izraza:

28. , gdje x 0- korijen jednadžbe ;

29. , gdje x 0– cijeli korijen jednadžbe .

Riješite jednadžbu:

31. ; 32. .

odgovori: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tema br.8.

Eksponencijalne nejednakosti.

1º. Nejednadžba koja sadrži varijablu u eksponentu naziva se eksponencijalna nejednakost.

2º. Riješenje eksponencijalne nejednakosti tip se temelji na sljedećim izjavama:

ako je , tada je nejednakost ekvivalentna ;

ako je , tada je nejednakost ekvivalentna .

Pri rješavanju eksponencijalnih nejednadžbi koriste se iste tehnike kao i kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.

Primjer 26. Riješite nejednadžbu (metoda prijelaza na jednu bazu).

Rješenje: Jer , tada se navedena nejednakost može napisati kao: . Od , Tada je ova nejednakost ekvivalentna nejednakosti .

Rješavajući posljednju nejednadžbu, dobivamo .

Primjer 27. Riješite nejednadžbu: ( iznošenjem zajedničkog faktora iz zagrade).

Rješenje: Izbacimo iz zagrada na lijevoj strani nejednadžbe , na desnoj strani nejednadžbe i podijelimo obje strane nejednadžbe s (-2), mijenjajući predznak nejednadžbe na suprotan:

Budući da , tada se pri prelasku na nejednakost indikatora predznak nejednakosti ponovno mijenja u suprotan. Dobivamo. Dakle, skup svih rješenja ove nejednadžbe je interval.

Primjer 28. Riješite nejednadžbu ( uvođenjem nove varijable).

Rješenje: Neka . Tada će ova nejednakost imati oblik: ili , čije je rješenje interval .

Odavde. Budući da funkcija raste, tada .

Didaktički materijal.

Navedite skup rješenja nejednadžbe:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Na koje vrijednosti x Leže li točke na grafu funkcije ispod ravne crte?

7. Na koje vrijednosti x Leže li točke na grafu funkcije barem toliko koliko i pravac?

Riješite nejednadžbu:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Navedite najveće cjelobrojno rješenje nejednadžbe .

14. Nađite umnožak najvećeg cijelog broja i najmanjeg cijelog broja rješenja nejednadžbe .

Riješite nejednadžbu:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Pronađite domenu funkcije:

27. ; 28. .

29. Pronađite skup vrijednosti argumenata za koje su vrijednosti svake funkcije veće od 3:

I .

odgovori: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Izvornoj jednadžbi dodajemo:

Izbacimo to iz zagrada \

Izrazimo \

Budući da su stupnjevi isti, odbacujemo ih:

Odgovor: \

Gdje mogu riješiti eksponencijalnu jednadžbu pomoću mrežnog rješavača?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje mrežnih jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako još uvijek imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

Što je eksponencijalna jednadžba? Primjeri.

Dakle, eksponencijalna jednadžba... Novi jedinstveni eksponat u našoj općoj izložbi širokog spektra jednadžbi!) Kao što je gotovo uvijek slučaj, ključna riječ svakog novog matematičkog pojma je odgovarajući pridjev koji ga karakterizira. Tako je i ovdje. Ključna riječ u pojmu "eksponencijalna jednadžba" je riječ "indikativno". Što to znači? Ova riječ znači da je nepoznata (x) locirana u smislu bilo kojeg stupnja. I samo tamo! Ovo je iznimno važno.

Na primjer, ove jednostavne jednadžbe:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ili čak ova čudovišta:

2 sin x = 0,5

Odmah obratite pažnju na jednu važnu stvar: razloga stupnjevi (dolje) – samo brojevi. Ali u indikatori stupnjevi (iznad) - širok izbor izraza s X. Apsolutno bilo koji.) Sve ovisi o konkretnoj jednadžbi. Ako se iznenada x pojavi negdje drugdje u jednadžbi, osim indikatora (recimo, 3 x = 18 + x 2), tada će takva jednadžba već biti jednadžba mješoviti tip. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Stoga ih nećemo razmatrati u ovoj lekciji. Na zadovoljstvo učenika.) Ovdje ćemo razmatrati samo eksponencijalne jednadžbe u “čistom” obliku.

Općenito govoreći, ne mogu se jasno riješiti sve, pa čak ni čiste eksponencijalne jednadžbe. Ali među svom bogatom raznolikošću eksponencijalnih jednadžbi, postoje određene vrste koje se mogu i trebaju riješiti. Upravo ćemo te vrste jednadžbi razmotriti. A primjere ćemo svakako riješiti.) Pa se raskomotimo i krenimo! Kao u računalnim pucačinama, naše će se putovanje odvijati kroz razine.) Od osnovnog do jednostavnog, od jednostavnog do srednjeg i od srednjeg do složenog. Usput će vas čekati i tajna razina - tehnike i metode za rješavanje nestandardnih primjera. One o kojima nećete čitati u većini školskih udžbenika... Pa, i na kraju vas, naravno, čeka završni šef u vidu domaće zadaće.)

Razina 0. Koja je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba? Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, pogledajmo neke iskrene elementarne stvari. Negdje morate početi, zar ne? Na primjer, ova jednadžba:

2 x = 2 2

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom logikom i zdravim razumom jasno je da je x = 2. Nema drugog načina, zar ne? Nijedno drugo značenje X nije prikladno... A sada obratimo pozornost na zapisnik odluke ova cool eksponencijalna jednadžba:

2 x = 2 2

X = 2

Što nam se dogodilo? I dogodilo se sljedeće. Zapravo smo ga uzeli i... jednostavno izbacili iste baze (dvojke)! Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili pravo!

Da, doista, ako u eksponencijalnoj jednadžbi postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojoj potenciji, tada se ti brojevi mogu odbaciti i jednostavno izjednačiti eksponente. Matematika dopušta.) A onda možete zasebno raditi s indikatorima i riješiti mnogo jednostavniju jednadžbu. Sjajno, zar ne?

Evo ključne ideje za rješavanje bilo koje (da, baš svake!) eksponencijalne jednadžbe: korištenjem identičnih transformacija potrebno je osigurati da lijeva i desna strana jednadžbe budu isto osnovni brojevi u raznim potencijama. I onda možete sigurno ukloniti iste baze i izjednačiti eksponente. I radite s jednostavnijom jednadžbom.

Sada se prisjetimo željeznog pravila: moguće je ukloniti identične baze ako i samo ako brojevi s lijeve i desne strane jednadžbe imaju bazne brojeve u ponosnoj samoći.

Što to znači, u sjajnoj izolaciji? To znači bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Dopustite da objasnim.

Na primjer, u jednadžbi

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trojke se ne mogu ukloniti! Zašto? Jer na lijevoj strani nemamo samo usamljenu trojku za stupanj, već raditi 3·3 x-5 . Dodatna tri smetaju: koeficijent, razumijete.)

Isto se može reći i za jednadžbu

5 3 x = 5 2 x +5 x

I ovdje su sve baze iste – pet. Ali s desne strane nemamo niti jednu potenciju petice: postoji zbroj potencija!

Ukratko, imamo pravo ukloniti identične baze samo kada naša eksponencijalna jednadžba izgleda ovako i samo ovako:

af (x) = a g (x)

Ova vrsta eksponencijalne jednadžbe naziva se najjednostavniji. Ili, znanstveno, kanonski . I bez obzira kakvu zamršenu jednadžbu imamo pred sobom, mi ćemo je, na ovaj ili onaj način, svesti upravo na ovaj najjednostavniji (kanonski) oblik. Ili, u nekim slučajevima, da totalitet jednadžbe ovog tipa. Tada se naša najjednostavnija jednadžba može prepisati u općem obliku ovako:

F(x) = g(x)

To je sve. Ovo bi bila ekvivalentna pretvorba. U ovom slučaju, f(x) i g(x) mogu biti apsolutno bilo koji izrazi s x. Što god.

Možda će se posebno radoznali student zapitati: zašto, zaboga, tako lako i jednostavno odbacujemo iste baze s lijeve i desne strane i izjednačavamo eksponente? Intuicija je intuicija, ali što ako se u nekoj jednadžbi i iz nekog razloga ovaj pristup pokaže netočnim? Je li uvijek zakonito izbaciti iste osnove? Nažalost, za rigorozan matematički odgovor na ovo zanimljivo pitanje potrebno je duboko i ozbiljno zaroniti u opću teoriju strukture i ponašanja funkcija. I malo konkretnije – u fenomenu stroga monotonija. Konkretno, stroga monotonija eksponencijalna funkcijag= a x. Budući da je eksponencijalna funkcija i njezina svojstva temelj rješenja eksponencijalnih jednadžbi, da.) Detaljan odgovor na ovo pitanje bit će dan u posebnoj lekciji posvećenoj rješavanju složenih nestandardnih jednadžbi korištenjem monotonosti različitih funkcija.)

Objašnjavanje ove točke u pojedinosti sada samo bi oduševilo prosječnog učenika i preplašilo ga prije vremena suhoparnom i teškom teorijom. Neću to učiniti.) Jer naš glavni zadatak u ovom trenutku je naučite rješavati eksponencijalne jednadžbe! One najjednostavnije! Stoga, nemojmo još brinuti i hrabro izbacimo iste razloge. Ovaj Limenka, vjerujte mi na riječ!) I tada rješavamo ekvivalentnu jednadžbu f(x) = g(x). U pravilu, jednostavnije od izvorne eksponencijalne.

Pretpostavlja se, naravno, da u ovom trenutku ljudi već znaju kako riješiti barem , i jednadžbe, bez x-ova u eksponentima.) Za one koji još uvijek ne znaju kako, slobodno zatvorite ovu stranicu, slijedite relevantne poveznice i popuniti stare praznine. Inače ćeš teško proći, da...

Ne govorim o iracionalnim, trigonometrijskim i drugim brutalnim jednadžbama koje također mogu nastati u procesu eliminacije temelja. Ali nemojte se uznemiriti, za sada nećemo razmatrati izravnu okrutnost u smislu stupnjeva: prerano je. Vježbat ćemo samo na najjednostavnijim jednadžbama.)

Sada pogledajmo jednadžbe koje zahtijevaju dodatni napor da se svedu na najjednostavnije. Razlike radi, nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Dakle, prijeđimo na sljedeću razinu!

Razina 1. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo stupnjeve! Prirodni pokazatelji.

Ključna pravila u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi su pravila za postupanje sa diplomama. Bez ovog znanja i vještina ništa neće uspjeti. Jao. Dakle, ako imate problema sa diplomama, prvo ste dobrodošli. Osim toga, trebat će nam i . Ove transformacije (njih dvije!) osnova su za rješavanje svih matematičkih jednadžbi općenito. I ne samo demonstrativne. Dakle, tko je zaboravio, neka pogleda i link: ne stavljam ih samo tamo.

Ali same operacije s ovlastima i transformacije identiteta nisu dovoljne. Također su potrebni osobno zapažanje i domišljatost. Trebamo iste razloge, zar ne? Stoga ispitujemo primjer i tražimo ih u eksplicitnom ili prikrivenom obliku!

Na primjer, ova jednadžba:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni su drugačiji! Tri i dvadeset sedam. Ali prerano je za paniku i očaj. Vrijeme je da se toga prisjetimo

27 = 3 3

Brojevi 3 i 27 su rođaci po stupnju! I bliski.) Stoga imamo puno pravo napisati:

27 x +2 = (3 3) x+2

Sada povežimo naše znanje o radnje sa stupnjevima(i upozorio sam te!). Postoji vrlo korisna formula:

(a m) n = a mn

Ako to sada provedete u djelo, odlično funkcionira:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Izvorni primjer sada izgleda ovako:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Super, baze stupnjeva su se izravnale. To smo htjeli. Pola bitke je gotovo.) A sada pokrećemo osnovnu transformaciju identiteta - pomaknite 3 3(x +2) udesno. Nitko nije otkazao elementarne matematičke operacije, da.) Dobivamo:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Što nam ova vrsta jednadžbe daje? I činjenica da je sada naša jednadžba smanjena kanonskom obliku: lijevo i desno su isti brojevi (trojke) u potencijama. Štoviše, oboje troje su u sjajnoj izolaciji. Slobodno uklonite trojke i dobit ćete:

2x = 3(x+2)

Rješavamo ovo i dobivamo:

X = -6

To je to. Ovo je točan odgovor.)

Sada razmislimo o rješenju. Što nas je spasilo u ovom primjeru? Spasilo nas je znanje o moći trojstva. Kako točno? Mi identificiran broj 27 sadrži šifriranu trojku! Ovaj trik (kodiranje iste baze pod različitim brojevima) jedan je od najpopularnijih u eksponencijalnim jednadžbama! Osim ako nije najpopularniji. Da, i to na isti način, usput. Zbog toga su opažanje i sposobnost prepoznavanja potencija drugih brojeva u brojevima tako važni u eksponencijalnim jednadžbama!

Praktični savjeti:

Morate znati moći popularnih brojeva. U lice!

Naravno, svatko može podići dva na sedmu potenciju ili tri na petu potenciju. Ne u mislima, ali barem u nacrtu. Ali u eksponencijalnim jednadžbama mnogo češće nije potrebno dizati na potenciju, već, naprotiv, saznati koji se broj i na koju potenciju krije iza broja, recimo, 128 ili 243. A ovo je kompliciranije nego jednostavno podizanje, složit ćete se. Osjetite razliku, kako kažu!

Budući da će sposobnost prepoznavanja stupnjeva pogledom biti korisna ne samo na ovoj razini, već i na sljedećim, evo malog zadatka za vas:

Odredi koje su potencije i koji su brojevi:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (naravno, nasumično):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da da! Nemojte se iznenaditi što ima više odgovora nego zadataka. Na primjer, 2 8, 4 4 i 16 2 su svi 256.

Razina 2. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo stupnjeve! Negativni i frakcijski pokazatelji.

Na ovoj razini već u potpunosti koristimo svoje znanje o diplomama. Naime, u ovaj fascinantan proces uključujemo negativne i frakcijske pokazatelje! Da da! Moramo povećati svoju moć, zar ne?

Na primjer, ova strašna jednadžba:

Opet, prvi pogled je na temelje. Razlozi su različiti! A ovoga puta nisu ni približno slični! 5 i 0,04... A za eliminiranje baza potrebne su iste... Što učiniti?

U redu je! Zapravo, sve je isto, samo je veza između petice i 0,04 vizualno slabo vidljiva. Kako možemo izaći? Prijeđimo na broj 0,04 kao obični razlomak! I onda, vidite, sve će uspjeti.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ispada da je 0,04 1/25! Pa, tko bi pomislio!)

Pa kako? Je li sada lakše uočiti vezu između brojeva 5 i 1/25? To je to...

A sada prema pravilima radnji sa stupnjevima s negativan pokazatelj Možete pisati mirnom rukom:

To je odlično. Tako smo došli do iste baze - pet. Sada zamijenimo nezgodni broj 0,04 u jednadžbi s 5 -2 i dobijemo:

Opet, prema pravilima rada sa stupnjevima, sada možemo napisati:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Za svaki slučaj, podsjećam (ako netko ne zna) da osnovna pravila za rad s diplomama vrijede za bilo koji indikatori! Uključujući i negativne.) Dakle, slobodno uzmite i pomnožite indikatore (-2) i (x-1) prema odgovarajućem pravilu. Naša jednadžba postaje sve bolja i bolja:

Svi! Osim usamljenih petica, u moćima s lijeve i desne strane nema ništa drugo. Jednadžba je svedena na kanonski oblik. A onda - duž nabrane staze. Uklanjamo petice i izjednačavamo pokazatelje:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Primjer je gotovo riješen. Ostala je samo matematika za srednju školu - otvorite (ispravno!) zagrade i sakupite sve lijevo:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Rješavamo ovo i dobivamo dva korijena:

x 1 = 1; x 2 = 3

To je sve.)

Sada razmislimo ponovno. U ovom primjeru opet smo morali prepoznati isti broj u različitim stupnjevima! Naime, vidjeti šifriranu peticu u broju 0,04. I ovaj put - unutra negativan stupanj! Kako smo to učinili? Odmah – nema šanse. Ali nakon prelaska s decimalnog razlomka 0,04 na obični razlomak 1/25, sve je postalo jasno! A onda je cijela odluka išla kao podmazana.)

Stoga, još jedan zeleni praktični savjet.

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži decimalne razlomke, tada se s decimalnih razlomaka prelazi na obične razlomke. Puno je lakše prepoznati potencije mnogih popularnih brojeva u razlomcima! Nakon prepoznavanja prelazimo s razlomaka na potencije s negativnim eksponentima.

Imajte na umu da se ovaj trik vrlo, vrlo često pojavljuje u eksponencijalnim jednadžbama! Ali osoba nije u temi. Gleda, na primjer, brojeve 32 i 0,125 i uzruja se. Bez njegovog znanja, ovo je jedno te isto dvoje, samo u različitim stupnjevima... Ali vi već znate!)

Riješite jednadžbu:

U! Izgleda kao tihi horor... No, izgled vara. Ovo je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba, unatoč zastrašujućem izgledu. A sada ću vam ga pokazati.)

Prvo, pogledajmo sve brojeve u bazama i koeficijentima. Oni su, naravno, drugačiji, da. Ali ipak ćemo riskirati i pokušati ih ostvariti identičan! Pokušajmo doći do isti broj u različitim potencijama. Štoviše, poželjno je da su brojevi što manji. Dakle, krenimo s dekodiranjem!

Pa, s četvorkom je sve odmah jasno - to je 2 2. Dobro, to je već nešto.)

S razlomkom od 0,25 - još uvijek je nejasno. Treba provjeriti. Poslužimo se praktičnim savjetom - prijeđite s decimalnog razlomka na obični razlomak:

0,25 = 25/100 = 1/4

Već puno bolje. Jer sada je jasno vidljivo da je 1/4 2 -2. Sjajno, a broj 0,25 također je sličan dva.)

Zasada je dobro. Ali najgori broj od svih ostaje - kvadratni korijen iz dva!Što učiniti s ovom paprikom? Može li se također predstaviti kao potencija dvojke? A tko zna...

Pa, zaronimo opet u našu riznicu znanja o diplomama! Ovaj put dodatno povezujemo svoje znanje o korijenima. Od tečaja 9. razreda, ti i ja smo trebali naučiti da se bilo koji korijen, po želji, uvijek može pretvoriti u stupanj s frakcijskim indikatorom.

Kao ovo:

U našem slučaju:

Wow! Ispada da je kvadratni korijen iz dva 2 1/2. To je to!

To je u redu! Pokazalo se da su svi naši nezgodni brojevi zapravo šifrirani dvojci.) Ne raspravljam, negdje vrlo sofisticirano šifrirani. Ali također poboljšavamo svoju profesionalnost u rješavanju takvih šifara! I tada je već sve očito. U našoj jednadžbi zamjenjujemo brojeve 4, 0,25 i korijen iz dva potencijama broja dva:

Svi! Baze svih stupnjeva u primjeru postale su iste - dvije. A sada se koriste standardne akcije sa stupnjevima:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Za lijevu stranu dobivate:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Za desnu stranu to će biti:

I sada naša zla jednadžba izgleda ovako:

Za one koji nisu točno shvatili kako je ova jednadžba nastala, ovdje se ne radi o eksponencijalnim jednadžbama. Pitanje je o akcijama sa stupnjevima. Zamolio sam vas da hitno ponovite onima koji imaju problema!

Ovdje je cilj! Dobiven je kanonski oblik eksponencijalne jednadžbe! Pa kako? Jesam li vas uvjerio da sve nije tako strašno? ;) Uklanjamo dvojke i izjednačavamo pokazatelje:

Ostaje samo riješiti ovu linearnu jednadžbu. Kako? Uz pomoć identičnih transformacija, naravno.) Odlučite što se događa! Pomnožite obje strane s dva (kako biste uklonili razlomak 3/2), pomaknite članove s X-ovima ulijevo, bez X-a udesno, donesite slične, brojite - i bit ćete sretni!

Sve bi trebalo ispasti lijepo:

X=4

Sada ponovno razmislimo o rješenju. U ovom primjeru pomogao nam je prijelaz iz korijen Do stupanj s eksponentom 1/2. Štoviše, samo takva lukava transformacija nam je pomogla da svugdje dođemo do iste baze (dvije), što je spasilo situaciju! I, da nije tako, onda bismo imali sve šanse zauvijek se smrznuti i nikada se ne nositi s ovim primjerom, da...

Stoga ne zanemarujemo sljedeći praktični savjet:

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži korijene, tada prelazimo s korijena na potencije s razlomačkim eksponentima. Vrlo često samo takva transformacija razjašnjava daljnju situaciju.

Naravno, negativne i frakcijske potencije već su mnogo složenije od prirodnih potencija. Barem sa stajališta vizualne percepcije i, posebice, prepoznavanja s desna na lijevo!

Jasno je da izravno dizanje, na primjer, dva na potenciju -3 ili četiri na potenciju -3/2 nije tako velik problem. Za one koji znaju.)

Ali idi, na primjer, odmah to shvati

0,125 = 2 -3

Ili

Ovdje vlada samo praksa i bogato iskustvo, da. I, naravno, jasna ideja, Što je negativan i razlomački stupanj? I također praktični savjeti! Da, da, te iste zelena.) Nadam se da će vam oni ipak pomoći da se bolje snađete u cijeloj raznolikoj raznolikosti diploma i značajno povećati vaše šanse za uspjeh! Stoga ih nemojmo zanemariti. Nije uzalud što ponekad pišem zeleno.)

Ali ako se upoznate čak i s tako egzotičnim moćima kao što su negativne i frakcijske, tada će se vaše sposobnosti u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi enormno proširiti i moći ćete se nositi s gotovo svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Pa, ako ne nijedna, onda 80 posto svih eksponencijalnih jednadžbi – sigurno! Da, da, ne šalim se!

Dakle, naš prvi dio našeg uvoda u eksponencijalne jednadžbe došao je do svog logičnog završetka. I, kao međuvježbu, tradicionalno predlažem malo samorefleksije.)

Vježba 1.

Kako moje riječi o dešifriranju negativnih i razlomaka ne bi bile uzalud, predlažem da se malo poigrate!

Izrazite brojeve kao potencije broja dva:

Odgovori (u neredu):

Dogodilo se? Sjajno! Zatim obavljamo borbenu misiju - rješavamo najjednostavnije i najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe!

Zadatak 2.

Riješite jednadžbe (svi odgovori su zbrkani!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

odgovori:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Dogodilo se? Doista, puno je jednostavnije!

Zatim rješavamo sljedeću igru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

odgovori:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

I ovi primjeri su još jedan? Sjajno! Ti rasteš! Zatim evo još nekoliko primjera za grickanje:

odgovori:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

I je li ovo odlučeno? Pa svaka čast! Skidam kapu.) To znači da lekcija nije bila uzaludna te se početna razina rješavanja eksponencijalnih jednadžbi može smatrati uspješno savladanom. Pred vama su sljedeće razine i složenije jednadžbe! I nove tehnike i pristupi. I nestandardni primjeri. I nova iznenađenja.) Sve ovo je u sljedećoj lekciji!

Je li nešto pošlo krivo? To znači da su najvjerojatnije problemi u . Ili u . Ili oboje odjednom. Ovdje sam nemoćan. Još jednom mogu predložiti samo jednu stvar - nemojte biti lijeni i slijedite veze.)

Nastavit će se.)