Dom

Rješenjem nejednadžbe s logaritmima. Složene logaritamske nejednadžbe

Mislite li da još ima vremena do ispita i da ćete se imati vremena pripremiti? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne trenirati, to uspješnije polaže ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednakostima. Ovo je jedan od zadataka, što znači priliku za dodatni bod.

Znate li već što je logaritam (log)? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Vrlo je lako razumjeti što je logaritam.

Zašto baš 4? Morate podići broj 3 na takvu moć da dobijete 81. Kada razumijete princip, možete nastaviti sa složenijim izračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada ih stalno susrećete u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada, kada smo se zasebno upoznali s pojmovima, prijeći ćemo na njihovo razmatranje općenito.

Najjednostavnija logaritamska nejednadžba.

Najjednostavnije logaritamske nejednadžbe nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je ovo potrebno? Da bismo bolje razumjeli kako riješiti nejednadžbu logaritmima. Sada dajemo primjenjiviji primjer, još uvijek prilično jednostavan, a složene logaritamske nejednadžbe ostavljamo za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje s ODZ-om. Trebao bi znati više o tome ako želiš uvijek lako riješiti svaku nejednadžbu.

Što je ODZ? DPV za logaritamske nejednadžbe

Skraćenica označava raspon valjanih vrijednosti. U zadacima za ispit često se pojavljuje ova formulacija. DPV vam je koristan ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Ponovno pogledajte gornji primjer. Razmotrit ćemo ODZ na temelju njega, tako da razumijete princip, a rješenje logaritamskih nejednakosti ne izaziva pitanja. Iz definicije logaritma proizlazi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj mora biti pozitivan po definiciji. Riješite gornju nejednadžbu. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednadžbe bit će definiranje raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada prijeđimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednadžbe.

Same logaritme odbacujemo iz oba dijela nejednadžbe. Što nam kao rezultat ostaje? jednostavna nejednakost.

Lako je riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada spajamo dvije dobivene vrijednosti u sustav. Na ovaj način,

Ovo će biti područje dopuštenih vrijednosti za razmatranu logaritamsku nejednakost.

Zašto je uopće potreban ODZ? Ovo je prilika za uklanjanje netočnih i nemogućih odgovora. Ako odgovor nije unutar raspona prihvatljivih vrijednosti, tada odgovor jednostavno nema smisla. Ovo vrijedi dugo pamtiti, jer na ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe

Rješenje se sastoji od nekoliko koraka. Prvo je potrebno pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dvije vrijednosti, to smo razmotrili gore. Sljedeći korak je rješavanje same nejednadžbe. Metode rješenja su sljedeće:

metoda zamjene množitelja;
raspad;
metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, treba koristiti jednu od gore navedenih metoda. Idemo odmah na rješenje. Otkrit ćemo najpopularniju metodu koja je prikladna za rješavanje USE zadataka u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo razmotriti metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno "škakljivu" nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe.

Primjeri rješenja :

Nismo uzalud uzeli upravo takvu nejednakost! Obratite pozornost na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti pri pronalaženju raspona valjanih vrijednosti; u protivnom se znak nejednakosti mora promijeniti.

Kao rezultat toga dobivamo nejednakost:

Sada dovodimo lijevu stranu u oblik jednadžbe jednak nuli. Umjesto znaka "manje od" stavljamo "jednako", rješavamo jednadžbu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem tako jednostavne jednadžbe. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Morate prikazati ove točke na grafikonu, staviti "+" i "-". Što za to treba učiniti? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, tamo stavljamo "+".

Odgovor: x ne može biti veći od -4 ni manji od -2.

Pronašli smo raspon važećih vrijednosti samo za lijevu stranu, sada moramo pronaći raspon važećih vrijednosti za desnu stranu. Ovo nikako nije lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba primljena područja.

I tek sada počinjemo rješavati samu nejednadžbu.

Pojednostavimo to što je više moguće kako bismo se lakše odlučili.

Ponovno koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo kalkulacije, s njim je već sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovor.

Ali ova je metoda prikladna ako logaritamska nejednadžba ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi s različitim bazama uključuje početno svođenje na jednu bazu. Zatim upotrijebite gornju metodu. Ali postoji i kompliciraniji slučaj. Razmotrite jednu od najsloženijih vrsta logaritamskih nejednakosti.

Logaritamske nejednadžbe s promjenjivom bazom

Kako riješiti nejednadžbe s takvim karakteristikama? Da, i takvi se mogu naći na ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Pogledajmo problem u detalje. Ostavimo teoriju po strani i prijeđimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je desnu stranu dovesti do logaritma s istom bazom. Princip nalikuje ekvivalentnim prijelazima. Kao rezultat toga, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, ostaje stvoriti sustav nejednakosti bez logaritama. Metodom racionalizacije prelazimo na ekvivalentni sustav nejednakosti. Samo pravilo ćete razumjeti kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sustav će imati sljedeće nejednakosti.

Koristeći metodu racionalizacije, pri rješavanju nejednadžbi potrebno je zapamtiti sljedeće: od baze treba oduzeti jedan, x se, po definiciji logaritma, oduzima od oba dijela nejednadžbe (desni od lijevog), dva izraza se množe i postavljaju pod izvorni znak u odnosu na nulu.

Daljnje rješenje provodi se metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da razumijete razlike u metodama rješenja, tada će sve početi funkcionirati lako.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednadžbama. Najjednostavnije od njih dovoljno je lako riješiti. Kako učiniti da se svaki od njih riješi bez problema? Sve odgovore ste već dobili u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka unutar ispita i moći ćete dobiti najvišu ocjenu. Sretno u vašem teškom radu!

Nejednadžba se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju.

Metode za rješavanje logaritamskih nejednakosti ne razlikuju se osim u dvije stvari.

Prvo, pri prijelazu s logaritamske nejednakosti na nejednakost sublogaritamskih funkcija slijedi slijedi znak dobivene nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.

Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prijelazu s logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija znak nejednakosti čuva, a ako je manja od $1$, onda se obrće.

Drugo, rješenje svake nejednadžbe je interval, pa je stoga na kraju rješenja nejednadžbe sublogaritamskih funkcija potrebno sastaviti sustav dviju nejednadžbi: prva nejednadžba tog sustava bit će nejednadžba sublogaritamske funkcije, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednadžbu.

Praksa.

Riješimo nejednakosti:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritma je $2>1$, pa se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobivamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \u \)

Jako važno! U bilo kojoj nejednakosti, prijelaz s oblika $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ na usporedbu izraza pod logaritmima može se izvršiti samo ako:

Primjer . Riješite nejednadžbu: $\log$$≤-1$

Riješenje:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Ispišimo ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Otvaramo zagrade, dajemo .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Nejednakost množimo s $-1$, ne zaboravimo obrnuti znak usporedbe.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Izgradimo brojevni pravac i na njemu označimo točke $\frac(7)(3)$ i $\frac(3)(2)$. Imajte na umu da je točka iz nazivnika probušena, unatoč činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova točka neće biti rješenje, jer će nas pri zamjeni u nejednadžbu dovesti do dijeljenja s nulom.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji ulazi u ODZ.
	Zapiši konačan odgovor.

Odgovor: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Primjer . Riješite nejednadžbu: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Riješenje:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Ispišimo ODZ.
ODZ: $x>0$	Idemo do rješenja.
Rješenje: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Pred nama je tipična kvadratno-logaritamska nejednadžba. Radimo.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Proširite lijevu stranu nejednadžbe u .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Sada se morate vratiti na izvornu varijablu - x. Da bismo to učinili, prelazimo na , koji ima isto rješenje, i vršimo obrnutu zamjenu.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transformacija $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\lijevo[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Prijeđimo na usporedbu argumenata. Baze logaritama veće su od $1$, pa se predznak nejednakosti ne mijenja.
$\lijevo[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Spojimo rješenje nejednadžbe i ODZ na jednoj slici.
	Zapišimo odgovor.

Odgovor: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Što još čitati

Zašto sanjati da žena udara čovjeka štapom Svaki san o ženama je preteča intriga i svađa. Za ženu vidjeti sebe u snu s bradom znak je skorog udovištva ili ...

Što znači letjeti avionom u snu Prije nego što saznate o čemu avion sanja, morate se sjetiti što se dogodilo dan prije. Možda ste čuli...

O čemu su sanjale 2 crne mačke U životu su s njom povezani mnogi problemi i praznovjerja, iako u snu rijetko donosi zlo i pretvara se u nesreću ....

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Ispišimo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otvaramo zagrade, dajemo .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Nejednakost množimo s \(-1\), ne zaboravimo obrnuti znak usporedbe.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Izgradimo brojevni pravac i na njemu označimo točke \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\). Imajte na umu da je točka iz nazivnika probušena, unatoč činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova točka neće biti rješenje, jer će nas pri zamjeni u nejednadžbu dovesti do dijeljenja s nulom.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji ulazi u ODZ.
	Zapiši konačan odgovor.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Ispišimo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Idemo do rješenja.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Pred nama je tipična kvadratno-logaritamska nejednadžba. Radimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Proširite lijevu stranu nejednadžbe u .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se morate vratiti na izvornu varijablu - x. Da bismo to učinili, prelazimo na , koji ima isto rješenje, i vršimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformacija \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Prijeđimo na usporedbu argumenata. Baze logaritama veće su od \(1\), pa se predznak nejednakosti ne mijenja.
\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Spojimo rješenje nejednadžbe i ODZ na jednoj slici.
	Zapišimo odgovor.