Konvergencija d'Alembertovog niza. Potreban i dovoljan uvjet za konvergenciju niza brojeva s pozitivnim predznakom. Konvergencija i divergencija izmjeničnih nizova

Prije formuliranja samog znaka, razmotrimo važno pitanje:
Kada treba koristiti d'Alembertov kriterij konvergencije?

Glavni preduvjeti za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

1) Zajednički član niza ("nadjev" niza) uključuje neki broj u stupnju, na primjer, i tako dalje. Štoviše, uopće nije važno gdje se te funkcije nalaze, u brojniku ili u nazivniku - važno je da su tamo prisutne.

2) Zajednički član niza uključuje faktorijel. Što je faktorijel?





…


…

! Kada koristimo d'Alembertov test, samo moramo detaljno oslikati faktorijel. Kao iu prethodnom odlomku, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili dnu razlomka.

3) Ako postoji "lanac faktora" u zajedničkom članu serije, na primjer, . Ovaj slučaj je rijedak.

Uz potencije i (i) faktorijele, polinomi se često nalaze u popuni niza, to ne mijenja stvari - potrebno je koristiti d'Alembertov test.

Osim toga, u općem članu niza, i stupanj i faktorijel mogu se pojaviti u isto vrijeme; mogu postojati dva faktorijala, dva stupnja, važno je da postoje barem nešto razmatranih točaka - a to je samo preduvjet za korištenje d'Alembertovog znaka.

Znak d'Alemberta: Smatrati niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg člana prema prethodnom: , tada:
a) U nizu konvergira
b) U nizu razilazi se
c) Kada znak ne reagira. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se jedinica dobiva u slučaju kada se pokušava primijeniti d'Alembertov test gdje je potrebno koristiti granični usporedni test.

Bez razumijevanja granice i sposobnosti da se neizvjesnost dalje otkriva, nažalost, ne može se ići naprijed.

Primjer:
Riješenje: Vidimo da u zajedničkom članu niza imamo , i to je ispravna premisa da trebamo koristiti d'Alembertov test.

Koristimo d'Alembertov znak:


konvergira.

Cauchyjev radikalni znak.

Cauchyjev test konvergencije za pozitivne numeričke nizove donekle je sličan upravo razmatranom d'Alembertovom testu.

Cauchyjev radikalni znak: Smatrati niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje: , tada:
a) U nizu konvergira. Konkretno, niz konvergira za .
b) U nizu razilazi se. Konkretno, serija se razlikuje na .
c) Kada znak ne reagira. Morate koristiti drugi znak.

! Zanimljivo je primijetiti da ako nam Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza, onda nam ni d'Alembertov test neće dati odgovor. Ali ako d'Alembertov znak ne daje odgovor, onda bi Cauchyjev znak mogao "raditi". Odnosno, Cauchyjev znak je u tom smislu jači znak.

!!! Kada biste trebali koristiti Cauchyjev radikalni znak? Radikalni Cauchyjev test obično se koristi u slučajevima kada je zajednički član niza POTPUNO je u stupnju ovisno o "en". Ili kada se korijen "dobro" izvlači iz zajedničkog člana niza. Ima još egzotičnih slučajeva, ali nećemo se njima razbijati po glavi.

Primjer: Ispitajte niz na konvergenciju

Riješenje: Vidimo da je zajednički član niza potpuno ispod stupnja ovisno o , što znači da moramo koristiti radikalni Cauchyjev test:


Dakle, serija koja se proučava razilazi se.

Integralni Cauchyjev test.

Da bi se primijenio kriterij Cauchyjevog integrala, potrebno je više ili manje pouzdano znati pronaći izvodnice, integrale, a također imati vještinu izračunavanja nepravilan integral prve vrste.

Formulirati ću svojim riječima (radi lakšeg razumijevanja).

Integralni Cauchyjev test: Smatrati niz pozitivnih brojeva. Ovaj niz konvergira ili divergira zajedno s odgovarajućim nepravilnim integralom.

! !! Glavni preduvjet za korištenje integralnog Cauchyjevog testa je činjenica da zajednički član niza sadrži neku funkciju i njezinu derivaciju.

Primjer: Ispitajte niz na konvergenciju

Riješenje: Iz teme Izvedenica vjerojatno se sjećate najjednostavnije tablične stvari: , a mi imamo upravo takav kanonski slučaj.

Kako koristiti znak integrala? Prvo, uzimamo integralnu ikonu i prepisujemo gornju i donju granicu iz "brojača" reda: . Zatim, ispod integrala, prepisujemo "punjenje" serije slovom "x":.

Sada trebamo izračunati nepravi integral. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Ako se pokaže da integral konvergira, tada će i naš red također konvergirati.

2) Ako se pokaže da integral divergira, tada će i naš niz divergirati.

Koristimo integralnu značajku:

Integrand je kontinuiran

Dakle, serija koja se proučava razilazi se zajedno s pripadajućim nepravilnim integralom.

Primjer: Istražite konvergenciju niza

Riješenje: Prije svega, provjeravamo neophodan kriterij za konvergenciju niza. Ovo nije formalnost, već velika prilika da se pozabavimo primjerom "malog krvoprolića".

Numerički niz viši red rasta nego, dakle , to jest, nužni kriterij za konvergenciju je zadovoljen, a niz može i konvergirati i divergirati.

Dakle, mora se koristiti neki znak. Ali što? Granični znak usporedbe očito ne odgovara, budući da je logaritam uvučen u zajednički član niza, znakovi d'Alemberta i Cauchyja također ne dovode do rezultata. Da jesmo, onda bi se u najmanju ruku moglo izvući integralna značajka.

"Inspekcija scene" sugerira divergentni niz (slučaj generaliziranog harmonijskog niza), no opet se postavlja pitanje kako uzeti u obzir logaritam u brojniku?

Ostaje prvi znak usporedbe, temeljen na nejednakostima, koji se često ne uzima u obzir i skuplja prašinu na udaljenoj polici. Napišimo seriju detaljnije:

Podsjećam da - neograničeni uzgoj brojčani niz:

I, počevši od broja , bit će ispunjena nejednakost:

odnosno članovi niza bit će još više relevantni članovi odvojit redak .

Kao rezultat toga, seriji ne preostaje ništa drugo nego da se također raziđe.

Konvergencija ili divergencija numeričkog niza ovisi o njegovom "beskonačnom repu" (ostatku). U našem slučaju možemo zanemariti činjenicu da nejednakost nije istinita za prva dva broja - to ne utječe na zaključak.

Čisti dizajn primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

Usporedite ovaj niz s divergentnim nizom.
Za sve brojeve, počevši od , nejednakost je zadovoljena, stoga, usporedbom, serija koja se proučava razilazi se.

Naizmjenični redovi. Leibnizov znak. Primjeri rješenja.

Što je izmjenična serija? To je jasno ili gotovo jasno već iz samog imena. Samo najjednostavniji primjer.

Razmotrite seriju i napišite je detaljnije:

Alternacija daje množitelj: ako je par, onda će biti znak plus, ako je nepar, znak minus

U praktičnim primjerima, izmjena članova niza može dati ne samo faktor , već i njegove srodne faktore: , , , …. Na primjer:

Zamka su "trikovi":, itd. su takvi množitelji ne osiguravaju promjenu predznaka. Posve je jasno da za svaki prirodni : , , .

Kako ispitati konvergenciju izmjeničnog niza? Koristite Leibnizov znak.

Leibnizov znak: Ako su u izmjeničnom nizu ispunjena dva uvjeta: 1) članovi niza monotono opadaju u apsolutnoj vrijednosti. 2) granica općeg člana jednaka je nuli u apsolutnoj vrijednosti, tada niz konvergira, a modul zbroja ovog niza ne prelazi modul prvog člana.

Kratke informacije o modulu:

Što znači "modulo"? Modul, kako se sjećamo iz škole, "jede" znak minus. Vratimo se seriji . Mentalno obrišite sve znakove gumicom i pogledaj brojke. Vidjet ćemo to svaki sljedećičlan reda manje nego prethodni.

Sada malo o monotoniji.

Članovi reda strogo monoton smanjiti modulo ako SVAKI SLJEDEĆI član niza modulo MANJE od prethodnog: . Za broj striktna monotonost opadanja ispunjena, može se detaljno opisati:

I možemo reći ukratko: svaki sljedeći član serije modulo manje od prethodnog: .

Članovi reda nije strogo monoton smanjenje modula, ako SVAKI SLJEDEĆI član niza modulo NIJE VEĆI OD prethodnog: . Razmotrimo niz s faktorijelom: Ovdje dolazi do nestriktne monotonosti, budući da su prva dva člana niza identična u apsolutnoj vrijednosti. Odnosno svaki sljedeći član niza modulo ne više od prethodnog: .

Pod uvjetima Leibnizova teorema mora biti zadovoljena monotonost opadanja (nije važno je li stroga ili nestriktna). U ovom slučaju članovi serije mogu čak i povećati modulo neko vrijeme, ali "rep" serije mora se nužno monotono smanjivati.

Primjer: Ispitajte niz na konvergenciju

Riješenje: Uobičajeni član niza uključuje faktor , što znači da trebate koristiti Leibnizov test

1) Provjera monotonog opadanja serije.

1<2<3<…, т.е. n+1>n prvi uvjet nije ispunjen

2) – drugi uvjet također nije ispunjen.

Zaključak: niz se razilazi.

Definicija: Ako niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju i niz sastavljen od modula također konvergira, tada kažemo da je niz apsolutno konvergira.

Ako niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju, a niz sastavljen od modula divergira, tada se za niz kaže da je konvergira uvjetno.

Ako niz sastavljen od modula konvergira, tada i taj niz konvergira.

Stoga se izmjenični konvergentni niz mora ispitati na apsolutnu ili uvjetnu konvergenciju.

Primjer:

Riješenje: Koristimo Leibnizov znak:

1) Svaki sljedeći član niza manji je po modulu od prethodnog: – prvi uvjet je ispunjen.

2) – ispunjen je i drugi uvjet.

Zaključak: niz konvergira.

Provjerite uvjetnu ili apsolutnu konvergenciju.

Napravimo niz modula - opet samo uklanjamo množitelj, što osigurava izmjenu:
- divergira (harmonijski niz).

Dakle, naša serija nije apsolutno konvergentan.
Studijska serija konvergira uvjetno.

Primjer: Ispitajte niz na uvjetnu ili apsolutnu konvergenciju

Riješenje: Koristimo Leibnizov znak:
1) Pokušajmo zapisati prvih nekoliko članova niza:


…?!

2)

Činjenica je da ne postoje standardni svakodnevni trikovi za rješavanje takvih ograničenja. Gdje ide ova granica? Do nule, do beskonačnosti? Ovdje je bitno ŠTO brže raste u beskonačnost- brojnik ili nazivnik.

Ako brojnik pri raste brže od faktorijela, tada . Ako u beskonačnosti faktorijel raste brže od brojnika, tada, naprotiv, on "povlači" granicu na nulu: . Ili je možda ta granica jednaka nekom broju različitom od nule? ili . Umjesto toga, možete zamijeniti neki polinom tisućitog stupnja, to opet neće promijeniti situaciju - prije ili kasnije faktorijel će i dalje "prestići" tako užasan polinom. Faktorijel viši red rasta.

– Faktorijel raste brže od proizvod bilo koje količine eksponencijalni i potencijski nizovi(naš slučaj).

– Bilo koje eksponencijalni niz raste brže od bilo kojeg niza potencije, na primjer: , . eksponencijalni niz viši red rasta nego bilo koji niz snaga. Slično faktorijelu, eksponencijalni niz "povlači" umnožak bilo kojeg broja nizova potencije ili polinoma: .

– Ima li što “jače” od faktorijela? Tamo je! Eksponencijalni niz ("en" na potenciju "en") raste brže od faktorijela. U praksi je to rijetko, ali informacije neće biti suvišne.

Kraj pomoći

Dakle, druga točka studije može se napisati na sljedeći način:
2) , budući da je viši red rasta od .
Članovi niza opadaju modulo, počevši od nekog broja, u isto vrijeme, svaki sljedeći član niza manji je u apsolutnoj vrijednosti od prethodnog, stoga je smanjenje monotono.

Zaključak: niz konvergira.

Ovdje je samo zanimljiv slučaj kada članovi niza prvo rastu u apsolutnoj vrijednosti, zbog čega imamo pogrešno početno mišljenje o limitu. Ali, počevši od nekog broja "en", faktorijel preuzima brojnik, a “rep” niza postaje monotono padajući, što je fundamentalno važno za ispunjenje uvjeta Leibnizovog teorema. Što je točno taj "en" prilično je teško doznati.

Ispitujemo niz na apsolutnu ili uvjetnu konvergenciju:

I ovdje d'Alembertov znak već radi:

Koristimo d'Alembertov znak:

Dakle, niz konvergira.

Studijska serija apsolutno konvergira.

Analizirani primjer može se riješiti i na drugi način (koristimo dovoljan kriterij za konvergenciju izmjeničnog niza).

Dovoljan kriterij za konvergenciju izmjeničnog niza je: Ako niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova danog niza konvergira, tada i dani niz konvergira.

Drugi način:

Ispitajte niz na uvjetnu ili apsolutnu konvergenciju

Riješenje : Ispitujemo niz za apsolutnu konvergenciju:

Koristimo d'Alembertov znak:

Dakle, niz konvergira.
Na temelju dovoljnog kriterija za konvergenciju izmjeničnog niza, sam niz konvergira.

Zaključak: Studijska serija apsolutno konvergira.

Za izračunavanje zbroja niza sa zadanom točnošću koristit ćemo sljedeći teorem:

Neka naizmjenične serije zadovoljava uvjete Leibnizovog testa i neka - svoj n-th djelomični zbroj. Tada niz konvergira i greška u približnom izračunu njegovog zbroja S u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi modul prvog odbačenog člana:

funkcionalni redovi. Redovi potencija.
Područje konvergencije serije.

Da biste uspješno svladali temu, morate dobro poznavati obične numeričke serije.

Ako pozitivan niz ima limit forme
, tada ovaj niz konvergira na
i razilazi se na
. Na
d'Alembertov test ne rješava pitanje konvergencije niza.

Komentar. D'Alembertov test koristi se ako formula za zajednički član niza sadrži faktor ili je eksponencijalna funkcija od n.

Primjer 1
.

Riješenje. Mogućnost korištenja d'Alembertovog znaka naznačena je prisutnošću u formuli zajedničkog pojma faktora i .

Ovdje
. Za dobivanje
zamijeniti u formuli svi n na n+1. Dobiti
. Zatim

Prema d'Alembertovom testu, proučavani niz konvergira.

Primjer 2 Istražite redove konvergencije
.

Riješenje. Ovdje
,
. Primjenjujemo d'Alembertov znak:

Serija se razilazi.

Istražite konvergenciju, koristeći d'Alembertov test, sljedeći niz:

a)
; b)
; u)
; G)
.

2.3.4. Cauchyjev radikalni znak

Ako za pozitivnu seriju postoji granica
, zatim na l<1 данный ряд сходится, а при l> 1 − divergira. Na l=1 radikalni Cauchyjev test, kao ni d'Alembertov test, ne daje odgovor na pitanje o konvergenciji niza.

U praksi se Cauchyjev kriterij najčešće koristi kada je zajednički član niza eksponencijalna ili eksponencijalno-potencijska funkcija n.

Primjer 1 Istražite redove konvergencije

.

Riješenje. Zajednički pojam niza sadrži izraz u moći n. Stoga je preporučljivo koristiti radikalni Cauchyjev test:

.

Niz koji proučavamo konvergira.

Primjer 2 Istražite redove konvergencije
.

Riješenje. Izračunajte granicu

gdje
.

Za izračun ove granice koristimo se L'Hospitalovim pravilom, nakon što smo prethodno uzeli logaritam dobivenog izraza:

.

Od ln t=0, dakle t=1, i, prema tome,
.

Jer
, tada se serija razilazi radikalnim Cauchyjevim testom.

Primjeri za samostalno rješavanje

Istražite konvergenciju pomoću radikalnog Cauchyjevog testa sljedeće serije:

a)
; b)
; u)
; G)
.

2.3.5. Integralni Cauchyjev test

Neka je zajednički član niza vrijednost funkcije
na
, tj.
. Ako u isto vrijeme funkcija
monotono opada u nekom intervalu
, gdje
, tada ovaj niz konvergira ako nepravi integral konvergira
, i divergira ako ovaj nepravi integral divergira. Važna praktična posljedica slijedi iz ovog teorema: za konvergentni niz sa zajedničkim članom koji zadovoljava uvjete teoreme, ostatak niza može se procijeniti iz relacije
.

Razmotrimo primjere primjene Cauchyjevog integralnog testa.

Primjer. Istražite redove konvergencije
.

Riješenje. Jer
je vrijednost funkcije
na
a ta je funkcija kontinuirana i monotono opada u intervalu
, zatim ispitujemo konvergenciju nepravilnog integrala

Integral divergira. Stoga se i ovaj niz razilazi.

Primjeri za samostalno odlučivanje.

Istražite konvergenciju korištenjem integralnog Cauchyjevog testa sljedeće serije:

a)
; b)
; u)
; G)
.

2.4. Konvergencija i divergencija izmjeničnih nizova

Literatura:, 3. dio, Ch. 15, § 15.4

Red s članovima proizvoljnih predznaka naziva se izmjeničnim. U nastavku će se razmatrati nizovi s beskonačnim brojem pozitivnih i negativnih članova.

naizmjenične serije nazvao apsolutno konvergentan, ako niz sastavljen od modula njegovih članova konvergira
.

Teorema o apsolutnoj konvergenciji niza: ako niz sastavljen od modula članova tog niza konvergira
, zatim ovaj naizmjenični niz također konvergira (tj. apsolutno je konvergentan).

Red nazvao uvjetno konvergentan, ako konvergira, i niz sastavljen od modula njegovih članova
, razilazi se.

Osnovna svojstva apsolutno i uvjetno konvergentnih redova:

1) apsolutno konvergentan niz ostaje konvergentan i ne mijenja vrijednost zbroja ni za jednu permutaciju svojih članova;

2) promjenom poretka članova u uvjetno konvergentnom nizu, može se učiniti da zbroj niza bude jednak bilo kojem unaprijed određenom broju ili čak učiniti niz divergentnim;

3) ako izmjenični niz apsolutno konvergira, onda konvergiraju nizovi sastavljeni samo od njegovih pozitivnih ili samo negativnih članova; ako niz uvjetno konvergira, onda gore navedeni nizovi konvergiraju.

Primjer 1

Riješenje. Niz se izmjenjuje, u vezi s rastom nazivnika njegovih članova, potonji se smanjuje u apsolutnoj vrijednosti. Lako je vidjeti da je granica zajedničkog člana niza na n→∞ je nula:
. Dakle, prema Leibnizovom kriteriju, ovaj izmjenični niz konvergira.

Razmotrimo sada niz sastavljen od modula svojih članova,

Ovo je harmonijski niz za koji je poznato da se razilazi. Stoga je ovaj niz uvjetno konvergentan.

Primjer 2 Ispitajte niz na apsolutnu i uvjetnu konvergenciju

Riješenje. Ova serija mijenja predznak, jer
može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Razmotrimo niz sastavljen od modula članova ovog niza:

S obzirom na očitu nejednakost
testom usporedbe za pozitivne serije, imamo da je serija
konvergira, budući da serija konvergira
. Iz konvergencije niza
prema kriteriju apsolutne konvergencije, imamo da niz
konvergira i, štoviše, apsolutno.

Ovaj je članak prikupio i strukturirao informacije potrebne za rješavanje gotovo svakog primjera na temu niza brojeva, od pronalaženja zbroja niza do ispitivanja njegove konvergencije.

Pregled članka.

Počnimo s definicijama niza s pozitivnim predznakom, niza s izmjeničnim predznakom i konceptom konvergencije. Zatim, razmotrite standardne serije, kao što su harmonijske serije, generalizirane harmonijske serije, i prisjetite se formule za pronalaženje zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Nakon toga prelazimo na svojstva konvergentnih nizova, zadržavamo se na potrebnom uvjetu za konvergenciju niza i navodimo dovoljne kriterije za konvergenciju niza. Teoriju ćemo razvodniti rješavanjem tipičnih primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Osnovne definicije i pojmovi.

Neka imamo numerički niz , gdje .

Evo primjera numeričkog niza: .

Serije brojeva je zbroj članova numeričkog niza oblika .

Kao primjer niza brojeva možemo dati zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije s nazivnikom q = -0,5: .

se zovu zajednički član niza brojeva ili k-ti član niza.

Za prethodni primjer, uobičajeni član niza brojeva je .

Djelomični zbroj niza brojeva je zbroj oblika , gdje je n neki prirodni broj. također se naziva n-ti djelomični zbroj niza brojeva.

Na primjer, četvrti djelomični zbroj niza tamo je .

Djelomični iznosi tvore beskonačan niz parcijalnih zbrojeva numeričkog niza.

Za naš niz, n-ti djelomični zbroj nalazi se formulom za zbroj prvih n članova geometrijske progresije , odnosno imat ćemo sljedeći niz parcijalnih suma: .

Brojevni pravac naziva se konvergentan, ako postoji konačna granica niza parcijalnih zbrojeva . Ako granica niza parcijalnih suma numeričkog niza ne postoji ili je beskonačna, tada se niz naziva odvojit.

Zbroj konvergentnog niza brojeva naziva se limit niza njegovih parcijalnih suma, tj. .

U našem primjeru, dakle, serija konvergira, a njegov zbroj je jednak šesnaest trećina: .

Primjer divergentnog niza je zbroj geometrijske progresije s nazivnikom većim od jedan: . N-ti djelomični zbroj je dan sa , a limit parcijalnih suma je beskonačan: .

Drugi primjer divergentnog niza brojeva je zbroj oblika . U ovom slučaju, n-ti djelomični zbroj može se izračunati kao . Limit parcijalnih suma je beskonačan .

Prikaz zbroja nazvao harmonijski brojevni niz.

Prikaz zbroja , gdje je s neki realni broj, zove se generalizirani harmonijski brojevni niz.

Gore navedene definicije dovoljne su da potkrijepe sljedeće vrlo često korištene izjave, preporučamo da ih zapamtite.

HARMONIČKI NIZ JE divergentan.

Dokažimo divergentnost harmonijskog niza.

Pretpostavimo da niz konvergira. Tada postoji konačna granica njegovih parcijalnih suma. U ovom slučaju možemo pisati i , što nas dovodi do jednakosti .

S druge strane,


Sljedeće nejednakosti su nesumnjive. Na ovaj način, . Rezultirajuća nejednakost nam govori da je jednakost ne može se postići, što je u suprotnosti s našom pretpostavkom o konvergenciji harmonijskog niza.

Zaključak: harmonijski niz divergira.

ZBIR GEOMETRIJSKE PROGRESIJE TIPA S NAZIVNIKOM q JE KONVERGENTAN NUMERIČKI NIZ IF , I DIVERGENTAN NIZ AT .

Dokažimo to.

Znamo da se zbroj prvih n članova geometrijske progresije nalazi pomoću formule .

Kad pošteno


što ukazuje na konvergenciju numeričke serije.

Za q = 1 imamo niz brojeva . Njegovi parcijalni zbrojevi nalaze se kao , a granica parcijalnih zbrojeva je beskonačna , što ukazuje na divergentnost niza u ovom slučaju.

Ako je q \u003d -1, brojevni niz će imati oblik . Parcijalni zbrojevi poprimaju vrijednost za neparan n i za parni n. Iz ovoga možemo zaključiti da granica parcijalnih suma ne postoji i da niz divergira.

Kad pošteno


što ukazuje na divergentnost numeričke serije.

GENERALIZIRANI HARMONIČKI NIZ KONVERGIRA ZA s > 1 I DIVERZIRA ZA .

Dokaz.

Za s = 1 dobivamo harmonijski niz, a gore smo utvrdili njegovu divergenciju.

Na s nejednakost vrijedi za sve prirodne k . Zbog divergentnosti harmonijskog niza, može se tvrditi da je slijed njegovih parcijalnih zbrojeva neograničen (budući da ne postoji konačni limit). Tada je niz parcijalnih zbrojeva niza brojeva utoliko neograničeniji (svaki član tog niza je veći od odgovarajućeg člana harmonijskog niza), pa generalizirani harmonijski niz divergira na s.

Preostaje dokazati konvergenciju niza za s > 1 .

Napišimo razliku:



Očito, dakle


Zapišimo dobivenu nejednakost za n = 2, 4, 8, 16, …



Pomoću ovih rezultata mogu se izvršiti sljedeće radnje s izvornim numeričkim nizom:



Izraz je zbroj geometrijske progresije čiji je nazivnik . Budući da razmatramo slučaj za s > 1, tada . Zato
. Dakle, niz parcijalnih suma generaliziranog harmonijskog niza za s > 1 je rastući i istovremeno ograničen odozgo vrijednošću , dakle, ima limit, što ukazuje na konvergenciju niza . Dokaz je završen.

Brojevni pravac naziva se predznak pozitivan ako su svi njegovi članovi pozitivni, tj. .

Brojevni pravac naziva se naizmjenično ako su predznaci njegovih susjednih članova različiti. Izmjenični niz brojeva može se napisati kao ili , gdje .

Brojevni pravac naziva se naizmjenično ako sadrži beskonačan broj i pozitivnih i negativnih članova.

Izmjenični niz brojeva je poseban slučaj izmjeničnog niza.

činovi

su predznak pozitivni, predznak izmjenični i predznak izmjenični.

Za izmjenični niz postoji koncept apsolutne i uvjetne konvergencije.

apsolutno konvergentan, ako niz apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira, odnosno brojčani niz s pozitivnim predznakom konvergira.

Na primjer, brojevne linije i apsolutno konvergiraju, jer niz konvergira , što je zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Izmjenični niz se zove uvjetno konvergentan ako niz divergira i red konvergira.

Primjer uvjetno konvergentnog niza brojeva je niz . Serije brojeva , sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova izvornog niza, divergentan, jer je harmoničan. U isto vrijeme, izvorni niz je konvergentan, što se lako utvrđuje pomoću . Dakle, numerički znakovno-izmjenični niz uvjetno konvergentan.

Svojstva konvergentnih numeričkih nizova.

Primjer.

Dokažite konvergenciju numeričkog niza.

Riješenje.

Napišimo niz u drugačijem obliku . Brojevni niz konvergira, budući da je generalizirani harmonijski red konvergentan za s > 1, a zbog drugog svojstva konvergentnog brojevnog niza konvergirati će i niz s numeričkim koeficijentom.

Primjer.

Konvergira li niz brojeva?

Riješenje.

Preobrazimo izvornu seriju: . Dakle, dobili smo zbroj dva numerička niza i , a svaki od njih konvergira (vidi prethodni primjer). Dakle, zbog trećeg svojstva konvergentnih numeričkih nizova, izvorni niz također konvergira.

Primjer.

Dokažite konvergenciju niza brojeva i izračunajte njegov zbroj.

Riješenje.

Ovaj niz brojeva može se predstaviti kao razlika dva niza:

Svaki od ovih nizova je zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije, stoga je konvergentan. Treće svojstvo konvergentnih nizova omogućuje nam da tvrdimo da izvorni numerički niz konvergira. Izračunajmo njegov zbroj.

Prvi član niza je jedan, a nazivnik odgovarajuće geometrijske progresije je 0,5, dakle, .

Prvi član niza je 3, a nazivnik odgovarajuće beskonačno opadajuće geometrijske progresije je 1/3, pa je .

Upotrijebimo dobivene rezultate da pronađemo zbroj izvornog niza brojeva:

Nužan uvjet za konvergenciju niza.

Ako brojevni niz konvergira, tada je limes njegovog k-tog člana jednak nuli: .

Pri ispitivanju konvergencije bilo kojeg numeričkog niza treba prije svega provjeriti ispunjenje potrebnog uvjeta konvergencije. Nepoštivanje ovog uvjeta ukazuje na divergentnost numeričkog niza, odnosno ako je , tada niz divergira.

S druge strane, mora se shvatiti da ovaj uvjet nije dovoljan. Odnosno, ispunjenje jednakosti ne ukazuje na konvergenciju numeričkog niza. Na primjer, za harmonijski niz, nužan uvjet konvergencije je zadovoljen, a niz divergira.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva radi konvergencije.

Riješenje.

Provjerimo nužan uvjet konvergencije numeričkog niza:

Ograničiti n-ti član numeričkog niza nije jednak nuli, stoga niz divergira.

Dovoljni uvjeti za konvergenciju niza s pozitivnim predznakom.

Kada koristite dovoljno značajki za proučavanje numeričkih nizova za konvergenciju, stalno se morate nositi s , pa preporučujemo da u slučaju poteškoća pogledate ovaj odjeljak.

Potreban i dovoljan uvjet za konvergenciju niza brojeva s pozitivnim predznakom.

Za konvergenciju niza brojeva s predznakom potrebno je i dovoljno da niz njegovih parcijalnih suma bude ograničen.

Počnimo sa značajkama usporedbe serija. Njihova bit leži u usporedbi proučavanog numeričkog niza s nizom čija je konvergencija ili divergencija poznata.

Prvi, drugi i treći znak usporedbe.

Prvi znak usporedbe redaka.

Neka su i dva numerička niza s pozitivnim predznakom i nejednakost vrijedi za sve k = 1, 2, 3, ... Tada konvergencija niza implicira konvergenciju , a divergencija niza implicira divergenciju .

Prvi kriterij usporedbe koristi se vrlo često i vrlo je moćan alat za proučavanje numeričkih nizova radi konvergencije. Glavni problem je odabir prikladne serije za usporedbu. Niz za usporedbu se obično (ali ne uvijek) bira tako da je eksponent njegovog k-tog člana jednak razlici između eksponenata brojnika i nazivnika k-tog člana niza brojeva koji se proučava. Na primjer, neka je razlika između eksponenata brojnika i nazivnika 2 - 3 = -1, stoga za usporedbu odabiremo niz s k-tim članom, odnosno harmonijski niz. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Postavite konvergenciju ili divergenciju niza.

Riješenje.

Kako je granica zajedničkog člana niza jednaka nuli, tada je zadovoljen uvjet za konvergenciju niza.

Lako je vidjeti da nejednakost vrijedi za sve prirodne k . Znamo da harmonijski niz divergira, stoga je prema prvom znaku usporedbe i izvorni niz divergentan.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva radi konvergencije.

Riješenje.

Potreban uvjet za konvergenciju niza brojeva je zadovoljen, jer . Očito je da nejednakost za bilo koju prirodnu vrijednost k. Red konvergira jer generalizirani harmonijski red konvergira za s > 1. Dakle, prvi znak usporedbe nizova omogućuje nam konstataciju konvergencije izvornog numeričkog niza.

Primjer.

Odredite konvergenciju ili divergenciju niza brojeva.

Riješenje.

, dakle, nužan uvjet za konvergenciju numeričkog niza je zadovoljen. Koji red odabrati za usporedbu? Numerički niz se nameće sam od sebe, a kako bismo odredili s, pažljivo ispitujemo numerički niz. Članovi numeričkog niza rastu prema beskonačnosti. Dakle, počevši od nekog broja N (odnosno od N = 1619 ), članovi ovog niza bit će veći od 2 . Polazeći od tog broja N vrijedi nejednakost. Brojevni niz konvergira zbog prvog svojstva konvergentnog niza, jer se dobiva iz konvergentnog niza odbacivanjem prvih N - 1 članova. Dakle, prema prvom znaku usporedbe niz je konvergentan, a zbog prvog svojstva konvergentnih numeričkih nizova, niz će također konvergirati.

Drugi znak usporedbe.

Neka i budu numerički nizovi s pozitivnim predznakom. Ako , tada konvergencija niza implicira konvergenciju . Ako , tada divergencija numeričkog niza implicira divergenciju .

Posljedica.

Ako je i , tada konvergencija jednog niza implicira konvergenciju drugog, a divergencija implicira divergenciju.

Ispitujemo konvergenciju niza pomoću drugog kriterija usporedbe. Uzmimo konvergentni niz kao niz. Nađimo granicu omjera k-tih članova numeričkog niza:

Dakle, prema drugom kriteriju usporedbe, konvergencija numeričke serije implicira konvergenciju izvorne serije.

Primjer.

Istražite konvergenciju niza brojeva.

Riješenje.

Provjerimo nužan uvjet konvergencije niza . Uvjet je ispunjen. Da primijenimo drugi znak usporedbe, uzmimo harmonijski niz. Nađimo granicu omjera k-tih članova:

Posljedično, divergencija izvornog niza slijedi iz divergentnosti harmonijskog niza prema drugom kriteriju usporedbe.

Za informaciju donosimo treći kriterij za usporedbu serija.

Treći znak usporedbe.

Neka i budu numerički nizovi s pozitivnim predznakom. Ako je uvjet zadovoljen iz određenog broja N, tada konvergencija niza implicira konvergenciju, a divergencija niza implicira divergenciju.

Znak d'Alemberta.

Komentar.

d'Alembertov znak vrijedi ako je limit beskonačan, odnosno ako , tada niz konvergira ako , onda se serija razilazi.

Ako je , tada d'Alembertov test ne daje informacije o konvergenciji ili divergenciji niza i potrebno je dodatno istraživanje.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva na konvergenciju na temelju d'Alemberta.

Riješenje.

Provjerimo ispunjenje potrebnog uvjeta za konvergenciju numeričkog niza, izračunamo limit prema:

Uvjet je ispunjen.

Upotrijebimo d'Alembertov znak:

Dakle, niz konvergira.

Cauchyjev radikalni znak.

Neka je serija brojeva s pozitivnim predznakom. Ako je , tada niz konvergira, ako je , tada niz divergira.

Komentar.

Cauchyjev radikalni test vrijedi ako je limit beskonačan, tj. ako , tada niz konvergira ako , onda se serija razilazi.

Ako je , tada radikalni Cauchyjev test ne daje informacije o konvergenciji ili divergenciji niza i potrebno je dodatno istraživanje.

Obično je dovoljno lako vidjeti slučajeve u kojima je najbolje koristiti radikalni Cauchyjev test. Karakterističan je slučaj kada je zajednički član numeričkog niza eksponencijalni potencijski izraz. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Istražite niz brojeva s pozitivnim predznakom na konvergenciju koristeći radikalni Cauchyjev test.

Riješenje.

. Radikalnim Cauchyjevim testom dobivamo .

Stoga niz konvergira.

Primjer.

Konvergira li niz brojeva? .

Riješenje.

Upotrijebimo radikalni Cauchyjev test , dakle, niz brojeva konvergira.

Integralni Cauchyjev test.

Neka je serija brojeva s pozitivnim predznakom. Sastavimo funkciju kontinuiranog argumenta y = f(x) , sličnu funkciji . Neka je funkcija y = f(x) pozitivna, kontinuirana i padajuća na intervalu , gdje je ). Zatim u slučaju konvergencije nepravilan integral konvergira proučavani niz brojeva. Ako nepravi integral divergira, tada divergira i originalni niz.

Kada provjeravate opadanje funkcije y = f(x) u intervalu, teorija u odjeljku može vam biti korisna.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva s pozitivnim članovima za konvergenciju.

Riješenje.

Potreban uvjet za konvergenciju niza je zadovoljen, jer . Razmotrimo funkciju. Pozitivna je, kontinuirana i opadajuća na intervalu . Kontinuitet i pozitivnost ove funkcije je nedvojbena, ali zadržimo se malo detaljnije na smanjenju. Nađimo izvod:
. Negativan je na intervalu , stoga funkcija opada na tom intervalu.

Prije početka rada s ovom temom, savjetujem vam da pogledate odjeljak s terminologijom za serije brojeva. Posebno je vrijedno obratiti pažnju na koncept zajedničkog pojma serije. Ako sumnjate u točan izbor predznaka konvergencije, savjetujem vam da pogledate temu "Odabir predznaka konvergencije numeričkih nizova".

D'Alembertov test (ili d'Alembertov test) koristi se za proučavanje konvergencije nizova čiji je zajednički član strogo veći od nule, tj. $u_n > 0$. Takvi nizovi se nazivaju strogo pozitivno. U standardnim primjerima, znak D "Alembert se koristi u ograničavajućem obliku.

Znak D "Alamber (u ograničavajućem obliku)

Ako je niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ strogo pozitivan i $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ zatim za $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (i za $L=\infty$) niz divergira.

Formulacija je prilično jednostavna, ali ostaje otvoreno sljedeće pitanje: što se događa ako je $L=1$? Znak D "Alembert ne može odgovoriti na ovo pitanje. Ako je $L \u003d 1 $, tada niz može i konvergirati i divergirati.

Najčešće se u standardnim primjerima znak D "Alembert koristi ako izraz zajedničkog člana niza sadrži polinom od $n$ (polinom može biti i pod korijenom) i stupanj oblika $a ^n$ ili $n!$. Na primjer, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (pogledajte primjer #1) ili $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Što znači izraz "n!"? Pokaži sakrij

Snimanje "n!" (čitaj "en factorial") označava umnožak svih prirodnih brojeva od 1 do n, tj.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Po definiciji, pretpostavlja se da je $0!=1!=1$. Na primjer, pronađimo 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Osim toga, D"Alembertov test se često koristi za određivanje konvergencije niza čiji zajednički član sadrži umnožak sljedeće strukture: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Primjer #1

Ispitajte niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ radi konvergencije.

Budući da je donja granica zbrajanja jednaka 1, zajednički član niza zapisan je ispod znaka zbroja: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Budući da za $n≥ 1$ imamo $3n+7 > 0$, $5^n>0$ i $2n^3-1 > 0$, tada je $u_n > 0$. Stoga je naša serija isključivo pozitivna.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\lijevo(2n^3-1\desno))(\lijevo(2(n+1)^3-1\desno )(3n+7))=\lijevo|\frac(\infty)(\infty)\desno|= 5\cdot\lim_(n\do\infty)\frac(\frac((3n+10)\lijevo (2n^3-1\desno))(n^4))(\frac(\lijevo(2(n+1)^3-1\desno)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\lijevo(2( n+1)^3-1\desno))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ lijevo(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\desno)\cdot\lijevo(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \desno))(\lijevo(2\lijevo(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\desno)^3-\frac(1)(n^3)\desno)\cdot \lijevo(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\desno))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\lijevo(3+\frac(10) (n)\desno)\cdot\lijevo(2-\frac(1)(n^3)\desno))(\lijevo(2\lijevo(1+\frac(1)(n)\desno)^3 -\frac(1)(n^3)\desno)\cdot\lijevo(3+\frac(7)(n)\desno))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Budući da $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, tada prema danom nizu divergira.

Da budem iskren, znak D "Alembert nije jedina opcija u ovoj situaciji. Možete koristiti, na primjer, radikalni Cauchyjev znak. Međutim, korištenje radikalnog Cauchyjevog znaka zahtijevat će poznavanje (ili dokaz) dodatnih formula . Stoga je korištenje znaka D" Alembert u ovoj situaciji prikladnije.

Odgovor: niz se razilazi.

Primjer #2

Istražite niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Budući da je donja granica zbrajanja 1, zajednički član niza zapisan je ispod znaka zbroja: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Uobičajeni član niza sadrži polinom ispod korijena, tj. $\sqrt(4n+5)$ i faktorijel $(3n-2)!$. Prisutnost faktorijela u standardnom primjeru gotovo je stopostotno jamstvo primjene znaka D "Alembert.

Da bismo primijenili ovu značajku, moramo pronaći granicu relacije $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Da biste zapisali $u_(n+1)$, trebate koristiti formulu $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Budući da je $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, formula za $u_(n+1)$ može se napisati ovako :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ovaj unos je prikladan za daljnje rješavanje kada moramo smanjiti razlomak ispod granice. Ako jednakost s faktorijelima zahtijeva pojašnjenje, proširite bilješku u nastavku.

Kako smo dobili $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? Pokaži sakrij

Oznaka $(3n+1)!$ označava umnožak svih prirodnih brojeva od 1 do $3n+1$. Oni. ovaj izraz se može napisati ovako:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Neposredno ispred broja $3n+1$ nalazi se jedan broj manje, tj. broj $3n+1-1=3n$. A neposredno prije broja $3n$ je broj $3n-1$. Pa, neposredno prije broja $3n-1$ imamo broj $3n-1-1=3n-2$. Napišimo ponovno formulu za $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Koliki je umnožak $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Ovaj proizvod je jednak $(3n-2)!$. Stoga se izraz za $(3n+1)!$ može prepisati u ovom obliku:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Ovaj unos je prikladan za daljnje rješavanje kada moramo smanjiti razlomak ispod granice.

Izračunajte vrijednost $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Budući da je $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

d'Alembertov test konvergencije

Jean Léron d'Alembert poznati je francuski matematičar iz 18. stoljeća. Općenito, d'Alembert se specijalizirao za diferencijalne jednadžbe i na temelju svojih istraživanja bavio se balistikom, kako bi topovska zrna Njegovog Veličanstva bolje letjela. U isto vrijeme, nisam zaboravio na brojčane nizove, nisu uzalud redovi napoleonskih trupa tako jasno konvergirali i razišli.

Prije formuliranja samog znaka, razmotrimo važno pitanje: Kada treba koristiti d'Alembertov kriterij konvergencije?

Počnimo prvo s ponavljanjem. Prisjetite se slučajeva kada trebate koristiti najpopularnije granični kriterij usporedbe. Granični znak usporedbe koristi se kada u zajedničkom članu niza: 1) postoji polinom u nazivniku. 2) Polinomi su i u brojniku i u nazivniku. 3) Ispod korijena mogu biti jedan ili oba polinoma.

Glavni preduvjeti za primjenu znaka d'Alemberta su sljedeći:

1) Zajednički član niza ("nadjev" niza) uključuje neki broj u stupnju, na primjer, i tako dalje. Štoviše, uopće nije važno gdje se ta stvar nalazi, u brojniku ili u nazivniku - važno je da je tamo prisutna.

2) Zajednički član niza uključuje faktorijel. Što je faktorijel? Ništa komplicirano, faktorijel je samo presavijeni zapis proizvoda: ......

! Kada koristimo d'Alembertov test, samo moramo detaljno oslikati faktorijel. Kao iu prethodnom odlomku, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili dnu razlomka.

3) Ako postoji "lanac faktora" u zajedničkom članu niza, na primjer, . Ovaj slučaj je rijedak, ali! Prilikom proučavanja takve serije često se napravi pogreška - vidi primjer 6.

Uz potencije i (i) faktorijele, polinomi se često nalaze u popuni niza, to ne mijenja stvari - potrebno je koristiti d'Alembertov test.

Osim toga, u općem članu niza, i stupanj i faktorijel mogu se pojaviti u isto vrijeme; mogu postojati dva faktorijala, dva stupnja, važno je da postoje barem nešto razmatranih točaka - a to je samo preduvjet za korištenje d'Alembertovog znaka.

Znak d'Alemberta: Smatrati niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg člana prema prethodnom:, tada: a) Red konvergirarazilazi seznak ne reagira. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se jedinica dobiva u slučaju kada se pokušava primijeniti d'Alembertov test gdje je potrebno koristiti granični usporedni test.

Ako i dalje imate problema s ograničenjima ili nerazumijevanjem ograničenja, pogledajte lekciju Ograničenja. Primjeri rješenja. Bez razumijevanja granice i sposobnosti da se neizvjesnost dalje otkriva, nažalost, ne može se ići naprijed.

Cauchyjev radikalni znak

Augustin Louis Cauchy je još poznatiji francuski matematičar. Svaki student tehničke specijalnosti može vam ispričati Cauchyjevu biografiju. U najljepšim bojama. Nije slučajno ovo prezime uklesano na prvom katu Eiffelovog tornja.

Cauchyjev test konvergencije za pozitivne numeričke nizove donekle je sličan upravo razmatranom d'Alembertovom testu.

Cauchyjev radikalni znak: Smatrati niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje: tada: a) Red konvergira. Konkretno, niz konvergira za . b) Narudžba razilazi se. Konkretno, serija se razlikuje na . c) Kada znak ne reagira. Morate koristiti drugi znak. Zanimljivo je primijetiti da ako nam Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza, onda nam ni d'Alembertov test neće dati odgovor. Ali ako d'Alembertov znak ne daje odgovor, onda bi Cauchyjev znak mogao "raditi". Odnosno, Cauchyjev znak je u tom smislu jači znak.

Kada biste trebali koristiti Cauchyjev radikalni znak? Radikalni Cauchyjev test obično se koristi u slučajevima kada je zajednički član niza POTPUNO je u stupnju ovisno o "en". Ili kada se korijen "dobro" izvlači iz zajedničkog člana niza. Ima još egzotičnih slučajeva, ali nećemo se njima razbijati po glavi.