Svođenje jednadžbi na homogene jednadžbe. Homogene jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019). Generalizirana homogena jednadžba

Osnovni pojmovi teorije diferencijalnih jednadžbi

Diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, željenu funkciju i njezine derivacije. Rješenje je funkcija koja, kada se zamijeni u jednadžbu, pretvara je u identitet.

Ako željena funkcija ovisi o jednoj varijabli, DE se naziva obični; u suprotnom se naziva parcijalni diferencijalni DE. Najviši red

Diferencijalne jednadžbe 1. reda. Cauchyjev problem, teorem o postojanju i jedinstvenosti njegovog rješenja. Opće, posebno rješenje (integralno), posebno rješenje.

F(x;y;y ’ )=0 – 1. red DE(1)

g ’ =f(x;y) DE dopušteno s obzirom na derivaciju(2)

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 – diferencijalni oblik(3)

Problem pronalaženja rješenja za DE 1. reda koji zadovoljava zadani početni uvjet (y(x 0)=y 0) naziva se Cauchyjev problem.

T. Ako je u jednadžbi (2) funkcija f(x;y) i ...
njegova parcijalna derivacija f y ’ (x;y) kontinuirani u nekoj domeni D koja sadrži točku (x 0 ;y 0), tada postoji jedinstveno rješenje y=φ(x) ove jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet.

Opće rješenje je funkcija y=φ(x;s) koja sadrži proizvoljnu konstantu.

Pojedinačno rješenje je funkcija y=φ(x;s 0) dobivena iz općeg rješenja pri vrijednosti konstante s=s 0.

Ako se opće rješenje nalazi u implicitnom obliku F(x;y;c)=0, onda se ono naziva općim integralom DE. A F(x;y;c 0)=0 je parcijalni integral jednadžbe.

Funkcija φ(x;c) naziva se posebnim rješenjem diferencijalne jednadžbe F(x,y,y') = 0 ako je jedinstvenost rješenja narušena u svakoj točki te funkcije u domeni definicije diferencijala. jednadžba.

Geometrijska interpretacija DE 1. reda. Izoklina metoda

Jednadžba y ’ =f(x;y) uspostavlja vezu između koordinata točke i nagib g ’ tangenta na integralnu krivulju. DE daje polje smjerova na Oxy ravnini. Krivulja u kojoj je u svim točkama smjer polja isti naziva se izoklina. Izokline se mogu koristiti za aproksimaciju konstrukcije integralnih krivulja. Jednadžba izokline je f(x;y)=s.

Odvojive jednadžbe

Odvojena jednadžba: P(x)dx+Q(y)dy=0

Opći sastavni dio daljinskog upravljača:

Odvojiva jednadžba: P 1 (x)Q 1 (y)dx+P 2 (x)Q 2 (y)dy=0

Homogeni daljinski upravljači. Svođenje jednadžbi na homogene

Funkcija f(x;y) naziva se homogenom funkcijom n-tog reda ako se, kada se svaki njezin argument pomnoži proizvoljnim faktorom λ, cijela funkcija pomnoži s λ n, tj. f(λ x; λ y)= λ n f(x; y). daljinski upravljač y ’ =f(x;y) nazivamo homogenim ako je funkcija f(x;y) homogena f-i nula narudžba

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 diferencijalni oblik homogenog DE

Jednadžba oblika može se svesti na homogeni tip. Morate stvoriti sustav poput:
Neka rješenje ovog sustava bude:

Zatim, da bi se jednadžba dovela u homogeni tip, potrebno je izvršiti zamjenu oblika
Ako sustav nema rješenje, potrebno ga je zamijeniti.

Stop! Pokušajmo razumjeti ovu glomaznu formulu.

Prva varijabla u potenciji s nekim koeficijentom trebala bi biti prva. U našem slučaju jest

U našem slučaju jest. Kako smo saznali, to znači da stupanj na prvoj varijabli konvergira. I druga varijabla na prvi stupanj je na mjestu. Koeficijent.

Imamo ga.

Prva varijabla je potencija, a druga varijabla je na kvadrat s koeficijentom. Ovo je posljednji član u jednadžbi.

Kao što vidite, naša jednadžba odgovara definiciji u obliku formule.

Pogledajmo drugi (verbalni) dio definicije.

Imamo dvije nepoznanice i. Ovdje se skuplja.

Razmotrimo sve uvjete. U njima bi zbroj stupnjeva nepoznanica trebao biti isti.

Zbroj stupnjeva je jednak.

Zbroj potencija jednak je (at i at).

Zbroj stupnjeva je jednak.

Kao što vidite, sve odgovara!!!

Sada vježbajmo definiranje homogenih jednadžbi.

Odredite koje su jednadžbe homogene:

Homogene jednadžbe - jednadžbe s brojevima:

Razmotrimo jednadžbu zasebno.

Ako svaki izraz podijelimo rastavljanjem svakog člana na faktore, dobit ćemo

I ova jednadžba potpuno potpada pod definiciju homogenih jednadžbi.

Kako riješiti homogene jednadžbe?

Primjer 2.

Podijelimo jednadžbu s.

Prema našem uvjetu, y ne može biti jednako. Stoga možemo sigurno dijeliti po

Izradom zamjene dobivamo jednostavnu kvadratna jednadžba:

Budući da je ovo reducirana kvadratna jednadžba, koristimo Vietin teorem:

Nakon obrnute zamjene dobivamo odgovor

Odgovor:

Primjer 3.

Podijelimo jednadžbu po (po uvjetu).

Odgovor:

Primjer 4.

Pronađite ako.

Ovdje ne trebate dijeliti, već množiti. Pomnožimo cijelu jednadžbu sa:

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednadžbu:

Izvršivši obrnutu zamjenu, dobivamo odgovor:

Odgovor:

Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi ne razlikuje se od gore opisanih metoda rješavanja. Samo ovdje, između ostalog, morate znati malo trigonometrije. I moći riješiti trigonometrijske jednadžbe (za ovo možete pročitati odjeljak).

Pogledajmo takve jednadžbe na primjerima.

Primjer 5.

Riješite jednadžbu.

Vidimo tipično homogena jednadžba: i su nepoznanice, a zbroj njihovih potencija u svakom članu je jednak.

Takve homogene jednadžbe nije teško riješiti, ali prije nego što ih podijelimo na, razmotrimo slučaj kada

U ovom slučaju jednadžba će imati oblik: , dakle. Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki u isto vrijeme, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu. Stoga ga sa sigurnošću možemo podijeliti na:

Budući da je jednadžba dana, tada prema Vietinom teoremu:

Odgovor:

Primjer 6.

Riješite jednadžbu.

Kao u primjeru, morate podijeliti jednadžbu s. Razmotrimo slučaj kada:

Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki u isto vrijeme, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu. Zato.

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednadžbu:

Napravimo obrnutu zamjenu i pronađimo i:

Odgovor:

Rješavanje homogenih eksponencijalnih jednadžbi.

Homogene jednadžbe rješavaju se na isti način kao one koje smo gore opisali. Ako ste zaboravili kako odlučiti eksponencijalne jednadžbe- pogledajte odgovarajući odjeljak ()!

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 7.

Riješite jednadžbu

Zamislimo to ovako:

Vidimo tipičnu homogenu jednadžbu s dvije varijable i zbrojem potencija. Podijelimo jednadžbu na:

Kao što vidite, zamjenom dobivamo donju kvadratnu jednadžbu (ne treba se bojati dijeljenja s nulom - uvijek je striktno veće od nule):

Prema Vietinom teoremu:

Odgovor: .

Primjer 8.

Riješite jednadžbu

Zamislimo to ovako:

Podijelimo jednadžbu na:

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednadžbu:

Korijen ne zadovoljava uvjet. Napravimo obrnutu zamjenu i pronađimo:

Odgovor:

HOMOGENE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Prvo da vas podsjetim na primjeru jednog problema što su homogene jednadžbe, a što rješenje homogenih jednadžbi.

Riješiti problem:

Pronađite ako.

Ovdje možete primijetiti zanimljivu stvar: ako svaki izraz podijelimo s, dobivamo:

To jest, sada nema odvojenih i, - sada je varijabla u jednadžbi željena vrijednost. A ovo je obična kvadratna jednadžba koja se lako može riješiti pomoću Vietinog teorema: umnožak korijena je jednak, a zbroj je brojeva i.

Odgovor:

Jednadžbe oblika

naziva se homogenim. To jest, ovo je jednadžba s dvije nepoznanice, čiji svaki član ima isti zbroj potencija tih nepoznanica. Na primjer, u gornjem primjeru ovaj iznos je jednak. Homogene jednadžbe rješavaju se dijeljenjem s jednom od nepoznanica na ovaj stupanj:

I naknadna zamjena varijabli: . Tako dobivamo jednadžbu snage s jednom nepoznatom:

Najčešće ćemo se susresti s jednadžbama drugog stupnja (odnosno kvadratnim), a znamo ih riješiti:

Imajte na umu da cijelu jednadžbu možemo podijeliti (i pomnožiti) samo s varijablom ako smo uvjereni da ta varijabla ne može biti jednaka nuli! Na primjer, ako se od nas traži da nađemo, mi to odmah razumijemo jer je nemoguće podijeliti. U slučajevima kada to nije tako očito, potrebno je posebno provjeriti slučaj kada je ova varijabla jednaka nuli. Na primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ovdje vidimo tipičnu homogenu jednadžbu: i su nepoznanice, a zbroj njihovih snaga u svakom članu je jednak.

No, prije dijeljenja s i dobivanja relativne kvadratne jednadžbe, moramo razmotriti slučaj kada. U tom slučaju jednadžba će imati oblik: , što znači . Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu: . Stoga ga sa sigurnošću možemo podijeliti na:

Nadam se da je ovo rješenje potpuno jasno? Ako ne, pročitajte odjeljak. Ako nije jasno odakle je došao, morate se vratiti još ranije - u odjeljak.

Odlučite sami:

1. Pronađite ako.
2. Pronađite ako.
3. Riješite jednadžbu.

Ovdje ću ukratko izravno napisati rješenje homogenih jednadžbi:

rješenja:

Odgovor: .

Ali ovdje moramo množiti, a ne dijeliti:

Odgovor:

Ako ga još niste uzeli, možete preskočiti ovaj primjer.

Budući da ovdje trebamo dijeliti s, prvo se uvjerimo da sto nije jednako nuli:

A ovo je nemoguće.

Odgovor: .

HOMOGENE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Rješavanje svih homogenih jednadžbi svodi se na dijeljenje s jednom od nepoznanica na potenciju i daljnju promjenu varijabli.

Algoritam:

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na budžet na budžet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Ako se jednadžba može pretvoriti u oblik , tada se ta jednadžba naziva homogenom. Lako je pokazati da jednadžba u diferencijalnom obliku M(x, g) dx + N(x, g) dy = 0 je homogen ako i samo ako funkcije M(x, g) I N(x, g) homogene funkcije istog stupnja. Podsjetimo se da se funkcija F(x 1 ,x 2 ,..,x n) naziva homogenom stupnja k ako zadovoljava relaciju F(tx 1 ,tx 2 ,..,tx n)=t k F(x 1 ,x 2 ,..,x n).

Homogena diferencijalna jednadžba svodi se na jednadžbu s razdvojivim varijablama zamjenom y = xu, ili, što je isto, , gdje je u nova potrebna funkcija. Doista, dakle y" = u + u"x a izvorna jednadžba se može prepisati kao u + u"x= f(u), ili u"x= f(u)u. Od posljednjeg f(u)u možemo zapisati.

Primjer. Riješite jednadžbu (y 2 - 2xy)dx + x 2 dy = 0. Ovo je homogena jednadžba, jer su y 2 - 2xy i x 2 homogene funkcije drugog stupnja. Vršimo zamjenu y = xu, dy = udx + xdu. Zamjenom u jednadžbu imamo

(x 2 u 2 - 2x 2 u)dx + x 2 (udx + xdu) = 0.

Otvaranjem zagrada, dovođenjem sličnih i smanjivanjem za x 2, dobivamo jednadžbu s odvojivim varijablama

(u 2 - u)dx + xdu = 0

Odvajanjem varijabli dobivamo ili, što je isto, Integrirajući posljednju relaciju, imamo lnu - ln(u-1) = lnx + lnC. Potenciranje (kreće se od logaritamska funkcija do e x), možemo napisati ili, radeći obrnutu zamjenu, dobivamo opći integral jednadžbe

Jednadžbe oblika svode se na homogeni prijenos ishodišta koordinata u točku presjeka pravaca a 1 x + b 1 y +c 1 = 0, a 2 x + b 2 y +c 2 = 0, ako je determinanta različita od nule. , te zamjenom a 1 x + b 1 y = z ako je ova determinanta nula.

Odlučiti homogene jednadžbe online moguće korištenjem posebne usluge

Funkcija f(x, y) naziva se homogenom funkcijom n-te dimenzije s obzirom na varijable x i y ako identičnost vrijedi za bilo koju

Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se homogena relativno x I na, ako je funkcija homogena funkcija nulte dimenzije u odnosu na x I u.

Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe.

Budući da po uvjetu . Recimo, dobivamo , tj. homogena funkcija nulte dimenzije ovisi samo o omjeru argumenata. I sama jednadžba će u ovom slučaju poprimiti oblik .

Napravimo zamjenu; oni. , zatim zamijenite u izvornu jednadžbu je diferencijalna jednadžba sa separabilnim varijablama

Jednadžba oblika
(1)
može se svesti na homogeni tip.
Opći obrazac transformacije.
Da bi se jednadžba (1) dovela do homogenog tipa diferencijalnih jednadžbi, potrebno je izraditi sustav oblika:

Prvi slučaj.
Ovaj sustav ima rješenje.
Neka rješenje ovog sustava bude:
.
Tada je za dovođenje jednadžbe (1) u homogeni tip potrebno izvršiti zamjenu oblika

Drugi slučaj.
Da podsjetimo. Jednadžba

Svodeći na homogeni tip, sastavili smo sustav
,
ali ovaj sustav nema rješenja.
U tom slučaju trebate napraviti zamjenu .

6. Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Rješenje nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Bernoullijevom metodom. Bernoullijeve jednadžbe.

Nehomogena diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba (obična ili parcijalna diferencijalna) koja sadrži identično različit od nule slobodni član – član koji ne ovisi o nepoznatim funkcijama.

Linearna jednadžba prvi red u standardnom zapisu ima oblik

Obična diferencijalna jednadžba oblika:

nazvao Bernoullijeva jednadžba(uz ili dobivamo nehomogenu ili homogenu linearnu jednadžbu).

Odaberimo ga tako da bude

Da biste to učinili, dovoljno je riješiti jednadžbu sa separabilnim varijablama 1. reda. Nakon toga, za određivanje dobivamo jednadžbu - jednadžba sa separabilnim varijablama.

7. Homogene i nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda metodom varijacije proizvoljne konstante.

Diferencijalna jednadžba je homogena ako ne sadrži slobodan član- pojam koji ne ovisi o nepoznatoj funkciji. Dakle, možemo reći da je jednadžba homogena ako .

Ako je , govorimo o nehomogenoj diferencijalnoj jednadžbi

Jednadžba oblika

naziva se linearna nehomogena jednadžba.
Jednadžba oblika

naziva se linearna homogena jednadžba.