Zakoni aritmetičkih operacija. Operacije s racionalnim brojevima: pravila, primjeri, rješenja Množenje nulom

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

22.10.15. Super posao

Odredi duljinu dužine AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a

11 + 16 = 27 (voće) 16 + 11 = 27 (voće) Hoće li se ukupan broj plodova promijeniti ako se pojmovi preslože? Maša je skupila 11 jabuka i 16 krušaka. Koliko je voća bilo u Mašinoj košari?

Sastavite slovni izraz kako biste zabilježili verbalnu izjavu: "zbroj se neće promijeniti preuređivanjem članova" a + b = b + a Komutativni zakon zbrajanja

(5 + 7) + 3 = 15 (igračke) Koji je način brojanja lakši? Maša je kitila božićno drvce. Objesila je 5 božićnih kuglica, 7 češera i 3 zvjezdice. Koliko je igračaka objesila Maša? (7 + 3) + 5 =15 (igračke)

Sastavite slovni izraz kako biste zabilježili verbalnu izjavu: "Da biste dodali treći član zbroju dvaju članova, možete dodati zbroj drugog i trećeg člana prvom izrazu" (a + b) + c = a + (b + c) Kombinacijski zakon zbrajanja

Brojimo: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Naučimo brzo brojati !

Vrijede li za množenje isti zakoni kao i za zbrajanje? a b = b a (a b) c = a (b c)

b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 S = a b= b a S = 12 15 = 15 12 = 180

a · b = b · a (a · b) · s = a · (b · s) Komutativni zakon množenja Kombinacijski zakon množenja

Brojimo: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Naučimo brzo brojati!

TEMA LEKCIJE: S čime radimo u današnjoj lekciji? Formulirajte temu lekcije.

212 (1 stupac), 214(a,b,c), 231, 230 Domaća zadaća u razredu 212 (2. stupac), 214(d,e,f), 253

O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke

Izrada lekcije iz matematike u 5. razredu "Zakoni aritmetičkih operacija" uključuje tekstualnu datoteku i prezentaciju za lekciju. U ovoj lekciji se ponavljaju komutativni i asocijativni zakoni, uvodeći...

Zakoni aritmetičkih operacija

Ova prezentacija je napola pripremljena za lekciju matematike u 5. razredu na temu “Zakoni aritmetičkih operacija” (udžbenik I.I. Zubarev, A.G. Mordkovich)....

Lekcija učenja novog materijala pomoću ESM-a....

Zakoni aritmetičkih operacija

Prezentacija je napravljena kao vizualna popratna lekcija 5. razreda na temu “Aritmetičke operacije s cijelim brojevima”. Predstavlja izbor zadataka za opće i samostalno rješavanje...

izrada lekcija Matematika 5. razred Zakoni računskih operacija

razvoj lekcija Matematika 5. razred Zakoni aritmetičkih operacija br. Struktura napomene Sadržaj napomene 1231 Puno ime Malyasova Lyudmila Gennadievna 2 Radno mjesto, predmet koji predaje Ma...

U budućnosti, kada budemo proučavali djelovanje na brojeve predstavljene brojevima ili slovima (nije bitno), morat ćemo se u mnogim zaključcima oslanjati na zakone djelovanja koji su proučavani u aritmetici. Zbog važnosti ovih zakona, oni se nazivaju temeljnim zakonima djelovanja.

Podsjetimo ih.

1. Komutativni zakon zbrajanja.

Zbroj se ne mijenja ako se promijeni redoslijed članova.

Taj je zakon već zapisan u § 1. u obliku jednakosti:

gdje su a i bilo koji brojevi.

Iz aritmetike znamo da je komutativni zakon istinit za zbroj bilo kojeg broja članova.

2. Kombinacijski zakon zbrajanja.

Zbroj nekoliko članova neće se promijeniti ako se bilo koja skupina susjednih članova zamijeni njihovim zbrojem.

Za zbir tri člana imamo:

Na primjer, iznos se može izračunati na dva načina:

Kombinacijski zakon vrijedi za bilo koji broj članova.

Dakle, u zbroju četiri člana, susjedni pojmovi se mogu kombinirati u grupe po želji i ti se članovi mogu zamijeniti njihovim zbrojem:

Na primjer, dobit ćemo isti broj 16, bez obzira na to kako grupiramo susjedne pojmove:

Komutativni i asocijativni zakoni često se koriste u mentalnim izračunima, slažući brojeve tako da ih je lakše zbrajati u umu.

Zamijenimo posljednja dva člana i dobijemo:

Zbrajanje brojeva ovim redoslijedom pokazalo se mnogo lakšim.

Obično se pojmovi ne prepisuju novim redoslijedom, već se pomiču u mislima: mentalno preuređujući 67 i I, odmah dodajući 89 i 11 i zatim dodajući 67.

Kako bismo vam olakšali zbrajanje ovih brojeva u glavi, promijenimo redoslijed pojmova ovako:

Koristeći zakon kombinacije, posljednja dva člana stavljamo u zagrade:

Zbrajanje brojeva u zagradama je jednostavno, dobivamo:

3. Komutativni zakon množenja.

Proizvod se ne mijenja ovisno o redoslijedu faktora:

gdje su kakvi brojevi.

Iz aritmetike je poznato da je komutativni zakon istinit za umnožak bilo kojeg broja faktora.

4. Kombinacijski zakon množenja.

Umnožak nekoliko faktora neće se promijeniti ako se bilo koja skupina susjednih faktora zamijeni njihovim umnoškom.

Za proizvod tri faktora imamo:

Na primjer, umnožak tri faktora 5-3-4 može se izračunati na sljedeći način:

Za proizvod četiri faktora imamo:

Na primjer, isti broj 20 dobit će se bilo kojim grupiranjem susjednih faktora:

Korištenje komutativnih i asocijativnih zakona množenja često uvelike pojednostavljuje izračune.

Množenje 25 sa 37 nije baš lako. Premjestimo posljednja dva faktora:

Sada se množenje može jednostavno izvesti u vašoj glavi.

Pristup zbrajanju nenegativnih cijelih brojeva omogućuje nam potkrijepiti dobro poznate zakone zbrajanja: komutativni i kombinacijski.

Dokažimo prvo komutativni zakon, tj. dokažimo da za sve nenegativne cijele brojeve a i b vrijedi jednakost a + b = b + a.

Neka je a broj elemenata u skupu A, b broj elemenata u skupu B i A B=0. Tada je, prema definiciji zbroja nenegativnih cijelih brojeva, a + b broj elemenata unije skupova A i B: a + b = n (A//B). Ali skup A B je jednak skupu B A prema komutativnom svojstvu unije skupova, i, dakle, n(AU B) = n(B U A). Prema definiciji zbroja n(BiA) = b + a, dakle a+b=b+a za bilo koje nenegativne cijele brojeve a i b.

Dokažimo sada kombinacijski zakon, tj. dokažimo da za sve nenegativne cijele brojeve a, b, c vrijedi jednakost (a + b) + c = a + (b + c).

Neka je a = n(A), b = n(B), c = n(C) i AUV = 0, VUS = 0 Tada po definiciji zbroja dvaju brojeva možemo pisati (a+ b)+ c = n(A/ /)B) + p(C) = p((AUBUC).

Budući da unija skupova slijedi zakon kombinacije, tada je n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Odakle, po definiciji zbroja dvaju brojeva, imamo n (A J(BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Prema tome, (a+ b)+ c -- a+(b + c) za sve nenegativne cijele brojeve a, b i c.

Koja je svrha asocijativnog zakona zbrajanja? On objašnjava kako možete pronaći zbroj tri člana: da biste to učinili, samo zbrojite prvi član s drugim i dodajte treći član dobivenom broju ili dodajte prvi član zbroju drugog i trećeg člana. Imajte na umu da zakon kombinacije ne podrazumijeva preraspodjelu članova.

I komutativni i asocijativni zakon zbrajanja mogu se generalizirati na bilo koji broj članova. U tom će slučaju komutativni zakon značiti da se zbroj ne mijenja nikakvim preuređivanjem članova, a asocijativni zakon značiti da se zbroj ne mijenja nikakvim grupiranjem članova (bez promjene njihovog redoslijeda).

Iz komutativnog i asocijativnog zakona zbrajanja proizlazi da se zbroj više članova neće promijeniti ako se oni na bilo koji način preslože i ako se neka njihova skupina stavi u zagradu.

Izračunajmo, koristeći zakone zbrajanja, vrijednost izraza 109 + 36+ 191 +64 + 27.

Na temelju komutativnog zakona preuređujemo članove 36 i 191. Tada je 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.

Upotrijebimo kombinacijski zakon, grupirajući članove, a zatim pronađimo zbrojeve u zagradama: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Primijenimo opet kombinacijski zakon, stavljajući zbroj brojeva 300 i 100 u zagrade: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Izračunajmo: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

Učenici osnovnih škola upoznaju se s komutativnim svojstvom zbrajanja pri proučavanju prvih deset brojeva. Prvo se koristi za izradu jednoznamenkaste tablice zbrajanja, a zatim za racionalizaciju raznih izračuna.

Kombinacijski zakon zbrajanja ne proučava se eksplicitno u početnom tečaju matematike, ali se stalno koristi. Dakle, to je osnova za tehniku ​​zbrajanja broja po dijelovima: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Osim toga, u slučajevima kada je potrebno dodati broj zbroju, zbroj broju, zbroj zbroju, koristi se asocijativni zakon u kombinaciji s komutativnim zakonom. Na primjer, dodavanje zbroja 2+1 broju 4 predlaže se na sljedeće načine:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Analizirajmo ove metode. U slučaju 1, proračuni se izvode u skladu s navedenim postupkom. U slučaju 2 primjenjuje se asocijativno svojstvo zbrajanja. Izračuni u potonjem slučaju temelje se na komutativnim i asocijativnim zakonima zbrajanja, a međutransformacije su izostavljene. Oni su takvi. Prvo smo na temelju komutativnog zakona zamijenili članove 1 i 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Zatim smo upotrijebili kombinacijski zakon: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. I na kraju smo izračunali prema redoslijedu operacija (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.

Pravila oduzimanja broja od zbroja i zbroja od broja

Objasnimo poznata pravila oduzimanja broja od zbroja i zbroja od broja.

Pravilo oduzimanja broja od zbroja. Za oduzimanje broja od zbroja dovoljno je taj broj oduzeti od jednog od članova zbroja i dobivenom rezultatu dodati još jedan član.

Zapišimo ovo pravilo pomoću simbola: Ako su a, b, c nenegativni cijeli brojevi, tada:

a) za a>c vrijedi (a+b) -- c = (a -- c)+b;

b) za b>c imamo da je (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) za a>c i b>c, možete koristiti bilo koju od ovih formula.

Neka je a >c, tada razlika a -c postoji. Označimo ga s p: a - c = p. Stoga je a = p+c. Zamijenite zbroj p+-c umjesto a u izraz (a+b) -- c i transformirajte ga: (a + 6) --c = (p + c+b) -- c = p+b+-c - - c = p+b

Ali slovo p označava razliku a - c, što znači da imamo (a + b) - - c = (a - c) + b, što je i trebalo dokazati.

Isto razmišljanje provodi se i za druge slučajeve. Ilustrirajmo sada ovo pravilo (slučaj "a") pomoću Eulerovih krugova. Uzmimo tri konačna skupa A, B i C, tako da je n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c i AUB = 0, CUA. Tada je (a+b) - c broj elemenata skupa (AUB)C, a broj (a - c) + b broj elemenata skupa (AC)UB. Na Eulerovim kružnicama skup (AUB)C je predstavljen osjenčanim područjem prikazanim na slici.

Lako je provjeriti da će skup (AC)UB biti predstavljen točno istom površinom. Dakle (AUB)C = (AC)UB za podatke

skupovi A, B i C. Prema tome, n((AUB)C) = n((AC)UB)u (a + b) - c - (a - c) + b.

Slučaj "b" može se ilustrirati na sličan način.

Pravilo oduzimanja zbroja od broja. Za oduzimanje zbroja brojeva od broja dovoljno je od tog broja oduzeti svaki član jedan po jedan, tj. ako su a, b, c cijeli nenegativni brojevi, tada za a>b+c imamo a-( b+c ) = (a - b) - c.

Obrazloženje za ovo pravilo i njegovu teoretsku ilustraciju provodi se na isti način kao i za pravilo za oduzimanje broja od zbroja.

O navedenim se pravilima u osnovnoj školi govori na konkretnim primjerima, a obrazlažu ih vizualnim slikama. Ova pravila omogućuju vam racionalno izvođenje izračuna. Na primjer, pravilo za oduzimanje zbroja od broja je temelj tehnike oduzimanja broja u dijelovima:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Značenje gore navedenih pravila dobro se otkriva pri rješavanju aritmetičkih problema na različite načine. Na primjer, problem “Ujutro je 20 malih i 8 velikih ribarskih brodova otišlo u more. Vraćeno je 6 brodova. Koliko brodova s ​​ribarima još treba vratiti? može se riješiti na tri načina:

/ put. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// put. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

III metoda. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Zakoni množenja

Dokažimo zakone množenja na temelju definicije umnoška preko Kartezijevog umnoška skupova.

1. Komutativni zakon: za sve nenegativne cijele brojeve a i b vrijedi jednakost a*b = b*a.

Neka je a = n(A), b = n(B). Tada je po definiciji umnoška a*b = n(A*B). Ali skupovi A*B i B*A jednako su moćni: svaki par (a, b) iz skupa AXB može se pridružiti jednom paru (b, a) iz skupa BxA, i obrnuto. To znači n(AXB) = n(BxA), i prema tome a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Zakon kombinacije: za sve nenegativne cijele brojeve a, b, c vrijedi jednakost (a* b) *c = a* (b*c).

Neka je a = n(A), b = n(B), c = n(C). Zatim, prema definiciji umnoška (a-b)-c = n((AXB)XQ, a-(b -c) = n (AX(BXQ). Skupovi (AxB)XC i A X (BX Q su različiti: prvi se sastoji od parova oblika ((a, b), c), a drugi - od parova oblika (a, (b, c)), gdje su aJA, bJB, cJC. Ali skupovi (AXB) XC i AX(BXC) su jednake snage, budući da postoji preslikavanje jedan na jedan skupa u drugi. Prema tome, n((AXB) *C) = n(A*(B*C)), i , dakle, (a*b) *c = a* (b*c).

3. Distributivni zakon množenja u odnosu na zbrajanje: za sve nenegativne cijele brojeve a, b, c vrijedi jednakost (a + b) x c = ac+ be.

Neka je a - n (A), b = n (B), c = n (C) i AUB = 0. Tada, prema definiciji proizvoda, imamo (a + b) x c = n ((AUB) * C. Odakle na temelju jednakosti (*) dobivamo n ((A UV) * C) = n((A * C)U(B* C)), a dalje po definiciji zbroja i umnoška n ( (A * C)U(B* C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.

4. Distributivni zakon množenja u odnosu na oduzimanje: za sve nenegativne cijele brojeve a, b i c i a^b vrijedi jednakost (a - b)c = = ac - bc.

Ovaj zakon je izveden iz jednakosti (AB) *C = (A *C)(B*C) i dokazuje se slično prethodnom.

Komutativni i asocijativni zakoni množenja mogu se proširiti na bilo koji broj faktora. Kao i kod zbrajanja, ovi se zakoni često koriste zajedno, odnosno umnožak nekoliko faktora neće se promijeniti ako se oni na bilo koji način preurede i ako se neka njihova skupina stavi u zagrade.

Distributivni zakoni uspostavljaju vezu između množenja i zbrajanja i oduzimanja. Na temelju ovih zakona otvaraju se zagrade u izrazima kao što su (a + b) c i (a - b) c, kao i faktor se vadi iz zagrada ako je izraz oblika ac - be ili

U početnom tečaju matematike proučava se komutativno svojstvo množenja; formulira se na sljedeći način: "Proizvod se neće promijeniti preuređivanjem faktora" - i naširoko se koristi u sastavljanju tablice množenja za jednoznamenkaste brojeve. Komutativni zakon se ne razmatra eksplicitno u osnovnoj školi, ali se koristi zajedno s komutativnim zakonom pri množenju broja umnoškom. To se događa na sljedeći način: od učenika se traži da razmotre različite načine pronalaženja vrijednosti izraza 3* (5*2) i usporede rezultate.

Dati su slučajevi:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Prvi od njih temelji se na pravilu redoslijeda radnji, drugi na asocijativnom zakonu množenja, treći na komutativnom i asocijativnom zakonu množenja.

Distribucijski zakon množenja u odnosu na zbrajanje raspravlja se u školi na konkretnim primjerima i naziva se pravilima množenja broja zbrojem i zbroja brojem. Razmatranje ova dva pravila diktiraju metodološka razmatranja.

Pravila dijeljenja zbroja brojem i brojeva umnoškom

Upoznajmo se s nekim svojstvima dijeljenja prirodnih brojeva. Izbor ovih pravila određen je sadržajem početnog tečaja matematike.

Pravilo dijeljenja zbroja brojem. Ako su brojevi a i b djeljivi s brojem c, onda je njihov zbroj a + b djeljiv s c; kvocijent dobiven dijeljenjem zbroja a + b s brojem c jednak je zbroju kvocijenata dobivenih dijeljenjem a s c i b s c, tj.

(a + b): c = a: c + b: c.

Dokaz. Kako je a djeljiv sa c, postoji prirodan broj m = a:c takav da je a = c-m. Slično tome, postoji prirodan broj n - b:c takav da je b = c-n. Tada je a+b = c-m + c-/2 = c-(m + n). Slijedi da je a + b djeljivo sa c i kvocijent koji se dobije dijeljenjem a + b s brojem c jednak je m + n, tj. a: c + b: c.

Dokazano pravilo može se tumačiti sa stajališta teorije skupova.

Neka je a = n(A), b = n(B) i AGV = 0. Ako se svaki od skupova A i B može podijeliti na jednake podskupove, tada unija tih skupova dopušta istu podjelu.

Štoviše, ako svaki podskup particije skupa A sadrži a:c elemente, a svaki podskup skupa B sadrži b:c elemenata, tada svaki podskup skupa A[)B sadrži a:c+b:c elemente. To znači da je (a + b): c = a: c + b: c.

Pravilo dijeljenja broja umnoškom. Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojevima b i c, tada je za dijeljenje a s umnoškom brojeva b i c dovoljno broj a podijeliti s b (c) i dobiveni kvocijent podijeliti s c (b) : a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Dokaz. Stavimo (a:b):c = x. Zatim, prema definiciji kvocijenta a:b = c-x, dakle slično a - b-(cx). Na temelju asocijativnog zakona množenja a = (bc)-x. Dobivena jednakost znači da je a:(bc) = x. Prema tome a:(bc) = (a:b):c.

Pravilo množenja broja kvocijentom dvaju brojeva. Za množenje broja s kvocijentom dvaju brojeva dovoljno je taj broj pomnožiti s djeliteljem i dobiveni umnožak podijeliti s djeliteljem, tj.

a-(b:c) = (a-b):c.

Primjena formuliranih pravila omogućuje pojednostavljenje izračuna.

Na primjer, da biste pronašli vrijednost izraza (720+ 600): 24, dovoljno je članove 720 i 600 podijeliti s 24 i zbrojiti dobivene kvocijente:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Vrijednost izraza 1440:(12* 15) može se pronaći tako da se 1440 najprije podijeli s 12, a zatim se dobiveni kvocijent podijeli do 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

O tim se pravilima raspravlja u početnom tečaju matematike na konkretnim primjerima. Prilikom prvog upoznavanja s pravilom dijeljenja zbroja 6 + 4 brojem 2 koristi se ilustrativni materijal. U budućnosti se ovo pravilo koristi za racionalizaciju izračuna. Pravilo dijeljenja broja umnoškom široko se koristi pri dijeljenju brojeva koji završavaju nulama.