Падение тела брошенного под углом к горизонту. Примеры решенных задач по физике на тему "свободное движение тела, брошенного под углом к горизонту". Максимальная высота подъема тела

Теория

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения ; проекции ускорения на координатные оси равны а х = 0, а у = -g.

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

,

где – начальная скорость, α – угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) Тогда

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t 0 . Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.

Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:

(1)

Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:

и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:

Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.

Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?

$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$

Закон движения тела имеет вид:

$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$

Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,

\ \ \

С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?

$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$

Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:

Закон движения:

$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \

Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:

Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то брошенное как угодно тело движется с ускорением свободного падения .

Рассмотрим сначала движение тела, брошенного горизонтально со скоростью v_vec0 с высоты h над поверхностью земли (рис. 11.1).

В векторном виде зависимость скорости тела от времени t выражается формулой

В проекциях на оси координат:

v x = v 0 , (2)
v y = –gt. (3)

1. Объясните, как из (2) и (3) получаются формулы

x = v 0 t, (4)
y = h – gt 2 /2. (5)

Мы видим, что тело как бы совершает одновременно два вида движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно без начальной скорости.

На рисунке 11.2 показано положение тела через равные промежутки времени. Внизу показано положение в те же моменты времени тела, движущегося прямолинейно равномерно с той же начальной скоростью, а слева – положение свободно падающего тела.

Мы видим, что брошенное горизонтально тело находится все время на одной вертикали с движущимся равномерно телом и на одной горизонтали со свободно падающим телом.

2. Объясните, как из формул (4) и (5) получаются выражения для времени tпол и дальности полета тела l:

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения y = 0.

3. Тело бросают горизонтально с некоторой высоты. В каком случае дальность полета тела будет больше: при увеличении в 4 раза начальной скорости или при увеличении во столько же раз начальной высоты? Во сколько раз больше?

Траекторий движения

На рисунке 11.2 траектория движения тела, брошенного горизонтально, изображена красной штриховой линией. Она напоминает ветвь параболы. Проверим это предположение.

4. Докажите, что для тела, брошенного горизонтально, уравнение траектории движения, то есть зависимость y(x), выражается формулой

Подсказка. Используя формулу (4), выразите t через x и подставьте найденное выражение в формулу (5).

Формула (8) действительно представляет собой уравнение параболы. Ее вершина совпадает с начальным положением тела, то есть имеет координаты x = 0; y = h, а ветвь параболы направлена вниз (на это указывает отрицательный коэффициент перед x 2).

5. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = 45 – 0,05x 2 .
а) Чему равны начальная высота и начальная скорость тела?
б) Чему равны время и дальность полета?

6. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м с начальной скоростью 5 м/с.
а) Сколько времени будет длиться полет тела?
б) Чему равна дальность полета?
в) Чему равна скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
г) Под каким углом к горизонту будет направлена скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
д) Какой формулой в единицах СИ выражается зависимость модуля скорости тела от времени?

2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

На рисунке 11.3 схематически изображено начальное положение тела, его начальная скорость 0 (при t = 0) и ускорение (ускорение свободного падения ).

Проекции начальной скорости

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)

Для сокращения последующих записей и прояснения их физического смысла удобно до получения окончательных формул сохранять обозначения v 0x и v 0y .

Скорость тела в векторном виде в момент времени t и в этом случае выражается формулой

Однако теперь в проекциях на оси координат

v x = v 0x , (11)
vy = v 0y – gt. (12)

7. Объясните, как получаются следующие уравнения:

x = v 0x t, (13)
y = v 0y t – gt 2 /2. (14)

Мы видим, что и в этом случае брошенное тело как бы участвует одновременно в двух видах движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно с начальной скоростью, как тело, брошенное вертикально вверх.

Траектория движения

На рисунке 11.4 схематически показано положение тела, брошенного под углом к горизонту, через равные промежутки времени. Вертикальные линии подчеркивают, что вдоль оси x тело движется равномерно: соседние линии находятся на равных расстояниях друг от друга.

8. Объясните, как получить следующее уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту:

Формула (15) представляет собой уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Уравнение траектории может многое рассказать нам о движении брошенного тела!

9. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = √3 * x – 1,25x 2 .
а) Чему равна горизонтальная проекция начальной скорости?
б) Чему равна вертикальная проекция начальной скорости?
в) Под каким углом к горизонту брошено тело?
г) Чему равна начальная скорость тела?

Параболическую форму траектории тела, брошенного под углом к горизонту, наглядно демонстрирует струя воды (рис. 11.5).

Время подъема и время всего полета

10. Используя формулы (12) и (14), покажите, что время подъема тела t под и время всего полета t пол выражаются формулами

Подсказка. В верхней точке траектории v y = 0, а в момент падения тела его координата y = 0.

Мы видим, что и в этом случае (так же, как для тела, брошенного вертикально вверх) все время полета t пол в 2 раза больше времени подъема t под. И в этом случае при обратном просмотре видеосъемки подъем тела будет выглядеть в точности как его спуск, а спуск – как подъем.

Высота и дальность полета

11. Докажите, что высота подъема h и дальность полета l выражаются формулами

Подсказка. Для вывода формулы (18) воспользуйтесь формулами (14) и (16) или формулой (10) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении; для вывода формулы (19) воспользуйтесь формулами (13) и (17).

Обратите внимание: время подъема тела tпод, все время полета tпол и высота подъема h зависят только от вертикальной проекции начальной скорости.

12. До какой высоты поднялся после удара футбольный мяч, если он упал на землю через 4 с после удара?

13. Докажите, что

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (9), (10), (18), (19).

14. Объясните, почему при одной и той же начальной скорости v 0 дальность полета l будет одинакова при двух углах α 1 и α 2 , связанных соотношением α 1 + α 2 = 90º (рис. 11.6).

Подсказка. Воспользуйтесь первым равенством в формуле (21) и тем, что sin α = cos(90º – α).

15. Два тела, брошенные одновременно и с одинаковой по модулю начальной око одну точку. Угол между начальными скоростями равен 20º. Под какими углами к горизонту были брошены тела?

Максимальные дальность и высота полета

При одной и той же по модулю начальной скорости дальность полета и высота определяются только углом α. Как выбрать этот угол, чтобы дальность или высота полета были максимальными?

16. Объясните, почему максимальная дальность полета достигается при α = 45º и выражается формулой

l max = v 0 2 /g. (22)

17.Докажите, что максимальная высота полета выражается формулой

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18.Тело, брошенное под углом 15º к горизонту, упало на расстоянии 5 м от начальной точки.
а) Чему равна начальная скорость тела?
б) До какой высоты поднялось тело?
в) Чему равна максимальная дальность полета при той же по модулю начальной скорости?
г) До какой максимальной высоты могло бы подняться это тело при той же по модулю начальной скорости?

Зависимость скорости от времени

При подъеме скорость брошенного под углом к горизонту тела уменьшается по модулю, а при спуске – увеличивается.

19.Тело брошено под углом 30º к горизонту с начальной скоростью 10 м/с.
а) Как в единицах СИ выражается зависимость vy(t)?
б) Как в единицах СИ выражается зависимость v(t)?
в) Чему равна минимальная скорость тела во время полета?
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (13) и (14), а также теоремой Пифагора.

Дополнительные вопросы и задания

20. Бросая камешки под разными углами, Саша обнаружил, что не может бросить камешек дальше чем на 40 м. На какую максимальную высоту Саша сможет забросить камешек?

21. Между сдвоенными шинами заднего колеса грузовика застрял камешек. На каком расстоянии от грузовика должен ехать следующий за ним автомобиль, чтобы этот камешек, сорвавшись, не причинил ему вреда? Оба автомобиля едут со скоростью 90 км/ч.
Подсказка. Перейдите в систему отсчета, связанную с любым из автомобилей.

22. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы:
а) высота полета была равна дальности?
б) высота полета была в 3 раза больше дальности?
в) дальность полета была в 4 раза больше высоты?

23. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту. Через какие промежутки времени после броска скорость тела будет направлена под углом 45º к горизонту?

Рассмотрим в качестве примера применения выведенных формул движение тела, брошенного под углом к горизонту в отсутствии сопротивления воздуха. Скажем, на горе, на высоте над уровнем моря стоит пушка, охраняющая прибрежные воды. Пусть снаряд выпускается под углом к горизонту с начальной скоростью из точки , положение которой определяется радиус-вектором (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Дополнение.

Вывод уравнений движения материальной точки в поле силы тяжести

Напишем уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона):

это означает, что тела - материальные точки - любых масс при одних и тех же начальных условиях будут двигаться в однородном поле тяжести одинаково. Спроектируем уравнение (2.7.2) на оси декартовой системы координат. Горизонтальная ось ОХ показана на рис. 13 пунктиром, ось OY проведем через точку О вертикально вверх, а горизонтальную ось OZ , также проходящую через точку О , направим перпендикулярно вектору на нас. Получаем:

Вертикальным направлением, по определению, называется направление вектора , поэтому его проекции на горизонтальные оси OX и OY равны нулю. Во втором уравнении учтено, что вектор направлен вниз, а ось OY - вверх.

Рис. 2.17. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Добавим к уравнениям движения начальные условия, которые определяют положение и скорость тела в начальный момент времени t 0 , пусть t 0 = 0 . Тогда, согласно рис. 2.7.4

Если производная некоторой функции равна нулю, то функция постоянна, соответственно из первого и третьего уравнений (2.7.3) получаем:

Во втором уравнении (2.7.3) производная равна константе, откуда следует, что функция зависит от своего аргумента линейно, то есть

Объединяя (2.7.7) и (2.7.9), получаем окончательные выражения для зависимостей проекций скорости на оси координат от времени:

Третье уравнение (2.7.11) показывает, что траектория тела плоская, целиком лежит в плоскости XOY , это вертикальная плоскость, определяемая векторами и . Очевидно, что последнее утверждение общее: как бы ни были выбраны направления осей координат, траектория тела брошенного под углом к горизонту плоская, она всегда лежит в плоскости, определяемой вектором начальной скорости и вектором ускорения свободного падения .

Если три уравнения (2.7.10) умножить на орты осей , , и и сложить, а потом то же самое проделать с тремя уравнениями (2.7.11), то мы получим зависимости от времени вектора скорости частицы и её радиус вектора. С учетом начальных условий имеем:

Формулы (2.7.12) и (2.7.13) можно было получить сразу, непосредственно из (2.7.2), если учесть, что ускорение свободного падения есть постоянный вектор. Если ускорение - производная от вектора скорости - постоянно, то вектор скорости зависит от времени линейно, а радиус-вектор, производная по времени от которого и есть линейно зависящий от времени вектор скорости, зависит от времени квадратично. Это и записано в соотношениях (2.7.12) и (2.7.13) с константами - постоянными векторами - подобранными соответственно начальным условиям в форме (2.7.4).

Из (2.7.13) в частности видно, что радиус-вектор является суммой трех векторов, складывающихся по обычным правилам, что наглядно показано на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Представление радиус-вектора r(t) в произвольный момент времени t в виде суммы трех векторов

Эти векторы представляют собой:

Здесь отчетливо проявляется принцип независимости движений, известный в других областях физики как принцип суперпозиции (наложения). Вообще говоря, согласно принципу суперпозиции результирующий эффект нескольких воздействий представляет собой сумму эффектов от каждого воздействия в отдельности. Он является следствием линейности уравнений движения.

Видео 2.3. Независимость горизонтального и вертикального перемещений при движении в поле тяжести.

Поместим начало отсчета в точку бросания. Теперь =0 , оси, как и ранее, развернем так, чтобы ось 0x была горизонтальной, ось 0у - вертикальной, а начальная скорость лежала в плоскости х0у (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Проекции начальной скорости на координатные оси

Спроецируем на оси координат (см.(2.7.11)):

Траектория полета . Если из системы полученных уравнений исключить время t , то получим уравнение траектории:

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Дальность полета при стрельбе с высоты h . В момент падения тела (снаряд попадает в цель, находящуюся на поверхности моря). Расстояние по горизонтали от пушки до цели равно при этом . Подставляя ; в уравнение траектории, получаем квадратное уравнение для дальности полета :

У квадратного уравнения имеется два решения (в данном случае - положительное и отрицательное). Нам нужно положительное решение. Стандартное выражение для корня квадратного уравнения нашей задачи может быть приведено к виду:

достигается при , если h = 0 .

Максимальная дальность полета . При выстреле с горы высотой это уже не так. Найдем угол , при котором достигается максимальная дальность полета. Зависимость дальности полета от угла достаточно сложна, и вместо дифференцирования для нахождения максимума мы поступим следующим образом. Представим себе, что мы увеличиваем начальный угол . Сначала дальность полета растет (см. формулу (2.7.15)), достигает максимального значения и снова начинает падать (до нуля при выстреле вертикально вверх). Таким образом, для каждой дальности полета, кроме максимальной, соответсвует два направления начальной скорости.

Обратимся снова к квадратному уравнению относительности дальности полета и рассмотрим его как уравнение для угла . Учитывая, что

перепишем его в виде:

Мы снова получили квадратное уравнение, на этот раз - для неизвестной величины . Уравнение имеет два корня, что соответствует двум углам, при которых дальность полета равна . Но когда , оба корня должны совпасть. Это означает, что равен нулю дискриминант квадратного уравнения:

откуда следует результат

При этот результат воспроизводит формулу (2.7.16)

Обычно высота много меньше дальности полета на равнине. При квадратный корень может быть аппроксимирован первыми членами разложения в ряд Тейлора и мы получаем приближенное выражение

то есть дальность выстрела увеличивается примерно на высоту подъема пушки.

Когда l = l max , и a = a max , как уже отмечалось, дискриминант квадратного уравнения равен нулю, соответственно, его решение имеет вид:

Поскольку тангенс меньше единицы, угол, при котором достигается максимальная дальность полета, меньше .

Максимальная высота подъёма над начальной точкой. Эта величина может быть определена из равенства нулю вертикальной составляющей скорости в верхней точке траектории

При этом горизонтальная составляющая скорости не равна нулю, поэтому