Падіння тіла кинутого під кутом до горизонту. Приклади вирішених завдань із фізики на тему "вільне рух тіла, кинутого під кутом до горизонту". Максимальна висота підйому тіла

Теорія

Якщо тіло залишити під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння та сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, залишається єдина сила – сила тяжкості. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, рівним прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі дорівнюють а х = 0, а у=-g.

Будь-яке складне рух матеріальної точки можна як накладання незалежних рухів вздовж координатних осей, причому у напрямі різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить, можна представити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху вздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються згодом так:

,

де - Початкова швидкість, α - Кут кидання.

Координати тіла, отже, змінюються так:

При нашому виборі початку координат початкові координати (мал. 1)

Друге значення часу, у якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто. це значення має фізичний сенс.

Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту – це значення координати хнаприкінці польоту, тобто. в момент часу, рівний t 0. Підставляючи значення (2) у першу формулу (1), отримуємо:

З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, що дорівнює 45 градусів.

Найбільшу висоту підйому покинутого тіла можна отримати з другої формули (1). І тому необхідно підставити на цю формулу значення часу, рівне половині часу польоту (2), т.к. саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо

Якщо тіло залишити під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння та сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, залишається єдина сила - сила тяжкості. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, що дорівнює прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі ах = 0 ау = - g.

Рисунок 1. Кінематичні характеристики тіла, кинутого під кутом до горизонту

Будь-яке складне рух матеріальної точки можна як накладання незалежних рухів вздовж координатних осей, причому у напрямі різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить, можна представити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху вздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються згодом так:

де $v_0$ - початкова швидкість, $(\mathbf \alpha) $ - Кут кидання.

За нашого вибору початку координат початкові координати (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тоді отримаємо:

(1)

Проаналізуємо формули (1). Визначимо час руху покинутого тіла. І тому покладемо координату y рівної нулю, т.к. у момент приземлення висота тіла дорівнює нулю. Звідси отримуємо для польоту:

Друге значення часу, у якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто. це значення має фізичний сенс.

Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту - це значення координати наприкінці польоту, тобто. у час, рівний $t_0$. Підставляючи значення (2) у першу формулу (1), отримуємо:

З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, що дорівнює 45 градусів.

Найбільшу висоту підйому покинутого тіла можна отримати з другої формули (1). І тому необхідно підставити на цю формулу значення часу, рівне половині часу польоту (2), т.к. саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо

З рівнянь (1) можна здобути рівняння траєкторії тіла, тобто. рівняння, що зв'язує координати х та у тіла під час руху. Для цього потрібно з першого рівняння (1) виразити час:

і підставити його на друге рівняння. Тоді отримаємо:

Це рівняння є рівнянням траєкторії руху. Видно, що це рівняння параболи, розташованої гілками вниз, про що говорить знак «-» перед квадратичним доданком. Слід пам'ятати, що кут кидання $\alpha$ та її функції -- тут просто константи, тобто. постійні числа.

Тіло кинуте зі швидкістю v0 під кутом $(\mathbf \alpha)$ до горизонту. Час польоту $ t = 2 с $. Яку висоту Hmax підніметься тіло?

$$t_В = 2 з$$ $$H_max - ?$$

Закон руху тіла має вигляд:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Вектор початкової швидкості утворює з віссю ОХ кут $(\mathbf\alpha)$. Отже,

\ \ \

З вершини гори кидають під кутом = 30$()^\circ$ до горизонту камінь із початковою швидкістю $v_0 = 6 м/с$. Кут похилої площини = 30 $ () ^ \ circ $. На якій відстані від точки кидання впаде камінь?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$

Помістимо початок координат у точку кидання, ОХ - уздовж похилої площини вниз, OY - перпендикулярно похилій площині вгору. Кінематичні характеристики руху:

Закон руху:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Підставивши отримане значення $t_В$, знайдемо $S$:

Якщо опір повітря можна знехтувати, то кинуте як завгодно тіло рухається з прискоренням вільного падіння.

Розглянемо спочатку рух тіла, кинутого горизонтально зі швидкістю v_vec0 із висоти h над поверхнею землі (рис. 11.1).

У векторному вигляді залежність швидкості тіла від часу t виражається формулою

У проекціях на осі координат:

v x = v 0 , (2)
v y = -gt. (3)

1. Поясніть, як із (2) і (3) виходять формули

x = v 0 t, (4)
y = h - gt2/2. (5)

Ми, що тіло хіба що робить одночасно два виду руху: вздовж осі x воно рухається рівномірно, а вздовж осі y – рівноприскорено без початкової швидкості.

На малюнку 11.2 показано положення тіла через рівні проміжки часу. Внизу показано положення в ті ж моменти часу тіла, що рухається прямолінійно рівномірно з тією самою початковою швидкістю, а ліворуч – положення вільно падаючого тіла.

Ми бачимо, що кинуте горизонтально тіло знаходиться весь час на одній вертикалі з тілом, що рухається рівномірно, і на одній горизонталі з вільно падаючим тілом.

2. Поясніть, як із формул (4) і (5) виходять вирази для часу tпол та дальності польоту тіла l:

Підказка. Скористайтеся тим, що під час падіння y = 0.

3. Тіло кидають горизонтально з деякою висоти. У якому разі дальність польоту тіла буде більшою: при збільшенні в 4 рази початкової швидкості або зі збільшенням у стільки ж разів початкової висоти? Скільки разів більше?

Траєкторій руху

На малюнку 11.2 траєкторію руху тіла, кинутого горизонтально, зображено червоною штриховою лінією. Вона нагадує гілку параболи. Перевіримо це припущення.

4. Доведіть, що для тіла, кинутого горизонтально, рівняння траєкторії руху, тобто залежність y(x), виражається формулою

Підказка. Використовуючи формулу (4), виразіть t через x і підставте знайдений вираз формулу (5).

Формула (8) дійсно є рівнянням параболи. Її вершина збігається з початковим становищем тіла, тобто має координати x = 0; y = h, а гілка параболи спрямована вниз (на це вказує негативний коефіцієнт перед х 2).

5. Залежність y(x) виявляється у одиницях СІ формулою y = 45 – 0,05x 2 .
а) Чому рівні початкова висота та початкова швидкість тіла?
б) Чому рівні час і дальність польоту?

6. Тіло кинуто горизонтально з висоти 20 м із початковою швидкістю 5 м/с.
а) Скільки часу триватиме політ тіла?
б) Чому дорівнює дальність польоту?
в) Чому дорівнює швидкість тіла безпосередньо перед ударом об землю?
г) Під яким кутом до горизонту буде спрямовано швидкість тіла безпосередньо перед ударом об землю?
д) Якою формулою в одиницях СІ виражається залежність модуля швидкості тіла від часу?

2. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

На малюнку 11.3 схематично зображено початкове положення тіла, його початкова швидкість 0 (при t = 0) та прискорення (прискорення вільного падіння).

Проекції початкової швидкості

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)

Для скорочення наступних записів та прояснення їх фізичного сенсу зручно до отримання остаточних формул зберігати позначення v 0x та v 0y.

Швидкість тіла у векторному вигляді на момент часу t і в цьому випадку виражається формулою

Однак тепер у проекціях на осі координат

v x = v 0x , (11)
vy = v 0y - gt. (12)

7. Поясніть, як виходять наступні рівняння:

x = v 0x t, (13)
y = v 0y t - gt 2/2. (14)

Ми, що й у разі кинуте тіло хіба що бере участь одночасно у двох видах руху: вздовж осі x воно рухається рівномірно, а вздовж осі y – рівноприскорено з початковою швидкістю, як тіло, кинуте вертикально вгору.

Траєкторія руху

На малюнку 11.4 схематично показано положення тіла, кинутого під кутом до горизонту через рівні проміжки часу. Вертикальні лінії підкреслюють, що вздовж осі x тіло рухається рівномірно: сусідні лінії знаходяться на рівних відстанях одна від одної.

8. Поясніть, як отримати наступне рівняння траєкторії тіла, кинутого під кутом до горизонту:

Формула (15) є рівнянням параболи, гілки якої спрямовані вниз.

Рівняння траєкторії може багато розповісти нам про рух кинутого тіла!

9. Залежність y(x) виявляється у одиницях СІ формулою y = √3 * x – 1,25x 2 .
а) Чому дорівнює горизонтальна проекція початкової швидкості?
б) Чому дорівнює вертикальна проекція початкової швидкості?
в) Під яким кутом до горизонту кинуто тіло?
г) Чому дорівнює початкова швидкість тіла?

Параболічну форму траєкторії тіла, кинутого під кутом до горизонту, наочно демонструє струмінь води (рис. 11.5).

Час підйому та час всього польоту

10. Використовуючи формули (12) і (14), покажіть, що час підйому тіла t під час всього польоту t підлога виражаються формулами

Підказка. У верхній точці траєкторії v y = 0, а момент падіння тіла його координата y = 0.

Ми бачимо, що і в цьому випадку (так само, як для тіла, кинутого вертикально вгору) весь час польоту t підлога вдвічі більше часу підйому t під. І в цьому випадку при зворотному перегляді відеозйомки підйом тіла виглядатиме точно як його спуск, а спуск – як підйом.

Висота та дальність польоту

11. Доведіть, що висота підйому h та дальність польоту l виражаються формулами

Підказка. Для виведення формули (18) скористайтеся формулами (14) і (16) або формулою (10) § 6. Переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі; для виведення формули (19) скористайтесь формулами (13) та (17).

Зверніть увагу: час підйому тіла tпід, весь час польоту tпідлога та висота підйому h залежать тільки від вертикальної проекції початкової швидкості.

12. До якої висоти піднявся після удару футбольний м'яч, якщо він упав на землю через 4 секунди після удару?

13. Доведіть, що

Підказка. Скористайтеся формулами (9), (10), (18), (19).

14. Поясніть, чому за однієї і тієї ж початкової швидкості v 0 дальність польоту l буде однаковою при двох кутах α 1 і α 2 , пов'язаних співвідношенням α 1 + α 2 = 90º (рис. 11.6).

Підказка. Скористайтеся першою рівністю у формулі (21) і тим, що sin α = cos(90º – α).

15. Два тіла, кинуті одночасно і з однаковою за модулем початкового око одну точку. Кут між початковими швидкостями дорівнює 20 º. Під якими кутами до обрію були кинуті тіла?

Максимальні дальність та висота польоту

При одній і тій же модулі початкової швидкості дальність польоту і висота визначаються тільки кутом α. Як вибрати цей кут, щоб дальність чи висота польоту були максимальними?

16. Поясніть, чому максимальна дальність польоту досягається при α = 45º та виражається формулою

l max = v 02/g. (22)

17. Доведіть, що максимальна висота польоту виражається формулою

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18.Тіло, кинуте під кутом 15º до горизонту, впало на відстані 5 м від початкової точки.
а) Чому дорівнює початкова швидкість тіла?
б) До якої висоти піднялося тіло?
в) Чому дорівнює максимальна дальність польоту за тієї ж по модулю початкової швидкості?
г) До якої максимальної висоти могло б піднятися це тіло за тієї ж по модулю початкової швидкості?

Залежність швидкості від часу

При підйомі швидкість кинутого під кутом до горизонту тіла зменшується за модулем, а під час спуску – збільшується.

19.Тіло кинуто під кутом 30º до горизонту з початковою швидкістю 10 м/с.
а) Як у одиницях СІ виражається залежність vy(t)?
б) Як у одиницях СІ виражається залежність v(t)?
в) Чому дорівнює мінімальна швидкість тіла під час польоту?
Підказка. Скористайтеся формулами (13) та (14), а також теоремою Піфагора.

Додаткові запитання та завдання

20. Кидаючи камінчики під різними кутами, Сашко виявив, що не може кинути камінчик далі ніж на 40 м. На яку максимальну висоту Сашко зможе закинути камінчик?

21. Між здвоєними шинами заднього колеса вантажівки застряг камінчик. На якій відстані від вантажівки повинен їхати наступний за ним автомобіль, щоб цей камінчик, зірвавшись, не завдав йому шкоди? Обидва автомобілі їдуть зі швидкістю 90 км/год.
Підказка. Перейдіть до системи відліку, пов'язаної з будь-яким з автомобілів.

22. Під яким кутом до обрію треба кинути тіло, щоб:
а) висота польоту дорівнювала дальності?
б) висота польоту була в 3 рази більшою за дальність?
в) дальність польоту була в 4 рази більша за висоту?

23. Тіло кинуте з початковою швидкістю 20 м/с під кутом 60º до горизонту. Через які проміжки часу після кидка швидкість тіла буде спрямована під кутом 45° до горизонту?

Розглянемо як приклад застосування виведених формул рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без опору повітря. Скажімо, на горі, на висоті над рівнем моря, стоїть гармата, що охороняє прибережні води. Нехай снаряд випускається під кутом до горизонту з початковою швидкістю точки, положення якої визначається радіус-вектором (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Доповнення.

Виведення рівнянь руху матеріальної точки в поле сили тяжіння

Напишемо рівняння руху (рівняння другого закону Ньютона):

це означає, що тіла - матеріальні точки - будь-яких мас за одних і тих самих початкових умов будуть рухатися в однорідному полі тяжкості однаково. Спроектуємо рівняння (2.7.2) на осі декартової системи координат. Горизонтальна вісь ОХпоказано на рис. 13 пунктиром, вісь OYпроведемо через точку Провертикально нагору, а горизонтальну вісь OZ, що також проходить через точку Про, направимо перпендикулярно до вектора на нас. Отримуємо:

Вертикальним напрямком, за визначенням, називається напрям вектора, тому його проекції на горизонтальні осі OXі OYрівні нулю. У другому рівнянні враховано, що вектор спрямований вниз, а вісь OY- Вгору.

Рис. 2.17. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Додамо до рівнянь руху початкові умови, які визначають положення та швидкість тіла у початковий момент часу t 0, нехай t 0 = 0. Тоді, згідно з рис. 2.7.4

Якщо похідна деякої функції дорівнює нулю, то функція стала, відповідно з першого і третього рівнянь (2.7.3) отримуємо:

У другому рівнянні (2.7.3) похідна дорівнює константі, звідки випливає, що функція залежить від свого аргументу лінійно, тобто

Об'єднуючи (2.7.7) та (2.7.9), отримуємо остаточні вирази для залежностей проекцій швидкості на осі координат від часу:

Третє рівняння (2.7.11) показує, що траєкторія тіла плоска, повністю лежить у площині XOY, Це вертикальна площина, що визначається векторами та . Очевидно, що останнє твердження загальне: хоч би як були обрані напрямки осей координат, траєкторія тіла кинутого під кутом до горизонту плоска, вона завжди лежить у площині, що визначається вектором початкової швидкості та вектором прискорення вільного падіння.

Якщо три рівняння (2.7.10) помножити на орти осей , , та й скласти, а потім те саме зробити з трьома рівняннями (2.7.11), то ми отримаємо залежність від часу вектора швидкості частинки та її радіус вектора. З урахуванням початкових умов маємо:

Формули (2.7.12) і (2.7.13) можна отримати відразу, безпосередньо з (2.7.2), якщо врахувати, що прискорення вільного падіння є постійний вектор. Якщо прискорення - похідна від вектора швидкості - постійно, то вектор швидкості залежить від часу лінійно, а радіус-вектор, похідна за часом від якого є лінійно залежить від часу вектор швидкості, залежить від часу квадратично. Це і записано у співвідношеннях (2.7.12) та (2.7.13) з константами - постійними векторами - підібраними відповідно до початкових умов у формі (2.7.4).

З (2.7.13) зокрема видно, що радіус-вектор є сумою трьох векторів, що складаються за звичайними правилами, що показано на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Подання радіус-вектора r(t) у довільний момент часу t як суми трьох векторів

Ці вектори є:

Тут виразно проявляється принцип незалежності рухів, відомий в інших галузях фізики як принцип суперпозиції(Накладення). Взагалі кажучи, згідно з принципом суперпозиції результуючий ефект кількох впливів є сумою ефектів від кожного впливу окремо. Він є наслідком лінійності рівнянь руху.

Відео 2.3. Незалежність горизонтального та вертикального переміщень під час руху у полі тяжкості.

Помістимо початок відліку до точки кидання. Тепер =0 , осі, як і раніше, розгорнемо так, щоб вісь 0xбула горизонтальною, вісь 0у- вертикальною, а початкова швидкість лежала у площині х0у(Рис. 2.19).

Рис. 2.19. Проекції початкової швидкості на координатні осі

Спроектуємо на осі координат (див.(2.7.11)):

Траєкторія польоту. Якщо із системи отриманих рівнянь виключити час t, то отримаємо рівняння траєкторії:

Це рівняння параболи, гілки якої спрямовані вниз.

Дальність польоту при стрільбі з висоти h . У момент падіння тіла (снаряд попадає в ціль, що знаходиться на поверхні моря). Відстань по горизонталі від гармати до мети дорівнює при цьому. Підставляючи; в рівняння траєкторії, отримуємо квадратне рівняння для дальності польоту:

У квадратного рівняння є два рішення (у разі - позитивне і негативне). Нам потрібне позитивне рішення. Стандартний вираз для кореня квадратного рівняння нашого завдання може бути приведений до вигляду:

досягається при , якщо h = 0.

Максимальна дальність польоту. Під час пострілу з гори висотою це вже не так. Знайдемо кут , у якому досягається максимальна дальність польоту. Залежність дальності польоту від кута досить складна, і замість диференціювання для знаходження максимуму ми зробимо так. Уявімо, що ми збільшуємо початковий кут. Спочатку дальність польоту зростає (див. формулу (2.7.15)), досягає максимального значення і починає падати (до нуля при пострілі вертикально вгору). Отже, кожної дальності польоту, крім максимальної, відповідає два напрями початкової швидкості.

Звернемося знову до квадратного рівняння відносності дальності польоту та розглянемо його як рівняння для кута. Враховуючи що

перепишемо його у вигляді:

Ми знову отримали квадратне рівняння, цього разу – для невідомої величини. Рівняння має два корені, що відповідає двом кутам, у яких дальність польоту дорівнює . Але коли обидва корені повинні збігтися. Це означає, що дорівнює нулю дискримінант квадратного рівняння:

звідки слідує результат

При цьому результат відтворює формулу (2.7.16)

Зазвичай висота значно менша від дальності польоту на рівнині. При квадратний корінь може бути апроксимований першими членами розкладання в ряд Тейлора і ми отримуємо наближений вираз

тобто дальність пострілу збільшується приблизно на висоту підйому гармати.

Коли l = l maxі a = a maxяк зазначалося, дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, відповідно, його рішення має вигляд:

Оскільки тангенс менше одиниці, кут, у якому досягається максимальна дальність польоту, менше .

Максимальна висота підйому над початковою точкою.Ця величина може бути визначена з рівності нулю вертикальної складової швидкості у верхній точці траєкторії

При цьому горизонтальна складова швидкості не дорівнює нулю, тому