Logarifmlarning ekvivalent o'tishi. Oddiy logarifmik tengsizliklarni yechish

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Ular bilan logarifmlar ichida joylashgan.

Misollar:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari:

Biz har qanday logarifmik tengsizlikni $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ ko'rinishga keltirishga harakat qilishimiz kerak ($˅$ belgisi dan istalganini bildiradi). Bu tip logarifmlar ostidagi ifodalarning tengsizligiga, ya'ni $f(x) ˅ g(x)$ ko'rinishiga o'tishni amalga oshirib, logarifmlar va ularning asoslaridan xalos bo'lishga imkon beradi.

Ammo bu o'tishni amalga oshirishda bitta muhim noziklik bor:
$-$ agar raqam bo'lsa va u 1 dan katta bo'lsa, o'tish paytida tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi,
$-$ agar asos 0 dan katta, lekin 1 dan kichik bo'lsa (nol va bir o'rtasida bo'lsa), unda tengsizlik belgisi teskari tomonga o'zgarishi kerak, ya'ni.

Misollar:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Yechim:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Javob: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(holatlar)2x-4>0\\x+1 > 0\end(holatlar)$
$\boshlash(holatlar)2x>4\\x > -1\end(holatlar)$ $\Chap oʻng oʻq$ $\boshlash(holatlar)x>2\\x > -1\end(holatlar) $ $\Chap o'ng o'q$ $x\in(2;\infty)$

Yechim:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Javob: $(2;5]$

Juda muhim! Har qanday tengsizlikda $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ ko'rinishidan logarifm ostidagi ifodalarni solishtirishga o'tish faqat quyidagi hollarda amalga oshirilishi mumkin:

Misol . Tengsizlikni yeching: $\log$$≤-1$

Yechim:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Qavslarni ochamiz va olib kelamiz.
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Biz tengsizlikni $-1$ ga ko'paytiramiz, taqqoslash belgisini teskari o'zgartirishni unutmaymiz.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Raqam chizig‘ini quramiz va undagi $\frac(7)(3)$ va $\frac(3)(2)$ nuqtalarni belgilaymiz. Tengsizlik qat'iy bo'lmaganiga qaramay, nuqta maxrajdan olib tashlanganiga e'tibor bering. Gap shundaki, bu nuqta yechim bo'lmaydi, chunki tengsizlikka almashtirilsa, u bizni nolga bo'linishga olib keladi.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Endi biz ODZni bir xil son o'qiga chizamiz va javob sifatida ODZga tushadigan intervalni yozamiz.
	Yakuniy javobni yozamiz.

Javob: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Misol . Tengsizlikni yeching: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Yechim:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: $x>0$	Keling, yechimga o'taylik.
Yechim: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Bu erda biz odatdagi kvadrat-logarifmik tengsizlikka egamiz. Keling buni bajaramiz.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Tengsizlikning chap tomonini kengaytiramiz.
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Endi biz asl o'zgaruvchiga qaytishimiz kerak - x. Buning uchun bir xil yechimga ega bo'lgan ga o'tamiz va teskari almashtirishni amalga oshiramiz.
$\left[ \begin(to'plangan) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	$2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$ oʻzgartiring.
$\left[ \begin(to'plangan) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Keling, dalillarni taqqoslashga o'tamiz. Logarifmlarning asoslari $1$ dan katta, shuning uchun tengsizliklar belgisi o'zgarmaydi.
$\left[ \begin(to'plangan) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Keling, tengsizlik va ODZ yechimini bitta rasmda birlashtiramiz.
	Keling, javobni yozamiz.

Javob: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Logarifmik tengsizliklarning butun xilma-xilligi orasida asosi oʻzgarmaydigan tengsizliklar alohida oʻrganiladi. Ular ba'zi sabablarga ko'ra kamdan-kam hollarda maktabda o'qitiladigan maxsus formula yordamida hal qilinadi:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

"∨" katakchasi o'rniga har qanday tengsizlik belgisini qo'yishingiz mumkin: ko'proq yoki kamroq. Asosiysi, ikkala tengsizlikda ham belgilar bir xil.

Shunday qilib, biz logarifmlardan xalos bo'lamiz va muammoni ratsional tengsizlikka tushiramiz. Ikkinchisini echish ancha oson, lekin logarifmlarni tashlaganda, qo'shimcha ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Ularni kesish uchun maqbul qiymatlar oralig'ini topish kifoya. Agar siz logarifmning ODZ-ni unutgan bo'lsangiz, uni takrorlashni qat'iy tavsiya qilaman - "Logarifm nima" ga qarang.

Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni bilan bog'liq barcha narsalar alohida yozilishi va hal qilinishi kerak:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ushbu to'rtta tengsizlik tizimni tashkil qiladi va bir vaqtning o'zida qondirilishi kerak. Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni topilganda, uni ratsional tengsizlikning yechimi bilan kesish qoladi - va javob tayyor.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

Birinchidan, logarifmning ODZ ni yozamiz:

Birinchi ikkita tengsizlik avtomatik ravishda qondiriladi, ammo oxirgisi yozilishi kerak. Raqamning kvadrati nolga teng bo'lgani uchun, agar raqamning o'zi nolga teng bo'lsa, bizda:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ma’lum bo‘lishicha, logarifmning ODZ noldan boshqa barcha raqamlar: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Endi biz asosiy tengsizlikni hal qilamiz:

Biz logarifmik tengsizlikdan ratsional tengsizlikka o'tamiz. Asl tengsizlik “kichik” belgisiga ega, ya’ni natijada paydo bo‘lgan tengsizlik ham “kamroq” belgisiga ega bo‘lishi kerak. Bizda ... bor:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Bu ifodaning nollari: x = 3; x = -3; x = 0. Bundan tashqari, x = 0 ikkinchi ko'paytmaning ildizi bo'lib, u orqali o'tishda funktsiyaning belgisi o'zgarmasligini bildiradi. Bizda ... bor:

Biz x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ni olamiz. Ushbu to'plam logarifmning ODZ-da to'liq mavjud, ya'ni bu javob.

Logarifmik tengsizliklarni aylantirish

Ko'pincha dastlabki tengsizlik yuqoridagidan farq qiladi. Buni logarifmlar bilan ishlashning standart qoidalari yordamida osongina tuzatish mumkin - "Logarifmlarning asosiy xususiyatlari" ga qarang. Aynan:

Har qanday sonni berilgan asosga ega logarifm sifatida ifodalash mumkin;
Bir xil asosli logarifmlarning yig'indisi va ayirmasi bitta logarifm bilan almashtirilishi mumkin.

Alohida, men sizga maqbul qiymatlar oralig'i haqida eslatmoqchiman. Dastlabki tengsizlikda bir nechta logarifmlar bo'lishi mumkinligi sababli ularning har birining VA ni topish talab etiladi. Shunday qilib, logarifmik tengsizliklarni yechishning umumiy sxemasi quyidagicha:

Tengsizlikka kiritilgan har bir logarifmning VA ni toping;
Logarifmlarni qo'shish va ayirish formulalaridan foydalanib, tengsizlikni standartga qisqartiring;
Olingan tengsizlikni yuqorida keltirilgan sxema yordamida yeching.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

Birinchi logarifmning aniqlanish sohasini (DO) topamiz:

Interval usuli yordamida hal qilamiz. Numeratorning nollarini topish:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Keyin - maxrajning nollari:

x − 1 = 0;
x = 1.

Biz koordinata o'qida nol va belgilarni belgilaymiz:

Biz x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ni olamiz. Ikkinchi logarifm bir xil VA ga ega bo'ladi. Ishonmasangiz, tekshirishingiz mumkin. Endi biz ikkinchi logarifmni asos ikkita bo'lishi uchun aylantiramiz:

Ko'rib turganingizdek, logarifmning tagida va oldidagi uchtalik qisqartirildi. Biz bir xil asosga ega ikkita logarifm oldik. Keling, ularni qo'shamiz:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Biz standart logarifmik tengsizlikni oldik. Formula yordamida logarifmlardan xalos bo'lamiz. Dastlabki tengsizlik "kichik" belgisini o'z ichiga olganligi sababli, natijada olingan ratsional ifoda ham noldan kichik bo'lishi kerak. Bizda ... bor:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Bizda ikkita to'plam bor:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Nomzod javobi: x ∈ (−1; 3).

Ushbu to'plamlarni kesish uchun qoladi - biz haqiqiy javobni olamiz:

Biz to'plamlarning kesishishiga qiziqamiz, shuning uchun biz ikkala o'qda soyali intervallarni tanlaymiz. Biz x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) ni olamiz - barcha nuqtalar teshilgan.

Agar tengsizlik logarifmik funktsiyani o'z ichiga olsa, u logarifmik deyiladi.

Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari ikkitadan farq qilmaydi.

Birinchidan, logarifmik tengsizlikdan sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligiga o'tishda quyidagilar zarur: hosil bo'lgan tengsizlik belgisiga amal qiling. U quyidagi qoidaga amal qiladi.

Agar logarifmik funktsiyaning asosi $1$ dan katta boʻlsa, logarifmik tengsizlikdan sublogarifmik funksiyalar tengsizligiga oʻtganda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, agar u $1$ dan kichik boʻlsa, u teskari tomonga oʻzgaradi. .

Ikkinchidan, har qanday tengsizlikning yechimi intervaldir va shuning uchun sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligini echish oxirida ikkita tengsizlik tizimini yaratish kerak: bu tizimning birinchi tengsizligi sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligi bo'ladi, ikkinchisi esa logarifmik tengsizlikka kiruvchi logarifmik funksiyalarni aniqlash sohasining intervali bo'ladi.

Amaliyot.

Tengsizliklarni yechamiz:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logarifmning asosi $2>1$, shuning uchun belgisi o'zgarmaydi. Logarifm ta'rifidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in)

Yana nimani o'qish kerak

Rossiyada yadroviy ta'lim va ta'lim Niyau mifi - milliy tadqiqot Moskva 1946 yilda, Xirosima va Nagasakidagi Amerika yadroviy portlashlaridan ko'p o'tmay (1945), MMIB tashkil etildi ...

Daromad solig'ini qanday optimallashtirish mumkin Daromad solig'ini optimallashtirish misollari Har kuni soliq yig'imlari ortib bormoqda. Shuning uchun jismoniy va yuridik shaxslar ko'pincha ...

Eng mazali salatlar. Salat “Achchiq. Mol go'shti va tuzlangan bodring bilan achchiq salat Achchiq salat eng ko'p qirrali taomlardan biridir. Bir necha o'nlab retseptlar mavjud ...

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Qavslarni ochamiz va olib kelamiz.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Biz tengsizlikni \(-1\) ga ko'paytiramiz, taqqoslash belgisini teskari o'zgartirishni unutmaymiz.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Raqam chizig‘ini quramiz va undagi \(\frac(7)(3)\) va \(\frac(3)(2)\) nuqtalarni belgilaymiz. Tengsizlik qat'iy bo'lmaganiga qaramay, nuqta maxrajdan olib tashlanganiga e'tibor bering. Gap shundaki, bu nuqta yechim bo'lmaydi, chunki tengsizlikka almashtirilsa, u bizni nolga bo'linishga olib keladi.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Endi biz ODZni bir xil son o'qiga chizamiz va javob sifatida ODZga tushadigan intervalni yozamiz.
	Yakuniy javobni yozamiz.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: \(x>0\)	Keling, yechimga o'taylik.
Yechim: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Bu erda biz odatdagi kvadrat-logarifmik tengsizlikka egamiz. Keling buni bajaramiz.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Tengsizlikning chap tomonini kengaytiramiz.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Endi biz asl o'zgaruvchiga qaytishimiz kerak - x. Buning uchun bir xil yechimga ega bo'lgan ga o'tamiz va teskari almashtirishni amalga oshiramiz.
\(\left[ \begin(to'plangan) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	\(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\) oʻzgartiring.
\(\left[ \begin(to'plangan) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Keling, dalillarni taqqoslashga o'tamiz. Logarifmlarning asoslari \(1\) dan katta, shuning uchun tengsizliklar belgisi o'zgarmaydi.
\(\left[ \begin(to'plangan) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Keling, tengsizlik va ODZ yechimini bitta rasmda birlashtiramiz.
	Keling, javobni yozamiz.