Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimoli. Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun normal ehtimollik taqsimot qonuni. Boshqa taqsimotlar bilan aloqasi

O'rnini bosish ph(x)=p /4 ,f(x)=1/(b-a)

D[p /4]=( /720) ).

№319 kub qirrasi x taxminan o'lchanadi, va a . Kubning chetini (a, b) oraliqda bir xil taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchisi sifatida hisobga olib, kub hajmining matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

1. Doira maydonining matematik taxminini topamiz - tasodifiy o'zgaruvchi Y=ph(K)= - formula bo'yicha

M[ph(X)]=

Joylashtirish orqali ph(x)= ,f(x)=1/(b-a) va integratsiyani amalga oshirib, biz olamiz

M( )=
.

2. Formuladan foydalanib, aylana maydonining dispersiyasini toping

D [ph(X)]= - .

O'rnini bosish ph(x)= ,f(x)=1/(b-a) va integratsiyani amalga oshirib, biz olamiz

D = .

№320 X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va bir xil taqsimlangan: X (a, b) oraliqda, Y (c, d) oralig'ida.XY mahsulotining matematik kutilmasini toping.

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutishlari ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng, ya'ni.

M(XY)=

№321 X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va bir xil taqsimlanadi: X (a,b) oralig'ida, Y (c,d) oralig'ida. XY mahsulotning dispersiyasini toping.

Keling, formuladan foydalanamiz

D(XY)=M[

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng, shuning uchun

Formuladan foydalanib M ni topamiz

M[ph(X)]=

O'rnini bosish ph(x)= ,f(x)=1/(b-a) va integratsiyani amalga oshirib, biz olamiz

M (**)

Biz ham xuddi shunday topishimiz mumkin

M (***)

O'rnini bosish M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2, shuningdek (***) va (**) da (*), biz nihoyat olamiz

D(XY)= -[ .

№322 Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning matematik kutilishi a=3 va standart og‘ish s=2. X ning ehtimollik zichligini yozing.

Keling, formuladan foydalanamiz:

f(x)= .

Mavjud qiymatlarni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

f(x)= =f(x)= .

№323 M(X)=3, D(X)=16 ekanligini bilib, normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini yozing.

Keling, formuladan foydalanamiz:

f(x)= .

s ning qiymatini topish uchun biz tasodifiy miqdorning standart og'ish xususiyatidan foydalanamiz X uning dispersiyasining kvadrat ildiziga teng. Shuning uchun s=4, M(X)=a=3. Formulaga almashtirib, biz olamiz

f(x)= = .

№324 Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi X zichlik bilan berilgan

f(x)= . X ning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Keling, formuladan foydalanamiz

f(x)= ,

Qayerda a- kutilgan qiymat; σ - standart og'ish X. Bu formuladan kelib chiqadiki a=M(X)=1. Dispersiyani topish uchun biz tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi xususiyatidan foydalanamiz X uning dispersiyasining kvadrat ildiziga teng. Shuning uchun D(X)= =

Javob: matematik kutish 1; farq 25 ga teng.

Bondarchuk Rodion

Normallashtirilgan normal qonunning taqsimot funksiyasi berilgan . f(x) taqsimot zichligini toping.

Buni bilish , f(x) ni toping.

Javob:

Laplas funktsiyasi ekanligini isbotlang . g'alati: .

Biz almashtiramiz

Biz teskari almashtirishni qilamiz va olamiz:

= =

Shuningdek, siz o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan muammolar bo'ladi, ularga javoblarni ko'rishingiz mumkin.

Oddiy taqsimot: nazariy asoslar

Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarga misol sifatida odamning bo'yi va bir xil turdagi baliqlarning massasi ovlanadi. Oddiy taqsimot quyidagilarni anglatadi : insonning bo'yi, bir xil turdagi baliqlarning massasi mavjud bo'lib, ular intuitiv ravishda "normal" (va aslida o'rtacha) sifatida qabul qilinadi va etarlicha katta namunada ular odatdagidan ko'ra tez-tez uchraydi. yuqoriga yoki pastga qarab farqlanadi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining normal ehtimollik taqsimotini (ba'zan Gauss taqsimoti) qo'ng'iroq shaklida deb atash mumkin, chunki bu taqsimotning zichlik funktsiyasi, o'rtachaga nisbatan simmetrik, qo'ng'iroqning kesilishiga (qizil egri chiziq) juda o'xshaydi. yuqoridagi rasmda).

Namunadagi ma'lum qiymatlarni uchratish ehtimoli egri chiziq ostidagi rasmning maydoniga teng va normal taqsimotda biz "qo'ng'iroq" ning yuqori qismida qiymatlarga mos kelishini ko'ramiz. o'rtachaga moyil bo'lsa, maydon va shuning uchun ehtimollik qirralarning ostidan kattaroqdir. Shunday qilib, biz yuqorida aytib o'tilgan narsani olamiz: "normal" bo'yli odam bilan uchrashish va "normal" og'irlikdagi baliqni tutish ehtimoli yuqoriga yoki pastga qarab farq qiladigan qiymatlarga qaraganda yuqori. Ko'pgina amaliy holatlarda o'lchov xatolari normaga yaqin qonun bo'yicha taqsimlanadi.

Dars boshidagi normal taqsimotning zichlik funksiyasini ko'rsatadigan rasmga yana qaraylik. Ushbu funktsiyaning grafigi dasturiy ta'minot paketidagi ma'lum ma'lumotlar namunasini hisoblash yo'li bilan olingan STATISTIKA. Unda gistogramma ustunlari namunaviy qiymatlar intervallarini ifodalaydi, ularning taqsimlanishi qizil egri chiziq bo'lgan normal taqsimot zichligi funktsiyasining haqiqiy grafigiga yaqin (yoki, odatda, statistikada aytilgandek, unchalik farq qilmaydi) . Grafik shuni ko'rsatadiki, bu egri chiziq haqiqatan ham qo'ng'iroq shaklida.

Oddiy taqsimot ko'p jihatdan qimmatlidir, chunki faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymatini va uning standart og'ishini bilib, siz ushbu o'zgaruvchi bilan bog'liq har qanday ehtimollikni hisoblashingiz mumkin.

Oddiy taqsimotning afzalligi ham foydalanish uchun eng osonlardan biri hisoblanadi. statistik gipotezalarni tekshirish uchun foydalaniladigan statistik testlar - Student's t test- faqat namunaviy ma'lumotlar normal taqsimot qonuniga bo'ysungan taqdirdagina foydalanish mumkin.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning normal taqsimlanishining zichlik funksiyasi formuladan foydalanib topish mumkin:

,

Qayerda x- o'zgaruvchan miqdorning qiymati, - o'rtacha qiymat, - standart og'ish, e=2,71828... - natural logarifm asosi, =3,1416...

Oddiy taqsimot zichligi funksiyasining xossalari

O'rtacha o'zgarishlar normal zichlik funktsiyasi egri chizig'ini o'q tomon siljitadi ho'kiz. Agar u ortib ketsa, egri chiziq o'ngga, pasaysa, chapga siljiydi.

Agar standart og'ish o'zgarsa, egri chiziqning yuqori qismining balandligi o'zgaradi. Standart og'ish oshganda, egri chiziqning yuqori qismi yuqoriroq, pasayganda esa pastroq bo'ladi.

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum oraliqda tushish ehtimoli

Ushbu paragrafda biz amaliy muammolarni hal qilishni boshlaymiz, ularning ma'nosi sarlavhada ko'rsatilgan. Keling, nazariya muammolarni hal qilish uchun qanday imkoniyatlarni taqdim etishini ko'rib chiqaylik. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum oraliqga tushish ehtimolini hisoblashning boshlang'ich tushunchasi normal taqsimotning kümülatif funktsiyasidir.

Kumulyativ normal taqsimot funksiyasi:

.

Biroq, o'rtacha va standart og'ishning har bir mumkin bo'lgan kombinatsiyasi uchun jadvallarni olish muammoli. Shuning uchun, normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning berilgan oraliqga tushish ehtimolini hisoblashning oddiy usullaridan biri standartlashtirilgan normal taqsimot uchun ehtimollik jadvallaridan foydalanishdir.

Oddiy taqsimot standartlashtirilgan yoki normallashtirilgan deb ataladi., uning o'rtacha qiymati va standart og'ish.

Standartlashtirilgan Oddiy taqsimot zichligi funktsiyasi:

.

Standartlashtirilgan normal taqsimotning kümülatif funksiyasi:

.

Quyidagi rasmda standartlashtirilgan normal taqsimotning integral funktsiyasi ko'rsatilgan, uning grafigi dasturiy ta'minot paketidagi ma'lum ma'lumotlar namunasini hisoblash yo'li bilan olingan. STATISTIKA. Grafikning o'zi qizil egri chiziq bo'lib, namunaviy qiymatlar unga yaqinlashmoqda.

Rasmni kattalashtirish uchun uni sichqonchaning chap tugmasi bilan bosishingiz mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchini standartlashtirish vazifada ishlatiladigan asl birliklardan standartlashtirilgan birliklarga o'tishni anglatadi. Standartlashtirish formula bo'yicha amalga oshiriladi

Amalda, tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari ko'pincha noma'lum, shuning uchun o'rtacha va standart og'ish qiymatlarini aniq aniqlash mumkin emas. Ular kuzatuvlarning o'rtacha arifmetik qiymati va standart og'ish bilan almashtiriladi s. Kattalik z standart og'ishlarni o'lchashda tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan og'ishlarini ifodalaydi.

Ochiq interval

Statistikaga oid deyarli har qanday kitobda mavjud bo'lgan standart normal taqsimotning ehtimollik jadvali tasodifiy o'zgaruvchining standart normal taqsimotga ega bo'lish ehtimolini o'z ichiga oladi. Z ma'lum bir raqamdan kamroq qiymat oladi z. Ya'ni, minus cheksizlikdan ochiq intervalgacha tushadi z. Masalan, miqdorning ehtimoli Z 1,5 dan kam, 0,93319 ga teng.

1-misol. Kompaniya xizmat muddati odatda o'rtacha 1000 soat va standart og'ish 200 soat bo'lgan qismlarni ishlab chiqaradi.

Tasodifiy tanlangan qism uchun uning xizmat muddati kamida 900 soat bo'lishi ehtimolini hisoblang.

Yechim. Keling, birinchi belgi bilan tanishamiz:

Istalgan ehtimollik.

Tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari ochiq intervalda. Lekin biz tasodifiy o‘zgaruvchining berilgan qiymatdan kichik qiymat olishi ehtimolini qanday hisoblashni bilamiz va masalaning shartlariga ko‘ra, berilganga teng yoki undan katta bo‘lganini topishimiz kerak. Bu oddiy zichlik egri chizig'i ostidagi bo'shliqning boshqa qismi (qo'ng'iroq). Shuning uchun, kerakli ehtimollikni topish uchun, tasodifiy o'zgaruvchining belgilangan 900 dan kichik qiymat olishi ehtimolini birlikdan ayirish kerak:

Endi tasodifiy o'zgaruvchini standartlashtirish kerak.

Biz belgini kiritishni davom ettiramiz:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - tasodifiy o'zgaruvchining belgilangan qiymati;

μ = 1000 - o'rtacha qiymat;

σ = 200 - standart og'ish.

Ushbu ma'lumotlardan foydalanib, biz muammoning shartlarini olamiz:

.

Standartlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar jadvallari bo'yicha (interval chegarasi) z= -0,5 0,30854 ehtimoliga to'g'ri keladi. Uni birlikdan ajratib oling va muammo bayonotida talab qilinadigan narsani oling:

Shunday qilib, qismning kamida 900 soat xizmat qilish muddati 69% ni tashkil qiladi.

Ushbu ehtimollikni MS Excelning NORM.DIST funksiyasi yordamida olish mumkin (integral qiymat - 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

MS Excel-da hisob-kitoblar haqida - ushbu darsning keyingi paragraflaridan birida.

2-misol. Muayyan shaharda oilaning o'rtacha yillik daromadi normal taqsimlangan tasodifiy miqdor bo'lib, o'rtacha 300 000 va standart og'ish 50 000 ga teng.Ma'lumki, oilalarning 40% daromadi 300 000 ga teng. A. Qiymatni toping A.

Yechim. Ushbu muammoda 40% tasodifiy o'zgaruvchining harf bilan ko'rsatilgan ma'lum qiymatdan kichik bo'lgan ochiq intervaldan qiymat olish ehtimolidan boshqa narsa emas. A.

Qiymatni topish uchun A, avval integral funktsiyani tuzamiz:

Muammoning shartlariga ko'ra

μ = 300000 - o'rtacha qiymat;

σ = 50000 - standart og'ish;

x = A- topiladigan miqdor.

Tenglikni hosil qilish

.

Statistik jadvallardan biz 0,40 ehtimollik oralig'i chegarasining qiymatiga mos kelishini aniqlaymiz. z = −0,25 .

Shunday qilib, biz tenglikni yaratamiz

va uning yechimini toping:

A = 287300 .

Javob: 40% oilalarning daromadi 287300 dan kam.

Yopiq interval

Ko'pgina masalalarda normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining oraliq oralig'ida qiymat olish ehtimolini topish talab qilinadi. z 1 gacha z 2. Ya'ni, u yopiq intervalga tushadi. Bunday masalalarni yechish uchun jadvalda oraliq chegaralariga mos keladigan ehtimollarni topish va keyin bu ehtimollar orasidagi farqni topish kerak. Bu kattaroq qiymatdan kichikroq qiymatni ayirishni talab qiladi. Ushbu keng tarqalgan muammolarni hal qilish misollari quyida keltirilgan va siz ularni o'zingiz hal qilishingiz so'raladi, keyin siz to'g'ri echim va javoblarni ko'rishingiz mumkin.

3-misol. Korxonaning ma'lum bir davrdagi foydasi o'rtacha qiymati 0,5 million bo'lgan normal taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchidir. va standart og'ish 0,354. Ikki kasr oralig'ida korxona foydasi 0,4 dan 0,6 c.u gacha bo'lishi ehtimolini aniqlang.

4-misol. Ishlab chiqarilgan qismning uzunligi parametrlar bilan normal qonunga muvofiq taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir μ =10 va σ =0,071. Agar qismning ruxsat etilgan o'lchamlari 10±0,05 bo'lishi kerak bo'lsa, ikkita kasrgacha aniq nuqsonlar ehtimolini toping.

Maslahat: bu masalada tasodifiy o'zgaruvchining yopiq intervalga tushish ehtimolini (nuqson bo'lmagan qismni olish ehtimoli) topishdan tashqari yana bitta amalni bajarish kerak.

standartlashtirilgan qiymat ehtimolini aniqlash imkonini beradi Z kam emas -z va boshqa emas +z, Qayerda z- standartlashtirilgan tasodifiy miqdorning o'zboshimchalik bilan tanlangan qiymati.

Taqsimotning normalligini tekshirishning taxminiy usuli

Namuna qiymatlari taqsimotining normalligini tekshirishning taxminiy usuli quyidagilarga asoslanadi normal taqsimlanish xossasi: qiyshiqlik koeffitsienti β 1 va kurtoz koeffitsienti β 2 nolga teng.

Asimmetriya koeffitsienti β 1 o'rtachaga nisbatan empirik taqsimotning simmetriyasini sonli xarakterlaydi. Agar egrilik koeffitsienti nolga teng bo'lsa, u holda o'rtacha arifmetrik, mediana va rejim teng bo'ladi: taqsimot zichligi egri chizig'i esa o'rtachaga nisbatan simmetrikdir. Agar assimetriya koeffitsienti noldan kichik bo'lsa (β 1 < 0 ), u holda o'rtacha arifmetik medianadan kichik va mediana, o'z navbatida, mod () dan kichik va egri chiziq o'ngga siljiydi (normal taqsimotga nisbatan). Agar assimetriya koeffitsienti noldan katta bo'lsa (β 1 > 0 ), u holda o'rtacha arifmetik medianadan katta bo'ladi va mediana, o'z navbatida, mod () va kattaroqdir. egri chiziq chapga siljiydi (normal taqsimotga nisbatan).

Kurtoz koeffitsienti β 2 eksa yo'nalishi bo'yicha o'rtacha arifmetik atrofida empirik taqsimotning kontsentratsiyasini tavsiflaydi Oy va tarqalish zichligi egri chizig'ining tepalik darajasi. Agar kurtoz koeffitsienti noldan katta bo'lsa, egri chiziq ko'proq cho'zilgan (normal taqsimotga nisbatan) eksa bo'ylab Oy(grafik eng yuqori cho'qqiga ko'tarilgan). Agar kurtoz koeffitsienti noldan kichik bo'lsa, egri chiziq ko'proq tekislanadi (normal taqsimotga nisbatan) eksa bo'ylab Oy(grafik yanada aniqroq).

Asimmetriya koeffitsientini MS Excel SKOS funksiyasi yordamida hisoblash mumkin. Agar siz bitta ma'lumotlar massivini tekshirayotgan bo'lsangiz, unda bitta "Raqam" maydoniga ma'lumotlar oralig'ini kiritishingiz kerak.

Kurtoz koeffitsientini MS Excel KURTESS funksiyasi yordamida hisoblash mumkin. Bitta ma'lumotlar massivini tekshirishda bitta "Raqam" maydoniga ma'lumotlar oralig'ini kiritish kifoya.

Shunday qilib, biz allaqachon bilganimizdek, normal taqsimot bilan egrilik va kurtoz koeffitsientlari nolga teng. Agar biz -0,14, 0,22, 0,43 egrilik koeffitsientlarini va 0,17, -0,31, 0,55 kurtoz koeffitsientlarini olsak nima bo'ladi? Savol juda adolatli, chunki amalda biz ba'zi muqarrar, nazoratsiz tarqalishiga duchor bo'lgan assimetriya va kurtozning taxminiy namunaviy qiymatlari bilan shug'ullanamiz. Shuning uchun, bu koeffitsientlarni qat'iy ravishda nolga tenglashtirishni talab qilib bo'lmaydi, ular faqat nolga etarlicha yaqin bo'lishi kerak. Lekin yetarli degani nimani anglatadi?

Olingan empirik qiymatlarni maqbul qiymatlar bilan solishtirish talab qilinadi. Buning uchun siz quyidagi tengsizliklarni tekshirishingiz kerak (modul koeffitsientlarining qiymatlarini kritik qiymatlar bilan solishtiring - gipotezani sinovdan o'tkazish hududining chegaralari).

Asimmetriya koeffitsienti uchun β 1 .

Oddiy taqsimot qonuni amaliyotda eng ko'p uchraydi. Uni boshqa qonunlardan ajratib turadigan asosiy xususiyat shundaki, u cheklovchi qonun bo'lib, unga boshqa taqsimot qonunlari juda keng tarqalgan tipik sharoitlarda yaqinlashadi.

Ta'rif. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega oddiy qonun tarqatish(Gauss qonuni )a va s 2 parametrlari bilan, agar uning ehtimollik zichligi f bo'lsa(x) kabi ko'rinadi:

.

(6.19)

Oddiy taqsimot egri chizig'i deyiladi normal yoki Gauss egri chizig'i. Shaklda. 6.5 a), b) parametrlari bilan normal egri chiziqni ko'rsatadi A Va s 2 va taqsimot funksiyasi grafigi.

Oddiy egri chiziq to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanligiga e'tibor qarataylik X = A, nuqtada maksimalga ega X = A, ga teng va ikkita burilish nuqtasi X = A σ ordinatalar bilan.

Shuni ta'kidlash mumkinki, oddiy qonun zichligi ifodasida taqsimot parametrlari harflar bilan ko'rsatilgan. A Va s 2, biz matematik kutish va dispersiyani bildirgan edik. Bu tasodif tasodifiy emas. Oddiy qonun parametrlarining ehtimollik nazariy ma'nosini o'rnatuvchi teoremani ko'rib chiqaylik.

Teorema. Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi ushbu taqsimotning a parametriga teng., ya'ni.

M(X) = A,

(6.20)

va uning dispersiyasi - s 2 parametriga, ya'ni.

D(X) = s 2.

(6.21)

Parametrlar o'zgarganda normal egri chiziq qanday o'zgarishini bilib olaylik A Va σ .

Agar σ = const va parametr o'zgaradi a (A 1 < A 2 < A 3), ya'ni. taqsimot simmetriya markazi, keyin normal egri uning shaklini o'zgartirmasdan abscissa o'qi bo'ylab siljiydi (6.6-rasm).

Guruch. 6.6

Guruch. 6.7

Agar A= const va parametr o'zgaradi σ , keyin egri chiziqning ordinatasi maksimal o'zgaradi f maks(a) =. Ko'payganda σ maksimalning ordinatasi kamayadi, lekin har qanday taqsimot egri chizig'i ostidagi maydon birlikka teng bo'lib qolishi kerakligi sababli, egri chiziq x o'qi bo'ylab cho'zilgan tekisroq bo'ladi. Kamaytirilganda σ Aksincha, bir vaqtning o'zida yon tomonlardan siqilgan holda normal egri yuqoriga cho'ziladi (6.7-rasm).

Shunday qilib, parametr a pozitsiyani va parametrni tavsiflaydi σ - oddiy egri chiziqning shakli.

Parametrli tasodifiy miqdorning normal taqsimot qonuni a= 0 va σ = 1 deyiladi standart yoki normallashtirilgan, va mos keladigan normal egri chiziq standart yoki normallashtirilgan.

Normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini to'g'ridan-to'g'ri topishning qiyinligi normal taqsimot funksiyasining integrali elementar funksiyalar orqali ifodalanmasligi bilan bog'liq. Biroq, uni yoki ifodasining aniq integralini ifodalovchi maxsus funksiya orqali hisoblash mumkin. Bu funksiya deyiladi Laplas funktsiyasi, buning uchun jadvallar tuzilgan. Ushbu funktsiyaning ko'plab turlari mavjud, masalan:

, .

Funktsiyadan foydalanamiz

Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

1. Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli [α , β ] ga teng

Ushbu formuladan foydalanib, biz turli qiymatlar uchun ehtimolliklarni hisoblaymiz δ (Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvalidan foydalangan holda):

da δ = σ = 2F(1) = 0,6827;

da δ = 2σ = 2F(2) = 0,9545;

da δ = 3σ = 2F(3) = 0,9973.

Bu "deb ataladigan narsaga olib keladi" uch sigma qoidasi»:

Agar X tasodifiy o'zgaruvchisi a va s parametrlari bilan normal taqsimot qonuniga ega bo'lsa, uning qiymatlari oraliqda yotishi deyarli aniq.(a – 3σ ; a + 3σ ).

6.3-misol. Agar ma'lum bir yosh guruhidagi erkaklarning bo'yi normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir X parametrlari bilan A= 173 va σ 2 = 36, toping:

1. Tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi va taqsimot funksiyasining ifodasi X;

2. Ushbu yosh toifasi uchun umumiy ishlab chiqarish hajmiga kiritilishi kerak bo'lgan 4-balandlikdagi (176 - 183 sm) kostyumlar ulushi va 3-balandlikdagi (170 - 176 sm) kostyumlar ulushi;

3. Tasodifiy o‘zgaruvchi uchun “uch sigma qoidasi”ni tuzing X.

1. Ehtimollik zichligini topish

va X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi

= .

2. Biz 4 (176 - 182 sm) balandlikdagi kostyumlar nisbatini ehtimollik sifatida topamiz.

R(176 ≤ X ≤ 182) = = F(1,5) – F(0,5).

Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvaliga ko'ra ( 2-ilova) topamiz:

F (1,5) = 0,4332, F (0,5) = 0,1915.

Nihoyat, olamiz

R(176 ≤ X ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.

3-balandlikdagi (170 - 176 sm) kostyumlarning ulushini xuddi shunday tarzda topish mumkin. Biroq, agar bu oraliq matematik kutishga nisbatan nosimmetrik ekanligini hisobga olsak, buni qilish osonroq bo'ladi. A= 173, ya'ni. tengsizlik 170 ≤ X≤ 176 tengsizlik │ ga teng X– 173│≤ 3. Keyin

R(170 ≤X ≤176) = R(│X– 173│≤ 3) = 2F(3/6) = 2F(0,5) = 2·0,1915 = 0,3830.

3. Keling, X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun "uch sigma qoidasini" tuzamiz:

Bu yosh toifasidagi erkaklarning balandligi deyarli aniq A – 3σ = 173 – 3 6 = 155 gacha A + 3σ = 173 + 3·6 = 191, ya'ni. 155 ≤ X ≤ 191. ◄

7. EHTIMOLLAR NAZARIYASINING LIMITI TEOREMALARI

Tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishda yuqorida aytib o'tilganidek, bitta test natijasida tasodifiy o'zgaruvchining qanday qiymatga ega bo'lishini oldindan aytib bo'lmaydi - bu hisobga olinmaydigan ko'plab sabablarga bog'liq.

Biroq, testlar ko'p marta takrorlanganda, tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining xatti-harakati deyarli tasodifiy xarakterini yo'qotadi va tabiiy bo'ladi. Naqshlarning mavjudligi hodisalarning ommaviy tabiati bilan bog'liq bo'lib, ularning umumiyligida aniq belgilangan qonunga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchi hosil qiladi. Ommaviy hodisalarning barqarorligining mohiyati quyidagilardan kelib chiqadi: har bir alohida tasodifiy hodisaning o'ziga xos xususiyatlari bunday hodisalar massasining o'rtacha natijasiga deyarli ta'sir qilmaydi; har bir alohida hodisada muqarrar bo'lgan o'rtacha qiymatdan tasodifiy og'ishlar o'zaro bekor qilinadi, tekislanadi, massada tekislanadi.

Aynan o'rtachalarning barqarorligi so'zning keng ma'nosida tushuniladigan "katta sonlar qonuni" ning fizik mazmunini ifodalaydi: juda ko'p tasodifiy hodisalar bilan ularning natijasi deyarli tasodifiy bo'lmaydi va ularni oldindan aytish mumkin. yuqori darajadagi ishonch.

So'zning tor ma'nosida, ehtimollar nazariyasidagi "katta sonlar qonuni" bir qator matematik teoremalar sifatida tushuniladi, ularning har biri ma'lum shartlar uchun ko'p sonli tajribalarning o'rtacha xarakteristikalari ma'lum bir darajaga yaqinlashishini aniqlaydi. muayyan konstantalar.

Katta sonlar qonuni ehtimollar nazariyasini amaliy qo'llashda muhim rol o'ynaydi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning ma'lum sharoitlarda o'zini tasodifiy bo'lmagan kabi tutish xususiyati bu miqdorlar bilan ishonchli ishlashga va ommaviy tasodifiy hodisalarning natijalarini deyarli to'liq aniqlik bilan bashorat qilishga imkon beradi.

Ommaviy tasodifiy hodisalar sohasidagi bunday bashoratlarning imkoniyatlari tasodifiy o'zgaruvchilarning chegaraviy qiymatlariga emas, balki taqsimlanishning cheklovchi qonunlariga tegishli bo'lgan boshqa chegara teoremalarining mavjudligi bilan yanada kengaytiriladi. Biz "markaziy chegara teoremasi" deb nomlanuvchi teoremalar guruhi haqida gapiramiz. Markaziy chegara teoremasining turli shakllari bir-biridan tasodifiy miqdorlar yig'indisining ushbu cheklovchi xususiyati o'rnatilgan sharoitlarda farqlanadi.

Katta sonlar qonunining turli shakllari markaziy chegara teoremasining har xil ko'rinishlari bilan atalgan to'plamni tashkil qiladi. chegara teoremalari ehtimollik nazariyasi. Limit teoremalari tasodifiy hodisalar sohasida nafaqat ilmiy bashorat qilish, balki bu prognozlarning to'g'riligini baholash imkonini beradi.

Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi parametrlari bilan normal (Gauss) qonuniga muvofiq taqsimlanadi A Va () , agar ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega bo'lsa

Oddiy taqsimlangan miqdor har doim cheksiz miqdordagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega, shuning uchun uni taqsimlash zichligi grafigi yordamida grafik tasvirlash qulay. Formulaga ko'ra

tasodifiy o‘zgaruvchining oraliqdan qiymat olish ehtimoli shu oraliqdagi funksiya grafigi ostidagi maydonga teng (aniq integralning geometrik ma’nosi). Ko'rib chiqilayotgan funktsiya manfiy emas va uzluksizdir. Funktsiya grafigi qo'ng'iroq shakliga ega va Gauss egri yoki normal egri deb ataladi.

Rasmda normal qonunga muvofiq belgilangan tasodifiy o'zgaruvchining bir nechta taqsimot zichligi egri chiziqlari ko'rsatilgan.

Barcha egri chiziqlar bir maksimal nuqtaga ega va siz undan o'ngga va chapga uzoqlashganingizda, egri chiziqlar kamayadi. Maksimalga erishiladi va ga teng.

Egri chiziqlar eng yuqori nuqtadan o'tkazilgan vertikal chiziqqa nisbatan simmetrikdir. Har bir egri chiziqning pastki grafigi maydoni 1 ga teng.

Alohida taqsimlash egri chiziqlari orasidagi farq shundan iboratki, barcha egri chiziqlar uchun bir xil bo'lgan subgrafaning umumiy maydoni turli bo'limlar o'rtasida turlicha taqsimlanadi. Har qanday egri chiziqning pastki qismining asosiy qismi eng ehtimoliy qiymatga bevosita yaqin joyda to'plangan va bu qiymat barcha uchta egri chiziq uchun farq qiladi. Turli qiymatlar uchun va A turli normal qonunlar va turli zichlik taqsimoti funksiya grafiklari olinadi.

Nazariy tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, amaliyotda uchraydigan ko'pchilik tasodifiy o'zgaruvchilar normal taqsimot qonuniga ega. Ushbu qonunga ko'ra, gaz molekulalarining tezligi, yangi tug'ilgan chaqaloqlarning og'irligi, mamlakat aholisining kiyim-kechaklari va poyabzallarining o'lchamlari va boshqa ko'plab jismoniy va biologik xarakterdagi tasodifiy hodisalar taqsimlanadi. Bu qolipni birinchi marta A. Moivr payqagan va nazariy jihatdan asoslagan.

, uchun funktsiya Moivre-Laplasning mahalliy limit teoremasida muhokama qilingan funktsiyaga to'g'ri keladi. Oddiy taqsimotning ehtimollik zichligi oson orqali ifodalanadi:

Bunday parametr qiymatlari uchun normal qonun deyiladi asosiy .

Normallashtirilgan zichlik uchun taqsimlash funksiyasi deyiladi Laplas funktsiyasi va belgilanadi PH(x). Biz allaqachon bu funktsiyaga duch kelganmiz.

Laplas funktsiyasi ma'lum parametrlarga bog'liq emas A va s. Laplas funktsiyasi uchun taxminiy integratsiya usullaridan foydalangan holda, turli darajadagi aniqlikdagi intervaldagi qiymatlar jadvallari tuzilgan. Shubhasiz, Laplas funktsiyasi g'alati, shuning uchun uning qiymatlarini salbiy uchun jadvalga qo'yishning hojati yo'q.

Parametrlar bilan normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun A va , matematik kutish va dispersiya formulalar yordamida hisoblanadi: , .Standart og'ish ga teng.

Oddiy taqsimlangan miqdorning oraliqdan qiymat olish ehtimoli teng

integral limit teoremasiga kiritilgan Laplas funksiyasi qayerda.

Ko'pincha muammolarda normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining og'ish ehtimolini hisoblash talab qilinadi. X uning mutlaq qiymatdagi matematik kutishidan ma'lum bir qiymatdan oshmaydi, ya'ni. ehtimollikni hisoblash. (19.2) formuladan foydalanib, bizda quyidagilar mavjud:

Xulosa qilib, (19.3) formuladan bitta muhim xulosani keltiramiz. Keling, ushbu formulani kiritamiz. Keyin, ya'ni. og'ishning mutlaq qiymati bo'lish ehtimoli X uning matematik kutilmasi dan oshmaydi, 99,73% ga teng. Amalda, bunday hodisani ishonchli deb hisoblash mumkin. Bu uch sigma qoidasining mohiyatidir.

Uch sigma qoidasi. Agar tasodifiy o'zgaruvchi normal taqsimlangan bo'lsa, u holda uning matematik kutilganidan og'ishning mutlaq qiymati amalda standart og'ishning uch barobaridan oshmaydi.

Maqolada tasodifiy miqdorning normal taqsimot qonuni nima ekanligi va undan amaliy masalalarni yechishda qanday foydalanish kerakligi batafsil ko‘rsatilgan.

Statistikada normal taqsimot

Qonunning tarixi 300 yil oldinga borib taqaladi. Birinchi kashfiyotchi Avraam de Moivr bo'lib, u taxminan 1733 yilda kashf etgan. Ko'p yillar o'tgach, Karl Fridrix Gauss (1809) va Per-Simon Laplas (1812) matematik funktsiyalarni ishlab chiqdilar.

Laplas ham ajoyib naqshni topdi va shakllantirdi markaziy chegara teoremasi (CPT), unga ko'ra ko'p sonli kichik va mustaqil miqdorlarning yig'indisi normal taqsimotga ega.

Oddiy qonun bir o'zgaruvchining boshqasiga bog'liqligining sobit tenglamasi emas. Faqat bu qaramlikning tabiati qayd etilgan. Tarqatishning o'ziga xos shakli maxsus parametrlar bilan belgilanadi. Masalan, y = ax + b to'g'ri chiziq tenglamasidir. Biroq, u aniq qaerdan o'tadi va qaysi burchakda parametrlar bilan belgilanadi A Va b. Oddiy taqsimot bilan bir xil. Bu markaz atrofida qiymatlarning yuqori konsentratsiyasi tendentsiyasini tavsiflovchi funktsiya ekanligi aniq, ammo uning aniq shakli maxsus parametrlar bilan belgilanadi.

Gauss normal taqsimot egri chizig'i quyidagicha ko'rinadi.

Oddiy taqsimot grafigi qo'ng'iroqqa o'xshaydi, shuning uchun siz nomni ko'rishingiz mumkin qo'ng'iroq chizig'i. Grafikning o'rtasida "qo'ng'iz" va qirralarning zichligi keskin pasayadi. Bu normal taqsimotning mohiyatidir. Tasodifiy o'zgaruvchining markazga yaqin bo'lish ehtimoli uning markazdan sezilarli darajada og'ishiga qaraganda ancha yuqori.

Yuqoridagi rasmda Gauss egri chizig'i ostidagi ikkita maydon ko'rsatilgan: ko'k va yashil. Sabablari, ya'ni. Intervallar ikkala bo'lim uchun teng. Ammo balandliklar sezilarli darajada farq qiladi. Moviy maydon markazdan uzoqroq va taqsimotning eng markazida joylashgan yashil maydonga qaraganda sezilarli darajada pastroq balandlikka ega. Binobarin, hududlar, ya'ni belgilangan oraliqlarga tushish ehtimoli ham farqlanadi.

Oddiy taqsimot (zichlik) formulasi quyidagicha.

Formula ikkita matematik konstantadan iborat:

π - pi raqami 3.142;

e– natural logarifm asosi 2.718;

Muayyan egri chiziq shaklini aniqlaydigan ikkita o'zgaruvchan parametr:

m- matematik kutish (boshqa belgilar turli manbalarda ishlatilishi mumkin, masalan, µ yoki a);

s 2- dispersiya;

va o'zgaruvchining o'zi x, buning uchun ehtimollik zichligi hisoblanadi.

Oddiy taqsimotning o'ziga xos shakli 2 parametrga bog'liq: ( m) va ( s 2). Qisqacha ko'rsatilgan N(m, s 2) yoki N(m, s). Parametr m(kutish) grafikning maksimal balandligiga mos keladigan taqsimot markazini aniqlaydi. Dispersiya s 2 o'zgaruvchanlik ko'lamini, ya'ni ma'lumotlarning "qo'polligini" tavsiflaydi.

Matematik kutish parametri zichlik egri chizig'ining shakliga ta'sir qilmasdan taqsimot markazini o'ngga yoki chapga siljitadi.

Ammo dispersiya egri chiziqning aniqligini aniqlaydi. Ma'lumotlarning kichik tarqalishi bo'lsa, uning barcha massasi markazda to'planadi. Agar ma'lumotlar katta tarqalishiga ega bo'lsa, u holda u keng doirada "tarqaladi".

Tarqatish zichligi to'g'ridan-to'g'ri amaliy qo'llanilishiga ega emas. Ehtimollarni hisoblash uchun siz zichlik funksiyasini integrallashingiz kerak.

Tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir qiymatdan kichik bo'lish ehtimoli x, belgilanadi normal taqsimlash funktsiyasi:

Har qanday uzluksiz taqsimotning matematik xususiyatlaridan foydalanib, boshqa har qanday ehtimolliklarni hisoblash oson, chunki

P(a ≤ X< b) = Ф(b) – Ф(a)

Standart normal taqsimot

Oddiy taqsimot o'rtacha va dispersiyaning parametrlariga bog'liq, shuning uchun uning xususiyatlari yomon ko'rinadi. Ma'lumotlar miqyosiga bog'liq bo'lmagan tarqatish standartiga ega bo'lish yaxshi bo'lardi. Va u mavjud. Chaqirildi standart normal taqsimot. Aslida, bu oddiy normal taqsimot bo'lib, faqat parametrlar matematik kutish 0 va dispersiya 1, qisqacha N(0, 1) yozilgan.

Har qanday normal taqsimotni normallashtirish orqali osongina standart taqsimotga aylantirish mumkin:

Qayerda z– o‘rniga ishlatiladigan yangi o‘zgaruvchi x;
m- kutilayotgan qiymat;
σ - standart og'ish.

Namunaviy ma'lumotlar uchun taxminlar olinadi:

Yangi o'zgaruvchining o'rtacha arifmetik va dispersiyasi z endi ham mos ravishda 0 va 1. Buni elementar algebraik transformatsiyalar yordamida osongina tekshirish mumkin.

Ism adabiyotda uchraydi z ball. Bu - normallashtirilgan ma'lumotlar. Z balli nazariy ehtimollar bilan bevosita solishtirish mumkin, chunki uning ko'lami standartga to'g'ri keladi.

Keling, standart normal taqsimotning zichligi qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik (uchun z-ballari). Eslatib o‘taman, Gauss funksiyasi quyidagi shaklga ega:

Keling, o'rniga almashtiraylik (x-m)/s xat z, va o'rniga σ - bitta, olamiz standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi:

Zichlik jadvali:

Markaz, kutilganidek, 0 nuqtada. Xuddi shu nuqtada, Gauss funksiyasi o'zining o'rtacha qiymatini qabul qiluvchi tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladigan maksimal darajaga etadi (ya'ni. x-m=0). Ushbu nuqtadagi zichlik 0,3989 ni tashkil qiladi, uni hatto sizning boshingizda ham hisoblash mumkin, chunki e 0 =1 va faqat 1 ning 2 pi ning ildiziga nisbatini hisoblash qoladi.

Shunday qilib, grafik aniq ko'rsatadiki, o'rtacha qiymatdan kichik og'ishlarga ega bo'lgan qiymatlar boshqalarga qaraganda tez-tez uchraydi va markazdan juda uzoqda bo'lganlar kamroq uchraydi. X o'qi shkalasi standart og'ishlarda o'lchanadi, bu sizga o'lchov birliklaridan xalos bo'lishga va normal taqsimotning universal tuzilishini olishga imkon beradi. Normallashtirilgan ma'lumotlar uchun Gauss egri chizig'i normal taqsimotning boshqa xususiyatlarini mukammal tarzda namoyish etadi. Masalan, ordinata o'qiga nisbatan simmetrik bo'lishi. Barcha qiymatlarning aksariyati arifmetik o'rtacha qiymatdan ±1s oralig'ida to'plangan (hozircha biz ko'z bilan hisoblaymiz). Ma'lumotlarning aksariyati ±2s ichida. Deyarli barcha ma'lumotlar ±3s ichida. Oxirgi mulk sifatida keng tanilgan uch sigma qoidasi normal taqsimlash uchun.

Standart normal taqsimot funksiyasi ehtimolliklarni hisoblash imkonini beradi.

Hech kim qo'lda hisoblamasligi aniq. Har bir narsa hisoblab chiqiladi va har qanday statistika darsligining oxirida joylashgan maxsus jadvallarga joylashtiriladi.

Oddiy taqsimot jadvali

Oddiy taqsimlash jadvallarining ikki turi mavjud:

- stol zichligi;

- stol funktsiyalari(zichlikning integrali).

Jadval zichligi kamdan-kam ishlatiladi. Biroq, keling, qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik. Aytaylik, biz uchun zichlikni olishimiz kerak z = 1, ya'ni. kutilganidan 1 sigma bilan ajratilgan qiymatning zichligi. Quyida stolning bir qismi.

Ma'lumotlarning tashkil etilishiga qarab, ustun va satr nomi bo'yicha kerakli qiymatni qidiramiz. Bizning misolimizda biz chiziqni olamiz 1,0 va ustun 0 , chunki yuzdan birlari yo'q. Siz izlayotgan qiymat 0,2420 (2420 dan oldingi 0 qoldirilmaydi).

Gauss funksiyasi ordinataga nisbatan simmetrikdir. Shunung uchun ph(z)= ph(-z), ya'ni. uchun zichlik 1 uchun zichligi bilan bir xil -1 , bu rasmda aniq ko'rinadi.

Qog'ozni isrof qilmaslik uchun jadvallar faqat ijobiy qiymatlar uchun chop etiladi.

Amalda, qiymatlar ko'proq qo'llaniladi funktsiyalari standart normal taqsimot, ya'ni har xil bo'lish ehtimoli z.

Bunday jadvallar faqat ijobiy qiymatlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun, tushunish va topish uchun har qanday kerakli ehtimolliklarni bilishingiz kerak standart normal taqsimotning xossalari.

Funktsiya F(z) uning qiymati 0,5 ga nisbatan simmetrik (zichlik kabi ordinat o'qi emas). Demak, tenglik to'g'ri:

Ushbu fakt rasmda ko'rsatilgan:

Funktsiya qiymatlari F(-z) Va F(z) grafikni 3 qismga bo'ling. Bundan tashqari, yuqori va pastki qismlar tengdir (tasdiq belgilari bilan ko'rsatilgan). Ehtimolni to'ldirish uchun F(z) 1 ga faqat etishmayotgan qiymatni qo'shing F(-z). Siz yuqorida ko'rsatilgan tenglikni olasiz.

Agar intervalga tushish ehtimolini topish kerak bo'lsa (0; z), ya'ni noldan musbat yo'nalishda ma'lum miqdordagi standart og'ishlarga og'ish ehtimoli standart normal taqsimot funktsiyasi qiymatidan 0,5 ni ayirish kifoya qiladi:

Aniqlik uchun siz chizilgan rasmga qarashingiz mumkin.

Gauss egri chizig'ida xuddi shu holat markazdan o'nggacha bo'lgan maydonga o'xshaydi z.

Ko'pincha, tahlilchi har ikki yo'nalishda ham noldan og'ish ehtimoli bilan qiziqadi. Va funktsiya markazga nisbatan nosimmetrik bo'lgani uchun, oldingi formulani 2 ga ko'paytirish kerak:

Quyidagi rasm.

Gauss egri chizig'i ostida bu tanlangan qiymat bilan cheklangan markaziy qismdir –z chap va z o'ngda.

Bu xususiyatlarni hisobga olish kerak, chunki jadvalli qiymatlar kamdan-kam hollarda qiziqish oralig'iga to'g'ri keladi.

Vazifani engillashtirish uchun darsliklar odatda shakl funktsiyalari uchun jadvallarni nashr etadilar:

Agar sizga ikkala yo'nalishda ham noldan og'ish ehtimoli kerak bo'lsa, biz ko'rib turganimizdek, ushbu funktsiya uchun jadval qiymati shunchaki 2 ga ko'paytiriladi.

Endi aniq misollarni ko'rib chiqaylik. Quyida standart normal taqsimot jadvali keltirilgan. Keling, uchta uchun jadval qiymatlarini topamiz z: 1.64, 1.96 va 3.

Bu raqamlarning ma'nosini qanday tushunish mumkin? dan boshlaylik z=1,64, buning uchun jadval qiymati 0,4495 . Ma'noni tushuntirishning eng oson yo'li rasmda.

Ya'ni, standartlashtirilgan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining dan oralig'iga tushishi ehtimoli 0 oldin 1,64 , teng 0,4495 . Muammolarni hal qilishda odatda ikkala yo'nalishda ham og'ish ehtimolini hisoblashingiz kerak, shuning uchun qiymatni ko'paytiramiz. 0,4495 2 ga va biz taxminan 0,9 ni olamiz. Gauss egri chizig'i ostidagi ishg'ol qilingan maydon quyida ko'rsatilgan.

Shunday qilib, barcha normal taqsimlangan qiymatlarning 90% intervalga to'g'ri keladi ±1,64s arifmetik o'rtachadan. Ma'noni tasodifan tanlaganim yo'q z=1,64, chunki Ba'zan ishonch oraliqlarini hisoblash uchun butun maydonning 90% ni egallagan o'rtacha arifmetik atrofidagi qo'shnilik ishlatiladi. Agar tekshirilayotgan qiymat belgilangan hududga to'g'ri kelmasa, unda uning paydo bo'lishi ehtimoldan yiroq (faqat 10%).

Biroq, gipotezalarni sinab ko'rish uchun barcha qiymatlarning 95% ni qoplaydigan interval ko'proq qo'llaniladi. Yarim imkoniyat 0,95 - Bu 0,4750 (jadvaldagi ikkinchi ajratilgan qiymatga qarang).

Ushbu ehtimollik uchun z=1,96. Bular. deyarli ichida ±2s Qiymatlarning 95% o'rtacha qiymatdan. Faqat 5% bu chegaralardan tashqarida.

Yana bir qiziqarli va tez-tez ishlatiladigan jadval qiymati mos keladi z=3, bizning jadvalimizga ko'ra tengdir 0,4986 . 2 ga ko'paytiring va oling 0,997 . Shunday qilib, ichida ±3s Deyarli barcha qiymatlar o'rtacha arifmetik qiymatdan kelib chiqadi.

Diagrammadagi normal taqsimot uchun 3 sigma qoidasi shunday ko'rinadi.

Statistik jadvallardan foydalanib, har qanday ehtimollikni olishingiz mumkin. Biroq, bu usul juda sekin, noqulay va juda eskirgan. Bugungi kunda hamma narsa kompyuterda amalga oshiriladi. Keyinchalik, Excelda hisob-kitoblar amaliyotiga o'tamiz.

Excelda oddiy taqsimot

Excel normal taqsimotning ehtimollik yoki teskarisini hisoblash uchun bir nechta funktsiyalarga ega.

NORMAL DIST funksiyasi

Funktsiya NORM.ST.DIST. zichligini hisoblash uchun mo'ljallangan s(z) yoki ehtimolliklar PH(z) normallashtirilgan ma'lumotlarga ko'ra ( z).

=NORM.ST.DIST(z;integral)

z- standartlashtirilgan o'zgaruvchining qiymati

integral- agar 0 bo'lsa, u holda zichlik hisoblanadi s(z) , agar 1 F(z) funksiyaning qiymati bo'lsa, ya'ni. ehtimollik P(Z

Turli xillar uchun zichlik va funktsiya qiymatini hisoblaylik z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3(biz ularni A2 katakchada ko'rsatamiz).

Zichlikni hisoblash uchun =NORM.ST.DIST(A2;0) formulasi kerak bo'ladi. Quyidagi diagrammada bu qizil nuqta.

Funktsiya qiymatini hisoblash uchun =NORM.ST.DIST(A2;1). Diagramma oddiy egri ostidagi soyali maydonni ko'rsatadi.

Haqiqatda, tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatdan ma'lum chegaralardan tashqariga chiqmaslik ehtimolini hisoblash kerak (o'zgaruvchiga mos keladigan standart og'ishlarda). z), ya'ni. P(|Z| .

Tasodifiy o'zgaruvchining chegaralarga tushish ehtimolini aniqlaymiz ±1z, ±2z va ±3z noldan. Formula kerak 2F(z)-1, Excelda =2*NORM.ST.DIST(A2;1)-1.

Diagramma normal taqsimotning asosiy asosiy xususiyatlarini, shu jumladan uch sigma qoidasini aniq ko'rsatadi. Funktsiya NORM.ST.DIST. Excelda normal taqsimot funktsiyasi qiymatlarining avtomatik jadvali.

Teskari muammo ham bo'lishi mumkin: mavjud ehtimolga ko'ra P(Z standartlashtirilgan qiymatni toping z, ya'ni standart normal taqsimotning kvanti.

NORM.ST.REV funktsiyasi

NORM.ST.REV standart normal taqsimot funksiyasining teskarisini hisoblaydi. Sintaksis bitta parametrdan iborat:

=NORM.ST.REV (ehtimollik)

ehtimollik ehtimollikdir.

Ushbu formula avvalgisi kabi tez-tez ishlatiladi, chunki bir xil jadvallardan foydalanib, siz nafaqat ehtimolliklarni, balki kvantlarni ham izlashingiz kerak.

Masalan, ishonch oraliqlarini hisoblashda ishonch ehtimoli ko'rsatiladi, unga ko'ra qiymatni hisoblash kerak. z.

Ishonch oralig'i yuqori va pastki chegaradan iboratligini va normal taqsimotning nolga yaqin simmetrik ekanligini hisobga olsak, yuqori chegarani (musbat og'ish) olish kifoya. Pastki chegara salbiy belgi bilan olinadi. Ishonch ehtimolini deb belgilaymiz γ (gamma), keyin ishonch oralig'ining yuqori chegarasi quyidagi formula yordamida hisoblanadi.

Keling, Excelda qiymatlarni hisoblaylik z(bu sigmadagi o'rtacha ko'rsatkichdan og'ishga to'g'ri keladi) bir nechta ehtimolliklar uchun, shu jumladan har qanday statistik yoddan biladiganlar uchun: 90%, 95% va 99%. B2 katakda formulani ko'rsatamiz: =NORM.ST.REV((1+A2)/2). O'zgaruvchining qiymatini o'zgartirib (A2 katakdagi ehtimollik), biz intervallarning turli chegaralarini olamiz.

95% ishonch oralig'i 1,96, ya'ni deyarli 2 standart og'ish. Bu erdan oddiy tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan tarqalishini taxmin qilish oson, hatto aqliy jihatdan ham. Umuman olganda, 90%, 95% va 99% ishonch intervallari ±1,64, ±1,96 va ±2,58s ishonch oraliqlariga to'g'ri keladi.

Umuman olganda, NORM.ST.DIST va NORM.ST.REV funktsiyalari normal taqsimot bilan bog'liq har qanday hisob-kitoblarni bajarishga imkon beradi. Ammo ishlarni oson va murakkabroq qilish uchun Excelda yana bir qancha xususiyatlar mavjud. Misol uchun, o'rtacha uchun ishonch oraliqlarini hisoblash uchun ISHONCH NORM dan foydalanishingiz mumkin. Arifmetik o'rtachani tekshirish uchun Z.TEST formulasi mavjud.

Keling, misollar bilan yana bir nechta foydali formulalarni ko'rib chiqaylik.

NORMAL DIST funksiyasi

Funktsiya NORMAL DIST. dan farq qiladi NORM.ST.DIST. chunki u faqat normallashtirilganlarni emas, balki har qanday miqyosdagi ma'lumotlarni qayta ishlash uchun ishlatiladi. Oddiy taqsimot parametrlari sintaksisda ko'rsatilgan.

=NORM.DIST(x,o'rtacha,standart_burilish,integral)

o'rtacha- normal taqsimot modelining birinchi parametri sifatida ishlatiladigan matematik kutish

standart_off– standart og‘ish – modelning ikkinchi parametri

integral- agar 0 bo'lsa, u holda zichlik hisoblanadi, agar 1 bo'lsa - u holda funktsiyaning qiymati, ya'ni. P(X

Masalan, kutilgan 10, standart og'ish 3 bo'lgan oddiy namunadan olingan 15 qiymati uchun zichlik quyidagicha hisoblanadi:

Agar oxirgi parametr 1 ga o'rnatilgan bo'lsa, u holda biz oddiy tasodifiy o'zgaruvchining berilgan taqsimot parametrlari uchun 15 dan kichik bo'lish ehtimolini olamiz. Shunday qilib, ehtimollik to'g'ridan-to'g'ri dastlabki ma'lumotlardan hisoblanishi mumkin.

NORM.REV funktsiyasi

Bu normal taqsimotning kvantidir, ya'ni. teskari funktsiyaning qiymati. Sintaksis quyidagicha.

=NORM.REV(ehtimollik, o'rtacha, standart_burilish)

ehtimollik- ehtimollik

o'rtacha- matematik kutish

standart_off- standart og'ish

Maqsad xuddi shunday NORM.ST.REV, faqat funksiya har qanday masshtabdagi ma'lumotlar bilan ishlaydi.

Bunga misol maqolaning oxiridagi videoda ko'rsatilgan.

Oddiy taqsimotni modellashtirish

Ba'zi muammolar oddiy tasodifiy sonlarni yaratishni talab qiladi. Buning uchun tayyor funksiya yo'q. Biroq, Excel tasodifiy raqamlarni qaytaradigan ikkita funktsiyaga ega: ISHLAB CHIQISH Va RAND. Birinchisi belgilangan chegaralar ichida tasodifiy, bir xil taqsimlangan butun sonlarni hosil qiladi. Ikkinchi funktsiya 0 va 1 oralig'ida bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlarni hosil qiladi. Har qanday berilgan taqsimot bilan sun'iy namunani yaratish uchun sizga funktsiya kerak bo'ladi. RAND.

Aytaylik, tajriba o'tkazish uchun kutilgan 10 va standart og'ishi 3 bo'lgan normal taqsimlangan populyatsiyadan namuna olish kerak. Bitta tasodifiy qiymat uchun Excelda formula yozamiz.

NORM.INV(RAND();10;3)

Keling, uni kerakli hujayralar soniga kengaytiramiz va oddiy namuna tayyor.

Standartlashtirilgan ma'lumotlarni modellashtirish uchun siz NORM.ST.REV dan foydalanishingiz kerak.

Yagona sonlarni oddiy sonlarga o'tkazish jarayonini quyidagi diagrammada ko'rsatish mumkin. RAND formulasi orqali hosil qilingan yagona ehtimolliklardan normal taqsimot funksiyasining grafigiga gorizontal chiziqlar chiziladi. Keyin, ehtimolliklarning grafik bilan kesishgan nuqtalaridan proyeksiyalar gorizontal o'qga tushiriladi.