Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке tи некоторой ее окрестности функцию действительной переменнойz(t).
Рассмотрим точку z, дадим приращениеz,=argz.
Тогда
При
угол наклона касательной к графику в точке .
Тогда
|
Наличие
ненулевой производной
означает наличие касательной к графику
функции с углом наклона к действительной
оси, равным
.
Рассмотрим
теперь комплекснозначную аналитическую
функцию комплексной переменной
.
Пусть
,
где- действительное число. Тогда
- комплекснозначная функция действительной
переменнойz(t),
дифференцируемая в точкеtи некоторой ее окрестности.
Касательная к
графику функции, по рассмотренному
выше, имеет угол наклона к действительной
оси равный
.
По теореме о
сложной функции
,
поэтому
.Следовательно,
- аргумент производной аналитической
функции
.
имеет смысл угла поворота касательной
к кривой в точкепри
ее отображении посредством функции
.
Так как
,
,
то
-модуль производной аналитической
функции имеет смысл коэффициента
растяжения при отображении посредством
функции
.
Все это справедливо в тех точках, в
которыхпроизводная отлична от нуля
.
Если две кривые
отображаются посредством аналитической
функции
,
то угол наклона касательной к каждой
кривой изменяется в точкеzна один и тот же угол
,
поэтому углы между кривыми сохраняются
при отображении посредством аналитической
функции
(в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля)
.
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным . Поэтомуотображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля) является конформным.
Пример. Линейное
отображение
(
),
как было показано выше, сводится к
повороту на угол
и растяжению враз.
Пусть задана
функция
,
требуется определить, может ли она быть
действительной частью некоторой
аналитической функции
,
Та же задача
может быть поставлена относительно
мнимой части. Пусть задана функция
,
требуется определить, может ли она быть
мнимой частью некоторой аналитической
функции
,
а если может, то восстановить эту
функцию.
При решении
этих задач сначала надо проверить,
существует ли такая аналитическая
функция
.
Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).
Доказательство.
Если
-
функция аналитическая, то выполнены
условия Коши – Римана
.
Дифференцируем частным образом первое
равенство поx, второе поyи складываем. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая. Дифференцируем частным
образом первое равенство поy,
второе поxи вычитаем из
первого равенства второе. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая.
Следовательно,
если функция
или функция
не являются гармоническими, то
аналитическую функцию построить нельзя.
Пусть функция
и функция
- гармонические функции. Покажем, как
можно восстановить аналитическую
функцию по известной действительной
части
.
Восстановление
функции по
аналогично.
1 способ.
Сравнивая оба выражения, определяем
.
Теперь.
Замечание. При
восстановлении по
функция восстанавливается с точностью
до действительной постоянной, а не
мнимой.
2 способ.
(как в первом способе). Если при
интегрировании второго условия Коши –
Римана возникают проблемы, то можно
продифференцировать полученное
соотношение поxи приравнять
известной функции.
.
Решая это дифференциальное уравнение,
получим
,
+С,.
3 способ.
В
первых двух способах функция
восстанавливается как функцияx,y. Гораздо приятнее получить
ее в видеf(z).
В третьем способе используется формула
для производной
.
Так как функция
известна, то
определяется как функция (x,y). Функцию определяем по
формуле
.
Пример.
Задана функция
=
.
Проверить, можно ли восстановить
аналитическую функцию с такой
действительной частью. Если возможно,
то восстановить.
Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.
Сравнивая эти выражения, имеем ,
.
Поэтому+
Сi=
.
.
,
Поэтому
+
Сi =
.
Здесь С – комплексное число.
Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке tи некоторой ее окрестности функцию действительной переменнойz(t).
Рассмотрим точку z, дадим приращениеz,=argz.
Тогда
При
угол наклона касательной к графику в точке .
Тогда
|
Наличие
ненулевой производной
означает наличие касательной к графику
функции с углом наклона к действительной
оси, равным
.
Рассмотрим
теперь комплекснозначную аналитическую
функцию комплексной переменной
.
Пусть
,
где- действительное число. Тогда
- комплекснозначная функция действительной
переменнойz(t),
дифференцируемая в точкеtи некоторой ее окрестности.
Касательная к
графику функции, по рассмотренному
выше, имеет угол наклона к действительной
оси равный
.
По теореме о
сложной функции
,
поэтому
.Следовательно,
- аргумент производной аналитической
функции
.
имеет смысл угла поворота касательной
к кривой в точкепри
ее отображении посредством функции
.
Так как
,
,
то
-модуль производной аналитической
функции имеет смысл коэффициента
растяжения при отображении посредством
функции
.
Все это справедливо в тех точках, в
которыхпроизводная отлична от нуля
.
Если две кривые
отображаются посредством аналитической
функции
,
то угол наклона касательной к каждой
кривой изменяется в точкеzна один и тот же угол
,
поэтому углы между кривыми сохраняются
при отображении посредством аналитической
функции
(в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля)
.
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным . Поэтомуотображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля) является конформным.
Пример. Линейное
отображение
(
),
как было показано выше, сводится к
повороту на угол
и растяжению враз.
Пусть задана
функция
,
требуется определить, может ли она быть
действительной частью некоторой
аналитической функции
,
Та же задача
может быть поставлена относительно
мнимой части. Пусть задана функция
,
требуется определить, может ли она быть
мнимой частью некоторой аналитической
функции
,
а если может, то восстановить эту
функцию.
При решении
этих задач сначала надо проверить,
существует ли такая аналитическая
функция
.
Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).
Доказательство.
Если
-
функция аналитическая, то выполнены
условия Коши – Римана
.
Дифференцируем частным образом первое
равенство поx, второе поyи складываем. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая. Дифференцируем частным
образом первое равенство поy,
второе поxи вычитаем из
первого равенства второе. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая.
Следовательно,
если функция
или функция
не являются гармоническими, то
аналитическую функцию построить нельзя.
Пусть функция
и функция
- гармонические функции. Покажем, как
можно восстановить аналитическую
функцию по известной действительной
части
.
Восстановление
функции по
аналогично.
1 способ.
Сравнивая оба выражения, определяем
.
Теперь.
Замечание. При
восстановлении по
функция восстанавливается с точностью
до действительной постоянной, а не
мнимой.
2 способ.
(как в первом способе). Если при
интегрировании второго условия Коши –
Римана возникают проблемы, то можно
продифференцировать полученное
соотношение поxи приравнять
известной функции.
.
Решая это дифференциальное уравнение,
получим
,
+С,.
3 способ.
В
первых двух способах функция
восстанавливается как функцияx,y. Гораздо приятнее получить
ее в видеf(z).
В третьем способе используется формула
для производной
.
Так как функция
известна, то
определяется как функция (x,y). Функцию определяем по
формуле
.
Пример.
Задана функция
=
.
Проверить, можно ли восстановить
аналитическую функцию с такой
действительной частью. Если возможно,
то восстановить.
Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.
Сравнивая эти выражения, имеем ,
.
Поэтому+
Сi=
.
.
,
Поэтому
+
Сi =
.
Здесь С – комплексное число.
Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части
Пример. Найти аналитическую функцию f(z), если
u(x,y) = Re f(z) = и f(i) = 2.
Решение
1. Находим частные производные функции u(x,y)
2. Из 2 – го условия Коши - Римана (1)
Дифференцируя по y, получим
Для нахождения функции j(y) используем 1–е условие Коши ––Римана (1). Приравнивая = производной
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка
из которого определяем j(y)
j(y) = = – +C.
Таким образом, получаем функцию
3. Записываем искомую функцию f(z) в виде
Преобразуем полученное выражение к функции переменной z, используя равенства
z = x+iy и = = .
Получаем
f(z) = = +iC = или
f(z) = +C, где C - произвольная комплексная постоянная.
4. Находим значение постоянной C, используя условие f(i) = 2:
Получаем C = i и
f(z) = – 2iz+i
Ответ: f(z) = – 2iz + i.
Применение STEM Plus
Пусть задана функция u= (точка между переменными x и y обязательна).
1. "Запоминаем" u=(выделяем и нажимаем Alt+Enter )
2. Вычисляем производную ux, выделив и нажав Alt+= (или выделив заданное выражение и воспользовавшись меню Extra ® Функция ® Найти производную ).
Набираем vy и нажимаем Alt+Ins ,чтобы вставить результат вычисленияux.Получаем строку
Это условие Коши–Римана vy= ux.
3. Выделяем и с помощью меню Extra ® Функция ® Найти первообразную вычисляем первообразную по y. Набираем v и нажимаем Alt+Ins . Получаем
4. Открываем эту формулу (Shift+F9 ) и заменяем C на f(x). Получаем
5. Запоминаем f(x)= (тем самым мы даем понять, что f(x) – неизвестная функция).
6. Вычисляем производную vx и uy, и полученные результаты записываем в виде уравнения vx= uy (2-е условие Коши – Римана).
7. Упрощаем полученное уравнение (сократятся члены, содержащие y).
Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
Выделяем -2 и с помощью меню DERIVE вычисляем первообразную по x.
Вставляем результат в выражение для v вместо f(x). Получаем
8. Получаем искомую функцию
f(z) = +i·(– 2x + C).
9. Находим C из начального условия f(i)=2. Для этого "запоминаем" x=0, y=1 и решаем уравнение
I·(– 2x + C)=2
относительно C (выделяем и нажимаем Alt+? ). Полученный результат C=1 вставляем вместо C в выражение для f(z). Получаем
f(z) = +i·(– 2x + 1).
В итоге искомая функция,выражена через x и y. 10. Чтобы найти выражение f(z) через z, “запомним”, что
Здесь w обозначает число, сопряженное к z.
Если теперь выделить правую часть равенства
f(z) = +i·(– 2x + 1)
и нажать Alt+= , то выражение упростится с учетом того, что
Так получится, что
nanbaby.ru - Здоровье и красота. Мода. Дети и родители. Досуг. Быт. Дом