Algoritam za izračun inverzne matrice korištenjem algebarskih adicija: metoda adjungirane matrice. Inverzna matrica Inverzna matrica primjera trećeg reda

Izvorni prema formuli: A^-1 = A*/detA, gdje je A* pridružena matrica, detA je izvorna matrica. Pridružena matrica je transponirana matrica dodataka elementima izvorne matrice.

Prije svega, pronađite determinantu matrice; ona mora biti različita od nule, jer će kasnije determinanta biti korištena kao djelitelj. Neka je, na primjer, dana matrica treće (koja se sastoji od tri retka i tri stupca). Kao što vidite, determinanta matrice nije jednaka nuli, tako da postoji inverzna matrica.

Nađite komplemente svakom elementu matrice A. Komplement A je determinanta podmatrice dobivena iz originalne brisanjem i-tog retka i j-tog stupca, a ta determinanta se uzima s predznakom. Predznak se određuje množenjem determinante s (-1) na i+j potenciju. Tako će, na primjer, komplement od A biti determinanta koja se razmatra na slici. Predznak je ispao ovako: (-1)^(2+1) = -1.

Kao rezultat ćete dobiti matrica dodaci, sada ga transponirajte. Transponiranje je operacija koja je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu matrice; stupci i redovi se mijenjaju. Dakle, pronašli ste adjungiranu matricu A*.

Matrica $A^(-1)$ naziva se inverzom kvadratne matrice $A$ ako je zadovoljen uvjet $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdje je $E $ matrica identiteta, čiji je red jednak redu matrice $A$.

Nesingularna matrica je matrica čija determinanta nije jednaka nuli. Prema tome, singularna matrica je ona čija je determinanta jednaka nuli.

Inverzna matrica $A^(-1)$ postoji ako i samo ako je matrica $A$ nesingularna. Ako inverzna matrica $A^(-1)$ postoji, onda je ona jedinstvena.

Postoji nekoliko načina da se pronađe inverz matrice, a mi ćemo pogledati dva od njih. Na ovoj stranici raspravljat će se o metodi adjungirane matrice, koja se smatra standardnom u većini tečajeva više matematike. U drugom dijelu govori se o drugoj metodi pronalaženja inverzne matrice (metodi elementarnih transformacija), koja uključuje korištenje Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode.

Metoda adjungirane matrice

Neka je dana matrica $A_(n\puta n)$. Da bi se pronašla inverzna matrica $A^(-1)$, potrebna su tri koraka:

1. Nađite determinantu matrice $A$ i uvjerite se da je $\Delta A\neq 0$, tj. da je matrica A nesingularna.
2. Sastavite algebarske komplemente $A_(ij)$ svakog elementa matrice $A$ i napišite matricu $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ iz pronađene algebarske nadopunjuje.
3. Napišite inverznu matricu uzimajući u obzir formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ često se naziva pridružena (recipročna, saveznička) matrici $A$.

Ako se rješenje radi ručno, tada je prva metoda dobra samo za matrice relativno malih redova: druga (), treća (), četvrta (). Da bi se pronašao inverz matrice višeg reda, koriste se druge metode. Na primjer, Gaussova metoda, o kojoj se govori u drugom dijelu.

Primjer br. 1

Pronađite inverziju matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Kako su svi elementi četvrtog stupca jednaki nuli, onda je $\Delta A=0$ (tj. matrica $A$ je singularna). Budući da je $\Delta A=0$, ne postoji matrica inverzna matrici $A$.

Odgovor: matrica $A^(-1)$ ne postoji.

Primjer br. 2

Pronađite inverz matrice $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Izvršite provjeru.

Koristimo metodu adjungirane matrice. Najprije pronađimo determinantu zadane matrice $A$:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(niz)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Budući da je $\Delta A \neq 0$, tada inverzna matrica postoji, stoga ćemo nastaviti s rješavanjem. Pronalaženje algebarskih komplemenata

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(poravnano)

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponiramo dobivenu matricu: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the rezultirajuća matrica se često naziva pridružena ili pridružena matrica matrici $A$). Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, imamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(niz)\desno) =\lijevo(\početak(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \kraj(niz)\desno) $$

Dakle, inverzna matrica je pronađena: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\desno) $. Za provjeru istinitosti rezultata dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A^(-1)\cdot A=E$. Kako bismo manje radili s razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, i u obliku $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( niz)\desno)\cdot\lijevo(\početak(niz) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \kraj(niz)\desno) =-\frac(1)(103)\cdot\lijevo( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\desno) =E $$

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\početak(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \kraj(niz)\desno)$.

Primjer br. 3

Pronađite inverznu matricu za matricu $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . Izvršite provjeru.

Počnimo s izračunavanjem determinante matrice $A$. Dakle, determinanta matrice $A$ je:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(niz) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Budući da je $\Delta A\neq 0$, tada inverzna matrica postoji, stoga ćemo nastaviti s rješavanjem. Pronalazimo algebarske komplemente svakog elementa zadane matrice:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\lijevo|\početak(niz)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\kraj(niz)\desno|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\lijevo|\begin(niz)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(niz)\desno|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\lijevo|\početak(niz)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\kraj(niz)\desno|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\lijevo|\početak(niza)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\kraj(niza)\desno|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\lijevo|\begin(niz)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(niz)\desno|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\lijevo|\begin(niz)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(niz)\desno|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\lijevo|\begin(niz)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(niz)\desno|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\lijevo|\begin(niz)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(niz)\desno|=37. \kraj(poravnano) $$

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja i transponiramo je:

$$ A^*=\lijevo(\početak(niza) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\kraj(niza) \desno); \; (A^*)^T=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\kraj (niz) \desno) . $$

Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, dobivamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Dakle, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Za provjeru istinitosti rezultata dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A\cdot A^(-1)=E$. Kako bismo manje radili s razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, i u obliku $\frac(1)(26 )\cdot \lijevo( \begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \desno)\cdot \frac(1)(26)\cdot \lijevo(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ kraj(niz) \desno) =\frac(1)(26)\cdot\lijevo(\početak(niz) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\kraj (niz) \desno) =\lijevo(\početak(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(niz) \desno) =E $$

Provjera je bila uspješna, inverzna matrica $A^(-1)$ je ispravno pronađena.

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Primjer br. 4

Pronađite matricu inverznu od matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Za matricu četvrtog reda, pronalaženje inverzne matrice korištenjem algebarskih adicija donekle je teško. Međutim, takvi se primjeri javljaju u ispitnim radovima.

Da biste pronašli inverz matrice, prvo morate izračunati determinantu matrice $A$. Najbolji način da to učinite u ovoj situaciji je rastavljanjem determinante duž retka (stupca). Odaberemo bilo koji redak ili stupac i pronađemo algebarske komplemente svakog elementa odabranog retka ili stupca.

Na primjer, za prvi redak dobivamo:

$$ A_(11)=\lijevo|\početak(niza)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \kraj(niza)\desno|=556; \; A_(12)=-\lijevo|\početak(niz)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \kraj(niz)\desno|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\lijevo|\begin(niz)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(niz)\desno|= -536;\; A_(14)=-\lijevo|\početak(niz)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \kraj(niz)\desno|=-112. $$

Determinanta matrice $A$ izračunava se pomoću sljedeće formule:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \kraj(poravnano) $$

Matrica algebarskih komplemenata: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Adjungirana matrica: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Inverzna matrica:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(niz) \right)= \lijevo(\begin(niz) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Provjeru, po želji, možete izvršiti na isti način kao u prethodnim primjerima.

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(niz) \desno) $.

U drugom dijelu ćemo razmotriti još jedan način pronalaska inverzne matrice, koji uključuje korištenje transformacija Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode.

Inverzna matrica za datu matricu je takva matrica, množenjem izvorne matrice s kojom se daje matrica identiteta: Obavezan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice je da je determinanta originalne matrice nije jednaka nuli (što pak implicira da matrica mora biti kvadratna). Ako je determinanta matrice jednaka nuli, onda se ona naziva singularnom i takva matrica nema inverz. U višoj matematici, inverzne matrice su važne i koriste se za rješavanje niza problema. Na primjer, na pronalaženje inverzne matrice konstruirana je matrična metoda za rješavanje sustava jednadžbi. Naša servisna stranica dopušta izračunajte inverznu matricu online dvije metode: Gauss-Jordanova metoda i korištenje matrice algebarskih sabiranja. Prvi uključuje veliki broj elementarnih transformacija unutar matrice, drugi uključuje izračun determinante i algebarske dodatke svim elementima. Za online izračun determinante matrice možete koristiti našu drugu uslugu - Izračun determinante matrice online

Pronađite inverznu matricu za mjesto

web stranica omogućuje vam da pronađete inverzna matrica online brzo i besplatno. Na stranici se izrađuju izračuni pomoću naše usluge i daje rezultat s detaljnim rješenjem za pronalaženje inverzna matrica. Server uvijek daje samo točan i točan odgovor. U zadacima po definiciji inverzna matrica online, potrebno je da odrednica matrice bio različit od nule, inače web stranica izvijestit će o nemogućnosti pronalaženja inverzne matrice zbog činjenice da je determinanta izvorne matrice jednaka nuli. Zadatak pronalaženja inverzna matrica nalazi se u mnogim granama matematike, kao jedan od najosnovnijih pojmova algebre i matematički alat u primijenjenim problemima. Neovisna definicija inverzne matrice zahtijeva znatan trud, puno vremena, izračune i veliku pažnju da se izbjegnu tipfeleri ili manje greške u izračunima. Stoga naša usluga pronalaženje inverzne matrice online uvelike će vam olakšati zadatak i postat će nezaobilazan alat za rješavanje matematičkih problema. Čak i ako ti pronađite inverznu matricu sami, preporučujemo da provjerite svoje rješenje na našem poslužitelju. Unesite svoju originalnu matricu na našu web stranicu. Izračunajte inverznu matricu online i provjerite svoj odgovor. Naš sustav nikada ne griješi i ne nalazi inverzna matrica dana dimenzija u modusu na liniji odmah! Na stranici web stranica dopušteni su unosi znakova u elemente matrice, u ovom slučaju inverzna matrica online bit će predstavljen u općem simboličkom obliku.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koja prolazi od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice u kojima se broj redaka i stupaca podudara.

Teorem za uvjet postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da ona bude nesingularna.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran, ako su vektori stupaca linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice neophodno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i pripišite joj matricu E s desne strane (mjesto desnih strana jednadžbi).
2. Koristeći Jordanove transformacije, reducirajte matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
3. Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) posljednje tablice tako da ispod matrice A originalne tablice dobijete matricu identiteta E.
4. Zapišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.

Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Napišemo matricu A, a desnoj strani pridružujemo matricu identiteta E. Jordanovim transformacijama reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su dati u tablici 31.1.

Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrica, dobivena je matrica identiteta. Stoga su izračuni napravljeni ispravno.

Odgovor:

Rješavanje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C navedene matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, morate ovu jednadžbu pomnožiti s lijevo.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.

Riješite jednadžbu AX = B ako

Riješenje: Budući da je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Uz ostale koriste se i oni matrične metode. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve se metode koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno napraviti usporednu procjenu funkcioniranja organizacija i njihovih strukturnih odjela.

U procesu primjene metoda matrične analize može se razlikovati nekoliko faza.

U prvoj fazi formira se sustav ekonomskih pokazatelja i na temelju njega se sastavlja matrica početnih podataka, koja je tablica u kojoj su u pojedinim redovima prikazani brojevi sustava (i = 1,2,....,n), au okomitim stupcima - brojevi pokazatelja (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi Za svaki okomiti stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna.

Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se vještačenjem.

Na posljednjem, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjene Rj grupirani su prema njihovom rastu ili smanjenju.

Navedene matrične metode treba koristiti, primjerice, u komparativnoj analizi različitih investicijskih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja aktivnosti organizacija.

Definicija 1: matrica se naziva singularnom ako je njena determinanta nula.

Definicija 2: matrica se naziva nesingularnom ako njena determinanta nije jednaka nuli.

Matrica "A" se zove inverzna matrica, ako je zadovoljen uvjet A*A-1 = A-1 *A = E (jedinička matrica).

Kvadratna matrica je invertibilna samo ako nije singularna.

Shema za izračunavanje inverzne matrice:

1) Izračunajte determinantu matrice "A" ako ∆ A = 0, tada inverzna matrica ne postoji.

2) Pronađite sve algebarske komplemente matrice "A".

3) Napravite matricu algebarskih sabiranja (Aij)

4) Transponirati matricu algebarskih komplemenata (Aij )T

5) Pomnožite transponiranu matricu s inverzom determinante te matrice.

6) Izvršite provjeru:

Na prvi pogled može izgledati komplicirano, ali zapravo je sve vrlo jednostavno. Sva rješenja temelje se na jednostavnim aritmetičkim operacijama, glavna stvar pri rješavanju je ne zbuniti se sa znakovima "-" i "+" i ne izgubiti ih.

Riješimo sada zajedno praktični zadatak izračunavanjem inverzne matrice.

Zadatak: pronađite inverznu matricu "A" prikazanu na slici ispod:

1. Prvo što treba učiniti je pronaći determinantu matrice "A":

Obrazloženje:

Pojednostavili smo našu determinantu koristeći njezine osnovne funkcije. Prvo smo u 2. i 3. red dodali elemente prvog retka, pomnožene s jednim brojem.

Drugo, promijenili smo 2. i 3. stupac determinante, a prema njezinim svojstvima promijenili smo i znak ispred nje.

Treće, izbacili smo zajednički faktor (-1) drugog retka, čime smo ponovno promijenili predznak i on je postao pozitivan. Također smo pojednostavili liniju 3 na isti način kao na samom početku primjera.

Imamo trokutastu determinantu čiji su elementi ispod dijagonale jednaki nuli, a po svojstvu 7 jednaka je umnošku dijagonalnih elemenata. Na kraju smo dobili ∆ A = 26, dakle inverzna matrica postoji.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Sljedeći korak je sastavljanje matrice iz rezultirajućih dodavanja:

5. Pomnožite ovu matricu s inverzom determinante, to jest s 1/26:

6. Sada samo trebamo provjeriti:

Tijekom testa dobili smo matricu identiteta, stoga je rješenje provedeno apsolutno ispravno.

2 način za izračunavanje inverzne matrice.

1. Elementarna matrična transformacija

2. Inverzna matrica kroz elementarni pretvarač.

Elementarna matrična transformacija uključuje:

1. Množenje niza brojem koji nije jednak nuli.

2. Dodavanje bilo kojem retku drugog retka pomnoženog s brojem.

3. Zamijenite redove matrice.

4. Primjenom lanca elementarnih transformacija dobivamo drugu matricu.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Pogledajmo ovo na praktičnom primjeru sa stvarnim brojevima.

Vježba: Nađi inverznu matricu.

Riješenje:

Provjerimo:

Malo pojašnjenje rješenja:

Prvo smo preuredili retke 1 i 2 matrice, zatim pomnožili prvi red s (-1).

Nakon toga smo prvi red pomnožili s (-2) i zbrojili s drugim redom matrice. Zatim smo pomnožili liniju 2 s 1/4.

Završna faza transformacije bila je množenje drugog retka s 2 i njegovo zbrajanje s prvim. Kao rezultat toga, imamo matricu identiteta s lijeve strane, dakle, inverzna matrica je matrica s desne strane.

Nakon provjere uvjerili smo se da je odluka ispravna.

Kao što vidite, izračunavanje inverzne matrice je vrlo jednostavno.

Na kraju ovog predavanja želio bih se također malo posvetiti svojstvima takve matrice.