Kako ispitati monotonost logaritamske funkcije. Proučavanje funkcija za monotonost - Hipermarket znanja. Primjeri proučavanja funkcije za monotonost

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

• ponoviti opis svojstava djelomične funkcije prema grafu;
• izvesti i ovladati formalnim definicijama rastućih i opadajućih funkcija;
• naučiti kako dokazati monotonost funkcije na njenoj domeni definicije.

Obrazovni:

• poticanje kognitivnog interesa;
• njegovanje kulture komuniciranja;
• usađivanje odgovornosti za zajedničku stvar.

Obrazovni:

• razvoj mišljenja i matematičkog govora kroz formuliranje općih zaključaka i generalizacija.

Tijekom nastave

Epigraf za lekciju:

"Nije dovoljno imati dobar um, važno je dobro ga koristiti"
R. Descartes.

Domaća zadaća za ovu lekciju: saznajte koje profesije ljudi moraju čitati grafikone na temelju svog posla.

Odgovori: - kardiolog (kardiogram)

Ekonomist (graf dinamike rasta cijena, rast cijene nafte, rast tečaja dolara)

Meteorolog (grafikon promjena temperature tijekom godine)

Seizmolog (graf fluktuacija aktivnosti vulkana, seizmička aktivnost u određenom području).

Da vidimo koliko posjedujemo tu kulturu.

Aukcija "Čitanje grafikona"

Posljednji učenik koji točno imenuje svojstvo funkcije dobiva "5"

Dodatna dražba:

Dio grafa koje funkcije je prikazan na crtežu?

Danas ćemo u lekciji detaljno pogledati samo jedno svojstvo funkcije - monotonost.

Spojite pridjev “monotono” s imenicom. Što misle pod "monotonim"?

Pokret.

Monotono - što znači? Isto, ponavljanje.

Koje se svojstvo funkcije može povezati sa sintagmom - monotono gibanje? Kretanje gdje?

Dakle: monotonost je porast i pad funkcije.

U bilježnici: broj, tema lekcije "Proučavanje funkcije za monotonost."

Počnimo s onim što već znamo - grafikonom. Nacrtajte koordinatni sustav u svakom stupcu i nacrtajte graf proizvoljne funkcije koja ima navedeno svojstvo u cijeloj domeni definicije.

Tablica u bilježnici:

Ostavimo bilježnice sa strane. Za dalje proučavanje imovine, uvjerimo se još jednom da svi dobro razumijemo što mislimo govorimo o na lekciji. Skupljamo loto.

Upute: Na svakom stolu nalazi se stol i set karata.

Radimo u paru. Ima više karata nego što je potrebno. Budi oprezan. Sakupite loto na bilježnicu, tako da kada je okrenete, pročitamo kodiranu frazu, čija točnost ovisi o dobro koordiniranom radu svakog para.

Set karata:

Nakon što svaki par zbroji loto i okrene stol, dobivene riječi tvore sljedeću frazu:

“Od žive kontemplacije do apstraktnog mišljenja, od njega do prakse - to je put do spoznaje istine” F. Engels.

Na bočnoj ploči:

Danas se moramo penjati po ovoj ljestvici kako bismo shvatili samo malo zrnce istine znanja koje je čovječanstvo prikupilo na svom putu razvoja.

Što mislite na kojoj smo pozornici? Kontemplacija, t.j. Gledamo grafikone. Rad nastavljamo u bilježnici, u prvom stupcu tablice.

Fiksirajte x 1, pronađite odgovarajući y 1 iz grafikona, popravite x 2 - pronađite y 2. Usporedite x 1 i x 2 (x 1< х 2). Что происходит со значением х?

Usporedite y 1 i y 2 (y 1 > y 2). Što se događa s vrijednošću y?

Zaključak: Veća vrijednost x odgovara manjoj vrijednosti y. Ovo je definicija opadajuće funkcije. Zapiši to u tablicu.

Samostalni rad.

Opcija 1. Učinite iste operacije u drugom stupcu tablice.

opcija 2. Ispunite treći stupac.

Provjerite na ploči i podijelite rezultate u parovima.

Rezultat rada.

Ako znamo definiciju, onda nam ne treba graf da utvrdimo vrstu monotonosti. To znači da smo se popeli na drugu stepenicu na ljestvici znanja.

Ostaje samo primijeniti svoje znanje u praksi.

V. Zadatnica str 194, broj 4, 5. Jedan učenik za pločom.

Zadano je: y = 2x - 5

Dokaži: 1< у 2

Dokaz:

x 1< х 2 |· 2

2x 1< 2х 2 | + (- 5)

2x 1 - 5< 2х 2 - 5

u 1< у 2 >funkcija y = 2x - 5 - rastuća.

Zadano je: y = 7 - 13x

Dokažite: y 1 > y 2

Dokaz: slično

Kako se zovu funkcije koje smo ispitivali? Što određuje vrstu monotonosti linearne funkcije? Zabilježite rezultat u tablicu. Koristeći se ovim zaključkom, izvedimo usmeno br. 6.

Broj 8(a,b). Prema opcijama rasporedite ih u bilježnicu prema modelu.

Provjera izlaza: kako se zove funkcija? Koja opća formula definira funkciju? Što određuje vrstu monotonije? Zapiši to u tablicu.

Mislite li da će se tip monotonosti promijeniti ako se graf pomakne duž Ox ili Oy osi?

br. 8 (c, d) usmeno.

Prisjetite se grafova poznatih funkcija. Koji se od njih ponaša jednako u cijeloj domeni definiranja? y = . Zapiši to u tablicu.

V. Naš sat se bliži kraju. Zatvorite svoje bilježnice. Otvorite dnevnike.

Domaća zadaća:

na "3" - naučiti definicije 10., 32 br. 1,2;

do "4" + 32 br. 11.,

do "5" + zadatak na kartici.

Izgradite grafikone i dobit ćete sliku. .

"pas"

x = 8, - 19 y - 3;

y = - x - 11, 0 x 8;

x = 0, - 19 y - 11;

y = - x - 19, - 14 x 0;

x = - 14, - 5 y 1;

y = - x -13, - 14 x - 8;

x = - 8, - 11 y - 5;

y = x - 3, - 8 x 0;

y = - 3,0 x 8;

y = - 0,6x + 1,2, - 2 x 8;

y = 1,7 x 10;

y = - 4x - 42,8, 8 x 10;

y = , 5 x 8;

y = - 0,4x + 8,0 x 2;

y = - 4x + 8,0 x 2.

"jedrilica"

S pojmovima rastuće i opadajuće funkcije prvi put smo se upoznali u kolegiju algebre 7. razreda. Gledajući graf funkcije, zabilježili smo odgovarajuću informaciju: ako se, krećući se po grafu slijeva nadesno, istovremeno krećemo odozdo prema gore (kao da se penjemo uz brdo), tada smo funkciju proglasili biti u porastu (slika 124); ako se krećemo odozgo prema dolje (spuštamo se nizbrdo), tada smo funkciju proglasili padajućom (sl. 125).

Međutim, matematičari baš i ne vole ovu metodu proučavanja svojstava funkcije. Oni vjeruju da se definicije pojmova ne bi trebale temeljiti na crtežu - crtež bi trebao samo ilustrirati jedno ili drugo svojstvo funkcije na njezinu grafu. Dajmo stroge definicije pojmova rastuće i opadajuće funkcije.

Definicija 1. Kaže se da funkcija y = f(x) raste na intervalu X ako iz nejednakosti x 1< х 2 - где хг и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definicija 2. Kaže se da je funkcija y = f(x) opadajuća na intervalu X ako je nejednakost x 1< х 2 , где х 1 и х 2 — любые две точки прс лежутка X, следует неравенство f(x 1) >f(x 2).
U praksi je prikladnije koristiti sljedeće formulacije:
funkcija raste ako višu vrijednost argument odgovara većoj funkcijskoj vrijednosti;
funkcija opada ako manjoj vrijednosti funkcije odgovara veća vrijednost argumenta.

Koristeći ove definicije i svojstva numeričkih nejednakosti utvrđenih u § 33, moći ćemo potkrijepiti zaključke o porastu ili opadanju prethodno proučavanih funkcija.

1. Linearna funkcija y = kx +m

Ako je k > O, tada funkcija raste duž cijelog brojevnog pravca (sl. 126); ako k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Dokaz. Neka je f(x) = kx +m. Ako je x 1< х 2 и k >Oh, onda, prema svojstvu 3 numeričke nejednakosti (vidi § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2
slijedi da je kx 1 + m< kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linearna funkcija y = kx+ m.
Ako je x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , a prema svojstvu 2, iz kx 1 > kx 2 slijedi da je kx 1 + m> kx 2 + tj.

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). To znači opadanje funkcije y = f(x), tj. linearne funkcije y = kx + m.

Ako funkcija raste (opada) kroz cijelo područje definicije, tada se može nazvati rastućom (opadajućom) bez navođenja intervala. Na primjer, za funkciju y = 2x - 3 možemo reći da je rastuća duž cijelog brojevnog pravca, ali možemo to reći i kraće: y = 2x - 3 - rastuća
funkcija.

2. Funkcija y = x2

1. Promotrimo funkciju y = x 2 na zraku. Uzmimo dva nepozitivna broja x 1 i x 2 takva da je x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых
nejednakosti, nejednakost - x 1 > - x 2 je zadovoljena. Kako su brojevi - x 1 i - x 2 nenegativni, onda kvadriranjem obje strane posljednje nejednadžbe dobivamo nejednadžbu istog značenja (-x 1) 2 > (-x 2) 2, tj. To znači da je f(x 1) > f(x 2).
Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).
Stoga funkcija y = x 2 opada na zraku (- 00, 0] (sl. 128).

3. Funkcija y

1. Razmotrimo funkciju na intervalu (0, + 00).
Neka je x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 — положительные числа, то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). To znači da funkcija opada na otvorenoj zraci (0, + 00) (slika 129).

2. Razmotrimo funkciju na intervalu (-oo, 0). Neka je x 1< х 2 , х 1 и х 2 — отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2, a oba dijela potonjeg su nejednaka
svojstva su pozitivni brojevi, pa stoga (opet smo upotrijebili nejednakost dokazanu u primjeru 1 iz § 33). Dalje imamo, odakle dolazimo.
Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) tj. funkcija se smanjuje na otvorenoj zraci (- 00 , 0)
Obično se kombiniraju izrazi "rastuća funkcija" i "opadajuća funkcija". uobičajeno ime monotona funkcija, a proučavanje funkcije za porast i opadanje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Riješenje.

1) Nacrtajmo funkciju y = 2x2 i uzmimo granu ove parabole na x< 0 (рис. 130).

2) Izgradimo graf funkcije i označimo njezin dio na segmentu (slika 131).

3) Konstruirajmo hiperbolu i označimo njezin dio na otvorenoj zraci (4, + 00) (slika 132).
4) Prikažimo sva tri “komada” u jednom koordinatnom sustavu - to je graf funkcije y = f(x) (Sl. 133).
Očitajmo graf funkcije y = f(x).
1. Područje definiranja funkcije je cijeli brojevni pravac.

2. y = 0 pri x = 0; y > 0 za x > 0.

3. Funkcija opada na traci (-oo, 0], raste na traci , opada na traci, konveksna je prema gore na traci, konveksna je prema dolje na traci (sl. 128).

1. Razmotrimo funkciju na intervalu (0, + 00).
Neka je x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). To znači da funkcija opada na otvorenoj zraci (0, + 00) (slika 129).

2. Razmotrimo funkciju na intervalu (-oo, 0). Neka je x 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2, a obje strane posljednje nejednakosti su pozitivni brojevi, pa je (ponovo smo upotrijebili nejednakost dokazanu u primjeru 1 iz § 33). Dalje imamo, odakle dolazimo.

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) tj. funkcija se smanjuje na otvorenoj zraci (- 00 , 0)

Obično se pojmovi "rastuća funkcija" i "opadajuća funkcija" spajaju pod općim nazivom monotona funkcija, a proučavanje funkcije za povećanje i opadanje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Riješenje.

1) Nacrtajmo funkciju y = 2x2 i uzmimo granu ove parabole na x< 0 (рис. 130).

2) Konstruirajte i označite njegov dio na segmentu (slika 131).

3) Konstruirajmo hiperbolu i označimo njezin dio na otvorenoj zraci (4, + 00) (slika 132).
4) Prikažimo sva tri “komada” u jednom koordinatnom sustavu - to je graf funkcije y = f(x) (Sl. 133).

Očitajmo graf funkcije y = f(x).

1. Područje definiranja funkcije je cijeli brojevni pravac.

2. y = 0 pri x = 0; y > 0 za x > 0.

3. Funkcija opada na traci (-oo, 0], raste na dužici, opada na traci, konveksna je prema gore na dužici, konveksna je prema dolje na traci)