Linearna funkcija oblika y kx b. Kako pronaći nagib jednadžbe

Kao što praksa pokazuje, zadaci o svojstvima i grafovima kvadratne funkcije uzrokuju ozbiljne poteškoće. To je prilično čudno, jer oni uče kvadratnu funkciju u 8. razredu, a zatim kroz prvo tromjesečje 9. razreda "muče" svojstva parabole i grade njezine grafove za razne parametre.

To je zbog činjenice da kada učenici prisiljavaju konstruirati parabole, oni praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očigledno se pretpostavlja da će, nakon konstruiranja desetak ili dva grafikona, pametan učenik sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafička umjetnost. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju potrebno je ozbiljno iskustvo u matematičkim mini-istraživanjima, što većina učenika devetog razreda, naravno, ne posjeduje. U međuvremenu, Državni inspektorat predlaže određivanje znakova koeficijenata pomoću rasporeda.

Od školaraca nećemo zahtijevati nemoguće i jednostavno ćemo ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.

Dakle, funkcija forme y = ax 2 + bx + c zove se kvadratna, a njen graf je parabola. Kao što naziv govori, glavni pojam je sjekira 2. To je A ne smije biti jednak nuli, preostali koeficijenti ( b I S) može biti jednaka nuli.

Pogledajmo kako predznaci njezinih koeficijenata utječu na izgled parabole.

Najjednostavnija ovisnost za koeficijent A. Većina školaraca samouvjereno odgovara: „ako A> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = 0,5

A sada za A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = - 0,5

Utjecaj koeficijenta S Također je prilično lako pratiti. Zamislimo da želimo pronaći vrijednost funkcije u točki x= 0. Zamijenite nulu u formulu:

g = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To je S je ordinata točke presjeka parabole s osi y. Obično je ovu točku lako pronaći na grafikonu. I odredite nalazi li se iznad nule ili ispod. To je S> 0 ili S < 0.

S > 0:

y = x 2 + 4x + 3

S < 0

y = x 2 + 4x - 3

Prema tome, ako S= 0, tada će parabola nužno prolaziti kroz ishodište:

y = x 2 + 4x

Teže s parametrom b. Točka u kojoj ćemo ga pronaći ovisi ne samo o b ali i iz A. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata osi x) nalazi se formulom x u = - b/(2a). Tako, b = - 2ax in. Odnosno, postupamo na sljedeći način: nalazimo vrh parabole na grafu, određujemo znak njegove apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili ulijevo ( x in < 0) она лежит.

Međutim, to nije sve. Također moramo obratiti pozornost na predznak koeficijenta A. Odnosno, pogledajte kamo su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, prema formuli b = - 2ax in odrediti znak b.

Pogledajmo primjer:

Grane su usmjerene prema gore, što znači A> 0, parabola siječe os na ispod nule, tj S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, S < 0.

Naučiti izvoditi funkcije. Derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj točki koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, grafikon može biti ravna ili zakrivljena linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku u vremenu. Zapamtiti Opća pravila, kojim se uzimaju izvedenice, a tek onda prijeći na sljedeći korak.

• Pročitaj članak.
• Kako uzeti najjednostavnije izvedenice, na primjer, izvod eksponencijalna jednadžba, opisano. Izračuni predstavljeni u sljedećim koracima temeljit će se na tamo opisanim metodama.

Naučite razlikovati zadatke u kojima nagib treba izračunati preko izvoda funkcije. Problemi ne traže uvijek da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas se može tražiti da pronađete brzinu promjene funkcije u točki A(x,y). Od vas se također može tražiti da pronađete nagib tangente u točki A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti izvod funkcije.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Ova video lekcija za tečaj matematike uvest će vas u svojstva funkcije y = k/x, pod uvjetom da je vrijednost k negativna.
U našim prethodnim video lekcijama upoznali ste se s funkcijom y jednako k podijeljeno s x, njezinim grafom koji se naziva "hiperbola", kao i svojstvima grafa za pozitivnu vrijednost k. Ovaj video će vas upoznati sa svojstvima koeficijenta k kada je njegova vrijednost negativna, odnosno manja od nule.

Svojstva jednakosti, u kojima je y jednako koeficijentu k podijeljenom s nezavisnom varijablom x, pod uvjetom da je koeficijent negativan, prikazana su u videu.
Pri opisivanju svojstava ove funkcije, prije svega, oslanjaju se na njen geometrijski model - hiperbolu.

Svojstvo 1. Domena funkcije sastoji se od svih brojeva, ali slijedi da x ne može biti jednak 0, jer ne možete dijeliti s nulom.
Svojstvo 2. y je veći od nule pod uvjetom da je x manji od nule; i, prema tome, naprotiv, y je manji od nule pri vrijednosti kada je x u rasponu većem od nule i do beskonačnosti.
Svojstvo 3. Funkcija raste na intervalima od minus beskonačno do nule i od nule do plus beskonačno: (-∞, 0) i (0, +∞).
Svojstvo 4. Funkcija je beskonačna jer nema ograničenja ni odozdo ni odozgo.
Svojstvo 5. Funkcija nema ni najmanju ni najveću vrijednost jer je beskonačna.
Svojstvo 6. Funkcija je kontinuirana na intervalima od minus beskonačnosti do nule (-∞, 0) i od nule do beskonačnosti (0, +∞), a treba primijetiti da dolazi do diskontinuiteta u slučaju kada x ima vrijednost nula.
Svojstvo 7. Raspon funkcija je unija dviju otvorenih zraka od minus beskonačno do nule (-∞, 0) i od nule do plus beskonačno (0, +∞).

Sljedeći video prikazuje primjere. Pogledat ćemo samo neke od njih; preporučamo da sami pogledate ostale u priloženim videozapisima.
Dakle, pogledajmo prvi primjer. Potrebno je riješiti sljedeću jednadžbu: 4/x = 5-x.
Radi veće udobnosti, rješenje ove jednakosti dijelimo u nekoliko faza:
1) Prvo, napišemo našu jednakost u obliku dvije odvojene jednadžbe: y = 4/x i y = 5-x/
2) Zatim, kao što je prikazano u videu, crtamo funkciju y = 4/x, koja je hiperbola.
3) Zatim gradimo graf linearne funkcije. U ovom slučaju, to je ravna crta koja se može konstruirati iz dvije točke. Grafikoni su prikazani u našem video materijalu.
4) Na temelju samog crteža odredimo točke u kojima se sijeku oba naša grafa, i hiperbola i pravac. Treba primijetiti da se sijeku u točkama A (1; 4) i B (4; 1). Provjera dobivenih rezultata pokazuje da su točni. Ova jednadžba može imati dva korijena 1 i 4.

Sljedeći primjer, koji se raspravlja u video lekciji, ima sljedeći zadatak: izgraditi i pročitati graf funkcije y = f(x), gdje je f(x) = -x2, ako je varijabla x u rasponu od veće od ili jednako -2 i veće od ili je jednako 1, i y = -1/x, ako je x veće od jedan.
Rješenje se provodi u nekoliko faza. Najprije gradimo graf funkcije y = -x2, koja se naziva "parabola", i odabiremo njezin dio u području od - 2 do 1. Za prikaz grafa, pogledajte video.

Sljedeći korak je konstruirati hiperbolu za jednakost y = -1/x, te odabrati njezin dio na otvorenoj zraci od jedan do beskonačno. Zatim pomičemo oba grafa u istom koordinatnom sustavu. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije y = f(x).
Zatim treba pročitati graf funkcije y = f(x):
1. Područje definiranja funkcije je zraka u području od -2 do +∞.
2. y je jednak nuli u slučaju kada je x jednak nuli; y je manji od nule kada je x veći ili jednak -2 i manji od nule, a također i kada je x veći od nule.
3. Funkcija raste u području od -2 do 0 i u području od 1 do beskonačnosti, graf pokazuje opadanje područja od nule do jedan.
4. Funkcija sa zadanim parametrima je ograničena i odozdo i odozgo.
5. Najniža vrijednost varijabla y jednaka je - 4 i podrazumijeva se kada je vrijednost x na razini - 2; I također najveća vrijednost y je 0, što se postiže kada je x nula.
6. U zadanoj domeni definicije, naša funkcija je kontinuirana.
7. Područje vrijednosti funkcije nalazi se na intervalu od -4 do 0.
8. Funkcija je konveksna prema gore na segmentu od -2 do 1 i na zraku od 1 do beskonačnosti.
S preostalim primjerima možete se upoznati gledajući predstavljeni video.

upute

Ako je graf pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata i s osi OX tvori kut α (kut nagiba pravca prema pozitivnoj poluosi OX). Funkcija koja opisuje ovu liniju imat će oblik y = kx. Koeficijent proporcionalnosti k jednak je tan α. Ako pravac prolazi kroz 2. i 4. koordinatnu četvrtinu, tada je k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i funkcija je rastuća.Neka se nalazi na ravnoj liniji na razne načine u odnosu na koordinatne ose. Ovo je linearna funkcija i ima oblik y = kx + b, gdje su varijable x i y na prvoj potenciji, a k i b mogu biti pozitivni ili negativni. negativne vrijednosti ili jednaka nuli. Pravac je paralelan s pravcem y = kx i odsijeca se na osi |b| jedinice. Ako je pravac paralelan s osi apscisa, tada je k = 0, ako je s osi ordinata, onda jednadžba ima oblik x = const.

Krivulja koja se sastoji od dvije grane smještene u različitim četvrtima i simetrične u odnosu na ishodište koordinata je hiperbola. Ovaj graf je inverzna ovisnost varijable y o x i opisan je jednadžbom y = k/x. Ovdje je k ≠ 0 koeficijent proporcionalnosti. Štoviše, ako je k > 0, funkcija opada; ako k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Kvadratna funkcija ima oblik y = ax2 + bx + c, gdje su a, b i c konstantne veličine i a  0. Ako je zadovoljen uvjet b = c = 0, jednadžba funkcije izgleda ovako y = ax2 ( najjednostavniji slučaj), a njen graf je parabola koja prolazi kroz ishodište. Graf funkcije y = ax2 + bx + c ima isti oblik kao najjednostavniji slučaj funkcije, ali njegov vrh (točka presjeka s osi OY) ne leži u ishodištu.

Parabola je također graf funkcije potencije izražene jednadžbom y = xⁿ, ako je n bilo koji Parni broj. Ako je n bilo koji neparan broj, graf takve funkcije snage izgledat će poput kubne parabole.
Ako je n bilo koji, jednadžba funkcije ima oblik. Graf funkcije za neparan n bit će hiperbola, a za parni n njihove će grane biti simetrične u odnosu na op os.

Također u školske godine Funkcije se detaljno proučavaju i konstruiraju njihovi grafovi. Ali, nažalost, praktički ne podučavaju kako čitati graf funkcije i pronaći njen tip iz prikazanog crteža. Zapravo je prilično jednostavno ako se sjećate osnovnih tipova funkcija.

upute

Ako je prikazani graf , koji je kroz ishodište koordinata i s osi OX kut α (koji je kut nagiba pravca prema pozitivnoj poluosi), tada će funkcija koja opisuje takav pravac biti predstavljen kao y = kx. U tom slučaju koeficijent proporcionalnosti k jednak je tangensu kuta α.

Ako dani pravac prolazi kroz drugu i četvrtu koordinatnu četvrtinu, tada je k jednak 0 i funkcija raste. Neka prikazani grafikon bude ravna linija koja se na bilo koji način nalazi u odnosu na koordinatne osi. Zatim funkcija takvog grafička umjetnost bit će linearna, što je predstavljeno oblikom y = kx + b, gdje su varijable y i x na prvom mjestu, a b i k mogu imati i negativne i pozitivne vrijednosti ili .

Ako je pravac paralelan s pravcem s grafom y = kx i odsijeca b jedinica na ordinatnoj osi, tada jednadžba ima oblik x = const, ako je graf paralelan s apscisnom osi, tada je k = 0.

Zakrivljena linija koja se sastoji od dvije grane, simetrične oko ishodišta i smještene u različitim četvrtima, je hiperbola. Takav graf prikazuje obrnutu ovisnost varijable y o varijabli x i opisuje se jednadžbom oblika y = k/x, pri čemu k ne bi smio biti jednak nuli, jer se radi o koeficijentu obrnute proporcionalnosti. Štoviše, ako je vrijednost k veća od nule, funkcija opada; ako je k manji od nule, povećava se.

Ako je predloženi graf parabola koja prolazi kroz ishodište, njena će funkcija, pod uvjetom da je b = c = 0, imati oblik y = ax2. Ovo je najjednostavniji slučaj kvadratne funkcije. Graf funkcije oblika y = ax2 + bx + c imat će isti oblik kao i najjednostavniji slučaj, ali vrh (točka u kojoj graf siječe ordinatnu os) neće biti u ishodištu. U kvadratnoj funkciji, predstavljenoj oblikom y = ax2 + bx + c, vrijednosti a, b i c su konstantne, dok a nije jednak nuli.

Parabola također može biti graf funkcije potencije izražene jednadžbom oblika y = xⁿ samo ako je n bilo koji paran broj. Ako je vrijednost n neparan broj, takav graf funkcije snage bit će prikazan kubičnom parabolom. Ako je varijabla n bilo koji negativan broj, jednadžba funkcije ima oblik .

Video na temu

Koordinata apsolutno bilo koje točke na ravnini određena je dvjema veličinama: duž apscisne osi i ordinatne osi. Skup mnogih takvih točaka predstavlja graf funkcije. Iz njega možete vidjeti kako se mijenja vrijednost Y ovisno o promjeni vrijednosti X. Također možete odrediti u kojem odsječku (intervalu) funkcija raste, a u kojem opada.

upute

Što možete reći o funkciji ako je njen graf ravna linija? Pogledajte prolazi li ova linija kroz početnu točku koordinata (to jest, onu gdje su vrijednosti X i Y jednake 0). Ako prolazi, tada je takva funkcija opisana jednadžbom y = kx. Lako je razumjeti da što je veća vrijednost k, to će ravna linija biti bliže osi ordinata. A sama Y os zapravo korespondira beskonačno od velike važnosti k.