Pronađite najmanju vrijednost primjera funkcije. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu. Što ćemo proučavati

Minijaturni i prilično jednostavan zadatak koji služi kao spas za plutajućeg učenika. U prirodi, uspavanom carstvu sredine srpnja, pa je vrijeme da se smjestite uz laptop na plaži. Rano ujutro zasvirala je sunčeva zraka teorije kako bi se ubrzo usredotočila na praksu, koja, unatoč svojoj deklariranoj lakoći, sadrži krhotine stakla u pijesku. U tom smislu, preporučam da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Da biste riješili praktične zadatke, morate biti sposobni pronaći izvedenice i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.

Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u točki i kontinuiteta u intervalu. Primjereno ponašanje funkcije na segmentu formulirano je na sličan način. Funkcija je kontinuirana na segmentu ako:

1) kontinuirano je na intervalu;
2) kontinuirano u točki desno a u točki lijevo.

Drugi stavak bavi se tzv jednostrani kontinuitet funkcionira u točki. Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji, ali ja ću se držati linije započete ranije:

Funkcija je kontinuirana u točki desno, ako je definirana u danoj točki i njezina desna granica podudara se s vrijednošću funkcije u danoj točki: . U točki je kontinuirano lijevo, ako je definiran u danoj točki i njegova je lijeva granica jednaka vrijednosti u toj točki:

Zamislite da su zelene točkice nokti na kojima je pričvršćena čarobna gumica:

Mentalno uzmite crvenu liniju u svoje ruke. Očito, bez obzira koliko daleko rastežemo graf gore-dolje (duž osi), funkcija će i dalje ostati ograničeno- živica gore, živica dolje, a naš proizvod pase u ogradi. Tako, na nju je omeđena funkcija kontinuirana na segmentu. U tijeku matematičke analize ova naizgled jednostavna činjenica se iznosi i rigorozno dokazuje Weierstrassov prvi teorem.… Mnoge ljude nervira što se elementarne tvrdnje zamorno potkrepljuju u matematici, ali to ima važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije izuma teleskopa, ograničena funkcija u prostoru nije bila nimalo očita! Doista, kako znaš što nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa danas i obična teleportacija zahtijeva dokaz =)

Prema drugi Weierstrassov teorem, kontinuirano na segmentufunkcija doseže svoje točan gornji rub i njegov točan donji rub .

Broj se također zove maksimalna vrijednost funkcije na segmentu i označen sa , i broj - minimalna vrijednost funkcije na intervalu označena .

u našem slučaju:

Bilješka : u teoriji, zapisi su uobičajeni .

Grubo govoreći, najveća vrijednost se nalazi tamo gdje je najviša točka grafa, a najmanja - gdje je najniža točka.

Važno! Kao što je već istaknuto u članku o ekstremi funkcije, najveća vrijednost funkcije i najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, što funkcija maksimalno i minimalna funkcija. Dakle, u ovom primjeru, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.

Usput, što se događa izvan segmenta? Da, čak i poplava, u kontekstu problema koji se razmatra, to nas uopće ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja i to je to!

Štoviše, rješenje je čisto analitičko, dakle, ne treba crtati!

Algoritam leži na površini i sugerira se iz gornje slike:

1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične točke, koji pripadaju ovom segmentu.

Uhvatite još jednu dobru stvar: nema potrebe provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem, budući da, kao što je upravo prikazano, prisutnost minimuma ili maksimuma još nije zajamčeno koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum i, voljom sudbine, isti broj je najveća vrijednost funkcije na intervalu . Ali, naravno, takva se slučajnost ne događa uvijek.

Dakle, u prvom koraku brže je i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju segmentu, ne brinući se imaju li ekstreme ili ne.

2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. paragrafu odaberite najmanji i najveći broj, zapišite odgovor.

Sjedimo na obali sinjeg mora i udaramo petama u plitku vodu:

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Odluka:
1) Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju ovom segmentu:

Izračunajmo vrijednost funkcije u drugoj kritičnoj točki:

2) Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

3) Dobiveni su "podebljani" rezultati s eksponencijalima i logaritmima, što značajno otežava njihovu usporedbu. Iz tog razloga ćemo se naoružati kalkulatorom ili Excelom i izračunati približne vrijednosti, ne zaboravljajući da:

Sada je sve jasno.

Odgovor:

Razlomno-racionalna instanca za neovisno rješenje:

Primjer 6

Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije na segmentu

Neka funkcija y=f(X) kontinuirano na segmentu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija doseže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti bilo u unutarnjoj točki segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu [ a, b] potrebno:

1) pronaći kritične točke funkcije u intervalu ( a, b);

2) izračunati vrijednosti funkcije u pronađenim kritičnim točkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno za x=a i x = b;

4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu.

Pronalaženje kritičnih točaka:

Ove točke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

u točki x= 3 i u točki x= 0.

Istraživanje funkcije za konveksnost i prevojnu točku.

Funkcija y = f (x) pozvao konveksnost između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj točki ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno) ako njegov graf leži iznad tangente.

Točka na prijelazu kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se prevojna točka.

Algoritam za proučavanje konveksnosti i točke pregiba:

1. Pronađite kritične točke druge vrste, odnosno točke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.

2. Stavite kritične točke na brojevnu liniju, razbijajući je na intervale. Pronađite predznak druge derivacije na svakom intervalu; ako , tada je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.

3. Ako pri prolasku kroz kritičnu točku druge vrste promijeni predznak i u toj točki je druga derivacija jednaka nuli, tada je ta točka apscisa točke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.

Asimptote grafa funkcije. Istraživanje funkcije u asimptote.

Definicija. Asimptota grafa funkcije naziva se ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje točke grafa do ove linije teži nuli uz neograničeno uklanjanje točke grafa od ishodišta.

Postoje tri vrste asimptota: okomito, vodoravno i nagnuto.

Definicija. Izravno pozvan vertikalna asimptota graf funkcije y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj točki jednaka beskonačnosti, tj.

gdje je točka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domeni definicije.

Primjer.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - prijelomna točka.

Definicija. Ravno y=A pozvao horizontalna asimptota graf funkcije y = f(x) na , ako

Primjer.

x
y

Definicija. Ravno y=kx +b (k≠ 0) zove se kosa asimptota graf funkcije y = f(x) gdje

Opća shema za proučavanje funkcija i crtanje.

Algoritam istraživanja funkcijay = f(x) :

1. Pronađite domenu funkcije D (y).

2. Pronađite (ako je moguće) točke presjeka grafa s koordinatnim osi (s x= 0 i na y = 0).

3. Istražite parne i neparne funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).

4. Pronađite asimptote grafa funkcije.

5. Naći intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite ekstreme funkcije.

7. Nađite intervale konveksnosti (konkavnosti) i prevojne točke grafa funkcije.

8. Na temelju provedenog istraživanja izgraditi graf funkcije.

Primjer. Istražite funkciju i nacrtajte njezin graf.

1) D (y) =

x= 4 - prijelomna točka.

2) Kada x = 0,

(0; – 5) – točka presjeka s oy.

Na y = 0,

3) y(‒ x)= opća funkcija (ni parna ni neparna).

4) Istražujemo asimptote.

a) okomito

b) horizontalno

c) pronaći kose asimptote gdje

‒jednadžba kose asimptote

5) U ovoj jednadžbi nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.

6)

Ove kritične točke dijele cijelu domenu funkcije na intervalu (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobivene rezultate prikladno je prikazati u obliku sljedeće tablice.

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?

Za ovo slijedimo dobro poznati algoritam:

1 . Nalazimo ODZ funkcije.

2 . Pronalaženje derivacije funkcije

3 . Izjednačiti derivaciju s nulom

4 . Pronalazimo intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:

Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.

Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.

5 . Pronašli smo maksimalne i minimalne točke funkcije.

NA maksimalna točka funkcije, derivacija mijenja predznak iz "+" u "-".

NA minimalna točka funkcijeizvedenica mijenja znak iz "-" u "+".

6 . Pronalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,

• zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim točkama, i odaberite najveći od njih ako trebate pronaći najveću vrijednost funkcije
• ili uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na minimalnim točkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije

Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša u intervalu, ovaj se algoritam može značajno smanjiti.

Razmotrite funkciju . Graf ove funkcije izgleda ovako:

Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja problema iz Otvorene banke zadataka za

jedan . Zadatak B15 (#26695)

Na rezu.

1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x

Očito, ova jednadžba nema rješenja, a derivacija je pozitivna za sve vrijednosti x. Dakle, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.

Odgovor: 5.

2 . Zadatak B15 (br. 26702)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu.

1.ODZ funkcija title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Izvod je nula na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:

Stoga, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .

Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za derivaciju na sljedeći način:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3 . Zadatak B15 (#26708)

Pronađite najmanju vrijednost funkcije na intervalu.

1. ODZ funkcije: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.

Interval sadrži dva broja: i

Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u točki x=0: . Prilikom prolaska kroz točke i derivacija mijenja predznak.

Prikažimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:

Očito je točka minimalna točka (gdje derivacija mijenja predznak iz "-" u "+"), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, trebate usporediti vrijednosti funkcije na minimalna točka i na lijevom kraju segmenta, .

Lekcija na temu: "Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci za 7.-10. razred
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru

Što ćemo proučavati:

1. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti prema grafu funkcije.
2. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti pomoću izvedenice.
3. Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu .
4. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na otvorenom intervalu.
5. Primjeri.

Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti iz grafa funkcije

Ljudi, prije smo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije. Pogledali smo graf funkcije i zaključili gdje funkcija doseže svoju maksimalnu vrijednost, a gdje minimalnu.
da ponovimo:

Graf naše funkcije pokazuje da je najveća vrijednost postignuta u točki x= 1, jednaka je 2. Najmanja vrijednost postignuta je u točki x= -1, a jednaka je -2. Na taj je način prilično lako pronaći najveću i najmanju vrijednost, ali nije uvijek moguće nacrtati graf funkcije.

Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti pomoću izvedenice

Dečki, što mislite, kako možete pronaći najveću i najmanju vrijednost pomoću izvedenice?

Odgovor se može pronaći u temama ekstrema funkcije. Tamo smo ti i ja pronašli maksimalne i minimalne bodove, zar pojmovi nisu slični. Međutim, ne treba brkati maksimalne i minimalne vrijednosti s maksimumom i minimumom funkcije, to su različiti koncepti.

Pa da predstavimo pravila:
a) Ako je funkcija neprekidna na intervalu, tada dostiže svoju maksimalnu i minimalnu vrijednost na tom intervalu.
b) Funkcija može doseći maksimalnu i minimalnu vrijednost kako na krajevima segmenata tako i unutar njih. Pogledajmo ovu točku detaljnije.

Na slici a, funkcija doseže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na krajevima segmenata.
Na slici b funkcija doseže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti unutar intervala. Na slici c, minimalna točka je unutar segmenta, a maksimalna točka je na kraju segmenta, u točki b.
c) Ako se unutar segmenta postignu najveća i najmanja vrijednost, onda samo na stacionarnim ili kritičnim točkama.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y= f(x) na segmentu

• Pronađite derivaciju f "(x).
• Pronađite stacionarne i kritične točke unutar segmenta.
• Izračunajte vrijednost funkcije u stacionarnim i kritičnim točkama, kao i na f(a) i f(b). Odaberite najmanju i najveću vrijednost, to će biti točke najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na otvorenom intervalu

Ljudi, kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na otvorenom intervalu? Da bismo to učinili, koristimo važan teorem, koji se dokazuje u tečaju više matematike.

Teorema. Neka je funkcija y= f(x) kontinuirana na intervalu x i unutar tog intervala ima jedinu stacionarnu ili kritičnu točku x= x0, tada:
a) ako je x= x0 maksimalna točka, tada je y max. = f(x0).
b) ako je x= x0 minimalna točka, tada je y min. = f(x0).

Primjer

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 na segmentu
a) [-9;-1], b) [-3; 3], c) .
Rješenje: Pronađite izvod: y "= x 2 + 4x + 4.
Izvod postoji na cijeloj domeni definicije, tada trebamo pronaći stacionarne točke.
y"= 0, s x= -2.
Daljnji izračuni će se provesti za tražene segmente.
a) Nađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj točki.
Onda y nam. = -122, pri x= -9; y max. = y = -7$\frac(1)(3)$, za x= -1.
b) Nađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj točki. Najveća i najmanja vrijednost se postižu na krajevima segmenta.
Onda y nam. = -8, pri x= -3, y max. = 34, kod x= 3.
c) Stacionarna točka ne pada na naš segment, nalazimo vrijednosti na krajevima segmenta.
Onda y nam. = 34, pri x= 3, y max. = 436, kod x= 9.

Primjer

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| na segmentu.
Rješenje: Proširite modul i transformirajte našu funkciju:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, za x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, za x ≥ 1.

Tada će naša funkcija poprimiti oblik:
\begin(jednadžba*)f(x)= \begin(slučajevi) x^2 - 4x + 6,\quad if\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad if\quad x ≥ 1 \end(slučajevi) \end(jednadžba*) Pronađite kritične točke: \begin(equation*)f"(x)= \begin(slučajevi) 2x - 4,\quad za \quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad when\quad x ≥ 1 \end(slučajevi) \end(jednadžba*) \begin(equad*)f"(x)=0,\quad when\quad x= \begin(slučajevi) 2,\quad when \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad za \quad x ≥ 1 \end(slučajevi) \end(jednadžba*) Dakle, imamo dvije stacionarne točke i ne zaboravimo da se naša funkcija sastoji od dvije funkcije za različite x.
Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije, za to izračunavamo vrijednosti funkcije u stacionarnim točkama i na krajevima segmenta:
Odgovor: Funkcija doseže svoju minimalnu vrijednost u stacionarnoj točki x= 1, najmanje y. = 3. Funkcija doseže svoju maksimalnu vrijednost na kraju segmenta u točki x= 4, y max. = 12.

Primjer

Pronađite maksimalnu vrijednost funkcije y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ na zraci: , b) , c) [-4;7].
b) Nađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| na intervalu [-1;5].
c) Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= $-2x-\frac(1)(2x)$ na zraci (0;+∞).

Proces pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (graf funkcije) na helikopteru s ispaljivanjem iz dalekometnog topa u određenim točkama i odabirom između ove točke vrlo posebne točke za kontrolne udarce. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O tome ćemo dalje razgovarati.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirano na segmentu [ a, b] , zatim dopire do ovog segmenta najmanje i najviše vrijednosti . Ovo se može dogoditi ili u ekstremne točke ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje i najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na segmentu [ a, b] , trebate izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične točke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti maksimalnu vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

kritična točka naziva se točka u kojoj definirana funkcija, i ona izvedenica ili je nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I, konačno, treba usporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b) ). Najveći od ovih brojeva bit će najveća vrijednost funkcije na intervalu [a, b] .

Problem nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Odluka. Pronalazimo derivaciju ove funkcije. Izjednačite derivaciju s nulom () i dobijete dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, dovoljno je izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta i u točki, budući da točka ne pripada segmentu [-1, 2] . Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, doseže se na desnom kraju segmenta - u točki , i najveći(također crvena na grafikonu), jednaka je 9, - u kritičnoj točki .

Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu i taj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, već granične točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako je, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

.

Izvedbu izjednačavamo s nulom, što nam daje jednu kritičnu točku: . Pripada intervalu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Usporedimo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u točki i najveća vrijednost jednak 1 u točki .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Postoje učitelji koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije učenicima ne daju kompliciranije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, brojnik a nazivnik kojih su polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, budući da među nastavnicima ima ljubitelja da učenici razmišljaju u potpunosti (tablica izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Izvedbu izjednačavamo s nulom, što daje jednu kritičnu točku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Rezultat svih radnji: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u točki i u točki i najveća vrijednost jednak e² , u točki .

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Nalazimo derivaciju ove funkcije:

Izjednačite derivaciju s nulom:

Jedina kritična točka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Zaključak: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .

U primijenjenim ekstremnim problemima pronalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije u pravilu se svodi na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već vrijednosti argumenta na kojem se postižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća – kompilacija funkcija koje opisuju fenomen ili proces koji se razmatra.

Primjer 8 Spremnik kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda s četvrtastom bazom i otvoren na vrhu, mora biti konzerviran. Koje bi trebale biti dimenzije spremnika kako bi se prekrio s najmanjom količinom materijala?

Odluka. Neka bude x- osnovna strana h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njegov volumen. Površina spremnika izražava se formulom, tj. je funkcija dviju varijabli. Izraziti S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Ispitajmo ovu funkciju za ekstrem. Definiran je i diferencibilan posvuda u ]0, +∞[ i

.

Izvedbu izjednačavamo s nulom () i nalazimo kritičnu točku. Osim toga, na , derivacija ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti točka ekstrema. Dakle, - jedina kritična točka. Provjerimo prisutnost ekstrema koristeći drugi dovoljan kriterij. Nađimo drugu izvedenicu. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dosegne minimum . Jer ovo minimum - jedini ekstrem ove funkcije, to je njezina najmanja vrijednost. Dakle, strana baze spremnika treba biti jednaka 2 m, a njegova visina.

Primjer 9 Iz paragrafa A, koji se nalazi na željezničkoj pruzi, do bod S, na udaljenosti od njega l, roba se mora prevoziti. Cijena prijevoza jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom je jednaka , a autocestom jednaka je . Do koje točke Mželjezničku prugu treba održavati autocestom za prijevoz tereta iz ALI u S bio najekonomičniji AB pretpostavlja se da je željeznica ravna)?