Pad tijela bačenog pod kutom prema horizontu. Primjeri riješenih zadataka iz fizike na temu "slobodno gibanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu". Maksimalna visina tijela

Teorija

Ako je tijelo bačeno pod kutom prema horizontu, tada u letu na njega utječu gravitacija i otpor zraka. Ako se zanemari sila otpora, jedina preostala sila je sila gravitacije. Stoga se zbog Newtonovog 2. zakona tijelo giba akceleracijom jednakom akceleraciji slobodnog pada; projekcije ubrzanja na koordinatne osi su a x = 0, i na= -g.

Svako složeno pomicanje materijalne točke može se predstaviti kao nametanje neovisnih kretanja duž koordinatnih osi, a u smjeru različitih osi može se razlikovati vrsta kretanja. U našem slučaju, gibanje letećeg tijela može se predstaviti kao superpozicija dvaju neovisnih gibanja: jednoliko gibanje po horizontalnoj osi (X-os) i jednoliko ubrzano gibanje duž vertikalne osi (Y-os) (Sl. 1) .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

,

gdje je početna brzina, α je kut bacanja.

Koordinate tijela se stoga mijenjaju ovako:

Uz naš izbor ishodišta koordinata, početne koordinate (slika 1) Zatim

Druga vrijednost vremena u kojem je visina jednaka nuli jednaka je nuli, što odgovara trenutku bacanja, t.j. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta dobiva se iz prve formule (1). Raspon leta je vrijednost koordinate x na kraju leta, t.j. u trenutku jednakom t0. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobivamo:

Iz ove formule može se vidjeti da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stupnjeva.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, morate u ovu formulu zamijeniti vrijednost vremena jednaku polovici vremena leta (2), jer na sredini putanje je najveća visina leta. Provodeći izračune, dobivamo

Ako je tijelo bačeno pod kutom prema horizontu, tada u letu na njega utječu gravitacija i otpor zraka. Ako se zanemari sila otpora, jedina preostala sila je sila gravitacije. Stoga se zbog Newtonova 2. zakona tijelo giba akceleracijom jednakom akceleraciji slobodnog pada; projekcije ubrzanja na koordinatne osi ax = 0, ay = - g.

Slika 1. Kinematske karakteristike tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Svako složeno pomicanje materijalne točke može se predstaviti kao nametanje neovisnih kretanja duž koordinatnih osi, a u smjeru različitih osi može se razlikovati vrsta kretanja. U našem slučaju, gibanje letećeg tijela može se predstaviti kao superpozicija dvaju neovisnih gibanja: jednoliko gibanje po horizontalnoj osi (X-os) i jednoliko ubrzano gibanje duž vertikalne osi (Y-os) (Sl. 1) .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

gdje je $v_0$ početna brzina, $(\mathbf \alpha )$ je kut bacanja.

Uz naš izbor ishodišta, početne koordinate (slika 1) su $x_0=y_0=0$. Tada dobivamo:

(1)

Analizirajmo formule (1). Odredimo vrijeme gibanja bačenog tijela. Da bismo to učinili, postavili smo y koordinatu jednaku nuli, jer u trenutku slijetanja visina tijela je nula. Odavde dobivamo za vrijeme leta:

Druga vrijednost vremena u kojem je visina jednaka nuli jednaka je nuli, što odgovara trenutku bacanja, t.j. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta dobiva se iz prve formule (1). Raspon leta je vrijednost x-koordinate na kraju leta, t.j. u trenutku vremena jednakom $t_0$. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobivamo:

Iz ove formule može se vidjeti da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stupnjeva.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, morate u ovu formulu zamijeniti vrijednost vremena jednaku polovici vremena leta (2), jer na sredini putanje je najveća visina leta. Provodeći izračune, dobivamo

Iz jednadžbi (1) može se dobiti jednadžba putanje tijela, t.j. jednadžba koja povezuje x i y koordinate tijela tijekom gibanja. Da biste to učinili, trebate izraziti vrijeme iz prve jednadžbe (1):

i zamijenite ga u drugu jednadžbu. Tada dobivamo:

Ova jednadžba je jednadžba putanje. Može se vidjeti da je ovo jednadžba parabole s granama prema dolje, što je označeno znakom "-" ispred kvadratnog člana. Treba imati na umu da su kut bacanja $\alpha $ i njegove funkcije ovdje samo konstante, t.j. stalni brojevi.

Tijelo je bačeno brzinom v0 pod kutom $(\mathbf \alpha )$ prema horizontu. Vrijeme leta $t = 2 s$. Na koju će se visinu Hmax podići tijelo?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Zakon gibanja tijela je:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Početni vektor brzine tvori kut $(\mathbf \alpha )$ s osi OX. Stoga,

\ \ \

Kamen je bačen s vrha planine pod kutom = 30$()^\circ$ prema horizontu početnom brzinom $v_0 = 6 m/s$. Kut nagnute ravnine = 30$()^\circ$. Na kojoj će udaljenosti od točke bacanja kamen pasti?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Postavimo ishodište koordinata na točku pada, OX - duž nagnute ravnine prema dolje, OY - okomito na nagnutu ravninu prema gore. Kinematske karakteristike kretanja:

zakon gibanja:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(niz) \desno.$$ \

Zamjenom rezultirajuće vrijednosti $t_B$, nalazimo $S$:

Ako se otpor zraka može zanemariti, tada se proizvoljno bačeno tijelo giba ubrzanjem slobodnog pada.

Razmotrimo najprije gibanje tijela koje je bačeno vodoravno brzinom v_vec0 s visine h iznad zemljine površine (slika 11.1).

U vektorskom obliku ovisnost brzine tijela o vremenu t izražava se formulom

U projekcijama na koordinatne osi:

v x = v 0 , (2)
vy = -gt. (3)

1. Objasnite kako se formule dobivaju iz (2) i (3)

x = v 0 t, (4)
y \u003d h - gt 2 / 2. (5)

Vidimo da tijelo, takoreći, vrši dvije vrste kretanja istovremeno: giba se jednoliko duž osi x i jednoliko ubrzano duž osi y bez početne brzine.

Slika 11.2 prikazuje položaj tijela u pravilnim razmacima. Dolje je prikazan položaj tijela koje se u istim trenucima vremena giba jednoliko pravocrtno s istom početnom brzinom, a lijevo je prikazan položaj tijela koje slobodno pada.

Vidimo da je vodoravno bačeno tijelo uvijek na istoj vertikali s tijelom koje se ravnomjerno kreće i na istoj horizontali sa tijelom koje slobodno pada.

2. Objasnite kako se formule (4) i (5) koriste za dobivanje izraza za vrijeme tpol i raspon leta tijela l:

Trag. Iskoristite činjenicu da je u trenutku pada y = 0.

3. Tijelo je bačeno vodoravno s određene visine. U kojem slučaju će domet leta tijela biti veći: s 4-strukim povećanjem početne brzine ili s povećanjem početne visine za isti faktor? Koliko puta više?

Putanja

Na slici 11.2 putanja tijela bačenog vodoravno prikazana je crvenom isprekidanom linijom. Podsjeća na granu parabole. Provjerimo ovu pretpostavku.

4. Dokažite da je za tijelo bačeno vodoravno jednadžba putanje gibanja, odnosno ovisnost y(x), izražena formulom

Trag. Koristeći formulu (4), izrazite t u terminima x i zamijenite pronađeni izraz u formulu (5).

Formula (8) je doista jednadžba parabole. Njegov vrh se poklapa s početnim položajem tijela, odnosno ima koordinate x = 0; y \u003d h, a grana parabole usmjerena je prema dolje (to je označeno negativnim koeficijentom ispred x 2).

5. Ovisnost y(x) izražava se u SI jedinicama formulom y = 45 - 0,05x 2 .
a) Kolika je početna visina i početna brzina tijela?
b) Koliko je vrijeme i udaljenost leta?

6. Tijelo je bačeno vodoravno s visine od 20 m početnom brzinom 5 m/s.
a) Koliko će trajati let tijela?
b) Kolika je udaljenost leta?
c) Kolika je brzina tijela neposredno prije udarca o tlo?
d) Pod kojim će kutom prema horizontu biti usmjerena brzina tijela neposredno prije udarca o tlo?
e) Koja formula u SI jedinicama izražava ovisnost modula brzine tijela o vremenu?

2. Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Slika 11.3 shematski prikazuje početni položaj tijela, njegovu početnu brzinu 0 (pri t = 0) i ubrzanje (ubrzanje slobodnog pada).

Početne projekcije brzine

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (deset)

Kako bismo skratili sljedeće unose i razjasnili njihovo fizičko značenje, prikladno je zadržati oznaku v 0x i v 0y dok se ne dobiju konačne formule.

Brzina tijela u vektorskom obliku u trenutku t i u ovom slučaju se izražava formulom

Međutim, sada u projekcijama na koordinatne osi

vx = v0x , (11)
vy = v 0y - gt. (12)

7. Objasnite kako se dobivaju sljedeće jednadžbe:

x = v 0x t, (13)
y \u003d v 0y t - gt 2 /2. (četrnaest)

Vidimo da i u ovom slučaju bačeno tijelo, takoreći, istovremeno sudjeluje u dvije vrste gibanja: giba se jednoliko duž osi x i jednoliko ubrzano duž osi y početnom brzinom, poput tijela bačenog okomito prema gore.

Putanja

Slika 11.4 shematski prikazuje položaj tijela bačenog pod kutom prema horizontu u pravilnim razmacima. Okomite crte naglašavaju da se tijelo giba jednoliko po x-osi: susjedne crte su međusobno na jednakoj udaljenosti.

8. Objasnite kako dobiti sljedeću jednadžbu za putanju tijela bačenog pod kutom prema horizontu:

Formula (15) je jednadžba parabole čije su grane usmjerene prema dolje.

Jednadžba putanje nam može puno reći o gibanju bačenog tijela!

9. Ovisnost y(x) izražava se u SI jedinicama formulom y = √3 * x - 1,25x 2 .
a) Kolika je horizontalna projekcija početne brzine?
b) Kolika je vertikalna projekcija početne brzine?
c) Pod kojim kutom prema horizontali je tijelo bačeno?
d) Kolika je početna brzina tijela?

Parabolički oblik putanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu jasno pokazuje mlaz vode (slika 11.5).

Vrijeme uspona i ukupno vrijeme leta

10. Pomoću formula (12) i (14) pokažite da je vrijeme podizanja tijela t ispod i vrijeme cijelog leta t poda izraženo formulama

Trag. U gornjoj točki putanje, v y = 0, a u trenutku pada tijela njegova koordinata y = 0.

Vidimo da je u ovom slučaju (baš kao i za tijelo bačeno okomito prema gore) cijelo vrijeme leta t floor 2 puta više od vremena uspona t ispod. I u ovom slučaju, kada gledate video unatrag, uspon tijela će izgledati točno kao njegovo spuštanje, a spuštanje će izgledati kao uspon.

Visina i domet

11. Dokažite da su visina dizanja h i raspon leta l izraženi formulama

Trag. Za izvođenje formule (18) upotrijebite formule (14) i (16) ili formulu (10) iz § 6. Pomak tijekom pravocrtnog jednoliko ubrzanog gibanja; za izvođenje formule (19) upotrijebite formule (13) i (17).

Imajte na umu: tunder vremena podizanja tijela, cijelo vrijeme leta tfloor i visina dizanja h ovise samo o okomitoj projekciji početne brzine.

12. Na koju visinu se nogometna lopta podigla nakon udarca ako je pala na tlo 4 s nakon udarca?

13. Dokažite to

Trag. Koristite formule (9), (10), (18), (19).

14. Objasni zašto će s istom početnom brzinom v 0 domet leta l biti isti pod dva kuta α 1 i α 2 povezana relacijom α 1 + α 2 = 90º (slika 11.6).

Trag. Upotrijebite prvu jednakost u formuli (21) i činjenicu da je sin α = cos(90º - α).

15. Dva tijela bačena u isto vrijeme i s istim modulo početnim okom jedan bod. Kut između početnih brzina je 20º. Pod kojim su kutovima prema horizontu tijela bačena?

Maksimalni domet i visina leta

Uz isti modul početne brzine, domet leta i visina određuju se samo kutom α. Kako odabrati ovaj kut tako da domet ili visina leta bude maksimalna?

16. Objasni zašto se najveći domet leta postiže pri α = 45º i izražava se formulom

l max \u003d v 0 2 /g. (22)

17. Dokažite da je najveća visina leta izražena formulom

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18. Tijelo bačeno pod kutom od 15º prema horizontu palo je na udaljenosti od 5 m od početne točke.
a) Kolika je početna brzina tijela?
b) Na koju visinu se tijelo podiglo?
c) Koliki je najveći domet leta za istu modularnu početnu brzinu?
d) Do koje bi se najveće visine ovo tijelo moglo uzdići istom početnom brzinom u apsolutnoj vrijednosti?

Brzina u odnosu na vrijeme

Prilikom uspona brzina tijela bačenog pod kutom prema horizontu opada u apsolutnoj vrijednosti, a pri silasku raste.

19. Tijelo je bačeno pod kutom od 30º prema horizontu početnom brzinom od 10 m/s.
a) Kako je ovisnost vy(t) izražena u SI jedinicama?
b) Kako se v(t) izražava u SI jedinicama?
c) Kolika je najmanja brzina tijela tijekom leta?
Trag. Koristite formule (13) i (14), kao i Pitagorin teorem.

Dodatna pitanja i zadaci

20. Bacajući kamenčiće pod različitim kutovima, Sasha je otkrio da ne može baciti kamenčić dalje od 40 m. Na kojoj je maksimalnoj visini Sasha mogao baciti kamenčić?

21. Kamenčić je zaglavljen između dvostrukih guma stražnjeg kotača kamiona. Na kojoj udaljenosti od kamiona mora ići automobil koji ga prati da mu ovaj kamenčić, otpao, ne ošteti? Oba automobila se kreću brzinom od 90 km/h.
Trag. Idite na referentni okvir povezan s bilo kojim automobilom.

22. Pod kojim kutom prema horizontu treba baciti tijelo da bi:
a) je li visina leta bila jednaka dometu?
b) visina leta bila je 3 puta veća od dometa?
c) domet leta bio je 4 puta veći od visine?

23. Tijelo je bačeno početnom brzinom od 20 m/s pod kutom od 60º prema horizontu. U kojim će vremenskim intervalima nakon bacanja brzina tijela biti usmjerena pod kutom od 45º u odnosu na horizontalu?

Razmotrimo, kao primjer primjene izvedenih formula, gibanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu u nedostatku otpora zraka. Recimo, na planini, na visini iznad razine mora, nalazi se top koji čuva priobalne vode. Neka projektil bude ispaljen pod kutom prema horizontu početnom brzinom iz točke čiji je položaj određen radijus vektorom (slika 2.16).

Riža. 2.16. Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Dodatak.

Izvođenje jednadžbi gibanja materijalne točke u gravitacijskom polju

Napišimo jednadžbu gibanja (jednadžba Drugi Newtonov zakon):

to znači da će se tijela – materijalne točke – bilo koje mase pod istim početnim uvjetima kretati u jednoličnom gravitacijskom polju na isti način. Projicirajmo jednadžbu (2.7.2) na osi kartezijanskog koordinatnog sustava. Vodoravna os OH prikazano na sl. 13 isprekidana os OY proći kroz točku O okomito prema gore, a vodoravna os oz također prolazeći kroz točku O, izravno okomito na vektor na nas. dobivamo:

Vertikalni smjer, po definiciji, je smjer vektora, dakle njegove projekcije na horizontalne osi VOL i OY jednaki su nuli. Druga jednadžba uzima u obzir da je vektor usmjeren prema dolje, a os OY- gore.

Riža. 2.17. Gibanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu.

Dodajmo jednadžbama gibanja početne uvjete koji određuju položaj i brzinu tijela u početnom trenutku vremena t0, neka bude t0 = 0. Zatim, prema sl. 2.7.4

Ako je derivacija neke funkcije jednaka nuli, tada je funkcija konstantna, odnosno iz prve i treće jednadžbe (2.7.3) dobivamo:

U drugoj jednadžbi (2.7.3) derivacija je jednaka konstanti, što znači da funkcija linearno ovisi o svom argumentu, tj.

Kombinirajući (2.7.7) i (2.7.9) dobivamo konačne izraze za ovisnosti projekcija brzine na koordinatne osi o vremenu:

Treća jednadžba (2.7.11) pokazuje da je putanja tijela ravna, da u potpunosti leži u ravnini XOY, je okomita ravnina definirana vektorima i . Očito je posljednja tvrdnja općenita: bez obzira na to kako su odabrani smjerovi koordinatnih osi, putanja tijela bačenog pod kutom prema horizontu je ravna, uvijek leži u ravnini koju određuju početni vektor brzine i gravitacijski vektor ubrzanja.

Ako se tri jednadžbe (2.7.10) pomnože s jediničnim vektorima osi , , i i dodaju, a zatim se isto učini s tri jednadžbe (2.7.11), tada dobivamo vremensku ovisnost vektora brzine čestice i njegov radijus vektor. Uzimajući u obzir početne uvjete, imamo:

Formule (2.7.12) i (2.7.13) mogu se dobiti odmah, izravno iz (2.7.2), s obzirom da je gravitacijsko ubrzanje konstantan vektor. Ako je ubrzanje - derivacija vektora brzine - konstantna, tada vektor brzine ovisi linearno o vremenu, a vektor radijusa, čija je vremenska derivacija vektor brzine koji linearno ovisi o vremenu, kvadratno ovisi o vremenu. To je zapisano u relacijama (2.7.12) i (2.7.13) s konstantama - konstantnim vektorima - odabranim prema početnim uvjetima u obliku (2.7.4).

Posebno se iz (2.7.13) može vidjeti da je radijus vektor zbroj tri vektora dodana prema uobičajenim pravilima, što je jasno prikazano na Sl. 2.18.

Riža. 2.18. Prikaz vektora radijusa r(t) u proizvoljno vrijeme t kao zbroj tri vektora

Ovi vektori su:

Ovdje je načelo neovisnosti gibanja, poznato u drugim područjima fizike kao princip superpozicije(preklapanja). Općenito govoreći, prema principu superpozicije, neto učinak nekoliko radnji je zbroj učinaka svake akcije poduzete zasebno. Posljedica je linearnosti jednadžbi gibanja.

Video 2.3. Neovisnost horizontalnih i vertikalnih gibanja pri kretanju u polju gravitacije.

Postavimo ishodište na točku pada. Sada =0 , osi će se, kao i prije, zarotirati tako da os 0x bila horizontalna, os 0g- okomito, a početna brzina je bila u ravnini x0y(slika 2.19).

Riža. 2.19. Projekcije početne brzine na koordinatne osi

Projektiramo na koordinatne osi (vidi (2.7.11)):

Put leta. Ako se vrijeme isključi iz sustava dobivenih jednadžbi t, tada dobivamo jednadžbu putanje:

Ovo je jednadžba parabole, čije su grane usmjerene prema dolje.

Domet leta pri pucanju s visine h . U trenutku pada tijela (projektil pogađa metu koja se nalazi na površini mora). Horizontalna udaljenost od pištolja do mete jednaka je . Zamjena ; u jednadžbu putanje dobivamo kvadratnu jednadžbu za raspon leta:

Kvadratna jednadžba ima dva rješenja (u ovom slučaju pozitivno i negativno). Potrebna nam je pozitivna odluka. Standardni izraz za korijen kvadratne jednadžbe našeg problema može se svesti na oblik:

se postiže na , ako h = 0.

Maksimalni domet leta. Kad se puca s visoke planine, to više nije slučaj. Pronađite kut pod kojim se postiže najveći domet leta. Ovisnost raspona leta o kutu je prilično komplicirana, a umjesto diferenciranja kako bismo pronašli maksimum, učinit ćemo sljedeće. Zamislimo da povećavamo početni kut. Prvo, domet leta se povećava (vidi formulu (2.7.15)), doseže svoju maksimalnu vrijednost i ponovno počinje padati (na nulu kad se puca okomito prema gore). Dakle, za svaki raspon leta, osim za maksimum, postoje dva smjera početne brzine.

Vratimo se opet kvadratnoj jednadžbi za relativnost udaljenosti leta i razmotrimo je kao jednadžbu za kut. S obzirom na to

prepišimo to u obliku:

Opet smo dobili kvadratnu jednadžbu, ovaj put za nepoznatu količinu. Jednadžba ima dva korijena, što odgovara dva kuta pod kojima je raspon leta . Ali kada , oba korijena moraju odgovarati. To znači da je diskriminant kvadratne jednadžbe jednak nuli:

odakle dolazi rezultat

S ovim rezultatom reproducira se formula (2.7.16)

Obično je visina mnogo manja od raspona leta na ravnici. Za , kvadratni korijen se može aproksimirati prvim članovima proširenja Taylorovog niza i dobivamo približni izraz

odnosno domet metka se povećava približno za visinu pištolja.

Kada l = l max , i a = a max, kao što je već napomenuto, diskriminant kvadratne jednadžbe jednak je nuli, odnosno njeno rješenje ima oblik:

Budući da je tangenta manja od jedan, kut pod kojim se postiže maksimalni domet leta je manji.

Maksimalna visina uspona iznad početne točke. Ova se vrijednost može odrediti iz jednakosti na nulu vertikalne komponente brzine na vrhu putanje

U ovom slučaju horizontalna komponenta brzine nije, dakle, jednaka nuli