Egy normális eloszlású valószínűségi változó valószínűsége. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának normális törvénye. Kapcsolat más disztribúciókkal

Helyettesítés φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a)

D[π /4]=( /720) ).

№319 Kocka éle x megközelítőleg mérve a . Ha a kocka élét az (a,b) intervallumban egyenletesen eloszló X valószínűségi változónak tekintjük, határozzuk meg a kocka térfogatának matematikai elvárását és szórását!

1. Keressük meg a kör területének matematikai elvárását - egy valószínűségi változót Y=φ(K)= - képlet szerint

M[φ(X)]=

Elhelyezés φ(x)= ,f(x)=1/(b-a)és az integráció után megkapjuk

M( )=
.

2. Határozza meg a kör területének szórását a képlet segítségével!

D[φ(X)]= - .

Helyettesítés φ(x)= ,f(x)=1/(b-a)és az integráció után megkapjuk

D = .

№320 Az X és Y véletlenváltozók függetlenek és egyenletes eloszlásúak: X-az (a,b) intervallumban, Y-intervallumban (c,d) Határozzuk meg az XY szorzat matematikai elvárását.

A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik matematikai elvárásaik szorzatával, azaz.

M(XY)=

№321 Az X és Y véletlenváltozók függetlenek és egyenletes eloszlásúak: X - az (a,b) intervallumban, Y - a (c,d) intervallumban. Határozza meg az XY szorzat szórását!

Használjuk a képletet

D(XY)=M[

A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik azok matematikai elvárásainak szorzatával, ezért

Keressük meg M-et a képlet alapján

M[φ(X)]=

Helyettesítés φ(x)= ,f(x)=1/(b-a)és integrálva kapjuk

M (**)

Hasonlóképpen találjuk

M (***)

Helyettesítés M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2, valamint (***) és (**) a (*), végül megkapjuk

D(XY)= -[ .

№322 Egy normális eloszlású X valószínűségi változó matematikai elvárása a=3, a szórása pedig σ=2. Írja fel X valószínűségi sűrűségét!

Használjuk a képletet:

f(x)= .

A rendelkezésre álló értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:

f(x)= = f(x)= .

№323 Írja fel egy normális eloszlású X valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét, tudva, hogy M(X)=3, D(X)=16.

Használjuk a képletet:

f(x)= .

A σ értékének megtalálásához azt a tulajdonságot használjuk, hogy egy valószínűségi változó szórása x egyenlő a szórásának négyzetgyökével. Ezért σ=4, M(X)=a=3. Behelyettesítve a kapott képletbe

f(x)= = .

№324 Egy normális eloszlású X valószínűségi változót a sűrűség ad meg

f(x)= . Határozzuk meg X matematikai elvárását és varianciáját!

Használjuk a képletet

f(x)= ,

ahol a-várható érték, σ -szórás X. Ebből a képletből az következik a=M(X)=1. A variancia meghatározásához azt a tulajdonságot használjuk, hogy egy valószínűségi változó szórása x egyenlő a szórásának négyzetgyökével. Következésképpen D(X)= =

Válasz: a matematikai elvárás 1; a szórás 25.

Bondarcsuk Rodion

Adott a normalizált normáltörvény eloszlásfüggvénye . Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget!

Ennek tudatában , megtaláljuk az f(x)-et.

Válasz:

Bizonyítsuk be, hogy a Laplace-függvény . páratlan: .

Cseréljük

Végezzük a fordított helyettesítést, és megkapjuk:

= =

Lesznek majd önálló megoldási feladatok is, amelyekre a válaszokat láthatjátok.

Normál eloszlás: elméleti alapok

A normális törvény szerint eloszló valószínűségi változókra példa egy személy magassága, az azonos fajhoz tartozó kifogott hal tömege. A normál eloszlás a következőket jelenti : vannak az embermagasság, az azonos fajhoz tartozó halak tömegének értékei, amelyeket intuitív szinten "normálisnak" (sőt – átlagolva) észlelnek, és sokkal gyakoribbak a kellően nagy méretben. minta, mint azok, amelyek felfelé vagy lefelé különböznek.

Egy folytonos valószínűségi változó normál valószínűségi eloszlása ​​(néha Gauss-eloszlás) harang alakúnak nevezhető, mivel ennek az eloszlásnak az átlagra szimmetrikus sűrűségfüggvénye nagyon hasonlít egy harang metszetéhez ( piros görbe a fenti ábrán).

A mintában bizonyos értékek teljesítésének valószínűsége megegyezik az ábra görbe alatti területével, normál eloszlás esetén pedig azt látjuk, hogy a "harang" teteje alatt, ami megfelel az átlagra hajló értékekhez a terület, és így a valószínűség is nagyobb, mint az élek alatt. Így ugyanazt kapjuk, amit már elmondtunk: nagyobb a valószínűsége annak, hogy egy "normál" magasságú emberrel találkozunk, egy "normál" súlyú halat fogunk, mint a felfelé vagy lefelé eltérő értékek esetében. A gyakorlatban nagyon sok esetben a mérési hibák a normálishoz közeli törvény szerint oszlanak meg.

Álljunk meg ismét a lecke eleji ábránál, amely a normál eloszlás sűrűségfüggvényét mutatja. Ennek a függvénynek a grafikonját a szoftvercsomagban található adatminta kiszámításával kaptuk STATISZTIKA. Rajta a hisztogram oszlopai olyan mintaértékek intervallumait ábrázolják, amelyek eloszlása ​​közel áll (vagy ahogy a statisztikákban mondják, nem tér el jelentősen) magához a normál eloszlási sűrűségfüggvény grafikonjához, amely egy piros görbe. A grafikon azt mutatja, hogy ez a görbe valóban harang alakú.

A normál eloszlás több szempontból is értékes, mert ha csak egy folytonos valószínűségi változó átlagát és a szórását ismerjük, akkor az adott változóhoz tartozó bármilyen valószínűséget kiszámíthatjuk.

A normál eloszlás további előnye, hogy az egyik legkönnyebben használható statisztikai hipotézisek tesztelésére használt statisztikai kritériumok - Student-féle t-próba- csak abban az esetben használható, ha a mintaadatok megfelelnek a normál eloszlási törvénynek.

Egy folytonos valószínűségi változó normális eloszlásának sűrűségfüggvénye képlet segítségével találhatjuk meg:

,

ahol x- a változó értéke, - középérték, - szórás, e\u003d 2,71828 ... - a természetes logaritmus alapja, \u003d 3,1416 ...

A normál eloszlási sűrűségfüggvény tulajdonságai

Az átlag változásai a haranggörbét a tengely irányába mozgatják Ökör. Ha nő, akkor a görbe jobbra, ha csökken, akkor balra mozog.

Ha a szórás változik, akkor megváltozik a görbe csúcsának magassága. Ha a szórás nő, a görbe teteje magasabb, ha csökken, akkor alacsonyabb.

Annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó értéke egy adott intervallumon belülre esik

Már ebben a bekezdésben elkezdjük a gyakorlati problémák megoldását, amelyek jelentését a cím jelzi. Vizsgáljuk meg, milyen lehetőségeket kínál az elmélet a problémák megoldására. A normális eloszlású valószínűségi változó adott intervallumba esésének valószínűségének kiszámításának kiinduló fogalma a normális eloszlás integrálfüggvénye.

Integrált normál eloszlási függvény:

.

Problémás azonban az átlag és a szórás minden lehetséges kombinációjához táblázatokat szerezni. Ezért az egyik egyszerű módszer annak kiszámítására, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó egy adott intervallumba esik, ha valószínűségi táblázatokat használunk szabványos normális eloszláshoz.

A normál eloszlást szabványos vagy normalizált eloszlásnak nevezzük., amelynek középértéke , a szórása pedig .

A standardizált normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

.

A standardizált normális eloszlás kumulatív függvénye:

.

Az alábbi ábra a szabványos normál eloszlás integrálfüggvényét mutatja, melynek grafikonját a szoftvercsomagban található adatminta kiszámításával kaptuk. STATISZTIKA. Maga a grafikon egy piros görbe, és a mintaértékek közelítenek hozzá.

A kép nagyításához kattintson rá a bal egérgombbal.

Egy valószínűségi változó szabványosítása azt jelenti, hogy a feladatban használt eredeti mértékegységekről a szabványosított egységekre lépünk. A szabványosítás a képlet szerint történik

A gyakorlatban egy valószínűségi változó összes lehetséges értéke gyakran nem ismert, így az átlag és a szórás értékeit nem lehet pontosan meghatározni. Helyükre a megfigyelések számtani átlaga és a szórása kerül s. Érték z egy valószínűségi változó értékeinek eltérését fejezi ki a számtani átlagtól a szórások mérésekor.

Nyitott intervallum

A standardizált normális eloszlás valószínűségi táblázata, amely szinte minden statisztikai könyvben elérhető, tartalmazza annak valószínűségét, hogy egy standard normális eloszlású valószínűségi változó Z egy bizonyos számnál kisebb értéket vesz fel z. Azaz a mínusz végtelentől a nyitott intervallumba fog beleesni z. Például annak a valószínűsége, hogy az érték Z 1,5-nél kisebb érték 0,93319.

1. példa A cég olyan alkatrészeket gyárt, amelyek normál eloszlású élettartama átlagosan 1000 óra, szórása pedig 200 óra.

Egy véletlenszerűen kiválasztott alkatrész esetén számítsa ki annak valószínűségét, hogy élettartama legalább 900 óra lesz.

Megoldás. Bemutatjuk az első jelölést:

A kívánt valószínűség.

A valószínűségi változó értékei a nyitott intervallumban vannak. De ki tudjuk számolni annak a valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó egy adott értéknél kisebb értéket vesz fel, és a feladat feltételétől függően az adott értéknél egyenlő vagy nagyobb értéket kell találni. Ez a haranggörbe alatti tér másik része. Ezért a kívánt valószínűség meghatározásához ki kell vonni az egyikből azt a valószínűséget, hogy a valószínűségi változó a megadott 900-nál kisebb értéket vesz fel:

Most a valószínűségi változót szabványosítani kell.

Folytatjuk a jelölés bevezetését:

z = (x ≤ 900) ;

x= 900 - egy valószínűségi változó adott értéke;

μ = 1000 - átlagos érték;

σ = 200 - szórás.

Ezen adatok alapján megkapjuk a probléma feltételeit:

.

Egy szabványosított valószínűségi változó (intervallumhatár) táblázatai szerint z= -0,5 a 0,30854 valószínűségnek felel meg. Vonja le az egységből, és kapja meg, ami a probléma állapotában szükséges:

Tehát annak a valószínűsége, hogy az alkatrész élettartama legalább 900 óra lesz, 69%.

Ezt a valószínűséget az MS Excel NORM.DIST függvényével kaphatjuk meg (az integrál értéke 1):

P(x≥900) = 1 - P(x≤900) = 1 - NORM.ELOSZTÁS(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

Az MS Excel számításairól - a lecke egyik következő bekezdésében.

2. példa Egyes városban az átlagos éves családi jövedelem egy normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek átlagértéke 300 000, szórása 50 000. Ismeretes, hogy a családok 40%-ának jövedelme kisebb, mint az érték. A. Keressen értéket A.

Megoldás. Ebben a feladatban a 40% nem más, mint annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó egy nyitott intervallumból olyan értéket vesz fel, amely kisebb egy bizonyos értéknél, amelyet a betű jelzi. A.

Az érték megtalálásához A, először összeállítjuk az integrál függvényt:

A feladatnak megfelelően

μ = 300000 - átlagos érték;

σ = 50000 - szórás;

x = A a keresendő érték.

Az egyenlőség megteremtése

.

A statisztikai táblázatok alapján azt találjuk, hogy a 0,40-es valószínűség az intervallumhatár értékének felel meg z = −0,25 .

Ezért egyenlőséget teremtünk

és megtalálja a megoldást:

A = 287300 .

Válasz: a családok 40%-ának jövedelme kevesebb, mint 287300.

Zárt intervallum

Sok feladatban meg kell találni annak a valószínűségét, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó értéket vesz fel a z 1-től z 2. Vagyis a zárt intervallumba fog beleesni. Az ilyen problémák megoldásához meg kell találni a táblázatban az intervallum határainak megfelelő valószínűségeket, majd meg kell keresni a különbséget ezek között a valószínűségek között. Ehhez ki kell vonni a kisebb értéket a nagyobbból. Példák ezeknek a gyakori problémáknak a megoldására a következők, és javasoljuk, hogy saját maga oldja meg őket, és akkor láthatja a helyes megoldásokat és válaszokat.

3. példa Egy vállalkozás nyeresége egy adott időszakra a normál elosztási törvény hatálya alá tartozó valószínűségi változó, amelynek átlagos értéke 0,5 millió cu. és szórása 0,354. Határozza meg két tizedesjegy pontossággal annak a valószínűségét, hogy a vállalkozás nyeresége 0,4 és 0,6 c.u között lesz.

4. példa A legyártott alkatrész hossza egy normális törvény szerint eloszló, paraméterekkel rendelkező valószínűségi változó μ =10 és σ =0,071. Határozza meg két tizedesjegy pontossággal a házasságkötés valószínűségét, ha az alkatrész megengedett mérete 10 ± 0,05 legyen!

Tipp: ebben a feladatban amellett, hogy meg kell találni egy valószínűségi változó zárt intervallumba esésének valószínűségét (a nem hibás rész megszerzésének valószínűségét), még egy műveletre van szükség.

lehetővé teszi annak a valószínűségének meghatározását, hogy a standardizált érték Z nem kevesebb -zés nem több +z, ahol z- egy standardizált valószínűségi változó tetszőlegesen választott értéke.

Hozzávetőleges módszer az elosztás normálisságának ellenőrzésére

A mintaértékek eloszlásának normálisságának ellenőrzésére szolgáló közelítő módszer a következőkön alapul normális eloszlás tulajdonsága: ferdeség β 1 és kurtózis együttható β 2 nulla.

Aszimmetria együttható β 1 numerikusan jellemzi az empirikus eloszlás szimmetriáját az átlaghoz képest. Ha a ferdeség egyenlő nullával, akkor a számtani átlag, a medián és a módusz egyenlő: az eloszlási sűrűséggörbe pedig szimmetrikus az átlagra. Ha az aszimmetria együtthatója kisebb, mint nulla (β 1 < 0 ), akkor a számtani átlag kisebb, mint a medián, a medián pedig kisebb, mint a módus () és a görbe jobbra tolódik (a normál eloszláshoz képest). Ha az aszimmetria együtthatója nagyobb nullánál (β 1 > 0 ), akkor a számtani átlag nagyobb, mint a medián, a medián pedig nagyobb, mint a módus () és a görbe balra tolódik (a normál eloszláshoz képest).

Kurtosis együttható β 2 jellemzi az empirikus eloszlás koncentrációját a számtani átlag körül a tengely irányában Oyés az eloszlási sűrűséggörbe csúcspontjának mértéke. Ha a görbületi együttható nagyobb, mint nulla, akkor a görbe megnyúltabb (a normál eloszláshoz képest) a tengely mentén Oy(a grafikon hegyesebb). Ha a görbületi együttható kisebb, mint nulla, akkor a görbe laposabb (a normál eloszláshoz képest) a tengely mentén Oy(a grafikon tompabb).

A ferdeségi együttható az MS Excel SKRS függvényével számítható ki. Ha egy adattömböt jelöl ki, akkor egy adattartományt kell megadnia egy "Szám" mezőben.

A kurtózis együtthatója az MS Excel kurtosis függvényével számítható ki. Egy adattömb ellenőrzésekor elegendő egy "Szám" mezőbe megadni az adattartományt is.

Tehát, amint azt már tudjuk, normál eloszlás esetén a ferdeségi és szögletességi együttható nullával egyenlő. De mi van akkor, ha a ferdeségi együttható értéke -0,14, 0,22, 0,43, a ferdeségi együttható pedig 0,17, -0,31, 0,55? A kérdés teljesen jogos, mivel a gyakorlatban csak hozzávetőleges, szelektív aszimmetria és kurtózis értékekkel foglalkozunk, amelyek bizonyos elkerülhetetlen, ellenőrizhetetlen szóródásnak vannak kitéve. Ezért lehetetlen ezeknek az együtthatóknak a nullával való szigorú egyenlőségét megkövetelni, csak kellően közel kell lenniük a nullához. De mit jelent az elég?

A kapott tapasztalati értékeket össze kell hasonlítani a megengedett értékekkel. Ehhez ellenőriznie kell a következő egyenlőtlenségeket (hasonlítsa össze a modulo együtthatók értékeit a kritikus értékekkel - a hipotézisvizsgálati terület határaival).

Az aszimmetria együtthatóhoz β 1 .

A gyakorlatban a normál eloszlás törvénye a legelterjedtebb. A fő jellemzője, ami megkülönbözteti a többi törvénytől, hogy korlátozó törvény, amelyhez más eloszlási törvények nagyon gyakran jellemző feltételek mellett közelednek.

Meghatározás. Egy X folytonos valószínűségi változó rendelkezik normális törvény terjesztés(Gauss törvény )a és σ 2 paraméterekkel, ha annak valószínűségi sűrűsége f(x) van formája:

.

(6.19)

A normál eloszlási görbét ún Normál vagy gauss görbe. ábrán. 6.5 a), b) normál görbét mutat paraméterekkel aés σ2és az eloszlásfüggvény grafikonja.

Vegye figyelembe, hogy a normál görbe szimmetrikus az egyenesre. x = a, maximum a ponton van x = a, egyenlő , és két inflexiós pont x = a σ ordinátákkal.

Látható, hogy a normáltörvény sűrűségének kifejezésében az eloszlási paramétereket betűkkel jelöljük aés σ2, amit a matematikai elvárást és szórást jelöltük. Egy ilyen egybeesés nem véletlen. Tekintsünk egy tételt, amely megállapítja a normáltörvény paramétereinek valószínűségi jelentését.

Tétel. A normális törvény szerint eloszló X valószínűségi változó matematikai elvárása egyenlő ennek az eloszlásnak a paraméterével, azaz

M(x) = a,

(6.20)

és szórása a σ 2 paraméterre, azaz

D(x) = σ2.

(6.21)

Nézze meg, hogyan változik a normál görbe a paraméterek megváltoztatásakor aés σ .

Ha egy σ = const, és a paraméter megváltozik a (a 1 < a 2 < a 3), azaz az eloszlás szimmetriaközéppontja, akkor a normálgörbe eltolódik az x tengely mentén anélkül, hogy alakja megváltozna (6.6. ábra).

Rizs. 6.6

Rizs. 6.7

Ha egy a= const és a paraméter megváltozik σ , akkor megváltozik a görbe maximumának ordinátája fmax(a) = . Emelkedéssel σ a maximum ordinátája csökken, de mivel bármely eloszlási görbe alatti területnek egyenlőnek kell maradnia egységgel, a görbe laposabbá válik, az x tengely mentén nyúlik. Amikor csökken σ , ellenkezőleg, a normál görbe felfelé nyúlik, egyidejűleg oldalról zsugorodik (6.7. ábra).

Így a paraméter a jellemzi a pozíciót és a paramétert σ egy normál görbe alakja.

Valószínűségi változó normális eloszlása ​​paraméterekkel a= 0 és σ = 1-et hívunk alapértelmezett vagy normalizálva, és a megfelelő normálgörbe az alapértelmezett vagy normalizálva.

A normális törvény szerinti eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének közvetlen megtalálásának nehézsége abból adódik, hogy a normális eloszlásfüggvény integrálja nem fejezhető ki elemi függvényekkel. Kiszámítható azonban egy speciális függvényen keresztül, amely a vagy kifejezés egy meghatározott integrálját fejezi ki. Az ilyen függvényt ún Laplace függvény, táblázatokat állítottak össze hozzá. Ennek a függvénynek számos változata létezik, például:

, .

A függvényt fogjuk használni

Tekintsük a normális törvény szerint eloszló valószínűségi változó tulajdonságait.

1. Annak a valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó, a normális törvény szerint eloszolva, beleesik az intervallumba [α , β ] egyenlő

Ezzel a képlettel kiszámítjuk a különböző értékek valószínűségét δ (a Laplace-függvény értéktáblázatát használva):

nál nél δ = σ = 2Ф(1) = 0,6827;

nál nél δ = 2σ = 2Ф(2) = 0,9545;

nál nél δ = 3σ = 2Ф(3) = 0,9973.

Itt az ún. három szigma szabály»:

Ha egy X valószínűségi változónak normális eloszlási törvénye van a és σ paraméterekkel, akkor gyakorlatilag biztos, hogy értékei az intervallumban vannak.(a – 3σ ; a + 3σ ).

6.3. példa. Feltételezve, hogy egy bizonyos korcsoportba tartozó férfiak magassága normális eloszlású valószínűségi változó x paraméterekkel a= 173 és σ 2 = 36, keresse meg:

1. Valószínűségi változó valószínűségi sűrűség- és eloszlásfüggvényeinek kifejezése x;

2. A 4. magasságú öltönyök (176 - 183 cm) és a 3. magasságú öltönyök részesedése (170 - 176 cm), amelyet az adott korcsoport teljes gyártási mennyiségében kell biztosítani;

3. Fogalmazzuk meg a "három szigma szabályát" egy valószínűségi változóhoz x.

1. A valószínűségi sűrűség megállapítása

és az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

= .

2. A 4. magasságú öltönyök aránya (176 - 182 cm) a valószínűsége.

R(176 ≤ x ≤ 182) = = F(1,5) – F(0,5).

A Laplace-függvény értéktáblázata szerint ( 2. függelék) találunk:

Ф(1,5) = 0,4332, Ф(0,5) = 0,1915.

Végre megkapjuk

R(176 ≤ x ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.

Hasonlóan megtalálható a 3. magasságú (170 - 176 cm) öltönyök aránya is. Ezt azonban könnyebb megtenni, ha figyelembe vesszük, hogy ez az intervallum szimmetrikus a matematikai elvárásokhoz képest. a= 173, azaz egyenlőtlenség 170 ≤ x≤ 176 egyenlő a │ egyenlőtlenséggel x– 173│≤ 3. Akkor

R(170 ≤x ≤176) = R(│x– 173│≤ 3) = 2Ф(3/6) = 2Ф(0,5) = 2 0,1915 = 0,3830.

3. Fogalmazzuk meg a "három szigma szabályát" egy X valószínűségi változóra:

Szinte biztosra vehető, hogy ebben a korosztályban a férfiak növekedése a határokon belül van a – 3σ = 173 - 3 6 = 155 to a + 3σ = 173 + 3 6 = 191, azaz. 155 ≤ x ≤ 191. ◄

7. A VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET HATÁRÉRTÉKELÉSE

Amint azt a valószínűségi változók tanulmányozása során már említettük, lehetetlen előre megjósolni, hogy egy valószínűségi változó mekkora értéket vesz fel egyetlen teszt eredményeként - ez számos októl függ, amelyeket nem lehet figyelembe venni.

A tesztek ismételt megismétlésével azonban a valószínűségi változók összegének viselkedése szinte elveszti véletlenszerű jellegét és szabályossá válik. A minták jelenléte éppen a jelenségek tömeges természetével függ össze, amelyek összességében egy jól meghatározott törvénynek alávetett valószínűségi változót generálnak. A tömegjelenségek stabilitásának lényege a következő: az egyes véletlenszerű jelenségek sajátosságai szinte egyáltalán nem befolyásolják az ilyen jelenségek tömegének átlagos eredményét; az átlagtól való véletlenszerű eltérések, amelyek minden egyes jelenségben, tömegben elkerülhetetlenek, kölcsönösen kioltódnak, kiegyenlítődnek, kiegyenlítődnek.

Az átlagoknak ez a stabilitása a "nagy számok törvényének" fizikai tartalma, amelyet a szó tág értelmében értünk: nagyon sok véletlenszerű jelenség esetén ezek eredménye gyakorlatilag megszűnik véletlenszerű lenni, és előre jelezhető. nagyfokú bizonyosság.

A szó szűk értelmében a „nagy számok törvénye” a valószínűségszámításban számos matematikai tételként értendő, amelyek mindegyikében bizonyos feltételek mellett nagyszámú kísérlet átlagos jellemzőinek közelítésének ténye. meghatározott állandókhoz.

A nagy számok törvénye fontos szerepet játszik a valószínűségszámítás gyakorlati alkalmazásaiban. A valószínűségi változók azon tulajdonsága, hogy bizonyos feltételek mellett gyakorlatilag nem véletlenszerűen viselkednek, lehetővé teszi, hogy ezekkel a mennyiségekkel magabiztosan operáljunk, a tömeges véletlenszerű jelenségek eredményeit szinte teljes bizonyossággal előre jelezzük.

Az ilyen előrejelzések lehetőségeit a tömeges véletlenszerű jelenségek terén tovább bővíti egy másik határtétel-csoport jelenléte, amelyek már nem a valószínűségi változók határértékeire, hanem a határeloszlási törvényekre vonatkoznak. Ez a tételek csoportja, amelyet „központi határtételnek” neveznek. A centrális határeloszlás tételének különböző formái abban különböznek egymástól, hogy a valószínűségi változók összegének ez a határtulajdonsága milyen feltételek mellett áll fenn.

A nagy számok törvényének különböző formái a központi határtétel különböző formáival egy halmazt alkotnak ún. határtételek Valószínűségi elmélet. A határtételek nemcsak tudományos előrejelzések készítését teszik lehetővé véletlenszerű jelenségek területén, hanem ezen előrejelzések pontosságának értékelését is.

A valószínűségi változót ún a normál (Gauss-) törvény szerint elosztva paraméterekkel a és () , ha a valószínűségi eloszlási sűrűség alakja

A normáltörvény szerint elosztott értéknek mindig végtelen számú lehetséges értéke van, ezért célszerű grafikusan ábrázolni, eloszlássűrűség-gráf segítségével. A képlet szerint

annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumból, egyenlő az ezen az intervallumon lévő függvény grafikonja alatti területtel (egy bizonyos integrál geometriai jelentése). A vizsgált függvény nem negatív és folytonos. Egy függvény grafikonja harang alakú, és Gauss-görbének vagy normálgörbének nevezik.

Az ábrán a normális törvény szerint meghatározott valószínűségi változó eloszlássűrűségének több görbéje látható.

Minden görbének van egy maximális pontja, ahonnan a görbék jobbra és balra csökkennek. A maximum értékét ekkor érjük el, és egyenlő ezzel.

A görbék szimmetrikusak a legmagasabb ponton keresztül húzott függőleges egyeneshez képest. Minden görbe részterülete 1.

Az egyes eloszlási görbék közötti különbség csak abban rejlik, hogy a részterület teljes területe, amely minden görbe esetében azonos, eltérő módon oszlik meg a különböző szakaszok között. Bármely görbe részgráfjának területének nagy része a legvalószínűbb érték közvetlen közelében összpontosul, és ez az érték mindhárom görbe esetében eltérő. Különböző értékekhez és a különböző normáltörvényeket és különféle grafikonokat kapunk az eloszlásfüggvény sűrűségéről.

Elméleti tanulmányok kimutatták, hogy a gyakorlatban előforduló valószínűségi változók többségének normális eloszlási törvénye van. E törvény szerint eloszlik a gázmolekulák sebessége, az újszülöttek súlya, az ország lakosságának ruházatának és cipőinek mérete, valamint sok más véletlenszerű fizikai és biológiai természetű esemény. Ezt a mintát először A. De Moivre vette észre és elméletileg alátámasztotta.

Mert a függvény egybeesik a függvénnyel, amit már tárgyaltunk Moivre–Laplace lokális határérték-tételében. A normális eloszlás valószínűségi sűrűsége egyszerű kifejezve:

A paraméterek ilyen értékére a normál törvényt hívják fő- .

A normalizált sűrűség eloszlásfüggvényét nevezzük Laplace függvény és jelöltük Φ(x). Ezzel a funkcióval is találkoztunk már.

A Laplace-függvény nem függ meghatározott paraméterektől aés σ. A Laplace-függvényhez közelítő integrációs módszerekkel az intervallum értéktáblázatait különböző fokú pontossággal állítottuk össze. Nyilvánvaló, hogy a Laplace-függvény páratlan, ezért nem kell az értékeit a táblázatban feltüntetni negatív esetén.

Normáltörvény szerint eloszló valószínűségi változóhoz, paraméterekkel aés , a matematikai elvárást és a szórást a következő képletekkel számítjuk ki: , A szórása egyenlő: .

Annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású mennyiség értéket vesz fel az intervallumból, egyenlő

hol van az integrálhatár-tételben bevezetett Laplace-függvény.

A feladatokban gyakran ki kell számítani annak valószínűségét, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó eltérése x matematikai elvárásától abszolút értékben nem halad meg valamilyen értéket, azaz. kiszámítani a valószínűséget. A (19.2) képlet alkalmazásával a következőket kapjuk:

Befejezésül bemutatjuk a (19.3) képlet egyik fontos következményét. Tegyük bele ezt a képletet. Akkor , pl. annak a valószínűsége, hogy az eltérés abszolút értéke x matematikai elvárásából nem haladja meg a , azaz 99,73%-ot. A gyakorlatban egy ilyen esemény megbízhatónak tekinthető. Ez a három szigma szabály lényege.

Három szigma szabály. Ha egy valószínűségi változó normális eloszlású, akkor a matematikai elvárástól való eltérésének abszolút értéke gyakorlatilag nem haladja meg a szórás háromszorosát.

A cikk részletesen bemutatja, hogy mi a valószínűségi változó normális eloszlási törvénye, és hogyan használható fel gyakorlati problémák megoldásában.

Normál eloszlás a statisztikákban

A jog története 300 éves. Az első felfedező Abraham de Moivre volt, aki már 1733-ban előállt egy közelítéssel. Sok évvel később Carl Friedrich Gauss (1809) és Pierre-Simon Laplace (1812) matematikai függvényeket származtatott.

Laplace is felfedezett egy figyelemre méltó szabályszerűséget és megfogalmazta központi határérték tétel (CPT), amely szerint nagyszámú kis és független változó összege normális eloszlású.

A normál törvény nem egy rögzített egyenlete annak, hogy az egyik változó hogyan függ a másiktól. Csak ennek a függőségnek a természete rögzített. Az elosztás konkrét formáját speciális paraméterek határozzák meg. Például, y = ax + b az egyenes egyenlete. Azt azonban, hogy pontosan hol és milyen lejtőn halad át, a paraméterek határozzák meg aés b. Ugyanez a normál eloszlással. Nyilvánvaló, hogy ez egy olyan függvény, amely leírja a középpont közelében lévő értékek magas koncentrációjának tendenciáját, de pontos formáját speciális paraméterek adják meg.

A Gauss-féle normális eloszlási görbe a következő alakú.

A normál eloszlású gráf egy harangra hasonlít, így láthatja a nevet haranggörbe. A grafikon közepén egy "púp", a széleken pedig élesen csökken a sűrűség. Ez a normális eloszlás lényege. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó a középpont közelében lesz, sokkal nagyobb, mint annak, hogy erősen eltér a középponttól.

A fenti ábra két területet mutat a Gauss-görbe alatt: kék és zöld. Indoklás, azaz az intervallumok mindkét szakaszban egyenlőek. De a magasságok észrevehetően különböznek. A kék terület messze van a központtól, és lényegesen alacsonyabb magasságú, mint a zöld terület, amely az eloszlás közepén található. Ebből következően a területek is különböznek, vagyis a jelzett intervallumokba esés valószínűsége.

A normál eloszlás (sűrűség) képlete a következő.

A képlet két matematikai állandóból áll:

π – pi szám 3,142;

e– a természetes logaritmus alapja 2,718;

két változó paraméter, amelyek meghatározzák egy adott görbe alakját:

m– matematikai elvárás (különböző forrásokban más jelölések is használhatók, pl. µ vagy a);

σ2– diszperziós;

nos, maga a változó x, amelyhez kiszámítjuk a valószínűségi sűrűséget.

A normális eloszlás konkrét formája 2 paramétertől függ: ( m) és ( σ2). Röviden jelölve N(m, σ 2) vagy N(m, σ). Paraméter m(Elvárás) határozza meg az elosztási központot, amely megfelel a diagram maximális magasságának. Diszperzió σ2 a variációs tartományt, vagyis az adatok "elkenődését" jellemzi.

A matematikai várakozási paraméter az eloszlási középpontot jobbra vagy balra tolja el anélkül, hogy befolyásolná a sűrűséggörbe alakját.

De a diszperzió határozza meg a görbe élességét. Ha az adatok kis szórásúak, akkor teljes tömege a középpontban összpontosul. Ha az adatok nagy szórásúak, akkor széles tartományban „elkenődnek”.

Az eloszlási sűrűségnek nincs közvetlen gyakorlati alkalmazása. A valószínűségek kiszámításához integrálni kell a sűrűségfüggvényt.

Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó kisebb lesz valamely értéknél x, eldöntött normál eloszlási függvény:

Bármely folytonos eloszlás matematikai tulajdonságait felhasználva nem nehéz más valószínűségeket kiszámítani, hiszen

P(a ≤ X< b) = Ф(b) – Ф(a)

szabványos normál eloszlás

A normál eloszlás az átlag és a variancia paramétereitől függ, ezért tulajdonságai rosszul láthatók. Jó lenne egy olyan terjesztési szabvány, amely nem függ az adatok léptékétől. És létezik. hívott szabványos normál eloszlás. Valójában ez a szokásos normális normális eloszlás, csak a matematikai elvárás 0 paramétereivel, a variancia pedig 1, röviden N(0, 1).

Bármely normál eloszlás könnyen átalakítható standard eloszlássá normalizálással:

ahol z helyett használt új változó x;
m- várható érték;
σ - szórás.

A mintaadatokhoz becslések készülnek:

Az új változó számtani átlaga és szórása z most is egyenlők 0-val, illetve 1-gyel. Ez könnyen ellenőrizhető elemi algebrai transzformációk segítségével.

A név szerepel a szakirodalomban z-pontszám. Ez az - normalizált adatok. Z-pontszám közvetlenül összevethető az elméleti valószínűségekkel, hiszen léptéke megfelel a szabványnak.

Most nézzük meg, hogyan néz ki a standard normál eloszlás sűrűsége (for z-pontszámok). Hadd emlékeztesselek arra, hogy a Gauss-függvény alakja:

Helyettesítsd (x-m)/σ levél z, de ehelyett σ - Egy, megkapjuk a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Sűrűségi grafikon:

A középpont a várakozásoknak megfelelően a 0 pontban van. Ugyanebben a pontban éri el a Gauss-függvény a maximumát, ami megfelel annak, hogy egy valószínűségi változó elfogadja átlagértékét (pl. x-m=0). A sűrűség ezen a ponton 0,3989, ami még fejben is kiszámítható, mert. e 0 =1, és csak az 1-nek a 2 pi gyökéhez viszonyított arányát kell kiszámítani.

Így a grafikon egyértelműen azt mutatja, hogy azok az értékek, amelyeknek kis eltérése van az átlagtól, gyakrabban esnek ki, mint mások, és azok, amelyek nagyon távol vannak a központtól, sokkal ritkábban fordulnak elő. Az abszcissza skálát szórással mérik, ami lehetővé teszi, hogy megszabaduljon a mértékegységektől, és megkapja a normál eloszlás univerzális szerkezetét. A normalizált adatok Gauss-görbéje tökéletesen mutatja a normális eloszlás egyéb tulajdonságait. Például, hogy szimmetrikus az y tengelyre. A számtani átlag ±1σ-n belül a legtöbb érték koncentrálódik (még mindig szemmel becsülünk). Az adatok többsége ±2σ-n belül van. Szinte minden adat ±3σ-n belül van. Az utolsó tulajdonság közismert nevén három szigma szabály normál eloszlásra.

A normál normál eloszlási függvény lehetővé teszi a valószínűségek kiszámítását.

Persze senki nem számol kézzel. Mindent kiszámítanak és speciális táblázatokba helyeznek, amelyek bármely statisztikai tankönyv végén találhatók.

Normál eloszlási táblázat

A normál eloszlási táblázatoknak két típusa van:

- asztal sűrűség;

- asztal funkciókat(sűrűségi integrál).

asztal sűrűség ritkán használt. Nézzük azonban, hogy néz ki. Tegyük fel, hogy meg kell kapnunk a sűrűséget z = 1, azaz az érték sűrűsége, amely 1 szigmával távolodik a várható értéktől. Az alábbiakban a táblázat egy része látható.

Az adatok rendezésétől függően az oszlop és a sor neve alapján keressük a kívánt értéket. Példánkban a vonalat vesszük 1,0 és oszlop 0 , mert nincs századrész. A kívánt érték 0,2420 (2420 előtti 0 kimarad).

A Gauss-függvény szimmetrikus az y tengelyre. Ezért φ(z)= φ(-z), azaz sűrűség számára 1 azonos a for sűrűséggel -1 , ami jól látszik az ábrán.

A papírpazarlás elkerülése érdekében a táblázatokat csak a pozitív értékekre nyomtatjuk.

A gyakorlatban gyakran használnak értékeket funkciókat standard normál eloszlás, vagyis a különböző valószínűségek z.

Az ilyen táblázatok is csak pozitív értékeket tartalmaznak. Ezért annak érdekében, hogy megértsük és megtaláljuk Bármi a szükséges valószínűségeket ismerni kell a standard normális eloszlás tulajdonságai.

Funkció Ф(z) szimmetrikus a 0,5-ös értékére (és nem az y-tengelyre, például a sűrűségre). Tehát az egyenlőség igaz:

Ez a tény a képen látható:

Funkcióértékek Ф(-z)és Ф(z) oszd 3 részre a grafikont. Ezenkívül a felső és az alsó rész egyenlő (pipa jelzi). Annak érdekében, hogy teljes legyen a valószínűség Ф(z) 1-hez adja hozzá a hiányzó értéket Ф(-z). Ugyanazt az egyenletet kapod, mint fent.

Ha meg kell találnia az intervallumba esés valószínűségét (0;z), azaz a nullától pozitív irányú eltérés valószínűsége bizonyos számú szóráshoz elegendő 0,5-öt levonni a standard normál eloszlási függvény értékéből:

Az érthetőség kedvéért nézze meg az ábrát.

A Gauss-görbén ugyanez a helyzet úgy néz ki, mint a középponttól jobbra tartó terület z.

Az elemzőt gyakran érdekli a nullától való mindkét irányú eltérés valószínűsége. És mivel a függvény szimmetrikus a középpontra, az előző képletet meg kell szorozni 2-vel:

Kép lent.

A Gauss-görbe alatt ez a központi rész, amelyet a kiválasztott érték korlátoz -z balra és z jobb oldalon.

Ezeket a tulajdonságokat figyelembe kell venni, mert táblázat értékei ritkán felelnek meg az érdeklődési intervallumnak.

A feladat megkönnyítése érdekében a tankönyvek általában táblázatokat tesznek közzé az űrlap függvényében:

Ha szüksége van a nullától való eltérés valószínűségére mindkét irányban, akkor, mint az imént láttuk, ennek a függvénynek a táblázatos értékét egyszerűen meg kell szorozni 2-vel.

Most nézzünk konkrét példákat. Az alábbiakban a szabványos normál eloszlás táblázata látható. Keressünk táblázatos értékeket háromhoz z: 1,64, 1,96 és 3.

Hogyan lehet megérteni ezeknek a számoknak a jelentését? Kezdjük azzal z=1,64, amelyre a táblázat értéke 0,4495 . A jelentés magyarázatának legegyszerűbb módja az ábra.

Azaz annak a valószínűsége, hogy egy szabványosított normális eloszlású valószínűségi változó a tól intervallumba esik 0 előtt 1,64 , egyenlő 0,4495 . A feladatok megoldásánál általában mindkét irányú eltérés valószínűségét kell kiszámítani, ezért az értéket megszorozzuk 0,4495 2-vel, és körülbelül 0,9-et kap. A Gauss-görbe alatti elfoglalt terület az alábbiakban látható.

Így az összes normál eloszlású érték 90%-a az intervallumon belülre esik ±1,64σ a számtani átlagtól. Nem véletlenül választottam a jelentést z=1,64, mert a számtani átlag körüli, a teljes terület 90%-át elfoglaló környékét néha használják a konfidenciaintervallumok kiszámításához. Ha az ellenőrzött érték nem esik a kijelölt területre, akkor annak előfordulása nem valószínű (csak 10%).

A hipotézisek tesztelésére azonban gyakrabban használnak olyan intervallumot, amely az összes érték 95%-át lefedi. Az esély fele 0,95 - ez 0,4750 (lásd a második kiemelt értéket a táblázatban).

Erre a valószínűségre z=1,96. Azok. belül szinte ±2σ az átlagtól az értékek 95%-a. Csak 5% esik ezen a határon kívül.

Egy másik érdekes és gyakran használt táblázatérték felel meg z=3, a táblázatunk szerint egyenlő 0,4986 . Szorozzuk meg 2-vel és kapjuk meg 0,997 . Tehát a keretek között ±3σ szinte minden érték szerepel a számtani átlagban.

Így néz ki a 3 szigma szabály normál eloszlás esetén a diagramon.

A statisztikai táblázatok segítségével bármilyen valószínűséget kaphat. Ez a módszer azonban nagyon lassú, kényelmetlen és nagyon elavult. Ma minden a számítógépen történik. Ezután áttérünk az Excelben végzett számítások gyakorlatára.

Normál eloszlás Excelben

Az Excel számos funkcióval rendelkezik a normál eloszlás valószínűségeinek vagy reciprokainak kiszámításához.

NORM.S.DIST funkció

Funkció NORM.ST.DIST a sűrűség kiszámítására tervezték ϕ(z) vagy valószínűségek Φ(z) normalizált adatok szerint ( z).

= NORM..ST.ELOSZ.(z, kumulatív)

z a standardizált változó értéke

integrál– ha 0, akkor a sűrűség kiszámításra kerülϕ(z) , ha 1 a Ф(z) függvény értéke, azaz. valószínűség P(Z

Számítsa ki a függvény sűrűségét és értékét a különböző függvényekre z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3(az A2 cellában jelezzük őket).

A sűrűség kiszámításához a =NORM.ST.DIST(A2;0) képletre van szükség. Az alábbi ábrán ez a piros pont.

A =NORM.ST.DIST(A2;1) függvény értékének kiszámításához. A diagram a normál görbe alatti árnyékolt területet mutatja.

A valóságban gyakrabban kell kiszámítani annak a valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó nem lép túl bizonyos határokat az átlagtól (a változónak megfelelő szórással z), azaz P(|Z| .

Határozzuk meg, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy valószínűségi változó a határok közé esik ±1z, ±2z és ±3z nulláról. Képlet szükséges 2Ф(z)-1, Excelben =2*NORM.ST.DIST(A2;1)-1.

A diagramon jól láthatóak a normál eloszlás főbb alapvető tulajdonságai, beleértve a három szigma szabályt is. Funkció NORM.ST.DIST a normál eloszlás függvényértékeinek automatikus táblázata az Excelben.

Fordított probléma is lehet: a rendelkezésre álló valószínűség szerint P(Z keresse meg a szabványosított értéket z, amely a standard normális eloszlás kvantilisa.

NORM.ST.INV funkció

NORM.ST.INV kiszámítja a standard normális eloszlási függvény reciprokát. A szintaxis egy paraméterből áll:

=NORM.S.OBR(valószínűség)

valószínűség egy valószínűség.

Ezt a képletet olyan gyakran használják, mint az előzőt, mert ugyanazoknak a tábláknak nem csak valószínűségeket kell keresniük, hanem kvantilisokat is.

Például a konfidenciaintervallumok kiszámításakor egy konfidenciavalószínűséget adunk meg, amely szerint ki kell számítani az értéket z.

Tekintettel arra, hogy a konfidenciaintervallum egy felső és egy alsó korlátból áll, és hogy a normális eloszlás szimmetrikus nulla körül, elegendő egy felső korlát (pozitív eltérés) megállapítása. Az alsó határt negatív előjellel vesszük. Jelöljük a konfidenciavalószínűséget mint γ (gamma), akkor a konfidenciaintervallum felső határát a következő képlet segítségével számítjuk ki.

Számítsa ki az értékeket Excelben z(ami a szigmában kifejezett átlagtól való eltérésnek felel meg) több valószínűségre, beleértve azokat is, amelyeket minden statisztikus fejből ismer: 90%, 95% és 99%. A B2 cellába írja be a következő képletet: =NORM.ST.OBR((1+A2)/2). A változó értékének megváltoztatásával (valószínűség az A2 cellában) az intervallumok eltérő határait kapjuk.

A 95%-os konfidenciaintervallum 1,96, ami majdnem 2 szórás. Innen már fejben is könnyű megbecsülni egy normális valószínűségi változó lehetséges terjedését. Általában a 90%-os, 95%-os és 99%-os konfidencia intervallumok ±1,64, ±1,96 és ±2,58 σ konfidenciaintervallumnak felelnek meg.

Általában a NORM.ST.DIST és NORM.ST.OBR függvények lehetővé teszik a normál eloszlással kapcsolatos bármilyen számítás elvégzését. De a dolgok könnyebbé tétele és a munka csökkentése érdekében az Excel néhány egyéb funkcióval is rendelkezik. Például az átlag konfidenciaintervallumának kiszámításához használhatja a CONFID.NORM értéket. Az aritmetikai átlag ellenőrzésére egy Z.TESZT képlet áll rendelkezésre.

Tekintsünk még néhány hasznos képletet példákkal.

NORM.DIST funkció

Funkció NORM.DIST különbözik NORM.ST.DIST csak az a tény, hogy bármilyen léptékű adatok feldolgozására használják, nem csak normalizáltak. A normál eloszlás paraméterei a szintaxisban vannak megadva.

=NORM.DIST(x, átlag, standard_dev, kumulatív)

átlagos a normál eloszlási modell első paramétereként használt matematikai elvárás

standard_off– szórás – a modell második paramétere

integrál- ha 0, akkor a sűrűséget számítjuk ki, ha 1 - akkor a függvény értéke, pl. P(X

Például a 15-ös értékre vonatkozó sűrűséget, amelyet egy 10-es átlaggal, 3-as szórással vett normál mintából vettünk, a következőképpen számítjuk ki:

Ha az utolsó paramétert 1-re állítjuk, akkor azt a valószínűséget kapjuk, hogy az adott eloszlási paraméterek esetén a normál valószínűségi változó 15-nél kisebb lesz. Így a valószínűségek közvetlenül az eredeti adatokból számíthatók.

NORM.INV funkció

Ez a normális eloszlás kvantilisa, azaz. az inverz függvény értéke. A szintaxis a következő.

=NORM.INV(valószínűség, átlag, szórás)

valószínűség- valószínűség

átlagos- elvárás

standard_off– szórás

A cél ugyanaz, mint NORM.ST.INV, csak a függvény működik bármilyen léptékű adatokkal.

Egy példa a cikk végén található videóban látható.

A normál eloszlás modellezése

Egyes feladatok normál véletlenszámok generálását igénylik. Erre nincs kész funkció. Az Excelnek azonban van két függvénye, amelyek véletlen számokat adnak vissza: VÉLETLENSZERŰ KÖZÖTTés RAND. Az első véletlenszerű egyenletes eloszlású egész számokat állít elő a megadott határokon belül. A második függvény egyenletes eloszlású véletlenszámokat generál 0 és 1 között. Egy adott eloszlású mesterséges minta készítéséhez szükségünk van egy függvényre. RAND.

Tegyük fel, hogy a kísérlethez egy normális eloszlású általános sokaságból kell mintát venni, amelynek átlaga 10 és szórása 3. Egy véletlen értékhez egy képletet írunk Excelben.

NORM.INV(RAND();10;3)

Bővítsük ki a szükséges számú cellára és kész is a normál kijelölés.

A szabványosított adatok modellezéséhez a NORM.ST.OBR-t kell használni.

Az egységes számok normál számokká alakításának folyamata az alábbi ábrán látható. A RAND képlet által generált egyenletes valószínűségekből vízszintes vonalakat húzunk a normál eloszlási függvény grafikonjára. Ezután a vízszintes tengelyre vonatkozó vetületeket a valószínűségek és a grafikon metszéspontjaiból leengedjük.