ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಪತನ. "ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಮುಕ್ತ ಚಲನೆ" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತುವ ಎತ್ತರ

ಸಿದ್ಧಾಂತ

ದೇಹವನ್ನು ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆದರೆ, ನಂತರ ಹಾರಾಟದಲ್ಲಿ ಅದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧದ ಬಲದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿರೋಧ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನ್ಯೂಟನ್ರ 2 ನೇ ನಿಯಮದಿಂದಾಗಿ, ದೇಹವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೇಗವರ್ಧಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಒಂದು x = 0, ಮತ್ತು ವೈ= -g.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲನೆಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕಾರವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಾರುವ ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲನೆಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ (X- ಅಕ್ಷ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪದ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ (Y- ಅಕ್ಷ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪದ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಚಲನೆ (ಚಿತ್ರ 1) .

ಆದ್ದರಿಂದ ದೇಹದ ವೇಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ:

,

ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ಎಲ್ಲಿದೆ, α ಎಂಬುದು ಎಸೆಯುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೀತಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ನಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (ಚಿತ್ರ 1) ನಂತರ

ಎತ್ತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಎರಡನೇ ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಸೆಯುವ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ.

ನಾವು ಮೊದಲ ಸೂತ್ರದಿಂದ (1) ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವಿಮಾನ ಶ್ರೇಣಿಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ Xಹಾರಾಟದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಸಮಾನವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಟಿ 0. ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (2) ಮೊದಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ 45 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ಎಸೆಯುವ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.

ಎಸೆದ ದೇಹದ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತುವ ಎತ್ತರವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ (1) ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಹಾರಾಟದ ಸಮಯಕ್ಕೆ (2) ಸಮಾನವಾದ ಸಮಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪಥದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾರಾಟದ ಎತ್ತರವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ದೇಹವನ್ನು ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆದರೆ, ನಂತರ ಹಾರಾಟದಲ್ಲಿ ಅದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧದ ಬಲದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿರೋಧ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನ್ಯೂಟನ್ರ 2 ನೇ ನಿಯಮದಿಂದಾಗಿ, ದೇಹವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಕೊಡಲಿ = 0, ay = - g.

ಚಿತ್ರ 1. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲನೆಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕಾರವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಾರುವ ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲನೆಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ (X- ಅಕ್ಷ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪದ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ (Y- ಅಕ್ಷ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪದ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಚಲನೆ (ಚಿತ್ರ 1) .

ಆದ್ದರಿಂದ ದೇಹದ ವೇಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ:

ಇಲ್ಲಿ $v_0$ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ, $(\mathbf \alpha )$ ಎಂಬುದು ಎಸೆಯುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (ಚಿತ್ರ 1) $x_0=y_0=0$. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(1)

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ (1). ಎಸೆದ ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಇಳಿಯುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಎತ್ತರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಹಾರಾಟದ ಸಮಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎತ್ತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಎರಡನೇ ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಸೆಯುವ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ.

ನಾವು ಮೊದಲ ಸೂತ್ರದಿಂದ (1) ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯು ಹಾರಾಟದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. $t_0$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (2) ಮೊದಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ 45 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ಎಸೆಯುವ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.

ಎಸೆದ ದೇಹದ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತುವ ಎತ್ತರವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ (1) ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಹಾರಾಟದ ಸಮಯಕ್ಕೆ (2) ಸಮಾನವಾದ ಸಮಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪಥದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾರಾಟದ ಎತ್ತರವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (1) ದೇಹದ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (1):

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಚಲನೆಯ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪದದ ಮುಂದೆ “-” ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅದರ ಶಾಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಎಸೆಯುವ ಕೋನ $\ ಆಲ್ಫಾ $ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಒಂದು ದೇಹವನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ $(\mathbf \alpha )$ ಕೋನದಲ್ಲಿ v0 ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾರಾಟದ ಸಮಯ $t = 2 s$. Hmax ದೇಹವು ಯಾವ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತದೆ?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ OX ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ $(\mathbf \alpha )$ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

\ \ \

ಒಂದು ಕಲ್ಲನ್ನು ಪರ್ವತದ ತುದಿಯಿಂದ ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ = 30$()^\circ$ $v_0 = 6 m/s$ ನ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಹಾರಿಜಾನ್‌ಗೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಳಿಜಾರಾದ ಪ್ಲೇನ್ ಕೋನ = 30$()^\circ$. ಎಸೆಯುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಕಲ್ಲು ಇಳಿಯುತ್ತದೆ?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇರಿಸೋಣ, OX - ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮತಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕೆಳಕ್ಕೆ, OY - ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ. ಚಲನೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಚಲನೆಯ ನಿಯಮ:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ $t_В$, ನಾವು $S$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಎತ್ತರ h ನಿಂದ v_vec0 ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 11.1).

ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಮಯ t ನಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಲ್ಲಿ:

v x = v 0 , (2)
v y = –gt. (3)

1. (2) ಮತ್ತು (3) ನಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

x = v 0 t, (4)
y = h - gt 2/2. (5)

ದೇಹವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಇದು x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವಿಲ್ಲದೆ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 11.2 ನಿಯಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದಲ್ಲಿ ದೇಹವು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಸಮಯದ ಅದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಬೀಳುವ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನವಿದೆ.

ಸಮತಲವಾಗಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹವು ಯಾವಾಗಲೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ದೇಹದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಲಂಬದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಬೀಳುವ ದೇಹದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

2. ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ (4) ಮತ್ತು (5) ನಾವು ಸಮಯ tfloor ಮತ್ತು ದೇಹದ ಹಾರಾಟದ ದೂರ l ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:

ಸುಳಿವು. ಬೀಳುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ y = 0 ಎಂಬ ಅಂಶದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

3. ದೇಹವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎತ್ತರದಿಂದ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಹಾರಾಟದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವು 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಅಥವಾ ಆರಂಭಿಕ ಎತ್ತರವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ? ಎಷ್ಟು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು?

ಚಲನೆಯ ಪಥಗಳು

ಚಿತ್ರ 11.2 ರಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಪಥವನ್ನು ಕೆಂಪು ಗೆರೆಯಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

4. ಸಮತಲವಾಗಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹಕ್ಕೆ, ಚಲನೆಯ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣ, ಅಂದರೆ ಅವಲಂಬನೆ y(x) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಸುಳಿವು. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (4), t ಅನ್ನು x ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (5) ಬದಲಿಸಿ.

ಫಾರ್ಮುಲಾ (8) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಶೃಂಗವು ದೇಹದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು x = 0 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; y = h, ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಯು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ (ಇದು x 2 ರ ಮುಂದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

5. ಅವಲಂಬನೆ y (x) ಅನ್ನು SI ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ y = 45 - 0.05x 2 ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎ) ದೇಹದ ಆರಂಭಿಕ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ಯಾವುದು?
ಬಿ) ಹಾರಾಟದ ಸಮಯ ಮತ್ತು ದೂರ ಎಷ್ಟು?

6. ದೇಹವನ್ನು 20 ಮೀ ಎತ್ತರದಿಂದ 5 ಮೀ / ಸೆ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎ) ದೇಹದ ಹಾರಾಟ ಎಷ್ಟು ಕಾಲ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ?
ಬಿ) ವಿಮಾನ ಶ್ರೇಣಿ ಎಷ್ಟು?
ಸಿ) ದೇಹವು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಮೊದಲು ಅದರ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?
ಡಿ) ಹಾರಿಜಾನ್‌ಗೆ ಯಾವ ಕೋನದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗವನ್ನು ನೆಲಕ್ಕೆ ಹೊಡೆಯುವ ಮೊದಲು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಇ) ಯಾವ ಸೂತ್ರವು SI ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ?

2. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಚಲನೆ

ಚಿತ್ರ 11.3 ದೇಹದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ 0 (t = 0 ನಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ (ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ).

ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 ಪಾಪ α. (10)

ನಂತರದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲು v 0x ಮತ್ತು v 0y ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಲ್ಲಿ

v x = v 0x , (11)
vy = v 0y – gt. (12)

7. ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:

x = v 0x t, (13)
y = v 0y t – gt 2/2. (14)

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಸೆದ ದೇಹವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಇದು x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದಂತೆ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆಯ ಪಥ

ಚಿತ್ರ 11.4 ನಿಯಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ದೇಹವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತವೆ: ಪಕ್ಕದ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

8. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಪಥಕ್ಕೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:

ಫಾರ್ಮುಲಾ (15) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವು ಎಸೆದ ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಹೇಳಬಹುದು!

9. ಅವಲಂಬನೆ y(x) ಅನ್ನು SI ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ y = √3 * x – 1.25x 2 ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎ) ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಸಮತಲ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಏನು?
ಬಿ) ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಲಂಬ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಏನು?
ಸಿ) ದೇಹವನ್ನು ಯಾವ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಡಿ) ದೇಹದ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಹಾರಿಜಾನ್ಗೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಪಥದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಆಕಾರವು ನೀರಿನ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ (ಚಿತ್ರ 11.5) ಮೂಲಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಆರೋಹಣ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಾರಾಟದ ಸಮಯ

10. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (12) ಮತ್ತು (14) ಬಳಸಿ, ದೇಹದ ಏರಿಕೆಯ ಸಮಯ t ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಾರಾಟದ ಸಮಯ t ಮಹಡಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ

ಸುಳಿವು. ಪಥದ ಮೇಲಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ v y = 0, ಮತ್ತು ದೇಹವು ಬೀಳುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು y = 0 ಆಗಿದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹಕ್ಕೆ ಅದೇ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಾರಾಟದ ಸಮಯ t ಮಹಡಿಯು t ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏರುವ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 2 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ನೋಡುವಾಗ, ದೇಹದ ಏರಿಕೆಯು ಅದರ ಮೂಲದಂತೆಯೇ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವರೋಹಣವು ಅದರ ಏರಿಕೆಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿ

11. ಲಿಫ್ಟ್ ಎತ್ತರ h ಮತ್ತು ಫ್ಲೈಟ್ ರೇಂಜ್ l ಅನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಸುಳಿವು. ಸೂತ್ರವನ್ನು (18) ಪಡೆಯಲು, § 6 ರಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (14) ಮತ್ತು (16) ಅಥವಾ ಸೂತ್ರ (10) ಬಳಸಿ. ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ; ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು (19), ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (13) ಮತ್ತು (17).

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ದೇಹದ ಟಂಡರ್ ಅನ್ನು ಎತ್ತುವ ಸಮಯ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಾರಾಟದ ಸಮಯ tfloor ಮತ್ತು ಎತ್ತುವ ಎತ್ತರ h ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಲಂಬವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

12. ಸಾಕರ್ ಚೆಂಡು ಹೊಡೆದ ನಂತರ 4 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ನೆಲಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದರೆ ಅದು ಯಾವ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರಿತು?

13. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಸುಳಿವು. (9), (10), (18), (19) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.

14. ಅದೇ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದಲ್ಲಿ v 0, ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿ l α 1 ಮತ್ತು α 2 ಎಂಬ ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, α 1 + α 2 = 90º (Fig. 11.6) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ಸುಳಿವು. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ (21) ಮತ್ತು sin α = cos(90º – α).

15. ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ಎರಡು ದೇಹಗಳು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಅದೇ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್. ಆರಂಭಿಕ ವೇಗಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 20º ಆಗಿದೆ. ದೇಹಗಳನ್ನು ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಯಾವ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲಾಯಿತು?

ಗರಿಷ್ಠ ವಿಮಾನ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ

ಅದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದಲ್ಲಿ, ಹಾರಾಟದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಕೋನ α ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾರಾಟದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಅಥವಾ ಎತ್ತರವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಲು ಈ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಆರಿಸುವುದು?

16. ಗರಿಷ್ಠ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು α = 45º ನಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

l ಗರಿಷ್ಠ = ವಿ 0 2 / ಗ್ರಾಂ. (22)

17. ಗರಿಷ್ಠ ಹಾರಾಟದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

h ಗರಿಷ್ಠ = v 0 2 /(2g) (23)

18. ಸಮತಲಕ್ಕೆ 15º ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 5 ಮೀ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದಿತು.
ಎ) ದೇಹದ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?
ಬಿ) ದೇಹವು ಯಾವ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರಿತು?
ಸಿ) ಅದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿ ಎಷ್ಟು?
ಡಿ) ಅದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಈ ದೇಹವು ಯಾವ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರಬಹುದು?

ಸಮಯಕ್ಕೆ ವೇಗದ ಅವಲಂಬನೆ

ಆರೋಹಣ ಮಾಡುವಾಗ, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ವೇಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರೋಹಣ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

19. ದೇಹವನ್ನು 30º ಕೋನದಲ್ಲಿ 10 m/s ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
a) SI ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬನೆ vy(t) ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
b) SI ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬನೆ v(t) ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಸಿ) ಹಾರಾಟದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಕನಿಷ್ಠ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?
ಸುಳಿವು. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (13) ಮತ್ತು (14), ಹಾಗೆಯೇ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು

20. ವಿವಿಧ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಣಚುಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಸಶಾ ಅವರು ಪೆಬ್ಬಲ್ ಅನ್ನು 40 ಮೀ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಸೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.

21. ಟ್ರಕ್‌ನ ಹಿಂದಿನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಟೈರ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಬೆಣಚುಕಲ್ಲು ಅಂಟಿಕೊಂಡಿತ್ತು. ಈ ಬೆಣಚುಕಲ್ಲು ಬಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಹಾನಿಯಾಗದಂತೆ ಟ್ರಕ್‌ನಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹಿಂಬಾಲಿಸುವ ಕಾರನ್ನು ಓಡಿಸಬೇಕು? ಎರಡೂ ಕಾರುಗಳು ಗಂಟೆಗೆ 90 ಕಿಮೀ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿವೆ.
ಸುಳಿವು. ಯಾವುದೇ ಕಾರುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಗಿ.

22. ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಯಾವ ಕೋನದಲ್ಲಿ ದೇಹವನ್ನು ಎಸೆಯಬೇಕು:
a) ಹಾರಾಟದ ಎತ್ತರವು ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ?
ಬಿ) ಹಾರಾಟದ ಎತ್ತರವು ಶ್ರೇಣಿಗಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿದೆಯೇ?
ಸಿ) ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ?

23. ಒಂದು ದೇಹವನ್ನು 60º ಕೋನದಲ್ಲಿ 20 m/s ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸೆಯುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಯಾವ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗವನ್ನು 45º ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹಾರಿಜಾನ್ಗೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಒಂದು ಪರ್ವತದ ಮೇಲೆ, ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಕರಾವಳಿ ನೀರನ್ನು ಕಾಪಾಡುವ ಫಿರಂಗಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಹಾರಿಜಾನ್‌ಗೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಹಾರಿಸೋಣ, ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ (Fig. 2.16) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2.16. ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸೇರ್ಪಡೆ.

ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಗುರುತ್ವ ಕ್ಷೇತ್ರ

ನಾವು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ (ಸಮೀಕರಣ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ):

ಇದರರ್ಥ ದೇಹಗಳು - ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳು - ಅದೇ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (2.7.2) ಯೋಜಿಸೋಣ. ಸಮತಲ ಅಕ್ಷ ಓಹ್ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 13 ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆ, ಅಕ್ಷ OYಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಸೆಳೆಯೋಣ ಬಗ್ಗೆಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷ OZ, ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕವೂ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಬಗ್ಗೆ, ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಕಡೆಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಲಂಬ ದಿಕ್ಕು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ OXಮತ್ತು OYಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ OY- ಮೇಲಕ್ಕೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2.17. ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ, ಇದು ಸಮಯದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿ 0, ಅವಕಾಶ t0 = 0. ನಂತರ, ಅಂಜೂರದ ಪ್ರಕಾರ. 2.7.4

ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (2.7.3) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (2.7.3) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಾದವನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

(2.7.7) ಮತ್ತು (2.7.9) ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಸಮಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೇಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಅವಲಂಬನೆಗಾಗಿ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು (2.7.11) ದೇಹದ ಪಥವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ XOY, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲಂಬ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು . ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ: ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಆರಿಸಿದರೂ, ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೇಹದ ಪಥವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಉಚಿತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಪತನ ವೇಗವರ್ಧಕ ವೆಕ್ಟರ್.

ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (2.7.10) ಅಕ್ಷಗಳ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ , ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ (2.7.11) ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಕಣದ ವೇಗದ ಸಮಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್. ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು:

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (2.7.12) ಮತ್ತು (2.7.13) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ (2.7.2) ನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವು - ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ - ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್, ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಯವನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ (2.7.12) ಮತ್ತು (2.7.13) ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ - ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕಗಳು - ರೂಪದಲ್ಲಿ (2.7.4) ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

(2.7.13) ನಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 2.18.

ಅಕ್ಕಿ. 2.18. ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ t ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ r(t) ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು

ಈ ವಾಹಕಗಳು:

ಇಲ್ಲಿ ಚಲನೆಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ತತ್ವವನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ತತ್ವ(ಓವರ್ಲೇಸ್). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಹಲವಾರು ಪ್ರಭಾವಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಪರಿಣಾಮವು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಭಾವದ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ವೀಡಿಯೊ 2.3. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಚಲನೆಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.

ಮೂಲವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ. ಈಗ =0 , ಅಕ್ಷಗಳು, ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಅಕ್ಷವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ 0xಸಮತಲವಾಗಿತ್ತು, ಅಕ್ಷ 0у- ಲಂಬ, ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ x0y(ಚಿತ್ರ 2.19).

ಅಕ್ಕಿ. 2.19. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸೋಣ (ನೋಡಿ (2.7.11)):

ವಿಮಾನ ಮಾರ್ಗ. ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊರಗಿಡಿದರೆ ಟಿ, ನಂತರ ನಾವು ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎತ್ತರದಿಂದ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವಾಗ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿ ಗಂ . ದೇಹವು ಬೀಳುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ (ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವು ಸಮುದ್ರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುತ್ತದೆ). ಗನ್ನಿಂದ ಗುರಿಗೆ ಸಮತಲ ಅಂತರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ; ಪಥದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ನಾವು ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಗಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ). ನಮಗೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು:

ನಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೇಳೆ h = 0.

ಗರಿಷ್ಠ ವಿಮಾನ ಶ್ರೇಣಿ. ಎತ್ತರದ ಪರ್ವತದಿಂದ ಚಿತ್ರೀಕರಣ ಮಾಡುವಾಗ, ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಗರಿಷ್ಠ ಹಾರಾಟದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಕೋನದ ಮೇಲೆ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅವಲಂಬನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಕೋನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ (2.7.15)), ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಬೀಳಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ (ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಶೂಟ್ ಮಾಡುವಾಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಗೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದ ಎರಡು ದಿಕ್ಕುಗಳಿವೆ.

ನಾವು ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತೆ ತಿರುಗೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಮತ್ತೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಈ ಬಾರಿ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ. ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಯಾವಾಗ, ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ?

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಿದಾಗ (2.7.16)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎತ್ತರವು ಬಯಲಿನಲ್ಲಿ ಹಾರಾಟದ ಶ್ರೇಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂದರೆ, ಗುಂಡಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಸುಮಾರು ಗನ್ ಎತ್ತರದ ಎತ್ತರದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವಾಗ l = lmax,ಮತ್ತು a = ಗರಿಷ್ಠ,ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ ಹಾರಾಟದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಕೋನವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಕ್ಕಿಂತ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತರದ ಎತ್ತರ.ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಥದ ಮೇಲಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಲಂಬ ಅಂಶದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೇಗದ ಸಮತಲ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ