Квадратичная форма в матричном виде онлайн. Положительно определенные квадратичные формы. Матричная запись квадратичной формы

В этом параграфе мы остановимся на специальном, но важном классе положительных квадратичных форм.

Определение 3. Вещественная квадратичная форма называется неотрицательной (неположительной), если при любых вещественных значениях переменных

. (35)

В этом случае симметрическая матрица коэффициентов называется положительно полуопределенной (отрицательно полуопределенной).

Определение 4. Вещественная квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если при любых не равных одновременно нулю вещественных значениях переменных

. (36)

В этом случае матрица также называется положительно определенной (отрицательно определенной).

Класс положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм.

Пусть дана неотрицательная форма . Представим ее в виде суммы независимых квадратов:

. (37)

В этом представлении все квадраты должны быть положительными:

. (38)

Действительно, если бы какое-либо было , то можно было бы подобрать такие значения , при которых

Но тогда при этих значениях переменных форма имела бы отрицательное значение, что по условию невозможно. Очевидно, что и обратно, из (37) и (38) следует положительность формы .

Таким образом, неотрицательная квадратичная форма характеризуется равенствами .

Пусть теперь – положительно определенная форма. Тогда и неотрицательная форма. Поэтому она представима в виде (37), где все положительны. Из положительной определенности формы следует, что . Действительно, в случае можно подобрать такие не равные одновременно нулю значения , при которых все обращались бы в нуль. Но тогда в силу (37) при , что противоречит условию (36).

Легко видеть, что и обратно, если в (37) и все положительны, то – положительно определенная форма.

Другими словами, неотрицательная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда она не сингулярна.

Следующая теорема дает критерий положительной определенности формы в виде неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты формы. При этом используются уже встречавшиеся в предыдущих параграфах обозначения для последовательных главных миноров матрицы :

.

Теорема 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

Доказательство. Достаточность условий (39) следует непосредственно из формулы Якоби (28). Необходимость условий (39) устанавливается следующим образом. Из положительной определенности формы следует положительная определенность «урезанных» форм

.

Но тогда все эти формы должны быть несингулярны, т. е.

Теперь мы имеем возможность воспользоваться формулой Якоби (28) (при ). Поскольку в правой части этой формулы все квадраты должны быть положительными, то

Отсюда следуют неравенства (39). Теорема доказана.

Поскольку любой главный минор матрицы при надлежащей перенумерации переменных можно поместить в левый верхний угол, то имеет место

Следствие. В положительно определенной квадратичной форме все главные миноры матрицы коэффициентов положительны:

Замечание. Из неотрицательности последовательных главных миноров

не следует неотрицательность формы . Действительно, форма

,

в которой , удовлетворяет условиям , но не является неотрицательной.

Однако имеет место следующая

Теорема 4. Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы коэффициентов были неотрицательны:

Доказательство. Введем вспомогательную форму была неположительной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась:)

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную . Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:

– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля) , а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа .

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений , и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .

Например: – линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .

– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний ) . Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).

Такая форма называется знакопеременной . И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной .

А может и не быть:

– всегда, если только одновременно не равны нулю.

– для любого вектора , кроме нулевого .

И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой ; если же – то отрицательно определённой .

И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении:
– ?

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема : если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны* , то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
и из уравнения найдём её собственные значения :

Решаем старое доброе квадратное уравнение :

, значит, форма определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне:) Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:

и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий :

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.

Если хотя бы один угловой минор противоположного знака, то форма знакопеременна . Если угловые миноры «того» знака, но среди них есть нулевые, то это особый случай, который я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры.

Проанализируем угловые миноры матрицы :

И это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно.

Вывод : все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? ;)

Запишем матрицу формы из Примера 1 :

первый её угловой минор , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму и её матрицу из Примера 2 :

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.

, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными) .

Вывод : форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Пример 4

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а)

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно .

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно , если – то неположительно . У этих форм существует ненулевые векторы , при которых .

Здесь можно привести такой «баян»:

Выделяя полный квадрат , сразу видим неотрицательность формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: .

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:

и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы .
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера :

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю .

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны ;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошло чередование);
…
– главный минор -го порядка неположителен , если – нечётное либо неотрицателен , если – чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:

Составим матрицу формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен , и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы) .

Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна .

Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Пример 5

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем .

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:

Вычислим угловые миноры:

третий определитель я раскрою по 3-й строке:

Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.

Квадратичная форма от переменных состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:

Пары подобных членов записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.

Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных через X - строку т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда

Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.

В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности) порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.

Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных имеющей непрерывные частные производные до порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка давала максимум или минимум функции является равенство нулю частных производных порядка в точке Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным х и у малые приращения и к и рассмотрим соответствующее приращение функции Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно квадратичной форме где - значения вторых производных вычисленные в точке Если эта квадратичная форма положительна при всех значениях и к (кроме ), то функция имеет минимум в точке если отрицательна, то - максимум. Наконец, если форма принимает и положительные и отрицательные значения, то не будет ни максимума, ни минимума. Аналогичным образом исследуются и функции от большего числа переменных.

Изучение квадратичных форм в основном заключается в исследовании проблемы эквивалентности форм относительно той или другой совокупности линейных преобразований переменных. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую посредством одного из преобразований данной совокупности. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема приведения формы, т. о. преобразования ее к некоторому возможно простейшему виду.

В различных вопросах, связанных с квадратичными формами, рассматриваются и различные совокупности допустимых преобразований переменных.

В вопросах анализа применяются любые неособенные преобразования переменных; для целей аналитической геометрии наибольший интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. те, которым соответствует переход от одной системы переменных декартовых координат к другой. Наконец, в теории чисел и в кристаллографии рассматриваются линейные преобразования с целыми коэффициентами и с определителем, равным единице.

Мы рассмотрим из этих задач две: вопрос о приведении квадратичной формы К простейшему виду посредством любых неособенных преобразований и тот же вопрос для преобразований ортогональных. Прежде всего выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.

Пусть , где А - симметричная матрица из коэффициентов формы, X - столбец из переменных.

Сделаем линейное преобразование переменных, записав его сокращенно . Здесь С обозначает матрицу коэффициентов этого преобразования, X - столбец из новых переменных. Тогда и, следовательно, так что матрицей преобразованной квадратичной формы является

Матрица автоматически оказывается симметричной, что легко проверяется. Таким образом, задача о приведении квадратичной формы к простейшему виду равносильна задаче о приведении к простейшему виду симметричной матрицы посредством умножения ее слева и справа на взаимно транспонированные матрицы.

Квадратичные формы

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij = a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма
f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид ), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 –
- 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 при y 3 и два отрицательных коэффициента (-3) при y 1 и y 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 при y 1 и два отрицательных – (-5) при y 2 и (-1/20) при y 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно ) определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.