Dijeljenje kruga na jednake dijelove (kako podijeliti). Dijeljenje kruga na bilo koji broj jednakih dijelova

Da biste podijelili krug na pola, dovoljno je nacrtati bilo koji promjer. Dva međusobno okomita promjera podijelit će krug na četiri jednaka dijela (slika 28, a). Dijeljenjem svakog četvrtog dijela na pola dobit ćete osmi dio, a daljnjim dijeljenjem - šesnaesti, trideset drugi dio itd. (Slika 28, b). Spojite li točke dijeljenja ravnim crtama, tada možete dobiti stranice pravilnog upisanog kvadrata ( a 4 ), osmerokut ( a 8 ) i T . d. (Slika 28, c).

Slika 28

Dijeljenje kruga na 3, 6, 12 itd. jednake dijelove, i konstrukcija odgovarajućih pravilnih upisanih poligona provedeno na sljedeći način. U kružnici su nacrtana dva međusobno okomita promjera 1–2 I 3–4 (Slika 29 a). Od bodova 1 I 2 kako se iz središta opisuju lukovi s polumjerom kružnice R prije nego ga presijeku u točkama A, B, C I D . Bodovi A , B , 1, C, D I 2 krug podijelite na šest jednakih dijelova. Te iste točke, uzete kroz jednu, podijelit će krug na tri jednaka dijela (slika 29, b). Da biste krug podijelili na 12 jednakih dijelova, opišite još dva luka polumjerom kruga iz točaka 3 I 4 (Slika 29, c).

Slika 29

Pomoću ravnala i kvadrata od 30 i 60° možete konstruirati i pravilne upisane trokute, šesterokute itd. Slika 30 prikazuje sličnu konstrukciju za upisani trokut.

Slika 30

Dijeljenje kruga na sedam jednakih dijelova a konstrukcija pravilnog upisanog sedmerokuta (slika 31) izvodi se pomoću polovice stranice upisanog trokuta, pribl. jednaka strana upisanog sedmerokuta.

Slika 31

Podijeliti krug na pet ili deset jednakih dijelova nacrtajte dva međusobno okomita promjera (slika 32, a). Radius O.A. podijeliti na pola i, primivši bod U , opišite luk iz njega s radijusom R=BC dok se ne presječe u točki D s horizontalnim promjerom. Udaljenost između točaka C I D jednaka duljini stranice pravilnog upisanog peterokuta ( a 5 ), i segment O.D. jednaka duljini stranice pravilnog upisanog deseterokuta ( a 10 ). Podjela kruga na pet i deset jednakih dijelova, kao i konstrukcija upisanih pravilnih pentagona i deseterokuta prikazani su na slici 32, b. Primjer upotrebe podjele kruga na pet dijelova je petokraka zvijezda(Slika 32, c).

Slika 32

Slika 33 prikazuje opća metoda približne podjele kruga na jednake dijelove . Pretpostavimo da želite podijeliti krug na devet jednakih dijelova. U krugu su nacrtana dva međusobno okomita promjera i okomiti promjer AB podijeljen na devet jednakih dijelova pomoću pomoćne ravne linije (slika 33, a). Od točke B opiši luk s radijusom R = AB, a na njegovom sjecištu s nastavkom horizontalnog promjera dobivaju se točke S I D . Od bodova C I D kroz točke podjele parnog ili neparnog promjera AB provoditi zrake. Točke sjecišta zraka s krugom podijelit će ga na devet jednakih dijelova (slika 33, b).

Kružnica je zatvorena zakrivljena linija, čija se svaka točka nalazi na istoj udaljenosti od jedne točke O, koja se naziva središte.

Ravne linije koje povezuju bilo koju točku kružnice s njezinim središtem nazivaju se radijusi R.

Pravac AB koji spaja dvije točke kružnice i prolazi kroz njezino središte O naziva se promjer D.

Dijelovi kružnica nazivaju se lukovi.

Pravac CD koji povezuje dvije točke kružnice naziva se akord.

Pravac MN koji s kružnicom ima samo jednu zajedničku točku nazivamo tangens.

Dio kružnice omeđen tetivom CD i lukom naziva se segment.

Dio kružnice omeđen dvama radijusima i lukom naziva se sektor.

Dvije međusobno okomite vodoravne i okomite crte koje se sijeku u središtu kruga nazivaju se osi kruga.

Kut koji čine dva polumjera KOA naziva se središnji kut.

Dva međusobno okomiti radijus napraviti kut od 90 0 i ograničiti 1/4 kruga.

Dijeljenje kruga na dijelove

Crtamo krug s horizontalnom i vertikalnom osi, koje ga dijele na 4 jednaka dijela. Crtanjem šestarom ili kvadratom na 45 0 dvije međusobno okomite crte dijele krug na 8 jednakih dijelova.

Dijeljenje kruga na 3 i 6 jednakih dijelova (višestruki od 3 prema tri)

Da biste krug podijelili na 3, 6 i više njih, nacrtajte krug zadanog radijusa i odgovarajuće osi. Podjela može započeti od sjecišta vodoravne ili okomite osi s kružnicom. Navedeni radijus kružnice ucrtava se 6 puta uzastopno. Zatim se dobivene točke na krugu uzastopno povezuju ravnim linijama i tvore pravilan upisani šesterokut. Spajanje točaka kroz jednu daje jednakostranični trokut, a dijeljenje kruga na tri jednaka dijela.

Konstrukcija pravilnog peterokuta izvodi se na sljedeći način. Nacrtamo dvije međusobno okomite osi kruga jednake promjeru kruga. Podijelite desnu polovicu horizontalnog promjera na pola pomoću luka R1. Iz dobivene točke "a" u sredini ovog segmenta s radijusom R2 nacrtajte kružni luk dok se ne presiječe s horizontalnim promjerom u točki "b". Polumjerom R3 iz točke “1” nacrtati kružni luk dok se ne siječe sa zadanom kružnicom (točka 5) i dobiti stranicu pravilnog peterokuta. Udaljenost "b-O" daje stranicu pravilnog deseterokuta.

Dijeljenje kruga na N identičnih dijelova (konstruiranje pravilnog mnogokuta s N stranica)

To se radi na sljedeći način. Crtamo horizontalnu i vertikalnu međusobno okomitu os kružnice. Od gornje točke "1" kruga nacrtajte ravnu liniju pod proizvoljnim kutom u odnosu na okomitu os. Na njemu položimo jednake segmente proizvoljne duljine, čiji je broj jednak broju dijelova na koje dijelimo dati krug, na primjer 9. Kraj posljednjeg segmenta povezujemo s donjom točkom okomitog promjera . Povlačimo linije paralelne s rezultirajućom od krajeva izdvojenih segmenata dok se ne sijeku s okomitim promjerom, čime se vertikalni promjer danog kruga dijeli na zadani broj dijelova. Polumjerom jednakim promjeru kružnice, iz donje točke okomite osi povlačimo luk MN dok se ne siječe s nastavkom vodoravne osi kružnice. Iz točaka M i N povlačimo zrake kroz parne (ili neparne) dionice okomitog promjera dok se ne sijeku s kružnicom. Rezultirajući segmenti kruga bit će traženi, jer točke 1, 2, …. 9 podijeli krug na 9 (N) jednakih dijelova.

Da biste pronašli središte kružnog luka, potrebno je izvršiti sljedeće konstrukcije: na ovom luku označimo četiri proizvoljne točke A, B, C, D i povežemo ih u parovima s tetivama AB i CD. Svaku tetivu šestarom podijelimo na pola i tako dobijemo okomicu koja prolazi kroz sredinu odgovarajuće tetive. Međusobno sjecište ovih okomica daje središte zadanog luka i njemu pripadnu kružnicu.

Dijeljenje kruga na tri jednaka dijela. Ugradite kvadrat s kutovima od 30 i 60° s velikom krakom paralelnom s jednom od središnjih linija. Duž hipotenuze iz točke 1 (prva podjela) povući akord (sl. 2.11, A), dobivamo drugi razdjeljak - točka 2. Okretanjem kvadrata i povlačenjem druge akorde dobivamo treći razdjeljak - točku 3 (Sl. 2.11, b). Spojne točke 2 i 3; 3 I 1 ravnih linija, dobivamo jednakostranični trokut.

Riža. 2.11.

a, b – c korištenje kvadrata; V- pomoću kompasa

Isti problem može se riješiti pomoću kompasa. Postavljanjem potporne noge šestara na donji ili gornji kraj promjera (Sl. 2.11, V), opišite luk čiji je polumjer jednak polumjeru kružnice. Dobiti prvu i drugu diviziju. Treća podjela je na suprotnom kraju promjera.

Dijeljenje kruga na šest jednakih dijelova

Otvor kompasa je postavljen jednak polumjeru R krugovi. Od krajeva jednog od promjera kruga (od točaka 1, 4 ) opisuju lukove (Sl. 2.12, a, b). Bodovi 1, 2, 3, 4, 5, 6 krug podijelite na šest jednakih dijelova. Spajajući ih ravnim linijama, dobivate pravilni šesterokut (Sl. 2.12, b).

Riža. 2.12.

Isti zadatak može se izvršiti pomoću ravnala i kutnika s kutovima od 30 i 60° (slika 2.13). Hipotenuza trokuta mora prolaziti kroz središte kruga.

Riža. 2.13.

Dijeljenje kruga na osam jednakih dijelova

Bodovi 1, 3, 5, 7 leže na sjecištu središnjih linija s kružnicom (slika 2.14). Još četiri točke nalaze se pomoću kvadrata od 45°. Prilikom primanja bodova 2, 4, 6, 8 Hipotenuza trokuta prolazi središtem kružnice.

Riža. 2.14.

Dijeljenje kruga na bilo koji broj jednakih dijelova

Da biste krug podijelili na bilo koji broj jednakih dijelova, upotrijebite koeficijente dane u tablici. 2.1.

Duljina l tetiva koja je ucrtana na zadanu kružnicu određena je formulom l = dk, Gdje l– duljina tetive; d– promjer zadane kružnice; k– koeficijent određen prema tablici. 1.2.

Tablica 2.1

Koeficijenti za dijeljenje krugova

Da biste krug zadanog promjera od 90 mm, na primjer, podijelili na 14 dijelova, postupite na sljedeći način.

U prvom stupcu tablice. 2.1 pronaći broj podjela P, oni. 14. Ispišite koeficijent iz drugog stupca k, koji odgovara broju podjela P. U ovom slučaju jednak je 0,22252. Promjer zadane kružnice množi se s koeficijentom da bi se dobila duljina tetive l=dk= 90 0,22252 = 0,22 mm. Rezultirajuća duljina tetive ucrtava se mjernim šestarom 14 puta na zadanu kružnicu.

Pronalaženje središta luka i određivanje polumjera

Zadan je kružni luk čije središte i polumjer nisu poznati.

Da biste ih odredili, morate nacrtati dvije neparalelne tetive (Sl. 2.15, A) i vratite okomice na središta tetiva (Sl. 2.15, b). Centar OKO luk je u sjecištu ovih okomica.

Riža. 2.15.

prijatelji

Pri izradi strojarskih crteža, kao i kod označavanja dijelova u proizvodnji, često je potrebno glatko povezati ravne linije kružnim lukovima ili kružni luk s lukovima drugih kružnica, tj. izvršiti uparivanje.

Uparivanje zove se glatki prijelaz ravne linije u kružni luk ili jednog luka u drugi.

Da biste konstruirali parnjake, trebate znati radijus parnjaka, pronaći središta iz kojih su povučeni lukovi, tj. mate centri(Slika 2.16). Zatim treba pronaći točke u kojima jedna linija prelazi u drugu, tj. mate bodova. Prilikom izrade crteža, spojne linije moraju se dovesti točno do ovih točaka. Točka konjugacije kružnog luka i ravne crte leži na okomici, spuštenoj od središta luka do spojne ravne crte (Sl. 2.17, A), ili na liniji koja povezuje središta parnih lukova (Sl. 2.17, b). Stoga, da biste konstruirali bilo koju konjugaciju s lukom zadanog radijusa, trebate pronaći mate centar I točka (bodova) uparivanje.

Riža. 2.16.

Riža. 2.17.

Konjugacija dviju ravnih linija koje se sijeku s lukom zadanog radijusa. Date su ravne linije koje se sijeku pod pravim, oštrim i tupim kutom (Sl. 2.18, A). Potrebno je konstruirati parove ovih ravnih linija s lukom zadanog radijusa R.

Riža. 2.18.

Za sva tri slučaja može se primijeniti sljedeća konstrukcija.

1. Pronađite točku OKO– središte mate, koje bi trebalo ležati na udaljenosti R sa stranica kuta, tj. u točki sjecišta linija koje idu paralelno sa stranicama kuta na udaljenosti R od njih (sl. 2.18, b).

Za crtanje ravnih linija paralelnih sa stranicama kuta iz proizvoljnih točaka uzetih na ravnim linijama pomoću rješenja šestara jednakog R, napravite zareze i nacrtajte tangente na njih (Sl. 2.18, b).

• 2. Pronađite spojne točke (Sl. 2.18, c). Da biste to učinili s točke OKO spustiti okomice na zadane pravce.
• 3. Iz točke O, kao iz središta, opiši luk zadanog polumjera R između točaka sučelja (slika 2.18, c).

Dijeljenje kružnice na četiri jednaka dijela i konstruiranje pravilnog upisanog četverokuta(slika 6).

Dvije međusobno okomite središnje crte dijele krug na četiri jednaka dijela. Spajanjem sjecišta tih pravaca s kružnicom ravnim crtama dobiva se pravilan upisani četverokut.

Podjela kruga na osam jednakih dijelova i konstruiranje pravilnog upisanog osmerokuta(slika 7).

Krug je šestarom podijeljen na osam jednakih dijelova na sljedeći način.

Iz točaka 1 i 3 (točke sjecišta središnjica s kružnicom) povlače se lukovi proizvoljnog polumjera R dok se međusobno ne sijeku, a iz točke 5 pravi se zarez istog polumjera na luku povučenom iz točke 3.

Kroz sjecišta serifa i središte kruga povlače se ravne linije dok se ne sijeku s krugom u točkama 2, 4, 6, 8.

Ako se dobivenih osam točaka uzastopno poveže ravnim linijama, dobit ćete pravilan upisani osmerokut.

Dijeljenje kružnice na tri jednaka dijela i konstruiranje pravilnog upisanog trokuta(slika 8).

Opcija 1.

Kada šestarom dijelite krug na tri jednaka dijela, iz bilo koje točke na krugu, na primjer, točke A sjecišta središnjih linija s krugom, nacrtajte luk polumjera R jednakog polumjeru kruga, dobivajući točke 2 i 3. Treća točka podjele (točka 1) nalazit će se na suprotnom kraju promjera koji prolazi kroz točku A. Sekvencijalnim spajanjem točaka 1, 2 i 3 dobiva se pravilan upisani trokut.

opcija 2.

Prilikom konstruiranja pravilnog upisanog trokuta, ako je dan jedan od njegovih vrhova, na primjer točka 1, pronađite točku A. Da biste to učinili, kroz dana točka izvesti promjer (slika 8). Točka A će se nalaziti na suprotnom kraju ovog promjera. Zatim se nacrta luk polumjera R jednakog polumjeru zadane kružnice, dobiju se točke 2 i 3.

Dijeljenje kruga na šest jednakih dijelova i konstruiranje pravilnog upisanog šesterokuta(Slika 9).

Kada šestarom dijelimo krug na šest jednakih dijelova, iz dva kraja istog promjera povlače se lukovi s polumjerom jednakim polumjeru zadane kružnice dok se ne sijeku s kružnicom u točkama 2, 6 i 3, 5. Po sekvencijskim povezivanjem rezultirajućih točaka, dobiva se pravilan upisani šesterokut.

Podjela kruga na dvanaest jednakih dijelova i konstruiranje pravilnog upisanog dvanaesterokuta(slika 10).

Pri dijeljenju kruga šestarom, sa četiri kraja dvaju međusobno okomitih promjera kruga, povlači se luk polumjera jednakog polumjeru zadane kružnice do presjeka s kružnicom (slika 10). Spajanjem sekvencijalno dobivenih presječnih točaka dobiva se pravilni upisani dvanaesterokut.

Dijeljenje kruga na pet jednakih dijelova i konstruiranje pravilnog upisanog peterokuta ( Slika 11).

Kod dijeljenja kruga šestarom polovica bilo kojeg promjera (radijusa) podijeli se na pola, dobije se točka A. Iz točke A, kao iz središta, nacrtajte luk polumjera jednakog udaljenosti od točke A do točke 1. , dok se ne siječe s drugom polovicom ovog promjera u točki B. Segment 1B jednak je tetivi koja spaja luk čija je duljina jednaka 1/5 opsega. Praveći zareze na krugu radijusa R1 jednakog segmentu 1B, podijelite krug na pet jednakih dijelova. Polazna točka A odabire se ovisno o položaju peterokuta.

Od točke 1 konstruirati točke 2 i 5, zatim od točke 2 konstruirati točku 3, a od točke 5 konstruirati točku 4. Udaljenost od točke 3 do točke 4 provjerava se šestarom; ako je udaljenost između točaka 3 i 4 jednaka segmentu 1B, tada je konstrukcija izvedena točno.

Nemoguće je napraviti zareze uzastopno, u jednom smjeru, jer se pogreške mjerenja nakupljaju i posljednja strana peterokuta ispada iskrivljena. Sekvencijskim povezivanjem pronađenih točaka dobiva se pravilan upisani peterokut.

Dijeljenje kružnice na deset jednakih dijelova i konstruiranje pravilnog upisanog deseterokuta(slika 12).

Dijeljenje kruga na deset jednakih dijelova provodi se slično kao i dijeljenje kruga na pet jednakih dijelova (sl. 11), ali prvo podijelite krug na pet jednakih dijelova, počevši s konstrukcijom od točke 1, a zatim od točke 6, koja se nalazi na suprotni kraj promjera. Serijskim povezivanjem svih točaka dobiva se pravilan upisani deseterokut.

Podjela kruga na sedam jednakih dijelova i konstruiranje pravilnog upisanog sedmokuta(slika 13).

Iz bilo koje točke na kružnici, na primjer točke A, povlači se luk polumjera dane kružnice sve dok se ne siječe s kružnicom u točkama B i D ravne linije.

Polovica dobivenog segmenta (u ovom slučaju segment BC) bit će jednaka tetivi koja spaja luk koji čini 1/7 opsega. S polumjerom jednakim segmentu BC, zarezi se prave na krugu u nizu prikazanom prilikom konstruiranja pravilnog peterokuta. Spajanjem svih točaka redom dobiva se pravilan upisani sedmerokut.

Dijeljenje kruga na četrnaest jednakih dijelova i konstruiranje pravilnog upisanog četverokuta (slika 14).

Dijeljenje kruga na četrnaest jednakih dijelova provodi se slično kao i dijeljenje kruga na sedam jednakih dijelova (slika 13), ali prvo podijelite krug na sedam jednakih dijelova, počevši konstrukciju od točke 1, a zatim od točke 8, koja se nalazi na suprotni kraj promjera. Povezivanjem svih točaka u nizu dobiva se pravilan upisani četverokut.

Tijekom obnove često se morate nositi s krugovima, pogotovo ako želite stvoriti zanimljive i originalne ukrasne elemente. Također ih često morate podijeliti na jednake dijelove. Postoji nekoliko metoda za to. Na primjer, možete nacrtati pravilan poligon ili koristiti alate poznate svima od škole. Dakle, da biste krug podijelili na jednake dijelove, trebat će vam sam krug s jasno definiranim središtem, olovka, kutomjer, kao i ravnalo i šestar.

Dijeljenje kruga kutomjerom

Podijeliti krug na jednake dijelove pomoću gore spomenutog alata možda je najjednostavnije. Poznato je da krug ima 360 stupnjeva. Dijeleći ovu vrijednost sa potrebna količina dijelova, možete saznati koliko će svaki dio uzeti (vidi sliku).

Zatim, počevši od bilo koje točke, možete napraviti bilješke koje odgovaraju izvršenim izračunima. Ova metoda je dobra kada trebate podijeliti krug s 5, 7, 9 itd. dijelovi. Na primjer, ako oblik treba podijeliti na 9 dijelova, oznake će biti na 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280 i 320 stupnjeva.

Podjela na 3 i 6 dijelova

Da biste pravilno podijelili krug na 6 dijelova, možete koristiti svojstvo pravilnog šesterokuta, tj. njegova najduža dijagonala mora biti dvostruko veća od duljine stranice. Za početak, šestar se mora rastegnuti na duljinu jednaku polumjeru figure. Zatim, ostavljajući jednu od nogu alata u bilo kojoj točki kruga, drugu treba napraviti zarez, nakon čega ćete, ponavljajući manipulacije, moći napraviti šest točaka, spajajući ih možete dobiti šesterokut ( vidi fotografiju).

Spajanjem vrhova lika kroz jedan dobiva se pravilan trokut, te se prema tome lik može podijeliti na 3 jednaka dijela, a spajanjem svih vrhova i provlačenjem dijagonala kroz njih, možete podijeliti lik na 6 dijelova.

Podjela na 4 i 8 dijelova

Ako krug treba podijeliti na 4 jednaka dijela, prije svega morate nacrtati promjer figure. To će vam omogućiti da dobijete dva od potrebna četiri boda odjednom. Zatim morate uzeti šestar, rastegnuti njegove noge duž promjera, zatim ostaviti jednu od njih na jednom kraju promjera, a druge napraviti zareze izvan kruga odozdo i odozgo (vidi sliku).

Isto se mora učiniti za drugi kraj promjera. Nakon toga se dobivene točke izvan kruga spajaju pomoću ravnala i olovke. Rezultirajuća linija bit će drugi promjer, koji će ići jasno okomito na prvi, zbog čega će lik biti podijeljen na 4 dijela. Da bismo dobili npr. 8 jednakih dijelova, dobivene prave kutove možemo podijeliti na pola i kroz njih povući dijagonale.