Kako pronaći jednadžbu tangentne ravnine. Tangentna ravnina. Kako napisati jednadžbe tangentne ravnine i normale u točki, ako je površina dana eksplicitnom funkcijom

Tema "Kutni koeficijent tangente kao tangenta kuta nagiba" na certifikacijskom ispitu dobiva nekoliko zadataka odjednom. Ovisno o svom stanju, od diplomanta se može zahtijevati i potpun i kratak odgovor. Prilikom pripreme za ispit iz matematike student svakako treba ponoviti zadatke u kojima je potrebno izračunati nagib tangente.

Obrazovni portal Shkolkovo pomoći će vam u tome. Naši stručnjaci pripremili su i prezentirali teorijski i praktični materijal što je moguće pristupačniji. Nakon što se s njim upoznaju, maturanti s bilo kojom razinom osposobljenosti moći će uspješno rješavati probleme vezane uz derivacije, u kojima je potrebno pronaći tangentu nagiba tangente.

Osnovni momenti

Za pronalaženje ispravnog i racionalnog rješenja takvih zadataka u USE-u, potrebno je podsjetiti se na osnovnu definiciju: derivacija je brzina promjene funkcije; jednaka je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u određenoj točki. Jednako je važno dovršiti crtež. Omogućit će vam da pronađete ispravno rješenje za USE probleme na derivaciji, u kojoj je potrebno izračunati tangentu nagiba tangente. Radi jasnoće, najbolje je nacrtati graf na ravnini OXY.

Ako ste se već upoznali s osnovnim materijalom na temu derivacije i spremni ste započeti rješavanje zadataka za izračunavanje tangente nagiba tangente, slično USE zadacima, to možete učiniti online. Za svaki zadatak, npr. zadatke na temu „Odnos derivacije s brzinom i akceleracijom tijela“, zapisali smo točan odgovor i algoritam rješenja. U tom slučaju učenici mogu vježbati izvođenje zadataka različite razine složenosti. Ako je potrebno, vježbu možete spremiti u odjeljak "Favoriti" kako biste kasnije o odluci razgovarali s učiteljem.

Neka je dana funkcija f koja u nekoj točki x 0 ima konačan izvod f (x 0). Tada pravac koji prolazi točkom (x 0; f (x 0)), koja ima nagib f '(x 0), naziva se tangenta.

Ali što se događa ako derivacija u točki x 0 ne postoji? Postoje dvije opcije:

1. Tangenta na graf također ne postoji. Klasičan primjer je funkcija y = |x | u točki (0; 0).
2. Tangenta postaje okomita. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u točki (1; π /2).

Jednadžba tangente

Svaka neokomita ravna crta dana je jednadžbom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangenta nije iznimka, a da bi se sastavila njena jednadžba u nekoj točki x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj točki.

Dakle, neka je funkcija data y = f (x), koja ima derivaciju y = f '(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj točki x 0 ∈ (a; b) može povući tangenta na graf ove funkcije, koja je dana jednadžbom:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ovdje je f ’(x 0) vrijednost derivacije u točki x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadana je funkcija y = x 3 . Napišite jednadžbu za tangentu na graf ove funkcije u točki x 0 = 2.

Jednadžba tangente: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Točka x 0 = 2 nam je dana, ali će se morati izračunati vrijednosti f (x 0) i f '(x 0).

Prvo, pronađimo vrijednost funkcije. Ovdje je sve jednostavno: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sada pronađimo derivaciju: f '(x) = (x 3) ' = 3x 2;
Zamjena u izvodu x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tako dobivamo: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ovo je jednadžba tangente.

Zadatak. Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d 2sin x + 5 u točki x 0 \u003d π / 2.

Ovaj put nećemo detaljno opisivati ​​svaku radnju - samo ćemo naznačiti ključne korake. Imamo:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangentna jednadžba:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

U potonjem slučaju, linija se pokazala vodoravnom, jer njegov nagib k = 0. U tome nema ništa loše - upravo smo naišli na točku ekstrema.

Površina je definirana kao skup bodova , koordinate koji zadovoljavaju određenu vrstu jednadžbi:

Ako je funkcija F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) stalan u nekoj točki i ima kontinuirane parcijalne derivacije u sebi, od kojih barem jedan ne nestaje, tada će u susjedstvu ove točke površina zadana jednadžbom (1) biti ispravna površina.

Pored navedenog implicitni način postavljanja, površina se može definirati jasno, ako se jedna od varijabli, na primjer, z, može izraziti u terminima ostalih:

strože, jednostavna površina naziva slika homeomorfna preslikavanje (to jest, jedno-na-jedan i međusobno kontinuirano preslikavanje) unutrašnjosti jediničnog kvadrata. Ova se definicija može dati analitički izraz.

Neka je na ravnini s danim pravokutnim koordinatnim sustavom u i v kvadrat, čije koordinate unutarnjih točaka zadovoljavaju nejednakosti 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с pravokutni koordinatni sustav x, y, z je dano formulama x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) ( parametarska definicija površine). U ovom slučaju, funkcije x(u, v), y(u, v) i z(u, v) moraju biti stalan te da su za različite točke (u, v) i (u", v") odgovarajuće točke (x, y, z) i (x", y", z") različite.

Primjer jednostavna površina je hemisfera. Sve isto sfera nije jednostavna površina. To zahtijeva daljnju generalizaciju pojma površine.

Podskup prostora u kojem svaka točka ima susjedstvo koje je jednostavna površina, Zove se ispravna površina .

Površina u diferencijalnoj geometriji

Helikoidni

katenoid

metrika ne određuje jednoznačno oblik površine. Na primjer, metrika helikoidni i katenoid, parametrizirani u skladu s tim, podudaraju se, odnosno postoji korespondencija između njihovih regija koja čuva sve duljine ( izometrija). Svojstva koja se čuvaju pri izometrijskim transformacijama nazivaju se unutarnja geometrija površine. Unutarnja geometrija ne ovisi o položaju površine u prostoru i ne mijenja se kada se savija bez napetosti i kompresije (npr. cilindar u konus) .

Metrički koeficijenti E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) odrediti ne samo duljine svih krivulja, već općenito rezultate svih mjerenja unutar površine (kutovi, površine, zakrivljenost i tako dalje.). Dakle, sve što ovisi samo o metrici odnosi se na unutarnju geometriju.

Normalni i normalni dio

Normalni vektori u površinskim točkama

Jedna od glavnih karakteristika površine je njezina normalan - jedinični vektor okomit na tangentnu ravninu u danoj točki:

Predznak normale ovisi o izboru koordinata.

Presjek površine ravninom koja sadrži normalu površine u danoj točki tvori određenu krivulju, koja se naziva normalni dio površine. Glavno normalno jer se normalni presjek poklapa s normalom na površinu (do predznaka).

Ako krivulja na površini nije normalni presjek, tada njena glavna normala tvori kut s normalom površine θ (\displaystyle \theta). Zatim zakrivljenost k (\displaystyle k) krivulja je povezana sa zakrivljenošću k n (\displaystyle k_(n)) normalni presjek (s istom tangentom) Meunierova formula :

Koordinate vektora normale za različite načine specificiranja površine date su u tablici:

Ovdje D (y, z) D (u, v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z, x) D (u, v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Sve izvedenice uzimaju se u točki (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Zakrivljenost

Za različite smjerove u danoj točki plohe dobiva se različita zakrivljenost normalnog presjeka, što se naziva normalna zakrivljenost; dodjeljuje mu se znak plus ako glavna normala krivulje ide u istom smjeru kao i normala na površinu, ili znak minus ako su smjerovi normala suprotni.

Općenito govoreći, u svakoj točki na površini postoje dva okomita smjera e 1 (\displaystyle e_(1)) i e 2 (\displaystyle e_(2)), u kojem normalna zakrivljenost poprima minimalne i maksimalne vrijednosti; ti se pravci nazivaju glavni. Iznimka je slučaj kada je normalna zakrivljenost jednaka u svim smjerovima (na primjer, na sferi ili na kraju elipsoidni rotacija), tada su svi smjerovi u točki glavni.

Površine s negativnom (lijevo), nultom (u sredini) i pozitivnom (desno) zakrivljenjem.

Normalne zakrivljenosti u glavnim smjerovima nazivaju se glavne zakrivljenosti; označimo ih κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) i κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Veličina:

pozvao Gaussova zakrivljenost , puna zakrivljenost ili samo zakrivljenost površine. Postoji i pojam skalar zakrivljenosti, što znači rezultat zavoji tenzor zakrivljenosti; u ovom slučaju, skalar zakrivljenosti je dvostruko veći od Gaussove zakrivljenosti.

Gaussova zakrivljenost može se izračunati putem metrike i stoga je objekt intrinzične geometrije površina (imajte na umu da se glavne zakrivljenosti ne primjenjuju na unutarnju geometriju). Po znaku zakrivljenosti možete klasificirati točke površine (vidi sliku). Zakrivljenost ravnine je nula. Zakrivljenost kugle polumjera R svuda je jednaka 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Postoji i površina stalne negativne zakrivljenosti -

Naime, o onome što vidite u naslovu. U suštini, ovo je "prostorni analog" problemi nalaženja tangente i normalne na graf funkcije jedne varijable, te stoga ne bi trebalo nastati poteškoće.

Počnimo s osnovnim pitanjima: ŠTO JE tangentna ravnina, a ŠTO JE normala? Mnogi su svjesni ovih koncepata na razini intuicije. Najjednostavniji model koji vam pada na pamet je lopta na kojoj leži tanak ravni karton. Karton se nalazi što bliže sferi i dodiruje je u jednoj točki. Osim toga, na mjestu kontakta, fiksira se iglom koja se zabode ravno prema gore.

U teoriji postoji prilično duhovita definicija tangentne ravnine. Zamislite proizvoljno površinski i točka koja joj pripada. Očito je da puno toga prolazi kroz točku. prostorne linije koji pripadaju ovoj površini. Tko ima kakve udruge? =) …Osobno sam predstavio hobotnicu. Pretpostavimo da svaka takva linija ima prostorna tangenta u točki .

Definicija 1: tangentna ravnina na površinu u točki je avion, koji sadrži tangente na sve krivulje koje pripadaju danoj površini i prolaze kroz točku .

Definicija 2: normalan na površinu u točki je ravno prolazeći kroz zadanu točku okomito na tangentnu ravninu.

Jednostavno i elegantno. Usput, kako ne biste umrli od dosade od jednostavnosti materijala, malo kasnije podijelit ću s vama jednu elegantnu tajnu koja vam omogućuje da zaboravite na trpanje raznih definicija JEDNOM ZA SVAKADA.

Upoznat ćemo se s radnim formulama i algoritmom rješenja izravno na konkretnom primjeru. U velikoj većini problema potrebno je sastaviti i jednadžbu tangentne ravnine i jednadžbu normale:

Primjer 1

Odluka:ako je površina dana jednadžbom (tj. implicitno), tada se jednadžba tangentne ravnine na danu površinu u točki može pronaći sljedećom formulom:

Posebnu pažnju posvećujem neobičnim parcijalnim izvedenicama – njihovim ne treba zbuniti s parcijalne derivacije implicitno zadane funkcije (iako je površina implicitno definirana). Pri pronalaženju ovih izvedenica treba se voditi pravila za razlikovanje funkcije od tri varijable, odnosno, kada se diferencira s obzirom na bilo koju varijablu, druga dva slova smatraju se konstantama:

Bez odstupanja od blagajne, nalazimo djelomičnu izvedenicu u točki:

Slično:

To je bio najneugodniji trenutak odluke u kojem se greška, ako nije dopuštena, neprestano umišlja. Međutim, ovdje postoji učinkovita tehnika provjere, o kojoj sam govorio u lekciji. Smjerna derivacija i gradijent.

Svi "sastojci" su pronađeni, a sada je na pažljivoj zamjeni s daljnjim pojednostavljenjima:

– opća jednadžbaželjenu tangentnu ravninu.

Toplo preporučujem da provjerite ovu fazu odluke. Prvo morate biti sigurni da koordinate dodirne točke stvarno zadovoljavaju pronađenu jednadžbu:

- istinska jednakost.

Sada "uklanjamo" koeficijente opće jednadžbe ravnine i provjeravamo ih podudarnost ili proporcionalnost s odgovarajućim vrijednostima. U ovom slučaju oni su proporcionalni. Kao što se sjećate iz tečaj analitičke geometrije, - Ovo normalni vektor tangentna ravnina, a on - vodeći vektor normalna ravna linija. Skladajmo kanonske jednadžbe normale po vektoru točke i smjera:

U principu, nazivnici se mogu smanjiti za "dvojku", ali za to nema posebne potrebe.

Odgovor:

Nije zabranjeno jednadžbe označavati nekim slovima, ali opet - zašto? Ovdje i tako je vrlo jasno što je što.

Sljedeća dva primjera su za neovisno rješenje. Mala "matematička okretnica jezika":

Primjer 2

Nađite jednadžbe tangentne ravnine i normale na površinu u točki .

I zadatak zanimljiv s tehničkog stajališta:

Primjer 3

Sastavite jednadžbe tangentne ravnine i normale na površinu u točki

U točki.

Sva je prilika ne samo da se zbunite, već i da se suočite s poteškoćama prilikom pisanja. kanonske jednadžbe pravca. A normalne jednadžbe, kao što ste vjerojatno shvatili, obično se pišu u ovom obliku. Iako je, zbog zaborava ili nepoznavanja nekih nijansi, parametarski oblik više nego prihvatljiv.

Primjeri završnih rješenja na kraju lekcije.

Postoji li tangentna ravnina u bilo kojoj točki površine? Općenito, naravno da ne. Klasičan primjer je konusna površina i točka - tangente u ovoj točki izravno tvore stožastu površinu i, naravno, ne leže u istoj ravnini. Lako je provjeriti nesklad i analitički: .

Drugi izvor problema je činjenica ne postojanje neki djelomični derivat u točki. Međutim, to ne znači da u danoj točki ne postoji jedna tangentna ravnina.

Ali to je bila prije popularna znanstvena nego praktički značajna informacija, a mi se vraćamo na hitne stvari:

Kako napisati jednadžbe tangentne ravnine i normale u točki,
ako je površina dana eksplicitnom funkcijom?

Prepišimo to implicitno:

I po istim principima nalazimo parcijalne derivacije:

Dakle, formula tangentne ravnine pretvara se u sljedeću jednadžbu:

I prema tome, kanonske jednadžbe normale:

Kao što je lako pogoditi - to je stvarno" parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli u točki , koju smo označavali slovom "Z" i pronašli 100500 puta.

Imajte na umu da je u ovom članku dovoljno zapamtiti prvu formulu, iz koje je, ako je potrebno, lako izvesti sve ostalo. (očito, imati osnovnu razinu obuke). Upravo taj pristup treba koristiti u toku proučavanja egzaktnih znanosti, t.j. iz minimuma informacija treba nastojati “izvući” maksimum zaključaka i posljedica. "Soobrazhalovka" i već postojeće znanje u pomoć! Ovaj princip je također koristan jer će vas vrlo vjerojatno spasiti u kritičnoj situaciji kada znate vrlo malo.

Razradimo "modificirane" formule s nekoliko primjera:

Primjer 4

Sastavite jednadžbe tangentne ravnine i normale na površinu u točki .

Ovdje se ispostavilo malo preklapanje sa simbolima - sada slovo označava točku ravnine, ali što možete učiniti - tako popularno slovo ....

Odluka: sastavit ćemo jednadžbu željene tangentne ravnine prema formuli:

Izračunajmo vrijednost funkcije u točki:

Izračunaj parcijalne izvedenice 1. reda u ovom trenutku:

Tako:

pažljivo, ne žuri:

Napišimo kanonske jednadžbe normale u točki:

Odgovor:

I posljednji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 5

Sastavite jednadžbe tangentne ravnine i normale na površinu u točki.

Konačna je jer sam, zapravo, objasnio sve tehničke točke i nemam se što posebno dodati. Čak su i funkcije koje se nude u ovom zadatku dosadne i monotone - gotovo je zajamčeno da ćete u praksi naići na "polinom", a u tom smislu primjer br. 2 s eksponentom izgleda kao "crna ovca". Usput, puno je vjerojatnije da će se susresti s površinom zadanom jednadžbom, a to je još jedan razlog zašto je funkcija uključena u članak kao “drugi broj”.

I na kraju, obećana tajna: kako izbjeći trpanje definicija? (naravno, ne mislim na situaciju kada student grozničavo nešto trpa prije ispita)

Definicija bilo kojeg pojma/pojave/predmeta, prije svega, daje odgovor na sljedeće pitanje: ŠTO JE TO? (tko / takav / takav / takav). Svjesno Odgovarajući na ovo pitanje, trebali biste pokušati razmisliti značajan znakovi, definitivno identificiranje ovog ili onog pojma/fenomena/predmeta. Da, isprva se ispostavi da je ponešto nerazumljiv, netočan i suvišan (nastavnik će ispraviti =)), ali s vremenom se razvije sasvim dostojan znanstveni govor.

Vježbajte na najapstraktnijim objektima, na primjer, odgovorite na pitanje: tko je Cheburashka? Nije baš tako jednostavno ;-) Je li to "lik iz bajke s velikim ušima, očima i smeđom kosom"? Daleko i jako daleko od definicije - nikad se ne zna da postoje likovi s takvim karakteristikama.... Ali ovo je puno bliže definiciji: "Čeburaška je lik koji je izmislio pisac Eduard Uspenski 1966. godine, a koji ... (navodeći glavne karakteristike)". Obratite pažnju na to kako ste dobro započeli