Graf funkcije prirodnog logaritma. Svojstva prirodnih logaritama: graf, baza, funkcije, limit, formule i domena definiranja

Graf funkcije prirodnog logaritma. Funkcija se polako približava pozitivnoj beskonačnosti kako raste x i brzo se približava negativnoj beskonačnosti kada x teži 0 ("sporo" i "brzo" u usporedbi s bilo kojom funkcijom snage x).

Prirodni logaritam je logaritam baze , Gdje e (\displaystyle e)- iracionalna konstanta jednaka približno 2,72. Označava se kao ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) ili ponekad samo log ⁡ x (\displaystyle \log x), ako je baza e (\displaystyle e) podrazumijeva se . Drugim riječima, prirodni logaritam broja x- ovo je eksponent na koji se broj mora podići e, Dobiti x. Ova se definicija može proširiti na kompleksne brojeve.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), jer e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), jer e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Prirodni logaritam također se može definirati geometrijski za bilo koji pozitivan realni broj a kao površina ispod krivulje y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) između [ 1 ; a ] (\displaystyle ). Jednostavnost ove definicije, koja je u skladu s mnogim drugim formulama koje koriste ovaj logaritam, objašnjava podrijetlo naziva "prirodno".

Ako prirodni logaritam smatramo stvarna funkcija realna varijabla, onda je to inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što dovodi do identiteta:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Kao i svi logaritmi, prirodni logaritam preslikava množenje u zbrajanje:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

To može biti npr. kalkulator iz osnovnog skupa programa operacijske dvorane Windows sustavi. Veza za pokretanje skrivena je u glavnom izborniku OS-a - otvorite ga klikom na gumb "Start", zatim otvorite odjeljak "Programi", idite na pododjeljak "Standardni", a zatim na "Uslužni programi" odjeljak i na kraju kliknite na stavku "Kalkulator" " Umjesto korištenja miša i navigacije kroz izbornike, možete koristiti tipkovnicu i dijaloški okvir za pokretanje programa - pritisnite kombinaciju tipki WIN + R, upišite calc (ovo je naziv izvršne datoteke kalkulatora) i pritisnite Enter.

Prebacite sučelje kalkulatora u napredni način rada, koji vam omogućuje... Prema zadanim postavkama otvara se u "normalnom" prikazu, ali trebate "inženjerski" ili " " (ovisno o verziji OS-a koji koristite). Proširite odjeljak "Prikaz" u izborniku i odaberite odgovarajući redak.

Unesite argument čiju prirodnu vrijednost želite procijeniti. To se može učiniti s tipkovnice ili klikom na odgovarajuće gumbe u sučelju kalkulatora na zaslonu.

Pritisnite gumb s oznakom ln - program će izračunati logaritam prema bazi e i prikazati rezultat.

Koristite jedan od -kalkulatora kao alternativu izračunavanju vrijednosti prirodnog logaritma. Na primjer, onaj koji se nalazi na http://calc.org.ua. Njegovo sučelje je krajnje jednostavno - postoji jedno polje za unos u koje trebate upisati vrijednost broja čiji logaritam trebate izračunati. Među gumbima pronađite i kliknite onaj na kojem piše ln. Skripta ovog kalkulatora ne zahtijeva slanje podataka na poslužitelj i odgovor, tako da ćete rezultat izračuna dobiti gotovo trenutno. Jedina značajka koju treba uzeti u obzir je separator između razlomaka i cijeli dio Uneseni broj ovdje mora imati točku, a ne .

Uvjet " logaritam"potekao od dva grčke riječi, od kojih jedan označava "broj", a drugi "omjer". Označava matematičku operaciju izračunavanja promjenjive veličine (eksponenta) na koju se mora podići konstantna vrijednost (baza) da bi se dobio broj označen ispod znaka logaritam A. Ako je baza jednaka matematičkoj konstanti koja se naziva broj "e", tada logaritam nazivaju "prirodnim".

Trebat će vam

• Pristup internetu, Microsoft Office Excel ili kalkulator.

upute

Upotrijebite mnoge kalkulatore dostupne na internetu - ovo je možda jednostavan način za izračunavanje prirodnog a. Ne morate tražiti odgovarajuću uslugu, jer mnoge tražilice i sami imaju ugrađene kalkulatore, sasvim prikladne za rad logaritam ami. Na primjer, idite na glavnu stranicu najveće online tražilice - Google. Ovdje nisu potrebni nikakvi gumbi za unos vrijednosti ili odabir funkcija; samo unesite željenu matematičku radnju u polje za unos upita. Recimo, izračunati logaritam i broj 457 u bazi “e”, unesite ln 457 - to će biti dovoljno da Google prikaže s točnošću od osam decimalnih mjesta (6,12468339) čak i bez pritiskanja gumba za slanje zahtjeva poslužitelju.

Koristite odgovarajuću ugrađenu funkciju ako trebate izračunati vrijednost naturalne vrijednosti logaritam a javlja se pri radu s podacima u popularnoj proračunskoj tablici Microsoft uređivač Office Excel. Ova se funkcija ovdje poziva koristeći uobičajenu notaciju logaritam a velikim slovima - LN. Odaberite ćeliju u kojoj bi trebao biti prikazan rezultat izračuna i unesite znak jednakosti - ovako bi u ovom uređivaču proračunskih tablica zapisi trebali započeti u ćelijama koje sadrže pododjeljak "Standardno" odjeljka "Svi programi" glavnog izbornika. Prebacite kalkulator na funkcionalniji način rada pritiskom na Alt + 2. Zatim unesite vrijednost, prirodno logaritam koji želite izračunati i kliknite u programskom sučelju gumb označen simbolima ln. Aplikacija će izvršiti izračun i prikazati rezultat.

Video na temu

Dana su osnovna svojstva prirodnog logaritma, graf, domena definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, derivacija, integral, proširenje u potencijski niz i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

Prirodni logaritam je funkcija y = u x, obrnuto od eksponencijala, x = e y, i logaritam je baze broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam ima široku primjenu u matematici jer njegova derivacija ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na temelju definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcije y = u x.

Graf prirodnog logaritma (funkcije y = u x) dobiva se iz eksponencijalnog grafa zrcalnom refleksijom u odnosu na ravnu liniju y = x.

Prirodni logaritam je definiran na pozitivne vrijednosti varijabla x. Monotono raste u svojoj domeni definicije.

Na x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost (-∞).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačno (+ ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija snage x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Područje definiranja, skup vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tablici.

ln x vrijednosti

U 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje slijede iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Bilo koji logaritam može se izraziti prirodnim logaritmom koristeći formulu supstitucije baze:

Dokazi ovih formula prikazani su u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Inverz prirodnog logaritma je eksponent.

Ako tada

Ako tada.

Derivacija ln x

Derivacija prirodnog logaritma:
.
Derivacija prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Sastavni

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
Tako,

Izrazi koji koriste složene brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.

Stoga prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije funkcija s jednom vrijednošću.

Proširenje niza potencija

Kada dođe do ekspanzije:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Logaritam dati broj naziva se eksponent na koji se mora podignuti neki drugi broj, tzv osnova logaritam da dobijemo ovaj broj. Na primjer, logaritam baze 10 od 100 je 2. Drugim riječima, 10 se mora kvadrirati da bi se dobilo 100 (10 2 = 100). Ako n– određeni broj, b– baza i l– logaritam, dakle b l = n. Broj n također se naziva bazni antilogaritam b brojevima l. Na primjer, antilogaritam od 2 na bazu 10 jednak je 100. To se može napisati u obliku logaritma odnosa b n = l i antilog b l = n.

Osnovna svojstva logaritama:

Svaki pozitivan broj osim jedan može poslužiti kao baza za logaritme, ali nažalost ispada da ako b I n su racionalni brojevi, onda u rijetkim slučajevima postoji takav racionalan broj l, Što b l = n. Međutim, moguće je definirati iracionalan broj l, na primjer, tako da je 10 l= 2; ovo je iracionalan broj l može se aproksimirati s bilo kojom potrebnom točnošću racionalnim brojevima. Pokazuje se da u navedenom primjeru l približno je jednako 0,3010, a ova aproksimacija logaritma s bazom 10 od 2 može se pronaći u četveroznamenkastim tablicama decimalnih logaritama. Logaritmi baze 10 (ili logaritmi baze 10) toliko se često koriste u izračunima da se nazivaju obični logaritmi i zapisani kao log2 = 0,3010 ili log2 = 0,3010, izostavljajući eksplicitnu indikaciju baze logaritma. Logaritmi prema bazi e, transcendentni broj približno jednak 2,71828, nazivaju se prirodni logaritmi. Nalaze se uglavnom u djelima na matematička analiza i njegove primjene na razne znanosti. Prirodni logaritmi se također pišu bez eksplicitnog označavanja baze, ali koristeći posebnu oznaku ln: na primjer, ln2 = 0,6931, jer e 0,6931 = 2.

Korištenje tablica običnih logaritama.

Pravilni logaritam broja je eksponent na koji se mora podići 10 da bi se dobio zadani broj. Kako je 10 0 = 1, 10 1 = 10 i 10 2 = 100, odmah dobivamo da je log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 itd. za rastuće cjelobrojne potencije 10. Isto tako, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 i prema tome log0,1 = –1, log0,01 = –2, itd. za sve cijele brojeve negativne moći 10. Uobičajeni logaritmi preostalih brojeva nalaze se između logaritama najbližih cjelobrojnih potencija broja 10; log2 mora biti između 0 i 1, log20 mora biti između 1 i 2, a log0.2 mora biti između -1 i 0. Dakle, logaritam se sastoji od dva dijela, cijelog broja i decimale, okruženih između 0 i 1. cjelobrojni dio tzv karakteristika logaritam i određuje se samim brojem, razlomački dio se zove kazaljka a mogu se pronaći iz tablica. Također, log20 = log(2g̀10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritam od 2 je 0,3010, pa je log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Slično, log0,2 = log(2o10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Nakon oduzimanja dobivamo log0,2 = – 0,6990. Međutim, praktičnije je predstaviti log0,2 kao 0,3010 – 1 ili kao 9,3010 – 10; može se formulirati i opće pravilo: svi brojevi dobiveni iz zadanog broja množenjem potencijom broja 10 imaju istu mantisu, jednaku mantisi zadanog broja. Većina tablica prikazuje mantise brojeva u rasponu od 1 do 10, budući da se mantise svih ostalih brojeva mogu dobiti iz onih danih u tablici.

Većina tablica daje logaritme s četiri ili pet decimala, iako postoje tablice sa sedam znamenki i tablice s još više decimala. Najlakši način da naučite kako koristiti takve tablice je na primjerima. Da bismo pronašli log3.59, prije svega, uočimo da je broj 3.59 između 10 0 i 10 1, pa je njegova karakteristika 0. U tablici nalazimo broj 35 (lijevo) i krećemo se duž retka do stupac koji ima broj 9 na vrhu; sjecište ovog stupca i retka 35 je 5551, pa je log3,59 = 0,5551. Pronaći mantisu broja s četiri značajne figure, potrebno je pribjeći interpolaciji. U nekim tablicama, interpolacija je olakšana omjerima danim u zadnjih devet stupaca na desnoj strani svake stranice tablice. Pronađimo sada log736.4; broj 736.4 nalazi se između 10 2 i 10 3, stoga je karakteristika njegovog logaritma 2. U tablici nalazimo redak lijevo od kojeg je 73 i stupac 6. Na sjecištu ovog retka i ovog stupca nalazi se broj 8669. Među linearni dijelovi nalazimo stupac 4. Na sjecištu retka 73 i stupca 4 nalazi se broj 2. Dodavanjem 2 na 8669 dobivamo mantisu - jednaka je 8671. Dakle, log736,4 = 2,8671.

Prirodni logaritmi.

Tablice i svojstva prirodni logaritmi slični su tablicama i svojstvima običnih logaritama. Glavna razlika između oba je u tome što cjelobrojni dio prirodnog logaritma nije značajan u određivanju položaja decimalne točke, pa stoga razlika između mantise i karakteristike ne igra posebnu ulogu. Prirodni logaritmi brojeva 5,432; 54,32 i 543,2 jednako su 1,6923; 3,9949 i 6,2975. Odnos između ovih logaritama postat će očit ako uzmemo u obzir razlike između njih: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; posljednji broj nije ništa više od prirodnog logaritma broja 10 (napisano ovako: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; posljednji broj je 2ln10. Ali 543,2 = 10g54,32 = 10 2g5,432. Dakle, prirodnim logaritmom danog broja a možete pronaći prirodne logaritme brojeva jednake umnošcima broja a za bilo koju diplomu n brojevi 10 ako do ln a dodajte ln10 pomnoženo s n, tj. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Na primjer, ln0,005432 = ln(5,432g̀10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3g̀2,3026) = – 5,2155. Stoga tablice prirodnih logaritama, kao i tablice običnih logaritama, obično sadrže samo logaritme brojeva od 1 do 10. U sustavu prirodnih logaritama može se govoriti o antilogaritmima, ali se češće govori o eksponencijalnoj funkciji ili eksponentu. Ako x= log g, To g = e x, I g naziva eksponent od x(radi tipografske pogodnosti često pišu g= eksp x). Eksponent ima ulogu antilogaritma broja x.

Koristeći tablice decimalnih i prirodnih logaritama, možete izraditi tablice logaritama u bilo kojoj bazi osim 10 i e. Ako log b a = x, To b x = a, a time i log c b x=log c a ili x log c b=log c a, ili x=log c a/log c b=log b a. Stoga, koristeći ovu formulu inverzije iz tablice osnovnog logaritma c možete napraviti tablice logaritama u bilo kojoj drugoj bazi b. Množitelj 1/log c b nazvao prijelazni modul iz baze c do baze b. Ništa ne sprječava, na primjer, korištenje formule inverzije ili prijelaz iz jednog sustava logaritama u drugi, pronalaženje prirodnih logaritama iz tablice običnih logaritama ili pravljenje obrnutog prijelaza. Na primjer, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923g0,4343 = 0,7350. Broj 0,4343, kojim treba pomnožiti prirodni logaritam određenog broja da bi se dobio obični logaritam, je modul prijelaza u sustav običnih logaritama.

Posebne tablice.

Logaritmi su izvorno izmišljeni tako da se pomoću njihovih svojstava log ab=log a+ log b i log a/b=log a–log b, pretvaraju umnoške u zbrojeve, a količnike u razlike. Drugim riječima, ako log a i log b poznati, tada pomoću zbrajanja i oduzimanja možemo lako pronaći logaritam umnoška i kvocijenta. U astronomiji se, međutim, često daju vrijednosti log a i log b treba pronaći dnevnik( a + b) ili log( a – b). Naravno, prvo se može pronaći iz tablica logaritama a I b, zatim izvršite naznačeno zbrajanje ili oduzimanje i opet pozivajući se na tablice pronađite tražene logaritme, ali bi takav postupak zahtijevao tri puta pozivanje na tablice. Z. Leonelli 1802. godine objavio je tablice tzv. Gaussovi logaritmi– logaritmi za zbrajanje zbrojeva i razlika – što je omogućilo ograničiti se na jedan pristup tablicama.

Godine 1624. I. Kepler je predložio tablice proporcionalnih logaritama, t j . logaritmi brojeva a/x, Gdje a– neka pozitivna konstantna vrijednost. Ove tablice prvenstveno koriste astronomi i navigatori.

Proporcionalni logaritmi pri a= 1 nazivaju se kologaritmi a koriste se u izračunima kada treba raditi s umnošcima i kvocijentima. Kologaritam broja n jednak logaritmu recipročni broj; oni. colog n= log1/ n= – log n. Ako je log2 = 0,3010, tada je colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Prednost korištenja kologaritama je u tome što pri izračunavanju vrijednosti logaritma izraza poput pq/r trostruki zbroj pozitivnih decimala log str+ log q+kolog r je lakše pronaći nego mješoviti dnevnik zbroja i razlike str+ log q–log r.

Priča.

Načelo na kojem se temelji bilo koji sustav logaritama poznato je jako dugo i može se pratiti sve do drevne babilonske matematike (oko 2000. pr. Kr.). U to se vrijeme interpolacija između tabličnih vrijednosti pozitivnih cijelih potencija cijelih brojeva koristila za izračunavanje složenih kamata. Mnogo kasnije, Arhimed (287. – 212. pr. Kr.) upotrijebio je potencije od 108 kako bi pronašao gornju granicu broja zrnaca pijeska potrebnih da se potpuno ispuni tada poznati Svemir. Arhimed je skrenuo pozornost na svojstvo eksponenata koje je u osnovi učinkovitosti logaritama: umnožak potencija odgovara zbroju eksponenata. Krajem srednjeg vijeka i početkom modernog doba matematičari su se sve više počeli okretati odnosu između geometrijskih i aritmetičkih progresija. M. Stiefel u svom eseju Aritmetika cijelog broja(1544) dao je tablicu pozitivnih i negativnih snaga broja 2:

Stiefel je primijetio da je zbroj dva broja u prvom redu (red eksponenta) jednak eksponentu dva koji odgovara umnošku dvaju odgovarajućih brojeva u donjem redu (red eksponenta). U vezi s ovom tablicom, Stiefel je formulirao četiri pravila ekvivalentna četirima moderna pravila operacije nad eksponentima ili četiri pravila za operacije nad logaritmima: zbroj u gornjem retku odgovara umnošku u donjem retku; oduzimanje u gornjoj liniji odgovara dijeljenju u donjoj liniji; množenje u gornjoj liniji odgovara potenciranju u donjoj liniji; podjela na gornjoj liniji odgovara ukorjenjivanju na donjoj liniji.

Očigledno su pravila slična Stiefelovim pravilima navela J. Napera da formalno uvede prvi sustav logaritama u svom radu Opis nevjerojatne tablice logaritama, objavljen 1614. Ali Napierove misli bile su zaokupljene problemom pretvaranja umnožaka u zbrojeve otkad je, više od deset godina prije objavljivanja njegova rada, Napier primio vijest iz Danske da na zvjezdarnici Tycho Brahe njegovi pomoćnici imaju metodu koja omogućuje moguće je umnoške pretvoriti u zbrojeve. Metoda spomenuta u poruci koju je Napier primio temeljila se na upotrebi trigonometrijske formule tip

stoga su se Naperove tablice sastojale uglavnom od logaritama trigonometrijskih funkcija. Iako pojam baze nije izričito uključen u definiciju koju je predložio Napier, ulogu ekvivalentnu bazi sustava logaritama u njegovom sustavu imao je broj (1 – 10 –7)g10 7, približno jednak 1/ e.

Neovisno o Naperu i gotovo istodobno s njim, J. Bürgi u Pragu izumio je i objavio sustav logaritama, vrlo sličan po vrsti, objavljen 1620. Tablice aritmetičke i geometrijske progresije. To su bile tablice antilogaritama prema bazi (1 + 10 –4) ´10 4, prilično dobra aproksimacija broja e.

U Naperovom sustavu logaritam broja 10 7 uzet je kao nula, a kako su se brojevi smanjivali, logaritmi su rasli. Kad je G. Briggs (1561. – 1631.) posjetio Napier, obojica su se složila da bi bilo prikladnije koristiti broj 10 kao bazu, a logaritam od jedan smatrati nulom. Zatim, kako su brojevi rasli, njihovi logaritmi bi se povećavali. Pa smo dobili moderni sustav decimalni logaritmi, čiju je tablicu Briggs objavio u svom djelu Logaritamska aritmetika(1620). Logaritmi prema bazi e, iako ne baš one koje je uveo Naper, često se nazivaju Naperovim. Termine "karakteristika" i "mantisa" predložio je Briggs.

Prvi logaritmi su iz povijesnih razloga koristili aproksimacije brojeva 1/ e I e. Nešto kasnije, ideja o prirodnim logaritmima počela se povezivati ​​s proučavanjem područja pod hiperbolom xy= 1 (slika 1). U 17. stoljeću pokazalo se da područje omeđeno ovom krivuljom, os x i ordinate x= 1 i x = a(na slici 1 ovo je područje prekriveno masnijim i rijetkim točkama) povećava aritmetičku progresiju kada a raste eksponencijalno. Upravo se ta ovisnost javlja u pravilima za rad s eksponentima i logaritmima. To je dovelo do toga da se Naperianovi logaritmi nazovu "hiperboličnim logaritmima".

Logaritamska funkcija.

Postojalo je vrijeme kada su se logaritmi smatrali isključivo sredstvom izračuna, ali u 18. stoljeću, uglavnom zahvaljujući radu Eulera, formiran je koncept logaritamske funkcije. Graf takve funkcije g= log x, čije ordinate rastu u aritmetičkoj progresiji, dok apscise rastu u geometrijskoj progresiji, prikazan je na sl. 2, A. Graf inverzne ili eksponencijalne funkcije y = e x, čije se ordinate povećavaju u geometrijskoj progresiji, a čije apscise rastu u aritmetičkoj progresiji, prikazano je redom na sl. 2, b. (Krivulje g=log x I g = 10x oblikom sličan krivuljama g= log x I g = e x.) Također su predložene alternativne definicije logaritamske funkcije, npr.

kpi; a slično su i prirodni logaritmi broja -1 kompleksni brojevi vrste (2 k + 1)pi, Gdje k– cijeli broj. Slične izjave vrijede za opće logaritme ili druge sustave logaritama. Dodatno, definicija logaritama može se generalizirati korištenjem Eulerovih identiteta kako bi se uključili kompleksni logaritmi kompleksnih brojeva.

Alternativnu definiciju logaritamske funkcije daje funkcionalna analiza. Ako f(x) – kontinuirana funkcija pravi broj x, koji ima sljedeća tri svojstva: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), To f(x) definiran je kao logaritam broja x na temelju b. Ova definicija ima brojne prednosti u odnosu na definiciju danu na početku ovog članka.

Prijave.

Logaritmi su se izvorno koristili isključivo za pojednostavljenje izračuna, a ova im je primjena još uvijek jedna od najvažnijih. Izračunavanje umnožaka, kvocijenata, potencija i korijena olakšano je ne samo širokom dostupnošću objavljenih tablica logaritama, već i korištenjem tzv. klizač - računalni alat čiji se princip rada temelji na svojstvima logaritama. Ravnalo je opremljeno logaritamskim mjerilima, tj. udaljenost od broja 1 do bilo kojeg broja x izabran da bude jednak log x; Pomicanjem jedne ljestvice u odnosu na drugu moguće je crtati zbrojeve ili razlike logaritama, što omogućuje direktno očitavanje umnožaka ili kvocijenata odgovarajućih brojeva s ljestvice. Također možete iskoristiti prednosti predstavljanja brojeva u logaritamskom obliku. logaritamski papir za crtanje grafikona (papir s otisnutim logaritamskim mjerilima na obje koordinatne osi). Ako funkcija zadovoljava potencijski zakon oblika y = kxn, tada njegov logaritamski grafikon izgleda kao ravna linija, jer log g=log k + n log x– jednadžba linearna u odnosu na log g i log x. Naprotiv, ako logaritamski graf neke funkcionalne ovisnosti izgleda kao ravna linija, tada je ta ovisnost potencna. Polu-log papir (gdje os y ima logaritamsko mjerilo, a os x jednoliko mjerilo) koristan je kada trebate identificirati eksponencijalne funkcije. Jednadžbe oblika y = kb rx pojaviti kad god neka količina, kao što je veličina populacije, količina radioaktivnog materijala ili stanje u banci, smanjuje se ili povećava brzinom proporcionalnom raspoloživom ovaj trenutak broj stanovnika, radioaktivna tvar ili novac. Ako se takva ovisnost iscrta na polulogaritamskom papiru, graf će izgledati kao ravna crta.

Logaritamska funkcija nastaje u vezi s velikim brojem prirodnih oblika. Cvjetovi u cvatovima suncokreta raspoređeni su u logaritamske spirale, ljušture mekušaca su uvijene Nautilus, rogovi planinske ovce i papagajski kljunovi. Svi ovi prirodni oblici mogu poslužiti kao primjeri krivulje poznate kao logaritamska spirala jer je u polarnom koordinatnom sustavu njezina jednadžba r = ae bq, ili ln r= log a + bq. Takvu krivulju opisuje pomična točka čija se udaljenost od pola povećava u geometrijskoj progresiji, a kut opisan njezinim radijus vektorom raste u aritmetičkoj progresiji. Sveprisutnost takve krivulje, a time i logaritamske funkcije, dobro je ilustrirana činjenicom da se pojavljuje u tako udaljenim i potpuno razna područja, poput obrisa ekscentrične kamere i putanje nekih insekata koji lete prema svjetlu.

Lekcija i prezentacija na teme: "Prirodni logaritmi. Baza prirodnog logaritma. Logaritam prirodnog broja"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u Internet trgovini Integrala za 11. razred
Interaktivni priručnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za razrede 10-11 "Logaritmi"

Što je prirodni logaritam

Dečki, u prošloj lekciji naučili smo novi, poseban broj - e. Danas ćemo nastaviti raditi s ovim brojem.
Učili smo logaritme i znamo da baza logaritma može biti mnogo brojeva koji su veći od 0. Danas ćemo također pogledati logaritam čija je baza broj e. Takav se logaritam obično naziva prirodnim logaritmom. Ima svoju notaciju: $\ln(n)$ je prirodni logaritam. Ovaj unos je ekvivalentan unosu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Ilustrativno i logaritamske funkcije su inverzne, tada je prirodni logaritam inverzna funkcija: $y=e^x$.
Inverzne funkcije su simetrične u odnosu na ravnu liniju $y=x$.
Nacrtajmo prirodni logaritam crtanjem eksponencijalne funkcije s obzirom na ravnu liniju $y=x$.

Važno je napomenuti da je kut nagiba tangente na graf funkcije $y=e^x$ u točki (0;1) 45°. Tada će kut nagiba tangente na graf prirodnog logaritma u točki (1;0) također biti jednak 45°. Obje ove tangente bit će paralelne s pravcem $y=x$. Nacrtajmo dijagram tangenti:

Svojstva funkcije $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se kroz cijelu domenu definicije.
4. Nije ograničeno odozgo, nije ograničeno odozdo.
5. Najveća vrijednost Ne, najniža vrijednost Ne.
6. Kontinuirano.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveksno prema gore.
9. Svugdje se može razlikovati.

Znam viša matematika dokazano je da derivacija inverzne funkcije je inverz derivacije zadane funkcije.
Nema puno smisla ulaziti u dokaz, samo napišimo formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Primjer.
Izračunajte vrijednost derivacije funkcije: $y=\ln(2x-7)$ u točki $x=4$.
Riješenje.
U opći pogled naša funkcija je predstavljena funkcijom $y=f(kx+m)$, možemo izračunati derivacije takvih funkcija.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj točki: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odgovor: 2.

Primjer.
Nacrtajte tangentu na graf funkcije $y=ln(x)$ u točki $h=e$.
Riješenje.
Dobro se sjećamo jednadžbe tangente na graf funkcije u točki $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sekvencijalno izračunavamo potrebne vrijednosti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Jednadžba tangente u točki $x=e$ je funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nacrtajmo prirodni logaritam i tangentu.

Primjer.
Ispitajte funkciju na monotonost i ekstreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Riješenje.
Područje definiranja funkcije $D(y)=(0;+∞)$.
Nađimo izvod zadane funkcije:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivacija postoji za sve x iz domene definicije, tada nema kritičnih točaka. Nađimo stacionarne točke:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Točka $h=-1$ ne pripada domeni definicije. Tada imamo jednu stacionarnu točku $x=1$. Nađimo intervale povećanja i opadanja:

Točka $x=1$ je minimalna točka, tada $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odgovor: Funkcija opada na segmentu (0;1], funkcija raste na zraki $)