Matematička analiza na razumljivom jeziku. Osnove više matematike. Pojam limita u matematici

Matematička analiza za lutke. Lekcija 1. Skupovi.

Pojam skupa

Mnogo je skup nekih objekata. Što mogu biti setovi? Prvo, konačno ili beskonačno. Na primjer, skup šibica u kutiji je konačan skup, mogu se uzeti i prebrojati. Broj zrnaca pijeska na plaži mnogo je teže prebrojati, ali u principu moguće. I ta se količina izražava nekim konačnim brojem. Toliko zrnaca pijeska na plaži, naravno. Ali skup točaka na pravoj liniji je beskonačan skup. Kao prvo, sama linija je beskonačna i na nju možete staviti koliko god točaka želite. Skup točaka na segmentu je također beskonačan. Jer teoretski točka može biti proizvoljno mala. Naravno, ne možemo fizički nacrtati točku, na primjer, manju od veličine atoma, ali, s gledišta matematike, točka nema veličinu. Njegova veličina je nula. Što se događa kada broj podijelite s nulom? Tako je, beskonačnost. I premda skup točaka na pravoj liniji i na segmentu teži beskonačnosti, to nije isto. Skup nije količina nečega tamo, već skup bilo kojih predmeta. I samo oni skupovi koji sadrže potpuno iste objekte smatraju se jednakima. Ako jedan skup sadrži iste objekte kao drugi skup, ali plus još jedan "lijevi" objekt, tada to više nisu jednaki skupovi.

Razmotrite primjer. Recimo da imamo dva skupa. Prvi je skup svih točaka na liniji. Drugi je skup svih točaka na segmentu ravne linije. Zašto nisu jednaki? Prvo, odsječak i ravna crta možda se čak i ne sijeku. Tada sigurno nisu jednaki jer sadrže potpuno različite točke. Ako se sijeku, tada imaju samo jednu zajedničku točku. Svi ostali su jednako različiti. Što ako segment leži na ravnoj liniji? Tada su sve točke dužine ujedno i točke pravca. Ali nisu sve točke na liniji točke na liniji. Dakle, u ovom slučaju, skupovi se ne mogu smatrati jednakima (identičnima).

Svaki skup je definiran pravilom koje jedinstveno određuje pripada li element tom skupu ili ne. Koja bi to pravila mogla biti? Na primjer, ako je skup konačan, možete glupo nabrojati sve njegove objekte. Možete postaviti raspon. Na primjer, svi cijeli brojevi od 1 do 10. To će također biti konačan skup, ali ovdje ne navodimo njegove elemente, već formuliramo pravilo. Ili nejednakost, na primjer, svi brojevi su veći od 10. To će već biti beskonačan skup, jer je nemoguće imenovati najveći broj - bez obzira koji broj zovemo, uvijek postoji ovaj broj plus 1.

Skupovi se u pravilu označavaju velikim slovima latinične abecede A, B, C i tako dalje. Ako se skup sastoji od određenih elemenata i želimo ga definirati kao popis tih elemenata, tada taj popis možemo staviti u vitičaste zagrade, na primjer A=(a, b, c, d). Ako je a element skupa A, onda se to piše na sljedeći način: a Î A. Ako a nije element skupa A, tada napišite a Ï A. Jedan od važnih skupova je skup N svih prirodnih brojeva N=(1,2,3,...,) . Postoji i poseban, takozvani prazan skup, koji ne sadrži niti jedan element. Prazan skup je označen simbolom Æ .

Definicija 1 (definicija jednakosti skupova). Setovi ALI i B jednaki ako se sastoje od istih elemenata, odnosno ako su iz x n A slijedi x n B i obrnuto, iz x n B slijedi x n A.

Formalno, jednakost dvaju skupova piše se na sljedeći način:

(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

To znači da za svaki objekt x relacije xÎ A i x O B su ekvivalentni.

Ovdje " je univerzalni kvantifikator (" xglasi "za svaku x").

Definicija 2 (definicija podskupa). Mnogo ALI je podskup skupa NA ako ijedan x koji pripadaju skupu ALI, pripada skupu NA. Formalno, ovo se može izraziti kao izraz:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Ako A Ì B ali A ¹ B, tada je A pravi podskup skupa NA. Kao primjer, opet, mogu se navesti pravac i segment. Ako segment leži na pravcu, tada je skup njegovih točaka podskup točaka ovog pravca. Ili, još jedan primjer. Skup cijelih brojeva koji su ravnomjerno djeljivi s 3 podskup je skupa cijelih brojeva.

Komentar. Prazan skup je podskup bilo kojeg skupa.

Operacije na skupovima

Na skupovima su moguće sljedeće operacije:

Udruga. Bit ove operacije je kombinirati dva skupa u jedan koji sadrži elemente svakog od kombiniranih skupova. Formalno, to izgleda ovako:

C=AÈ B:= {x:x Î A ili xÎ B}

Primjer. Riješimo nejednadžbu | 2 x+ 3 | > 7.

To implicira ili nejednakost 2x+3 >7, za 2x+3≥0, tada x>2

ili nejednakost 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Skup rješenja ove nejednadžbe je unija skupova (-∞,-5) È (2, ∞).

Provjerimo. Izračunajmo vrijednost izraza | 2 x+ 3 | za nekoliko točaka koje leže i ne leže u zadanom rasponu:

Kao što vidite, sve je ispravno odlučeno (granični rasponi su označeni crvenom bojom).

križanje. Presjek je operacija stvaranja novog skupa od dva elementa koji sadrže i koji su uključeni u oba ova skupa. Da bismo to vizualizirali, zamislimo da imamo dva skupa točaka na ravnini, naime figuru A i figuru B. Njihovo sjecište označava figuru C - ovo je rezultat operacije presjeka skupa:

Formalno, operacija presjeka skupova piše se na sljedeći način:

C=A Ç B:= (x: x Î A i x O B )

Primjer. Uzmimo onda set C=A Ç B = {5,6,7}

Oduzimanje. Oduzimanje skupa je isključivanje iz oduzetog skupa onih elemenata koji su sadržani u oduzimaču i oduzimaču:

Formalno, oduzimanje skupa se piše na sljedeći način:

A\B:={x:x Î A i xÏ B}

Primjer. Neka nas bude mnogo A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Zatim C=A\ B = { 1,2,3,4}

Dodatak. Komplement je unarna operacija (operacija ne na dva, nego na jednom skupu). Ova operacija je rezultat oduzimanja zadanog skupa od potpunog univerzalnog skupa (skupa koji uključuje sve ostale skupove).

A := (x:x O U i x P A) = U \ A

Grafički se to može prikazati kao:

simetrična razlika. Za razliku od uobičajene razlike, kod simetrične razlike skupova ostaju samo oni elementi koji su prisutni ili u jednom ili u drugom skupu. Ili, jednostavnije rečeno, kreiran je iz dva skupa, ali su iz njega isključeni oni elementi koji su u oba skupa:

Matematički se to može izraziti na sljedeći način:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

Svojstva operacija na skupovima.

Iz definicija unije i presjeka skupova proizlazi da operacije presjeka i unije imaju sljedeća svojstva:

1. Komutativnost.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

1. Asocijativnost.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

Granice svim studentima matematike zadaju mnogo problema. Da biste riješili granicu, ponekad morate upotrijebiti mnogo trikova i odabrati iz mnoštva rješenja upravo ono koje je prikladno za određeni primjer.

U ovom članku nećemo vam pomoći da shvatite granice svojih sposobnosti ili shvatite granice kontrole, već ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u višoj matematici? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo ujedno dati neke detaljne primjere rješavanja granica s objašnjenjima.

Pojam limita u matematici

Prvo pitanje je: koja je granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama numeričkih nizova i funkcija. Zanima nas pojam limita funkcije, budući da se s njima učenici najčešće susreću. Ali prvo, najopćenitija definicija ograničenja:

Recimo da postoji neka varijabla. Ako se ta vrijednost u procesu mijenjanja neograničeno približava određenom broju a , onda a je granica ove vrijednosti.

Za funkciju definiranu u nekom intervalu f(x)=y granica je broj A , kojoj funkcija teži kada x težeći određenoj točki a . Točka a pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.

Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:

Lim- s engleskog ograničiti- granica.

Postoji i geometrijsko objašnjenje definicije granice, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična nego teorijska strana problema. Kad to kažemo x teži nekoj vrijednosti, to znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već mu se približava beskonačno blizu.

Uzmimo konkretan primjer. Izazov je pronaći granicu.

Da bismo riješili ovaj primjer, zamijenit ćemo vrijednost x=3 u funkciju. Dobivamo:

Usput, ako ste zainteresirani, pročitajte poseban članak o ovoj temi.

U primjerima x može težiti bilo kojoj vrijednosti. To može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada x teži beskonačnosti:

Intuitivno je jasno da što je veći broj u nazivniku, to će manju vrijednost imati funkcija. Dakle, s neograničenim rastom x značenje 1/x smanjit će se i približiti nuli.

Kao što vidite, da biste riješili granicu, trebate samo zamijeniti vrijednost kojoj želite težiti u funkciju x . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Pronalaženje granice često nije tako očito. Unutar ograničenja postoje nesigurnosti tipa 0/0 ili beskonačnosti/beskonačnosti . Što učiniti u takvim slučajevima? Koristite trikove!

Neizvjesnosti unutar

Neodređenost oblika beskonačnost/beskonačnost

Neka postoji granica:

Pokušamo li u funkciju zamijeniti beskonačnost, dobit ćemo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: treba uočiti kako se funkcija može transformirati na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju, brojnik i nazivnik dijelimo s x u višem stupnju. Što će se dogoditi?

Iz primjera koji smo već razmotrili, znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:

Za otkrivanje dvosmislenosti tipa beskonačnosti/beskonačnosti podijeliti brojnik i nazivnik sa x do najvišeg stupnja.

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na

Druga vrsta nesigurnosti: 0/0

Kao i uvijek, supstitucija u funkciju vrijednosti x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo pažljivije i primijetit ćete da imamo kvadratnu jednadžbu u brojniku. Pronađimo korijene i napišimo:

Smanjimo i dobijemo:

Dakle, ako naiđete na dvosmislenost tipa 0/0 - rastaviti brojnik i nazivnik na faktore.

Da bismo vam olakšali rješavanje primjera, evo tablice s ograničenjima nekih funkcija:

L'Hopitalova vladavina unutar

Još jedan moćan način za uklanjanje obje vrste neizvjesnosti. Što je bit metode?

Ako postoji nesigurnost u limitu, uzimamo derivaciju brojnika i nazivnika sve dok nesigurnost ne nestane.

Vizualno, L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:

Važna točka : granica, u kojoj su izvodnice brojnika i nazivnika umjesto brojnika i nazivnika, mora postojati.

A sad pravi primjer:

Postoji tipična neizvjesnost 0/0 . Uzmite derivacije brojnika i nazivnika:

Voila, neizvjesnost je eliminirana brzo i elegantno.

Nadamo se da ćete ove informacije moći dobro iskoristiti u praksi i pronaći odgovor na pitanje "kako riješiti granice u višoj matematici". Ako trebate izračunati limit niza ili limit funkcije u točki, a nemate vremena za taj posao od riječi “apsolutno”, obratite se stručnoj studentskoj službi za brzo i detaljno rješenje.

Gomila strašnih formula, priručnika iz više matematike koje otvoriš i odmah zatvoriš, mučna potraga za rješenjem naizgled vrlo jednostavnog problema.... Ova situacija nije neuobičajena, pogotovo kada je udžbenik matematike posljednji put otvoren u dalekom 11. razredu. U međuvremenu, na sveučilištima, nastavni planovi i programi mnogih specijalnosti predviđaju proučavanje svima omiljene više matematike. I u ovoj situaciji često se osjećate kao pravi čajnik pred hrpom užasnog matematičkog brbljanja. Štoviše, slična situacija može nastati u proučavanju bilo kojeg predmeta, a posebno iz ciklusa prirodnih znanosti.

Što učiniti? Za redovnog studenta sve je puno jednostavnije, osim ako, naravno, predmet nije jako zanemaren. Možete se posavjetovati s učiteljem, kolegama iz razreda i jednostavno otpisati od susjeda na stolu. Čak će i pun čajnik iz više matematike preživjeti sesiju u takvim scenarijima.

A ako osoba studira na dopisnom odjelu sveučilišta, a viša matematika, blago rečeno, vjerojatno neće biti potrebna u budućnosti? Osim toga, nema vremena za nastavu. Tako je u većini slučajeva, ali nitko nije otkazao izvođenje kolokvija i polaganje ispita (najčešće pismenog). Uz testove iz više matematike sve je lakše, bio ti čajnik ili nisi čajnik - test iz matematike može se naručiti. Na primjer, imam. Mogu se naručiti i drugi artikli. Ne ovdje više. Ali provedba i podnošenje ispitnih radova na pregled još neće dovesti do željenog upisa u bilježnicu. Često se događa da umjetničko djelo, izrađeno po narudžbi, treba braniti, a potrebno je objasniti zašto iz ovih pisama proizlazi ta formula. Osim toga, stižu ispiti, a tamo ćete već morati SAMOSTALNO rješavati determinante, granice i izvedenice. Osim, naravno, ako učitelj ne prihvaća vrijedne darove, ili nema unajmljenog dobronamjernika izvan učionice.

Dopustite mi da vam dam nekoliko vrlo važnih savjeta. Na kolokvijima, ispitima iz egzaktnih i prirodnih znanosti JAKO JE VAŽNO NEŠTO SHVATITI. Zapamtite, BAREM NEŠTO. Potpuna odsutnost misaonih procesa jednostavno razbjesni učitelja, znam za slučajeve kada su izvanredni studenti bili omotani 5-6 puta. Sjećam se da je jedan mladić prošao test 4 puta, a nakon svakog ponovnog polaganja obratio mi se za besplatne konzultacije o jamstvu. Na kraju sam primijetio da je u odgovoru napisao slovo “pe” umjesto slova “pi”, što je popraćeno oštrim sankcijama recenzenta. Učenik NIJE HTIO NI POGLEDATI u zadaću koju je ležerno prepisao

U višoj matematici možete biti potpuni glupan, ali vrlo je poželjno znati da je derivacija konstante jednaka nuli. Jer ako na elementarno pitanje odgovoriš na neku glupost, velika je vjerojatnost da će ti završiti studij na fakultetu. Profesori su puno naklonjeniji učeniku koji BAREM POKUŠAVA razumjeti predmet, onome koji, doduše pogrešno, ali pokušava nešto riješiti, objasniti ili dokazati. I ova izjava vrijedi za sve discipline. Stoga stav „ništa ne znam, ništa ne razumijem“ treba odlučno odbaciti.

Drugi važan savjet je POSJEĆIVANJE PREDAVANJA, čak i ako ih nema puno. Već sam to spomenuo na glavnoj stranici stranice. Matematika za dopisne studente. Nema smisla ponavljati zašto je to JAKO važno, pročitajte tamo.

Dakle, što učiniti ako je test na nosu, ispit iz više matematike, a stvari su žalosne - stanje punog, ili bolje rečeno, praznog čajnika?

Jedna od opcija je angažiranje učitelja. Najveća baza podataka tutora može se pronaći (uglavnom Moskva) ili (uglavnom St. Petersburg). Koristeći tražilicu, vrlo je vjerojatno da ćete pronaći učitelja u svom gradu ili pogledati lokalne reklamne novine. Cijena usluga učitelja može varirati od 400 ili više rubalja po satu, ovisno o kvalifikacijama učitelja. Valja napomenuti da jeftino ne znači loše, pogotovo ako imate dobro matematičko znanje. U isto vrijeme, za 2-3K rubalja dobit ćete PUNO. Uzalud nitko ne uzima takav novac, i uzalud nitko ne plaća takav novac ;-). Jedina važna točka - pokušajte odabrati učitelja sa specijaliziranim pedagoškim obrazovanjem. I zapravo, mi ne idemo zubaru po pravnu pomoć.

U posljednje vrijeme usluge online podučavanja dobivaju na popularnosti. Vrlo je praktičan kada morate hitno riješiti jedan ili dva problema, razumjeti temu ili se pripremiti za ispit. Nedvojbena prednost su cijene, koje su nekoliko puta niže od onih izvanmrežnog učitelja + ušteda vremena na putovanju, što je posebno važno za stanovnike velegradova.

Na tečaju više matematike vrlo je teško svladati neke stvari bez mentora, potrebno vam je samo “živo” objašnjenje.

Unatoč tome, sasvim je moguće sami razumjeti mnoge vrste problema, a svrha ovog dijela stranice je naučiti kako rješavati tipične primjere i probleme koji se gotovo uvijek nalaze na ispitima. Štoviše, za niz zadataka postoje "tvrdi" algoritmi, gdje se ne može pobjeći od ispravnog rješenja. I, koliko znam, pokušat ću vam pomoći, tim više što imam pedagoško obrazovanje i radno iskustvo u svojoj specijalnosti.

Počnimo brbljati matematičke gluposti. U redu je, čak i ako ste čajnik, viša matematika je stvarno jednostavna i stvarno dostupna.

I morate početi ponavljanjem školskog tečaja matematike. Ponavljanje je majka boli.

Prije nego počnete proučavati moje metodološke materijale, i općenito počnete proučavati bilo koji materijal iz više matematike, JAKO PREPORUČAM da pročitate sljedeće.

Za uspješno rješavanje zadataka iz više matematike MORATE:

NABAVITE MIKROKALKULATOR.

Od programa - Excel (odličan izbor!). Učitao sam priručnik za "lutke" u knjižnicu.

Tamo je? Već dobro.

– Od preslagivanja pojmova - zbroj se ne mijenja: .
Ali to su potpuno različite stvari:

Jednostavno je nemoguće presložiti "x" i "četiri". Pritom podsjećamo na ikoničko slovo "x", koje u matematici označava nepoznatu ili promjenjivu vrijednost.

– Preuređivanjem faktora – umnožak se ne mijenja: .
S dijeljenjem takav trik neće uspjeti, a to su dva potpuno različita razlomka, a preuređivanje brojnika s nazivnikom ne prolazi bez posljedica.
Također podsjećamo da se znak množenja ("točke") najčešće ne piše:,

– Prisjetite se pravila za proširivanje zagrada:
- ovdje se znakovi pojmova ne mijenjaju
- a ovdje su obrnute.
I za množenje:

Općenito, dovoljno je zapamtiti to DVA MINUSA DAJU PLUS, a TRI MINUS - DAJ MINUS. I pokušajte se u tome ne zbuniti kada rješavate probleme iz više matematike (vrlo česta i dosadna greška).

– Prisjetimo se smanjenja sličnih pojmova, Trebali biste dobro razumjeti sljedeću operaciju:

– Zapamtite što je diploma:

, , , .

Diploma je samo obično množenje.

–Ne zaboravite da se razlomci mogu smanjiti: (smanjeno za 2), (smanjeno za pet), (smanjeno za ).

– Zapamtite akcije s razlomcima:

i također, vrlo važno pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik:

Ako ovi primjeri nisu jasni, pogledajte školske udžbenike.
Bez ovoga će biti TEŠKO.

SAVJET: sve SREDNJE izračune u višoj matematici najbolje je raditi u OBIČNIM PRAVIM I NEPRAVILNIM RAZLOMKIMA, čak i ako su strašni razlomci poput . Ovaj razlomak NE SMIJE biti predstavljen kao , i, štoviše, NEMOJTE dijeliti brojnik s nazivnikom na kalkulatoru, dobivajući 4,334552102 ....

IZUZETAK od pravila je konačan odgovor zadatka, tada je samo bolje napisati ili.

– Jednadžba. Ima lijevu i desnu stranu. Na primjer:

Bilo koji pojam možete prenijeti na drugi dio promjenom predznaka:
Pomaknimo, na primjer, sve pojmove na lijevu stranu:

Ili desno:

Za one koji žele naučiti kako pronaći granice u ovom ćemo članku govoriti o tome. Nećemo ulaziti u teoriju, ona se obično daje na predavanjima od strane nastavnika. Dakle, "dosadnu teoriju" treba ocrtati u svojim bilježnicama. Ako to nije slučaj, onda možete čitati udžbenike preuzete iz knjižnice obrazovne ustanove ili na drugim internetskim izvorima.

Dakle, koncept limita je vrlo važan u proučavanju kolegija više matematike, posebno kada se susrećete s integralnim računom i razumijete odnos između limita i integrala. U trenutnom materijalu razmotrit će se jednostavni primjeri, kao i načini njihovog rješavanja.

Primjeri rješenja

Što učiniti s nesigurnošću obrasca: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Uzmimo granicu u posljednja dva primjera do beskonačnosti i razmotrimo nesigurnost: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Algoritam za izračunavanje granica

Dakle, rezimiramo ukratko analizirane primjere i napravimo algoritam za rješavanje granica:

1. Zamijenite točku x u izrazu iza znaka granice. Ako se dobije određeni broj, odnosno beskonačnost, onda je limit potpuno riješen. U suprotnom, imamo nesigurnost: "nula podijeljena s nulom" ili "beskonačno podijeljeno s beskonačnom" i prijeđite na sljedeće odlomke upute.
2. Kako biste eliminirali nesigurnost "nula podijeli s nulom", morate faktorizirati brojnik i nazivnik. Smanji slično. Zamijenite točku x u izrazu ispod znaka granice.
3. Ako je nesigurnost "beskonačno podijeljeno s beskonačnim", tada iu brojniku i u nazivniku oduzimamo x najvećeg stupnja. Skraćujemo x-ove. Zamijenimo x vrijednosti ispod granice u preostali izraz.

U ovom ste se članku upoznali s osnovama rješavanja granica, koje se često koriste u tečaju Računa. Naravno, ovo nisu sve vrste zadataka koje nude ispitivači, već samo najjednostavnije granice. O drugim vrstama zadataka govorit ćemo u narednim člancima, ali prvo morate naučiti ovu lekciju kako biste nastavili dalje. Raspravljat ćemo o tome što učiniti ako postoje korijeni, stupnjevi, proučavat ćemo infinitezimalne ekvivalentne funkcije, divne granice, L'Hopitalovo pravilo.

Ako ne možete sami otkriti granice, nemojte paničariti. Uvijek nam je drago pomoći!

Kategorija Calculus sadrži besplatne online video lekcije o ovoj temi. Matematička analiza je skup grana matematike koje se bave proučavanjem funkcija i njihovim generalizacijama pomoću metoda diferencijalnog i integralnog računa. To uključuje: funkcionalnu analizu, uključujući teoriju Lebesgueovog integrala, kompleksnu analizu (TFKP), koja proučava funkcije definirane na kompleksnoj ravnini, teoriju nizova i višedimenzionalnih integrala, nestandardnu ​​analizu, koja proučava infinitezimalne i beskonačno velike brojeve, vektorska analiza i varijacijski račun. Učenje računa iz video lekcija bit će korisno i početnicima i iskusnijim matematičarima. Možete besplatno gledati video lekcije iz odjeljka Matematička analiza u bilo koje prikladno vrijeme. Neke video lekcije o matematičkoj analizi imaju dodatne materijale koji se mogu preuzeti. Sretno učenje!

Ukupno materijala: 12
Prikazani materijali: 1-10

Što je derivacija funkcije

Želite li znati što je derivacija funkcije u matematici? Naravno, čuli ste za derivat mnogo puta i čak, vjerojatno, uzeli ovaj derivat u školi, potpuno ne shvaćajući značenje svojih postupaka. U ovom videu vas neću učiti formulama, već ću vam objasniti značenje izvedenice na prste da i okrugli čajnik razumije. Ali prvo, bolje pogledajte moj prethodni video, gdje također govorim o funkciji na pristupačan način. U ovom video vodiču, mi smo jednostavni, jasni i ilustrativni životni primjeri ...

Uvod u analizu. Snaga skupova

Online lekcija “Uvod u analizu. Moć skupova” posvećena je pitanju takvog koncepta kao što je moć skupova. Ovo se pitanje odnosi na kvantitativnu karakterizaciju skupova. Ako je skup konačan, tada možemo govoriti o broju njegovih elemenata. Ali što je s beskonačnim skupovima? Doista, u ovom slučaju neće postojati koncept više ili manje. Da bi se riješio ovaj problem, uvodi se takav koncept kao što je moć. Power je alat za kvantitativno uspoređivanje beskonačnih skupova. Ova lekcija daje...

Limit funkcije u točki - definicija, primjeri

Ova online lekcija govori o konceptu kao što je granica funkcije u točki - definicija, primjeri. Većina elemenata proučavanja funkcija temelji se na osnovnom pojmu limita funkcije. Ovdje će se na jednostavnom primjeru razmotriti limit funkcije u točki, nakon čega će se dati stroga definicija limita funkcije u točki s detaljnim prikazom na grafu radi boljeg usvajanja gradiva. Ova lekcija također razmatra druge primjere i daje rigoroznu definiciju jednostranog...

Konvergencija redova potencija - primjer kako pronaći područje konvergencije, istraživanje

Ovaj video tutorial govori o konceptu kao što je konvergencija nizova snaga, primjer kako pronaći područje konvergencije, istraživanje. Niz potencija je poseban slučaj funkcionalnog niza kada su njegovi članovi funkcije potencije argumenta x. Područje konvergencije su sve vrijednosti varijable x za koje konvergiraju odgovarajuće numeričke serije. Za istraživanje, možete koristiti d'Alembertov test i koristiti ga da pokažete da redovi potencija konvergiraju ili divergiraju, a kada ...

Što je primitivno

U ovom videu govorit ću vam o antiderivativu, koji je blizak rođak derivata. Zapravo, već znate gotovo sve o njoj ako ste gledali moje prethodne videe, a mi samo trebamo staviti točku na i. Antiderivat je "roditeljska" funkcija za derivat. Pronaći antiderivat znači odgovoriti na pitanje: čije je dijete? Ako je kći poznata, onda moramo pronaći majku. Ranije smo, naprotiv, tražili kćer za danu majku. Sada vršimo prijelaz s...

Geometrijsko značenje derivacije

U ovom videu govorit ću o geometrijskom značenju derivacije. Naučit ćete da je geometrijsko značenje derivacije da su derivacija i nagib tangente gotovo iste stvari. Kažem "skoro" jer je derivacija jednaka tangensu nagiba tangente. Možemo pretpostaviti da su derivacija i nagib tangente usko povezani. Ako je nagib velik, tada je i derivacija velika, a funkcija u ovoj točki naglo raste. Ako je kut nagiba mali, onda je i izvodnica mala...

Što je funkcija u matematici

Želite li znati što je funkcija u matematici? U ovom video tutorialu ćemo vam jednostavno i jasno, koristeći grafičke ilustracije i ilustrativne primjere iz života, reći što je funkcija, koji je njen argument, što su funkcije (rastuća, opadajuća, mješovita), kako možete postaviti funkciju (pomoću grafikon, tablica, formule). Vidjet ćete da se odnos koji pokazuje kako je jedna veličina povezana s drugom količinom naziva funkcija. Svaka funkcija je odnos između količina...

Limit funkcije u beskonačnosti - definicija, primjeri

Lekcija "Granica funkcije u beskonačnosti - definicija, primjeri" posvećena je pitanju što su granice u beskonačnosti. Većina elementarnih funkcija definirana je za proizvoljno veliku vrijednost argumenta. U ovom slučaju važno je znati ponašanje funkcije u beskonačnosti. Jedan element proučavanja takvog ponašanja je pronaći granicu funkcije u beskonačnosti. Iako beskonačnost nije broj, niti mu odgovara nijedna točka na brojevnom pravcu, definicija granice na ...