Odredi duljine stranica trokuta prema koordinatama vrhova. Određivanje volumena i površine geometrijskih oblika. Sustavi linearnih nejednadžbi. Kako naučiti rješavati probleme iz analitičke geometrije? Tipičan problem s trokutom u ravnini

Zadatak 1. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžbe stranica AB i BC i njihovih nagiba; 3) kut B u radijanima s točnošću do dvije decimale; 4) jednadžbu visine CD i njezine duljine; 5) jednadžbu središnje AE i koordinate točke K sjecišta ove središnje s visinom CD; 6) jednadžba pravca koji prolazi točkom K paralelno sa stranicom AB; 7) koordinate točke M, smještene simetrično na točku A u odnosu na ravnu liniju CD.

Riješenje:

1. Udaljenost d između točaka A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) određena je formulom

Primjenom (1) nalazimo duljinu stranice AB:

2. Jednadžba pravca koji prolazi točkama A (x 1, y 1) i B (x 2, y 2) ima oblik

(2)

Zamjenom u (2) koordinata točaka A i B dobivamo jednadžbu stranice AB:

Nakon što smo riješili posljednju jednadžbu za y, nalazimo jednadžbu stranice AB u obliku jednadžbe pravca s nagibom:

gdje

Zamjenom u (2) koordinata točaka B i C dobivamo jednadžbu pravca BC:

Ili

3. Poznato je da se tangens kuta između dviju ravnih linija, čiji su kutni koeficijenti jednaki, izračunava formulom

(3)

Traženi kut B tvore pravci AB i BC čiji se kutni koeficijenti nalaze: Primjenom (3) dobivamo

Ili drago.

4. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru ima oblik

(4)

Visina CD okomita je na stranicu AB. Da bismo pronašli nagib visine CD, koristimo uvjet okomitosti pravaca. Od tad Zamjenjujući u (4) koordinate točke C i pronađeni kutni koeficijent visine, dobivamo

Da bismo pronašli duljinu visine CD, najprije odredimo koordinate točke D – sjecišta pravaca AB i CD. Zajedničko rješavanje sustava:

pronaći oni. D(8;0).

Pomoću formule (1) nalazimo duljinu visine CD:

5. Da bismo pronašli jednadžbu za medijan AE, najprije odredimo koordinate točke E, koja je središte stranice BC, koristeći formule za dijeljenje segmenta na dva jednaka dijela:

(5)

Posljedično,

Zamjenom u (2) koordinata točaka A i E, nalazimo srednju jednadžbu:

Za pronalaženje koordinata točke presjeka visine CD i medijane AE zajednički rješavamo sustav jednadžbi

Pronašli smo .

6. Budući da je željeni pravac paralelan sa stranicom AB, onda će njegov nagib biti jednak nagibu pravca AB. Zamjenom u (4) koordinate nađene točke K i nagiba dobivamo

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Budući da je pravac AB okomit na pravac CD, tražena točka M, koja se nalazi simetrično točki A u odnosu na pravac CD, leži na pravcu AB. Osim toga, točka D je središte segmenta AM. Primjenom formula (5) nalazimo koordinate željene točke M:

Trokut ABC, visina CD, središnja AE, pravac KF i točka M izgrađeni su u xOy koordinatnom sustavu na sl. jedan.

Zadatak 2. Sastavite jednadžbu za geometrijsko mjesto točaka čiji je omjer udaljenosti do zadane točke A (4; 0) i zadane ravne crte x \u003d 1 jednak 2.

Riješenje:

U koordinatnom sustavu xOy konstruiramo točku A(4;0) i pravac x = 1. Neka je M(x;y) proizvoljna točka željenog geometrijskog mjesta točaka. Spustimo okomicu MB na zadani pravac x = 1 i odredimo koordinate točke B. Budući da točka B leži na zadanom pravcu, njezina je apscisa jednaka 1. Ordinata točke B jednaka je ordinati točke M. Prema tome, B(1; y) (slika 2).

Prema uvjetu zadatka |MA|: |MV| = 2. Udaljenosti |MA| i |MB| nalazimo formulom (1) problema 1:

Kvadriranjem lijeve i desne strane dobivamo

Rezultirajuća jednadžba je hiperbola, u kojoj je realna poluos a = 2, a imaginarna je

Definirajmo žarišta hiperbole. Za hiperbolu je jednakost zadovoljena. Prema tome, i su žarišta hiperbole. Kao što vidite, dana točka A(4;0) je desni fokus hiperbole.

Odredimo ekscentricitet rezultirajuće hiperbole:

Jednadžbe asimptote hiperbole imaju oblik i . Prema tome, ili i su asimptote hiperbole. Prije konstruiranja hiperbole konstruiramo njezine asimptote.

Zadatak 3. Sastavite jednadžbu za geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od točke A (4; 3) i pravca y \u003d 1. Svedite dobivenu jednadžbu na najjednostavniji oblik.

Riješenje: Neka je M(x; y) jedna od točaka željenog geometrijskog mjesta točaka. Spustimo okomicu MB iz točke M na zadani pravac y = 1 (slika 3). Odredimo koordinate točke B. Očito je da je apscisa točke B jednaka apscisi točke M, a ordinata točke B je 1, tj. B (x; 1). Prema uvjetu zadatka |MA|=|MV|. Prema tome, za bilo koju točku M (x; y) koja pripada željenom geometrijskom mjestu točaka vrijedi jednakost:

Rezultirajuća jednadžba definira parabolu s vrhom u točki. Kako bismo reducirali jednadžbu parabole na njen najjednostavniji oblik, postavljamo i y + 2 = Y, tada jednadžba parabole ima oblik:

1. Jednadžba stranica AB i BC i njihovih nagiba.
U zadatku su dane koordinate točaka kroz koje te linije prolaze, pa ćemo koristiti jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1 )(y_2-y_1)$ $ zamijenite i dobijete jednadžbe
jednadžba pravca AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ nagib linije AB je \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
jednadžba pravca BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ nagib pravca BC je \(k_ ( BC) = -7 \)

2. Kut B u radijanima na dvije decimale
Kut B - kut između pravaca AB i BC, koji se izračunava formulom $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$zamijenite koeficijente nagiba ovih pravaca i dobijete $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \približno 0,79$$
3.Duljina stranice AB
Duljina stranice AB izračunava se kao udaljenost između točaka i jednaka je \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB ) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Jednadžba visine CD i njegove duljine.
Jednadžbu visine ćemo pronaći po formuli pravca koji prolazi kroz zadanu točku S(4;13) u zadanom smjeru - okomitom na pravac AB prema formuli \(y-y_0=k(x-x_0 )\). Nađite nagib visine \(k_(CD)\) koristeći svojstvo okomitih linija \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) dobivamo $$k_(CD)= -\frac(1) (k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ (x-4) => y = \frac(4)( 3)x+\frac(23)(3)$$ = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ u brojniku je jednadžba pravca AB, mi dovedite ga u ovaj oblik \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , zamijenite rezultirajuću jednadžbu i koordinate točke u formulu $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. Jednadžba medijane AE i koordinate točke K, sjecišta te središnje s visinom CD.
Jednadžbu medijana tražit ćemo kao jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke A(-6;8) i E , gdje je točka E središte između točaka B i C, a njezine koordinate se nalaze po formuli \( E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) zamijenite koordinate točaka \(E(\frac(6+4)(2);\frac( -1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), tada je jednadžba za medijan AE $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y -8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Nađite koordinate točke presjeka visina i središnje, tj. pronađite njihovu zajedničku točku Da biste to učinili, sastavite jednadžbu sustava $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)( 3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin( slučajevima)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\begin (slučajevi) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Koordinate presjeka \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. Jednadžba pravca koji prolazi točkom K paralelno sa stranicom AB.
Ako su linije paralelne, onda su im nagibi jednaki, tj. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , poznate su i koordinate točke \(K(-\frac(1)(2);7)\) , tj. da bismo pronašli jednadžbu pravca, primijenimo formulu za jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru \(y - y_0=k(x-x_0)\), zamijenimo podatke i dobijemo $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8) $$

8. Koordinate točke M koja je simetrična točki A u odnosu na pravac CD.
Točka M leži na pravcu AB, jer CD - visina na ovu stranu. Pronađite točku presjeka CD i AB. Da biste to učinili, riješite sustav jednadžbi $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -\ frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $ $$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Koordinate točke D(-2;5). Prema uvjetu AD=DK, ova udaljenost između točaka nalazi se Pitagorinom formulom \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), gdje su AD i DK hipotenuze jednakih pravokutnih trokuta, a \(Δx =x_2-x_1\) i \(Δy=y_2-y_1\) su kraci tih trokuta, tj. pronađite krake i pronađite koordinate točke M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), i \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), zatim koordinate točke M bit će jednako \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), i \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \ ), dobili smo da su koordinate točke \( M(2;2)\)

Kako naučiti rješavati probleme iz analitičke geometrije?
Tipičan problem s trokutom u ravnini

Ova lekcija nastala je na prilazu ekvatoru između geometrije ravnine i geometrije prostora. U ovom trenutku postoji potreba za sistematizacijom prikupljenih informacija i odgovorom na vrlo važno pitanje: kako naučiti rješavati probleme iz analitičke geometrije? Poteškoća je u tome što u geometriji postoji beskonačan broj zadataka i niti jedan udžbenik ne može sadržavati toliko mnoštvo i raznolikost primjera. Nije izvod funkcije s pet pravila razlikovanja, tablicom i nekoliko tehnika….

Postoji rješenje! Neću reći glasne riječi da sam razvio neku vrstu grandiozne tehnike, ali, po mom mišljenju, postoji učinkovit pristup problemu koji se razmatra, koji čak i punom čajniku omogućuje postizanje dobrih i izvrsnih rezultata. Barem se opći algoritam za rješavanje geometrijskih problema vrlo jasno oblikovao u mojoj glavi.

ŠTO TREBA ZNATI I MOĆI
uspješno rješavati probleme iz geometrije?

Od ovoga se ne može pobjeći - da ne biste nasumično nosom bockali gumbe, morate svladati osnove analitičke geometrije. Stoga, ako ste tek počeli učiti geometriju ili ste je potpuno zaboravili, počnite s lekcijom Vektori za lutke. Osim vektora i radnji s njima, potrebno je poznavati osnovne pojmove ravninske geometrije, posebice, jednadžba pravca u ravnini i . Geometrija prostora predstavljena je člancima Jednadžba ravnine, Jednadžbe pravca u prostoru, Osnovni zadaci na pravcu i ravnini i još neke lekcije. Zakrivljene linije i prostorne plohe drugog reda stoje pomalo odvojeno i s njima nema toliko specifičnih problema.

Pretpostavimo da student već ima elementarna znanja i vještine rješavanja najjednostavnijih problema analitičke geometrije. Ali to se događa ovako: pročitate uvjet problema i ... želite zatvoriti cijelu stvar u potpunosti, baciti je u udaljeni kut i zaboraviti, kao noćnu moru. Štoviše, to u osnovi ne ovisi o razini vaših kvalifikacija, s vremena na vrijeme i sam se susrećem sa zadacima za koje rješenje nije očito. Kako postupiti u takvim slučajevima? Ne morate se bojati zadatka koji ne razumijete!

Prvo, treba postaviti na je li to "planarni" ili prostorni problem? Na primjer, ako se u uvjetu pojavljuju vektori s dvije koordinate, onda je to, naravno, geometrija ravnine. A ako je učitelj natovario zahvalnog slušatelja piramidom, onda je tu jasno geometrija prostora. Rezultati prvog koraka su već prilično dobri, jer smo uspjeli odrezati ogromnu količinu informacija nepotrebnih za ovaj zadatak!

Drugi. Stanje će vas u pravilu odnositi na neku geometrijsku figuru. Doista, prošećite hodnicima svog rodnog sveučilišta i vidjet ćete puno zabrinutih lica.

U "ravnim" problemima, da ne spominjemo očite točke i linije, najpopularniji lik je trokut. Analizirat ćemo ga vrlo detaljno. Slijedi paralelogram, a mnogo rjeđi su pravokutnik, kvadrat, romb, krug i drugi likovi.

U prostornim zadacima mogu letjeti iste ravne figure + sami zrakoplovi i uobičajene trokutaste piramide s paralelopipedima.

Drugo pitanje - Znate li sve o ovoj figuri? Pretpostavimo da se uvjet odnosi na jednakokračni trokut, a vi se vrlo nejasno sjećate o kakvom se trokutu radi. Otvaramo školski udžbenik i čitamo o jednakokračnom trokutu. Što učiniti ... doktor je rekao romb, pa romb. Analitička geometrija je analitička geometrija, ali problem će pomoći u rješavanju geometrijskih svojstava samih likova poznatih nam iz školskog programa. Ako ne znate koliki je zbroj kutova trokuta, onda možete dugo patiti.

Treći. UVIJEK pokušajte slijediti nacrt(na propuhu / čisto / mentalno), čak i ako to stanje ne zahtijeva. U "ravnim" zadacima sam je Euklid naredio da se uzme ravnalo s olovkom u ruci - i to ne samo da bi se razumjelo stanje, već i radi samotestiranja. U ovom slučaju, najprikladnije mjerilo je 1 jedinica = 1 cm (2 tetradne ćelije). O nemarnim studentima i matematičarima koji se vrte u grobovima da i ne govorimo – u takvim zadacima gotovo je nemoguće pogriješiti. Za prostorne zadatke izvodimo shematski crtež, koji će također pomoći u analizi stanja.

Crtež ili shematski crtež često odmah omogućuje uvid u način rješavanja problema. Naravno, za to morate poznavati temelje geometrije i rezati svojstva geometrijskih oblika (vidi prethodni pasus).

Četvrta. Razvoj algoritma rješenja. Mnogi geometrijski problemi su višeprolazni, pa je vrlo zgodno rastaviti rješenje i njegov dizajn na točke. Često vam algoritam odmah padne na pamet nakon što pročitate uvjet ili dovršite crtež. U slučaju poteškoća, počinjemo s PITANJEM problema. Na primjer, prema uvjetu "potrebno je izgraditi ravnu liniju ...". Ovdje je najlogičnije pitanje: “Što je dovoljno znati za izgradnju ove linije?”. Pretpostavimo, "znamo točku, trebamo znati vektor smjera." Postavljamo sljedeće pitanje: “Kako pronaći ovaj vektor smjera? Gdje?" itd.

Ponekad se dogodi “čep” – zadatak nije riješen i to je to. Razlozi zastoja mogu biti sljedeći:

- Ozbiljna rupa u elementarnom znanju. Drugim riječima, ne znate ili (i) ne vidite neku vrlo jednostavnu stvar.

- Nepoznavanje svojstava geometrijskih oblika.

- Zadatak je bio težak. Da, događa se. Nema smisla pariti se satima i skupljati suze u maramicu. Pitajte svog učitelja, kolege studente ili postavite pitanje na forumu za savjet. Štoviše, bolje je da se konkretizira - o onom dijelu rješenja koji ne razumijete. Vapaj u obliku "Kako riješiti problem?" ne izgleda dobro... i iznad svega, za vaš vlastiti ugled.

Peta faza. Rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo-dajmo odgovor. Korisno je provjeriti svaku stavku zadatka odmah nakon što je učinjeno. To će vam pomoći da odmah pronađete grešku. Naravno, nitko ne zabranjuje brzo rješavanje cijelog problema, ali postoji rizik od ponovnog pisanja svega (često nekoliko stranica).

Ovdje su možda sva glavna razmatranja kojima se preporuča voditi pri rješavanju problema.

Praktični dio nastave predstavlja geometrija na ravnini. Bit će samo dva primjera, ali neće se činiti dovoljno =)

Prođimo kroz nit algoritma koji sam upravo pregledao u svom malom znanstvenom radu:

Primjer 1

Zadana su tri vrha paralelograma. Pronađite vrh.

Počnimo shvaćati:

Prvi korak: očito je da govorimo o “ravnom” problemu.

korak dva: Zadatak je o paralelogramu. Svatko se sjeća takve figure paralelograma? Nema potrebe za smješkom, puno ljudi se školuje s 30-40-50 ili više godina, pa se i jednostavne činjenice mogu izbrisati iz sjećanja. Definicija paralelograma nalazi se u primjeru br. 3 lekcije Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova.

Treći korak: Napravimo crtež na kojem označavamo tri poznata vrha. Smiješno je da je lako odmah izgraditi željenu točku:

Konstruiranje je, naravno, dobro, ali rješenje mora biti analitički formalizirano.

Četvrti korak: Razvoj algoritma rješenja. Prvo što pada na pamet je da se točka može pronaći kao sjecište pravaca. Njihove jednadžbe su nam nepoznate, pa se moramo pozabaviti ovim problemom:

1) Nasuprotne stranice su paralelne. Po bodovima nađi vektor smjera ovih stranica . Ovo je najjednostavniji zadatak koji je razmatran u lekciji. Vektori za lutke.

Bilješka: ispravnije je reći “jednadžba pravca koja sadrži stranicu”, ali u nastavku ću, radi sažetosti, koristiti izraze “jednadžba stranice”, “usmjeravajući vektor stranice” itd.

3) Nasuprotne stranice su paralelne. Iz točaka nalazimo vektor smjera tih stranica.

4) Sastaviti jednadžbu pravca s točkom i vektorom smjera

U odlomcima 1-2 i 3-4 zapravo smo dvaput riješili isti problem, usput, analiziran je u primjeru br. 3 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Moglo se ići i duljim putem - prvo pronaći jednadžbe linija i tek onda iz njih "izvući" vektore smjera.

5) Sada su jednadžbe linija poznate. Ostaje sastaviti i riješiti odgovarajući sustav linearnih jednadžbi (vidi primjere br. 4, 5 iste lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini).

Točka pronađena.

Zadatak je vrlo jednostavan i njegovo rješenje je očito, ali postoji kraći put!

Drugi način rješavanja:

Dijagonale paralelograma dijele se na dva dijela svojom sjecišnom točkom. Označio sam točku, ali da ne bih zatrpao crtež nisam sam crtao dijagonale.

Sastavite jednadžbu stranice po točkama :

Za provjeru, mentalno ili na nacrtu, zamijenite koordinate svake točke u dobivenoj jednadžbi. Sada pronađimo nagib. Da bismo to učinili, prepisujemo opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Dakle, faktor nagiba je:

Slično, nalazimo jednadžbe stranica. Ne vidim puno smisla slikati istu stvar, pa ću odmah dati gotov rezultat:

2) Odredi duljinu stranice. Ovo je najjednostavniji zadatak o kojem se govori u lekciji. Vektori za lutke. Za bodove koristimo formulu:

Pomoću iste formule lako je pronaći duljine ostalih stranica. Provjera se vrlo brzo izvodi običnim ravnalom.

Koristimo formulu .

Nađimo vektore:

Na ovaj način:

Usput, usput smo pronašli duljine stranica.

Kao rezultat:

Pa, čini se da je istina, za uvjerljivost možete pričvrstiti kutomjer na kut.

Pažnja! Nemojte brkati kut trokuta s kutom između ravnih linija. Kut trokuta može biti tup, ali kut između ravnih linija nije (pogledajte zadnji odlomak članka Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini). Međutim, formule iz gornje lekcije također se mogu koristiti za pronalaženje kuta trokuta, ali hrapavost je u tome što te formule uvijek daju šiljasti kut. Uz njihovu pomoć riješio sam ovaj problem na nacrtu i dobio rezultat. A na čistopis bi morali napisati dodatne isprike koje.

4) Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem.

Standardni zadatak, detaljno razmotren u primjeru br. 2 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Iz opće jednadžbe pravca izvući vektor smjera . Sastavimo jednadžbu pravca pomoću točke i usmjeravajućeg vektora:

Kako pronaći visinu trokuta?

5) Napravimo jednadžbu visine pa ćemo pronaći njezinu duljinu.

Od strogih definicija se ne može pobjeći, pa se mora ukrasti iz školskog udžbenika:

visina trokuta zove se okomica povučena iz vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranicu.

Odnosno, potrebno je sastaviti jednadžbu okomice povučene iz vrha na stranu. Ovaj zadatak se razmatra u primjerima br. 6, 7 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Iz jednadžbe ukloniti normalni vektor. Sastavit ćemo jednadžbu visine za točku i vektor smjera:

Imajte na umu da ne znamo koordinate točke.

Ponekad se jednadžba visine nalazi iz omjera nagiba okomitih linija: . U ovom slučaju tada: . Sastavit ćemo jednadžbu visine za točku i kosinu (vidi početak lekcije Jednadžba pravca na ravnini):

Duljina visine može se pronaći na dva načina.

Postoji zaobilazni put:

a) pronaći - točku sjecišta visine i stranice;
b) odredite duljinu odsječka uz dvije poznate točke.

Ali u razredu Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini razmatrana je zgodna formula za udaljenost od točke do pravca. Poznata je točka: , poznata je i jednadžba pravca: , Na ovaj način:

6) Izračunajte površinu trokuta. U svemiru se površina trokuta tradicionalno izračunava pomoću umnožak vektora, ali ovdje je zadan trokut u ravnini. Koristimo školsku formulu:
Površina trokuta je polovica umnoška njegove baze i visine.

U ovom slučaju:

Kako pronaći medijan trokuta?

7) Sastavite jednadžbu medijana.

Medijan trokuta Odsječak koji povezuje vrh trokuta sa središtem suprotne stranice naziva se.

a) Pronađite točku – polovište stranice. Koristimo formule koordinata sredine. Poznate su koordinate krajeva segmenta: , zatim koordinate sredine:

Na ovaj način:

Jednadžbu medijana sastavljamo po točkama :

Da biste provjerili jednadžbu, morate u nju zamijeniti koordinate točaka.

8) Pronađite točku presjeka visine i medijane. Mislim da su svi već naučili kako izvesti ovaj element umjetničkog klizanja bez pada:

U zadacima 1 - 20 zadani su vrhovi trokuta ABC.
Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžbe stranica AB i AC i njihovih nagiba; 3) Unutarnji kut A u radijanima s točnošću od 0,01; 4) jednadžba visine CD i njegove duljine; 5) jednadžba kružnice, kojoj je visina CD promjer; 6) sustav linearnih nejednadžbi koje određuju trokut ABC.

Duljine stranica trokuta:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
Udaljenost d od točke M: d = 10
Zadane su koordinate vrhova trokuta: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Duljine stranica trokuta
Udaljenost d između točaka M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) određena je formulom:

8) Jednadžba pravca
Prava linija koja prolazi kroz točke A 1 (x 1; y 1) i A 2 (x 2; y 2) predstavljena je jednadžbama:

Jednadžba pravca AB


ili

ili
y = -3 / 4 x -7 / 4 ili 4y + 3x +7 = 0
Jednadžba pravca AC
Kanonska jednadžba ravne linije:

ili

ili
y = 1/2 x + 9/2 ili 2y -x - 9 = 0
Jednadžba linije BC
Kanonska jednadžba ravne linije:

ili

ili
y = -7x + 42 ili y + 7x - 42 = 0
3) Kut između ravnih linija
Jednadžba ravne linije AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednadžba ravne linije AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Kut φ između dviju ravnih linija dan jednadžbama s koeficijentima nagiba y \u003d k 1 x + b 1 i y 2 \u003d k 2 x + b 2 izračunava se formulom:

Nagibi ovih ravnih linija su -3/4 i 1/2. Koristimo formulu i uzimamo njenu desnu stranu modulo:

tan φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 ili 1,107 rad.
9) Jednadžba visine kroz vrh C
Pravac koji prolazi kroz točku N 0 (x 0; y 0) i okomit na pravac Ax + By + C = 0 ima vektor smjera (A; B) i stoga je predstavljen jednadžbama:



Ova se jednadžba može pronaći i na drugi način. Da bismo to učinili, nalazimo nagib k 1 ravne linije AB.
Jednadžba AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, tj. k 1 \u003d -3 / 4
Nađimo nagib k okomice iz uvjeta okomitosti dviju ravnih linija: k 1 *k = -1.
Zamijenivši umjesto k 1 nagib ove ravne linije, dobivamo:
-3 / 4 k = -1, odakle je k = 4 / 3
Budući da okomica prolazi kroz točku C(5,7) i ima k = 4 / 3, tražit ćemo njezinu jednadžbu u obliku: y-y 0 = k(x-x 0).
Zamjenom x 0 \u003d 5, k \u003d 4 / 3, y 0 \u003d 7 dobivamo:
y-7 = 4/3 (x-5)
ili
y = 4 / 3 x + 1 / 3 ili 3y -4x - 1 = 0
Nađimo točku presjeka s pravcem AB:
Imamo sustav od dvije jednadžbe:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Izrazite y iz prve jednadžbe i zamijenite ga u drugu jednadžbu.
Dobivamo:
x=-1
y=-1
D(-1;-1)
9) Duljina visine trokuta povučena iz vrha C
Udaljenost d od točke M 1 (x 1; y 1) do ravne linije Ax + By + C \u003d 0 jednaka je apsolutnoj vrijednosti količine:

Pronađite udaljenost između točke C(5;7) i pravca AB (4y + 3x +7 = 0)


Duljina visine može se izračunati i pomoću druge formule, kao udaljenost između točke C(5;7) i točke D(-1;-1).
Udaljenost između dvije točke izražava se koordinatama formulom:

5) jednadžba kružnice, kojoj je visina CD promjer;
Jednadžba kružnice radijusa R sa središtem u točki E(a;b) ima oblik:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Budući da je CD promjer tražene kružnice, njezino središte E je središte segmenta CD. Koristeći formule za dijeljenje segmenta na pola, dobivamo:


Dakle, E (2; 3) i R \u003d CD / 2 \u003d 5. Pomoću formule dobivamo jednadžbu željenog kruga: (x-2) 2 + (y-3) 2 \u003d 25

6) sustav linearnih nejednadžbi koje određuju trokut ABC.
Jednadžba ravne linije AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednadžba pravca AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Jednadžba ravne linije BC: y = -7x + 42