Nađite jednadžbu tangente na graf funkcije. Nagib tangente je tangens kuta nagiba. Jednadžba tangente na graf funkcije

Tangens je ravna crta koja prolazi točkom na krivulji i koincidira s njom u ovoj točki do prvog reda (slika 1).

Druga definicija: ovo je granični položaj sekante na Δ x→0.

Objašnjenje: Uzmite ravnu liniju koja siječe krivulju u dvije točke: A I b(vidi sliku). Ovo je sekans. Rotirat ćemo ga u smjeru kazaljke na satu dok ne pronađe samo jednu zajedničku točku s krivuljom. Ovo će nam dati tangentu.

Stroga definicija tangente:

Tangenta na graf funkcije f, diferencijabilan u točki xO, je pravac koji prolazi točkom ( xO; f(xO)) i imajući nagib f′( xO).

Faktor nagiba ima ravnu liniju oblika y=kx +b. Koeficijent k i je nagib ovu ravnu liniju.

Kutni koeficijent jednak je tangensu oštrog kuta koji ova ravna crta tvori s osi apscise:

k = tan α

Ovdje je kut α kut između ravnih linija y=kx +b i pozitivan (to jest, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) osi x. To se zove kut nagiba pravca(Slike 1 i 2).

Ako je kut nagiba ravan y=kx +b akutni, tada je nagib pozitivan broj. Grafikon se povećava (slika 1).

Ako je kut nagiba ravan y=kx +b je tup, tada je nagib negativan broj. Grafikon se smanjuje (slika 2).

Ako je pravac paralelan s osi x, tada je kut nagiba pravca jednak nuli. U ovom slučaju, nagib pravca također je nula (budući da je tangenta nule jednaka nuli). Jednadžba ravne linije će izgledati kao y = b (slika 3).

Ako je kut nagiba pravca 90º (π/2), odnosno okomit je na apscisnu os, tada je pravac dan jednakošću x =c, Gdje c– neki realni broj (sl. 4).

Jednadžba tangente na graf funkcijeg = f(x) u točki xO:

Primjer: Pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 u točki s apscisom 2.

Riješenje .

Slijedimo algoritam.

1) Dodirna točka xO jednak je 2. Izračunaj f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Pronađite f′( x). Da bismo to učinili, primjenjujemo formule diferencijacije navedene u prethodnom odjeljku. Prema ovim formulama, x 2 = 2x, A x 3 = 3x 2. Sredstva:

f′( x) = 3x 2 – 2 ∙ 2x = 3x 2 – 4x.

Sada, koristeći dobivenu vrijednost f′( x), izračunajte f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Dakle, imamo sve potrebne podatke: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Zamijenite ove brojeve u jednadžbu tangente i pronađite konačno rješenje:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Odgovor: y = 4x – 7.

Y = f(x) i ako se u ovoj točki na graf funkcije može povući tangenta koja nije okomita na apscisnu os, tada je kutni koeficijent tangente jednak f"(a). Već smo upotrijebio to nekoliko puta. Na primjer, u § 33 je utvrđeno da graf funkcije y = sin x (sinusoida) u ishodištu čini kut od 45° s x-osi (točnije, tangentom na graf u ishodištu čini kut od 45° s pozitivnim smjerom x-osi), au primjeru 5 § 33 točke pronađene su na rasporedu danom funkcije, u kojem je tangenta paralelna s x-osi. U primjeru 2 § 33 sastavljena je jednadžba za tangentu na graf funkcije y = x 2 u točki x = 1 (točnije, u točki (1; 1), ali češće je samo vrijednost apscise navedeno, vjerujući da ako je poznata vrijednost apscise, tada se vrijednost ordinate može pronaći iz jednadžbe y = f(x)). U ovom odjeljku ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf bilo koje funkcije.

Neka je dana funkcija y = f(x) i točka M (a; f(a)), a poznato je i da f"(a) postoji. Sastavimo jednadžbu za tangentu na graf a zadana funkcija u zadanoj točki. Ova jednadžba je kao jednadžba bilo kojeg pravca koji nije paralelan s osi ordinata ima oblik y = kx+m, pa je zadatak pronaći vrijednosti koeficijenata k i m.

Nema problema s kutnim koeficijentom k: znamo da je k = f "(a). Za izračun vrijednosti m koristimo se činjenicom da željena ravna linija prolazi točkom M(a; f (a)) To znači da ako koordinatne točke M zamijenimo u jednadžbu pravca, dobivamo ispravnu jednakost: f(a) = ka+m, odakle dobivamo da je m = f(a) - ka.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata kompleta u jednadžba ravno:

Dobili smo jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = f(x) u točki x=a.
ako, recimo,
Zamjenom pronađenih vrijednosti a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 u jednadžbu (1) dobivamo: y = 1+2(x-f), tj. y = 2x-1.
Usporedite ovaj rezultat s onim dobivenim u primjeru 2 iz § 33. Naravno, dogodilo se isto.
Napravimo jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = tan x u ishodištu. Imamo: to znači cos x f"(0) = 1. Zamjenom pronađenih vrijednosti a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 u jednadžbu (1), dobivamo: y = x.
Zato smo tangentoid u § 15 (vidi sl. 62) povukli kroz ishodište koordinata pod kutom od 45° na apscisnu os.
Rješavanje ovih dovoljno jednostavni primjeri, koristili smo zapravo određeni algoritam, koji je sadržan u formuli (1). Učinimo ovaj algoritam eksplicitnim.

ALGORITAM ZA RAZVOJ JEDNADŽBE ZA TANGENTU NA GRAF FUNKCIJE y = f(x)

1) Apscisu tangente označimo slovom a.
2) Izračunajte 1 (a).
3) Nađite f"(x) i izračunajte f"(a).
4) Pronađene brojeve a, f(a), (a) zamijenite u formulu (1).

Primjer 1. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki x = 1.
Upotrijebimo algoritam, uzimajući u obzir da u u ovom primjeru

Na sl. 126 prikazana je hiperbola, konstruirana je pravac y = 2.
Crtež potvrđuje gornje izračune: doista, pravac y = 2 dodiruje hiperbolu u točki (1; 1).

Odgovor: y = 2- x.
Primjer 2. Nacrtajte tangentu na graf funkcije tako da bude paralelna s pravcem y = 4x - 5.
Pojasnimo formulaciju problema. Zahtjev da se "nacrta tangenta" obično znači "formirati jednadžba za tangentu". To je logično, jer ako je osoba bila u stanju stvoriti jednadžbu za tangentu, onda vjerojatno neće imati poteškoća s konstruiranjem ravne linije na koordinatnoj ravnini pomoću njezine jednadžbe.
Poslužimo se algoritmom za sastavljanje jednadžbe tangente, vodeći računa da u ovom primjeru Ali, za razliku od prethodnog primjera, postoji nejasnoća: apscisa tangentne točke nije eksplicitno naznačena.
Počnimo razmišljati ovako. Željena tangenta mora biti paralelna s pravom y = 4x-5. Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im nagibi jednaki. To znači da kutni koeficijent tangente mora biti jednak kutnom koeficijentu zadane ravne linije: Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednadžbe f"(a) = 4.
Imamo:
Iz jednadžbe To znači da postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uvjete problema: jedna u točki s apscisom 2, druga u točki s apscisom -2.
Sada možete slijediti algoritam.

Primjer 3. Iz točke (0; 1) povući tangentu na graf funkcije
Poslužimo se algoritmom za sastavljanje jednadžbe tangente, vodeći računa da u ovom primjeru, Primijetimo da ovdje, kao i u primjeru 2, apscisa tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, slijedimo algoritam.

Prema uvjetu, tangenta prolazi točkom (0; 1). Zamjenom vrijednosti x = 0, y = 1 u jednadžbu (2), dobivamo:
Kao što vidite, u ovom primjeru tek smo u četvrtom koraku algoritma uspjeli pronaći apscisu tangente. Zamjenom vrijednosti a =4 u jednadžbu (2) dobivamo:

Na sl. 127 predstavljena je geometrijska ilustracija razmatranog primjera: nacrtan je graf funkcije

U § 32 primijetili smo da za funkciju y = f(x) koja ima derivaciju u fiksnoj točki x vrijedi približna jednakost:

Radi lakšeg daljnjeg razmišljanja, promijenimo zapis: umjesto x napisat ćemo a, umjesto x i, prema tome, umjesto x-a. Tada će gore napisana približna jednakost imati oblik:

Sada pogledajte sl. 128. Na graf funkcije y = f(x) u točki M (a; f (a)) povučena je tangenta. Točka x je označena na x-osi blizu a. Jasno je da je f(x) ordinata grafa funkcije u navedenoj točki x. Koliko je f(a) + f"(a) (x-a)? Ovo je ordinata tangente koja odgovara istoj točki x - vidi formulu (1). Koje je značenje približne jednakosti (3)? Činjenica da Za izračunavanje približne vrijednosti funkcije uzmite ordinatnu vrijednost tangente.

Primjer 4. Odredite približnu vrijednost brojevnog izraza 1,02 7.
Riječ je o o pronalaženju vrijednosti funkcije y = x 7 u točki x = 1.02. Upotrijebimo formulu (3) uzimajući u obzir da u ovom primjeru
Kao rezultat dobivamo:

Ako koristimo kalkulator, dobivamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Kao što vidite, točnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.
Odgovor: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download

Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije

Tangenta je pravac , koji dodiruje graf funkcije u jednoj točki i čije su sve točke najmanje udaljene od grafa funkcije. Dakle, tangenta prolazi tangentno na graf funkcije pod određenim kutom, a više tangenti pod različitim kutovima ne mogu prolaziti kroz točku dodirivanja. Tangentne jednadžbe i normalne jednadžbe na graf funkcije konstruiraju se pomoću derivacije.

Jednadžba tangente izvedena je iz jednadžbe pravca .

Izvedimo jednadžbu tangente, a potom i jednadžbu normale na graf funkcije.

g = kx + b .

U njemu k- kutni koeficijent.

Odavde dobivamo sljedeći unos:

g - g 0 = k(x - x 0 ) .

Izvedena vrijednost f "(x 0 ) funkcije g = f(x) u točki x0 jednak nagibu k= tg φ tangenta na graf funkcije povučena kroz točku M0 (x 0 , g 0 ) , Gdje g0 = f(x 0 ) . Ovo je geometrijsko značenje izvedenica .

Dakle, možemo zamijeniti k na f "(x 0 ) i dobiti sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

g - g 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U zadacima sastavljanja jednadžbe tangente na graf funkcije (a na njih ćemo uskoro prijeći), potrebno je jednadžbu dobivenu gornjom formulom svesti na jednadžba pravca u općem obliku. Da biste to učinili, trebate premjestiti sva slova i brojke na lijevu stranu jednadžbe, a ostaviti nulu na desnoj strani.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalan - ovo je ravna crta koja prolazi točkom dodirivanja na graf funkcije okomito na tangentu. Normalna jednadžba :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(g - g 0 ) = 0

Za zagrijavanje se od vas traži da sami riješite prvi primjer, a zatim pogledate rješenje. Postoji svaki razlog za nadu da ovaj zadatak neće biti “hladan tuš” za naše čitatelje.

Primjer 0. Napravite jednadžbu tangente i jednadžbu normale za graf funkcije u točki M (1, 1) .

Primjer 1. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale za graf funkcije , ako je apscisa tangenta .

Nađimo izvod funkcije:

Sada imamo sve što treba zamijeniti u unosu danom u teoretskoj pomoći da bismo dobili jednadžbu tangente. Dobivamo

U ovom smo primjeru imali sreće: pokazalo se da je nagib jednak nuli, pa nije bilo potrebe zasebno reducirati jednadžbu na opći oblik. Sada možemo napraviti normalnu jednadžbu:

Na slici ispod: graf funkcije bordo boja, tangenta Zelena boja, narančasta normalna.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali nagib neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednadžbe u opći oblik.

Primjer 2.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

Nađimo izvod funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagib tangente:

Sve dobivene podatke zamijenimo u "praznu formulu" i dobijemo jednadžbu tangente:

Jednadžbu dovodimo u njezin opći oblik (s lijeve strane skupljamo sva slova i brojeve osim nule, a s desne ostavljamo nulu):

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Primjer 3. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa točka dodirivanja.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

Nađimo izvod funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagib tangente:

.

Nalazimo jednadžbu tangente:

Prije nego što jednadžbu dovedete u njezin opći oblik, morate je malo "pročešljati": pomnožite član po član s 4. To činimo i dovodimo jednadžbu u njezin opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Primjer 4. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa točka dodirivanja.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

.

Nađimo izvod funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagib tangente:

.

Dobivamo jednadžbu tangente:

Jednadžbu dovodimo u opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Česta pogreška pri pisanju jednadžbi tangente i normale je ne primijetiti da je funkcija navedena u primjeru složena i izračunati njezinu derivaciju kao derivaciju jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri već su iz složene funkcije(odgovarajuća lekcija otvorit će se u novom prozoru).

Primjer 5. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa točka dodirivanja.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

Pažnja! Ova funkcija je složena, jer argument tangente (2 x) sama je funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju složene funkcije.

Na moderna pozornica razvoj obrazovanja, jedna od njegovih glavnih zadaća je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za stvaralaštvo kod učenika se može razviti samo ako ih se sustavno privlači osnovama istraživačke aktivnosti. Temelj za iskorištavanje kreativnih snaga, sposobnosti i nadarenosti učenika jesu formirana cjelovita znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sustava temeljnih znanja i vještina za svaku temu školskog tečaja matematike nije od male važnosti. U isto vrijeme, punopravne vještine moraju biti didaktička svrha ne pojedinačnih zadataka, već pažljivo promišljenog sustava istih. U najširem smislu, sustav se shvaća kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju cjelovitost i stabilnu strukturu.

Razmotrimo tehniku ​​za podučavanje učenika kako napisati jednadžbu za tangentu na graf funkcije. U biti, svi problemi pronalaženja jednadžbe tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) pravaca odaberu one koje zadovoljavaju određeni zahtjev - tangiraju na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se odrediti na dva načina:

a) točka koja leži na ravnini xOy (središnja olovka pravaca);
b) kutni koeficijent (paralelni snop ravnih linija).

U tom smislu, proučavajući temu "Tangenta na graf funkcije" kako bismo izolirali elemente sustava, identificirali smo dvije vrste problema:

1) problemi tangente, dano točkom, kroz koji prolazi;
2) problemi na tangenti zadanoj njezinim nagibom.

Obuka u rješavanju problema tangente provedena je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njena temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), pa stoga jednadžba tangente ima oblik

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(usporedi s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ova metodička tehnika, po našem mišljenju, omogućuje učenicima da brzo i jednostavno razumiju gdje su zapisane koordinate trenutne točke opću jednadžbu tangente, te gdje su dodirne točke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Apscisu tangente označimo slovom a.
2. Nađi f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f(a), f "(a) u opća jednadžba tangenta y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ovaj se algoritam može sastaviti na temelju samostalnog prepoznavanja operacija od strane učenika i redoslijeda njihove provedbe.

Praksa je pokazala da vam sekvencijalno rješavanje svakog od ključnih problema pomoću algoritma omogućuje da razvijete vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referentne točke za radnje . Ovaj pristup je u skladu s teorijom postupno formiranje mentalne radnje, razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identificirana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi točkom koja leži na krivulji (problem 1);
• tangenta prolazi točkom koja ne leži na krivulji (zadatak 2).

Zadatak 1. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki M(3; – 2).

Riješenje. Točka M(3; – 2) je tangentna točka, jer

1. a = 3 – apscisa tangente.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – jednadžba tangente.

Zadatak 2. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2 koje prolaze točkom M(– 3; 6).

Riješenje. Točka M(– 3; 6) nije tangenta jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – jednadžba tangente.

Tangenta prolazi kroz točku M(– 3; 6), stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ako je a = – 4, tada je jednadžba tangente y = 4x + 18.

Ako je a = – 2, tada jednadžba tangente ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci bit će sljedeći:

• tangenta je paralelna s nekim pravcem (zadatak 3);
• tangenta prelazi pod određenim kutom na zadani pravac (zadatak 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, paralelnih s pravcem y = 9x + 1.

1. a – apscisa tangente.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uvjet paralelnosti). To znači da trebamo riješiti jednadžbu 3a 2 – 6a = 9. Njeni korijeni su a = – 1, a = 3 (Sl. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – jednadžba tangensa;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – jednadžba tangensa.

Zadatak 4. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, koja prolazi pod kutom od 45° na ravnu liniju y = 0 (slika 4).

Riješenje. Iz uvjeta f "(a) = tan 45° nalazimo a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – apscisa tangente.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednadžbe tangenti na parabolu y = 2x 2 – 5x – 2, ako se tangente sijeku pod pravim kutom i jedna od njih dodiruje parabolu u točki s apscisom 3 (slika 5).

Riješenje. Budući da je apscisa tangente dana, prvi dio rješenja se svodi na ključni problem 1.

1. a = 3 – apscisa dodirne točke jedne od stranica pravi kut.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – jednadžba prve tangente.

Neka je a kut nagiba prve tangente. Budući da su tangente okomite, to je kut nagiba druge tangente. Iz jednadžbe y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađimo

To znači da je nagib druge tangente jednak .

Daljnje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) dodirna točka drugog pravca

1. – apscisa druge dodirne točke.
2.
3.
4.
– jednadžba druge tangente.

Bilješka. Kutni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravaca k 1 k 2 = – 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Riješenje. Problem se svodi na pronalaženje apscisa dodirnih točaka zajedničkih tangenti, odnosno na rješavanje ključnog problema 1 u opći pogled, sastavljanje sustava jednadžbi i njegovo naknadno rješenje (slika 6).

1. Neka je a apscisa tangente koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Neka je c apscisa tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Budući da su tangente općenite, dakle

Dakle, y = x + 1 i y = – 3x – 3 su zajedničke tangente.

Glavni cilj razmatranih zadataka je pripremiti studente za samostalno prepoznavanje vrste ključnog problema pri rješavanju složenijih problema koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, usporedbe, generalizacije, postavljanja hipoteza i sl.). Takvi zadaci uključuju bilo koji zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) pronalaženja funkcije iz obitelji njezinih tangenti.

3. Za koliko b i c prave y = x i y = – 2x tangiraju na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Neka je t apscisa dodirne točke pravca y = x s parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne točke pravca y = – 2x s parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednadžba tangente y = x imati oblik y = (2t + b)x + c – t 2 , a jednadžba tangente y = – 2x oblik y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastavimo i riješimo sustav jednadžbi

Odgovor:

Vrsta posla: 7

Stanje

Pravac y=3x+2 tangenta je na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Nađite b, s obzirom da je apscisa tangente manja od nule.

Prikaži rješenje

Riješenje

Neka je x_0 apscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u točki x_0 jednaka je nagibu tangente, to jest, y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, točka dodirivanja pripada istovremeno i grafu funkciju i tangens, odnosno -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobivamo sustav jednadžbi \početak(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \kraj(slučajevi)

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uvjetu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovor

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvodnica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Pravac y=-3x+4 paralelan je s tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Nađi apscisu tangente.

Prikaži rješenje

Riješenje

Kutni koeficijent ravne linije na grafu funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj točki x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, što znači y" (x_0)=-2x_0+5. Kutni koeficijent pravca y=-3x+4 naveden u uvjetu jednak je -3. Paralelni pravci imaju iste koeficijente nagiba. Stoga nalazimo vrijednost x_0 takvu da je =- 2x_0 +5=-3.

Dobivamo: x_0 = 4.

Odgovor

Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017. Razina profila" ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvodnica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prikaži rješenje

Riješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi točkama A(-6; 2) i B(-1; 1). Označimo sa C(-6; 1) sjecište pravaca x=-6 i y=1, a sa \alpha kut ABC (na slici vidite da je šiljast). Tada pravac AB tvori kut \pi -\alpha s pozitivnim smjerom osi Ox, koja je tupa.

Kao što je poznato, tg(\pi -\alpha) će biti vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x_0. primijeti da tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odavde, koristeći formule redukcije, dobivamo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odgovor

Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017. Razina profila." ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvodnica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Pravac y=-2x-4 tangenta je na graf funkcije y=16x^2+bx+12. Nađite b s obzirom da je apscisa tangente veća od nule.

Prikaži rješenje

Riješenje

Neka je x_0 apscisa točke na grafu funkcije y=16x^2+bx+12 kroz koju

je tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u točki x_0 jednaka je nagibu tangente, to jest, y"(x_0)=32x_0+b=-2. S druge strane, točka dodirivanja pripada istovremeno i grafu funkciju i tangens, odnosno 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dobivamo sustav jednadžbi \početak(slučajevi) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \kraj(slučajevi)

Rješavanjem sustava dobivamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uvjetu apscise, tangente su veće od nule, pa je x_0=1, zatim b=-2-32x_0=-34.

Odgovor

Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017. Razina profila." ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvodnica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Odredi broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravcem y=6.

Prikaži rješenje

Riješenje

Pravac y=6 paralelan je s osi Ox. Stoga nalazimo točke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s osi Ox. Na ovom grafikonu takve točke su točke ekstrema (točke maksimuma ili minimuma). Kao što vidite, postoje 4 ekstremne točke.

Odgovor

Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017. Razina profila." ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvodnica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Pravac y=4x-6 paralelan je s tangentom na graf funkcije y=x^2-4x+9. Nađi apscisu tangente.

Prikaži rješenje

Riješenje

Nagib tangente na graf funkcije y=x^2-4x+9 u proizvoljnoj točki x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=2x-4, što znači y"(x_0)= 2x_0-4. Nagib tangente y =4x-7, naveden u uvjetu, jednak je 4. Paralelne linije imaju iste kutne koeficijente. Prema tome, nalazimo vrijednost x_0 takvu da je 2x_0-4 = 4. Mi dobiti: x_0 = 4.

Odgovor

Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017. Razina profila." ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvodnica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x_0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x_0.

Prikaži rješenje

Riješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi točkama A(1; 1) i B(5; 4). Označimo sa C(5; 1) sjecište pravaca x=5 i y=1, a sa \alpha kut BAC (na slici vidite da je šiljasti). Tada pravac AB tvori kut \alpha s pozitivnim smjerom osi Ox.