Označavanje, bilježenje i prikazivanje brojčanih skupova

Gomila je skup bilo kojih objekata koji se nazivaju elementima ovog skupa.

Na primjer: mnogo školaraca, mnogo automobila, mnogo brojeva .

U matematici se skup razmatra mnogo šire. Nećemo previše ulaziti u ovu temu, budući da se odnosi na viša matematika i može u početku stvoriti poteškoće u učenju. Razmotrit ćemo samo onaj dio teme koji smo već obradili.

Oznake

Skup se najčešće označava velikim slovima latinice, a njegovi elementi malim slovima. U ovom slučaju, elementi su zatvoreni u vitičaste zagrade.

Na primjer, ako je ime naših prijatelja Tom, John i Leo , tada možemo definirati skup prijatelja čiji će elementi biti Tom, John i Leo.

Označimo mnoge naše prijatelje velikim latiničnim slovom F(prijatelji), zatim stavite znak jednakosti i navedite naše prijatelje u vitičastim zagradama:

F = (Tom, John, Leo)

Primjer 2. Zapišimo skup djelitelja broja 6.

Označimo ovaj skup bilo kojim velikim latiničnim slovom, na primjer slovom D

zatim stavimo znak jednakosti i u vitičastim zagradama navedemo elemente tog skupa, odnosno navedemo djelitelje broja 6

D = (1, 2, 3, 6)

Ako neki element pripada danom skupu, tada se ta pripadnost označava znakom pripadnosti ∈. Na primjer, djelitelj 2 pripada skupu djelitelja broja 6 (skup D). Napisano je ovako:

Čita se kao: “2 pripada skupu djelitelja broja 6”

Ako neki element ne pripada danom skupu, tada se ta nepripadnost označava prekriženim znakom pripadnosti ∉. Na primjer, djelitelj 5 ne pripada skupu D. Napisano je ovako:

Čita se kao: "5 ne pripada skup djelitelja broja 6″

Osim toga, skup se može napisati izravnim nabrajanjem elemenata, bez velikih slova. To može biti zgodno ako se set sastoji od malog broja elemenata. Na primjer, definirajmo skup od jednog elementa. Neka ovaj element bude naš prijatelj Volumen:

( Volumen )

Definirajmo skup koji se sastoji od jednog broja 2

{ 2 }

Definirajmo skup koji se sastoji od dva broja: 2 i 5

{ 2, 5 }

Skup prirodnih brojeva

Ovo je prvi set s kojim smo počeli raditi. Prirodni brojevi su brojevi 1, 2, 3 itd.

Prirodni brojevi su se pojavili zbog potrebe ljudi da broje te druge objekte. Na primjer, brojite kokoši, krave, konje. Nastaju prirodni brojevi prirodno pri brojanju.

U prethodnim lekcijama, kada smo koristili riječ "broj", najčešće se mislilo na prirodni broj.

Ima ih mnogo u matematici prirodni brojevi naznačen kapitalom latinično pismo N.

Na primjer, istaknimo da broj 1 pripada skupu prirodnih brojeva. Da bismo to učinili, zapišemo broj 1, zatim znakom pripadnosti ∈ označimo da jedinica pripada skupu N

1 ∈ N

Čita se kao: “jedan pripada skupu prirodnih brojeva”

Skup cijelih brojeva

Skup cijelih brojeva uključuje sve pozitivne i , kao i broj 0.

Skup cijelih brojeva označava se velikim slovom Z .

Istaknimo, na primjer, da broj −5 pripada skupu cijelih brojeva:

−5 ∈ Z

Istaknimo da 10 pripada skupu cijelih brojeva:

10 ∈ Z

Istaknimo da 0 pripada skupu cijelih brojeva:

Ubuduće ćemo sve pozitivne i negativne brojeve nazivati ​​jednom frazom - cijeli brojevi.

Skup racionalnih brojeva

Racionalni brojevi su isti obični razlomci koju i danas proučavamo.

Racionalan broj je broj koji se može prikazati kao razlomak, gdje a- brojnik razlomka, b- nazivnik.

Brojnik i nazivnik mogu biti bilo koji brojevi, uključujući i cijele brojeve (osim nule, jer ne možete dijeliti s nulom).

Na primjer, zamislite da umjesto a je broj 10, ali umjesto toga b- broj 2

10 podijeljeno s 2 jednako je 5. Vidimo da se broj 5 može predstaviti kao razlomak, što znači da je broj 5 uključen u skup racionalnih brojeva.

Lako je vidjeti da se broj 5 odnosi i na skup cijelih brojeva. Stoga je skup cijelih brojeva uključen u skup racionalnih brojeva. To znači da skup racionalnih brojeva uključuje ne samo obične razlomke, već i cijele brojeve oblika −2, −1, 0, 1, 2.

Sada zamislimo da umjesto a broj je 12, ali umjesto toga b- broj 5.

12 podijeljeno s 5 jednako je 2,4. Vidimo da se decimalni razlomak 2.4 može prikazati kao razlomak, što znači da je uključen u skup racionalnih brojeva. Iz ovoga zaključujemo da skup racionalnih brojeva uključuje ne samo obične razlomke i cijele brojeve, već i decimalne razlomke.

Izračunali smo razlomak i dobili odgovor 2,4. Ali mogli bismo izolirati cijeli dio ovog razlomka:

Kada izdvojite cijeli dio razlomka, dobit ćete mješoviti broj. Vidimo da se mješoviti broj također može prikazati kao razlomak. To znači da skup racionalnih brojeva uključuje i mješovite brojeve.

Kao rezultat dolazimo do zaključka da skup racionalnih brojeva sadrži:

• cijeli brojevi
• obični razlomci
• decimale
• mješoviti brojevi

Skup racionalnih brojeva označava se velikim slovom Q.

Na primjer, ističemo da razlomak pripada skupu racionalnih brojeva. Da bismo to učinili, zapišemo sam razlomak, a zatim znakom pripadnosti ∈ označimo da razlomak pripada skupu racionalnih brojeva:

∈ Q

Istaknimo da decimalni razlomak 4,5 pripada skupu racionalnih brojeva:

4,5 ∈ Q

Istaknimo da mješoviti broj pripada skupu racionalnih brojeva:

∈ Q

Uvodna lekcija o setovima je završena. U budućnosti ćemo mnogo bolje gledati na skupove, ali za sada će biti dovoljno ono što je pokriveno u ovoj lekciji.

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite nam se nova grupa VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

izraz " setovi brojeva" prilično je čest u udžbenicima matematike. Tamo često možete pronaći izraze poput ovih:

"Bla bla bla, gdje pripada skupu prirodnih brojeva."

Često umjesto kraja fraze možete vidjeti ovako nešto. Znači isto što i tekst malo iznad - broj pripada skupu prirodnih brojeva. Mnogi ljudi često ne obraćaju pozornost na to u kojem je skupu definirana ova ili ona varijabla. Zbog toga se pri rješavanju problema ili dokazivanju teorema koriste potpuno netočne metode. To se događa jer se svojstva brojeva koji pripadaju različitim skupovima mogu razlikovati.

Ne postoji toliko brojčanih skupova. Ispod možete vidjeti definicije različitih skupova brojeva.

Skup prirodnih brojeva uključuje sve cijele brojeve veće od nule — pozitivne cijele brojeve.

Na primjer: 1, 3, 20, 3057. Set ne sadrži broj 0.

Ovaj skup brojeva uključuje sve cijele brojeve veće i manje od nule, a također i nula.

Na primjer: -15, 0, 139.

Racionalni brojevi, općenito govoreći, skup su razlomaka koji se ne mogu poništiti (ako se razlomak poništi, onda će on već biti cijeli broj i za ovaj slučaj nema potrebe uvoditi drugi skup brojeva).

Primjer brojeva uključenih u racionalni skup: 3/5, 9/7, 1/2.

,

gdje je konačan niz znamenki cijelog dijela broja koji pripada skupu realnih brojeva. Ovaj niz je konačan, odnosno konačan je broj znamenki u cijelom dijelu realnog broja.

– beskonačan niz brojeva koji se nalaze u razlomačkom dijelu realnog broja. Ispada da razlomački dio sadrži beskonačan broj brojeva.

Takvi se brojevi ne mogu prikazati kao razlomak. Inače bi se takav broj mogao klasificirati kao skup racionalnih brojeva.

Primjeri realnih brojeva:

Pogledajmo pobliže značenje korijena dva. Cijeli dio sadrži samo jednu znamenku - 1, pa možemo napisati:

U razlomku (iza točke) redom se pojavljuju brojevi 4, 1, 4, 2 i tako dalje. Stoga za prve četiri znamenke možemo napisati:

Usuđujem se nadati da je sada definicija skupa realnih brojeva postala jasnija.

Zaključak

Treba imati na umu da se ista funkcija može potpuno prikazati različita svojstva ovisno o tome kojem skupu varijabla pripada. Zato zapamtite osnove – dobro će vam doći.

Broj pregleda posta: 5.103

Matematička analiza je grana matematike koja se bavi proučavanjem funkcija na temelju ideje o infinitezimalnoj funkciji.

Osnovni koncepti matematička analiza su veličina, skup, funkcija, beskonačno mala funkcija, granica, derivacija, integral.

Veličina Sve što se može mjeriti i izraziti brojem naziva se.

Puno je skup nekih elemenata ujedinjenih nekim zajednička značajka. Elementi skupa mogu biti brojevi, figure, predmeti, pojmovi itd.

Skupovi se označavaju velikim, a elementi skupa malim slovima. Elementi skupova nalaze se u vitičastim zagradama.

Ako element x pripada skupu x, pa piši x∈x (∈ - pripada).
Ako je skup A dio skupa B, onda napiši A ⊂ B (⊂ - sadržano).

Skup se može definirati na jedan od dva načina: nabrajanjem i korištenjem definirajućeg svojstva.

• A=(1,2,3,5,7) - skup brojeva
• H=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - skup nekih elemenata x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — skup prirodnih brojeva
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — skup cijelih brojeva

Skup (-∞;+∞) je tzv brojevni pravac, a bilo koji broj je točka na ovom pravcu. Neka je a proizvoljna točka na brojevnom pravcu, a δ pozitivan broj. Interval (a-δ; a+δ) naziva se δ-okolica točke a.

Skup X je ograničen odozgo (odozdo) ako postoji broj c takav da za bilo koji x ∈ X vrijedi nejednakost x≤s (x≥c). Broj c se u ovom slučaju naziva gornji (donji) rub skup X. Skup omeđen i gore i dole naziva se ograničeno. Najmanje (najveće) od gornjih (donjih) lica skupa naziva se točan gornji (donji) rub ovog mnoštva.

Osnovni skupovi brojeva

Ako skup ne sadrži niti jedan element, tada se poziva prazan skup i bilježi se Ø .

Elementi logičke simbolike

Zapis ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kvantifikatori se često koriste pri pisanju matematičkih izraza.

Kvantifikator naziva se logički simbol koji karakterizira elemente koji mu slijede u kvantitativnom smislu.

• ∀- opći kvantifikator, koristi se umjesto riječi “za svakoga”, “za svakoga”.
• ∃- kvantifikator postojanja, koristi se umjesto riječi "postoji", "dostupan je". Također se koristi kombinacija simbola ∃!, koja se čita kao da postoji samo jedna.

Postavite operacije

Dva skupovi A i B su jednaki(A=B) ako se sastoje od istih elemenata.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) onda je A=B.

Po uniji (zbroj) skupovi A i B je skup A ∪ B čiji elementi pripadaju barem jednom od tih skupova.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), tada je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Raskrižjem (proizvod) skupovi A i B nazivamo skup A ∩ B, čiji elementi pripadaju i skupu A i skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), tada je A ∩ B = (2,4)

Po razlici Skupovi A i B nazivaju se skup AB, čiji elementi pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), tada je AB = (1,2)

Simetrična razlika skupova A i B naziva se skup A Δ B, koji je unija razlika skupova AB i BA, odnosno A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), tada je A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Svojstva skupovnih operacija

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Prebrojivi i neprebrojivi skupovi

Da bi se usporedila bilo koja dva skupa A i B, uspostavlja se podudarnost između njihovih elemenata.

Ako je ova korespondencija jedan-na-jedan, tada se skupovi nazivaju ekvivalentni ili jednako moćni, A B ili B A.

Skup točaka na kraku BC i hipotenuzi AC trokuta ABC jednake su snage.

Od velikog broja raznolikih skupova posebno su zanimljivi i važni numerički skupovi, tj. oni skupovi čiji su elementi brojevi. Očito, za rad s numeričkim skupovima morate imati vještinu njihovog zapisivanja, kao i prikazivanja na koordinatnoj liniji.

Zapisivanje numeričkih skupova

Općeprihvaćena oznaka za bilo koji skup su velika latinična slova. Skupovi brojeva nisu iznimka. Na primjer, možemo govoriti o skupovima brojeva B, F ili S, itd. Međutim, postoji i općeprihvaćeno označavanje brojčanih skupova ovisno o elementima koji su u njemu uključeni:

N – skup svih prirodnih brojeva; Z – skup cijelih brojeva; Q – skup racionalnih brojeva; J – skup iracionalnih brojeva; R – skup realnih brojeva; C je skup kompleksnih brojeva.

Postaje jasno da označavanje, na primjer, skupa koji se sastoji od dva broja: - 3, 8 slovom J može dovesti u zabludu, jer ovo slovo označava skup iracionalnih brojeva. Stoga, za označavanje skupa - 3, 8, bilo bi prikladnije koristiti neku vrstu neutralnog slova: A ili B, na primjer.

Prisjetimo se i sljedeće oznake:

• ∅ – prazan skup ili skup koji nema sastavnih elemenata;
• ∈ ili ∉ je znak da li element pripada ili ne pripada skupu. Na primjer, zapis 5 ∈ N znači da je broj 5 dio skupa svih prirodnih brojeva. Oznaka - 7, 1 ∈ Z odražava činjenicu da broj - 7, 1 nije element skupa Z, jer Z – skup cijelih brojeva;
• znakovi da skup pripada skupu:
  ⊂ ili ⊃ - znakovi "uključeno" ili "uključuje". Na primjer, zapis A ⊂ Z znači da su svi elementi skupa A uključeni u skup Z, tj. skup brojeva A uključen je u skup Z. Ili obrnuto, zapis Z ⊃ A će pojasniti da skup svih cijelih brojeva Z uključuje skup A.
  ⊆ ili ⊇ su znakovi tzv. nestroge inkluzije. Znači "uključeno ili odgovara" odnosno "uključuje ili se podudara".

Razmotrimo sada shemu za opisivanje numeričkih skupova na primjeru glavnih standardnih slučajeva koji se najčešće koriste u praksi.

Prvo ćemo razmotriti numeričke skupove koji sadrže konačan i mali broj elemenata. Zgodno je takav skup opisati jednostavnim nabrajanjem svih njegovih elemenata. Elementi u obliku brojeva pišu se, odvajaju zarezom i stavljaju u vitičaste zagrade (što odgovara općim pravilima za opis skupova). Na primjer, skup brojeva 8, - 17, 0, 15 zapisujemo kao (8, - 17, 0, 15).

Dešava se da je broj elemenata skupa prilično velik, ali svi se pokoravaju određenom obrascu: tada se u opisu skupa koristi elipsa. Na primjer, skup svih parnih brojeva od 2 do 88 zapisujemo kao: (2, 4, 6, 8, …, 88).

Sada razgovarajmo o opisivanju numeričkih skupova u kojima je broj elemenata beskonačan. Ponekad se opisuju istom elipsom. Na primjer, skup svih prirodnih brojeva zapisujemo na sljedeći način: N = (1, 2, 3, ...).

Također je moguće napisati numerički skup s beskonačnim brojem elemenata navođenjem svojstava njegovih elemenata. Koristi se oznaka (x | svojstva). Na primjer, (n | 8 n + 3, n ∈ N) definira skup prirodnih brojeva koji, kada se podijele s 8, ostavljaju ostatak 3. Taj isti skup može se napisati kao: (11, 19, 27, …).

U posebnim slučajevima numerički skupovi s beskonačnim brojem elemenata su dobro poznati skupovi N, Z, R itd., odnosno numerički intervali. Ali u osnovi, numerički skupovi su unija numeričkih intervala koji ih čine i numeričkih skupova s ​​konačnim brojem elemenata (o njima smo govorili na samom početku članka).

Pogledajmo primjer. Pretpostavimo da su komponente određenog numeričkog skupa brojevi - 15, - 8, - 7, 34, 0, kao i svi brojevi segmenta [- 6, - 1, 2] i brojevi otvorenog brojevnog pravca. (6, + ∞). U skladu s definicijom unije skupova, zadani numerički skup zapisujemo kao: ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 ) ∪ [ - 6 , - 1 , 2 ] ∪ ( 0 ) ∪ (6 , + ∞) . Ovakav zapis zapravo označava skup koji uključuje sve elemente skupova (- 15, - 8, - 7, 34, 0), [- 6, - 1, 2] i (6, + ∞).

Na isti način, kombiniranjem različitih numeričkih intervala i skupova pojedinačnih brojeva, moguće je dati opis bilo kojeg numeričkog skupa koji se sastoji od realnih brojeva. Na temelju navedenog postaje jasno zašto se uvode razne vrste numeričkih intervala, kao što su interval, poluinterval, segment, otvorena numerička zraka i numerička zraka. Sve te vrste intervala, zajedno s oznakama skupova pojedinačnih brojeva, omogućuju opis bilo kojeg numeričkog skupa njihovom kombinacijom.

Također je potrebno obratiti pozornost na to da se pojedini brojevi i numerički intervali pri upisivanju skupa mogu poredati uzlaznim redoslijedom. Općenito, ovo nije obavezan zahtjev, ali takav poredak vam omogućuje jednostavnije predstavljanje numeričkog skupa, a također ga ispravno prikazujete na koordinatnoj liniji. Također je vrijedno pojasniti da takvi zapisi ne koriste numeričke intervale sa zajedničkim elementima, jer se ti zapisi mogu zamijeniti kombiniranjem numeričkih intervala, isključujući zajedničke elemente. Na primjer, unija numeričkih skupova sa zajedničkim elementima [- 15, 0] i (- 6, 4) bit će poluinterval [- 15, 4). Isto vrijedi i za uniju numeričkih intervala s istim graničnim brojevima. Na primjer, unija (4, 7] ∪ (7, 9] je skup (4, 9). O ovoj točki ćemo detaljno raspravljati u temi nalaženja sjecišta i unije numeričkih skupova.

U praktičnim primjerima prikladno je koristiti geometrijsku interpretaciju numeričkih skupova - njihovu sliku na koordinatnoj liniji. Na primjer, ova metoda će pomoći u rješavanju nejednadžbi u kojima je potrebno uzeti u obzir ODZ - kada je potrebno prikazati numeričke skupove kako bi se odredila njihova unija i/ili presjek.

Znamo da postoji korespondencija jedan na jedan između točaka koordinatne crte i realnih brojeva: cijela koordinatna crta je geometrijski model skupa svih realnih brojeva R. Stoga, da bismo prikazali skup svih realnih brojeva, crtamo koordinatnu liniju i primjenjujemo sjenčanje duž cijele njezine duljine:

Često podrijetlo i jedinični segment nisu naznačeni:

Razmotrimo sliku skupova brojeva koji se sastoje od konačnog broja pojedinačnih brojeva. Na primjer, prikažimo skup brojeva (- 2, - 0, 5, 1, 2). Geometrijski model zadanog skupa bit će tri točke koordinatne crte s pripadajućim koordinatama:

U većini slučajeva moguće je ne održavati apsolutnu točnost crteža: sasvim je dovoljna shematska slika bez obzira na mjerilo, ali zadržavanje relativnog položaja točaka jedna u odnosu na drugu, tj. svaka točka s većom koordinatom mora biti desno od točke s manjom. Uz to, postojeći crtež može izgledati ovako:

Odvojeno od mogućih numeričkih skupova razlikuju se numerički intervali: intervali, poluintervali, zrake itd.)

Razmotrimo sada princip prikazivanja numeričkih skupova, koji su unija nekoliko numeričkih intervala i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva. U tome nema poteškoća: prema definiciji unije, potrebno je na koordinatnoj liniji prikazati sve komponente skupa danog numeričkog skupa. Na primjer, napravimo ilustraciju skupa brojeva (- ∞ , - 15) ∪ ( - 10 ) ∪ [ - 3 , 1) ∪ ( log 2 5 , 5 ) ∪ (17 , + ∞) .

Također je uobičajeno da skup brojeva koji se izvlači uključuje cijeli skup realnih brojeva osim jedne ili više točaka. Takvi skupovi su često specificirani uvjetima kao što su x ≠ 5 ili x ≠ - 1, itd. U takvim slučajevima, skupovi u njihovom geometrijskom modelu su cijeli koordinatni pravac s izuzetkom zadanih točaka. Opće je prihvaćeno da te točke treba “čupati” iz koordinatne crte. Probušena točka je prikazana kao krug s praznim središtem. Da bismo rečeno potkrijepili praktičnim primjerom, prikažimo na koordinatnoj liniji skup sa zadanim uvjetom x ≠ - 2 i x ≠ 3:

Informacije navedene u ovom članku imaju za cilj pomoći da steknete vještinu gledanja snimanja i predstavljanja numeričkih skupova jednako lako kao i pojedinačnih numeričkih intervala. U idealnom slučaju, pisani numerički skup treba odmah prikazati u obliku geometrijske slike na koordinatnoj liniji. I obrnuto: iz slike treba lako formirati odgovarajući numerički skup kroz uniju numeričkih intervala i skupova koji su zasebni brojevi.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Državna obrazovna ustanova

srednje strukovno obrazovanje

Tulska regija

"Aleksinsky Machanical Engineering College"

Numerički

postavlja

Je dizajnirao

učitelj, nastavnik, profesor

matematičari

Khristoforova M.Yu.

Broj - osnovni koncept , koristi za karakteristike, usporedbe, i njihovi dijelovi. Pisani znakovi za označavanje brojeva su , i matematički .

Pojam broja nastao je u davna vremena iz praktičnih potreba ljudi i razvio se u procesu ljudskog razvoja. Opseg ljudske djelatnosti se proširio, a time i potreba za kvantitativnim opisom i istraživanjem. U početku je pojam broja bio određen potrebama brojanja i mjerenja koje su se javljale u ljudskoj praktičnoj djelatnosti, postajući sve složenije. Kasnije broj postaje temeljni pojam matematike, a potrebe ove znanosti određuju daljnji razvoj ovog pojma.

Skupovi čiji su elementi brojevi nazivaju se numeričkim.

Primjeri skupova brojeva su:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - skup prirodnih brojeva;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - skup nenegativnih cijelih brojeva;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - skup cijelih brojeva;

Q=(m/n: m Z,n N) je skup racionalnih brojeva.

R-skup realnih brojeva.

Između ovih skupova postoji odnos

N Zo Z Q R.

Brojevi obrascaN = (1, 2, 3, ....) se zovuprirodni . Prirodni brojevi pojavili su se u vezi s potrebom brojanja predmeta.

Bilo koje , veći od jedan, može se prikazati kao umnožak potencija prostih brojeva, i to na jedinstven način, do reda faktora. Na primjer, 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

Akom, n, k - prirodni brojevi, onda kadam - n = k to kažum - umanjenik, n - umanjenik, k - razlika; nam: n = k to kažum - dividenda, n - djelitelj, k - količnik, brojm također se zovevišestruki brojeviman, i brojn - djelitelj brojevimam, Ako brojm- višekratnik brojan, onda postoji prirodan brojk, takav dam = kn.

Od brojeva pomoću aritmetičkih znakova i zagrada sastavljaju senumerički izrazi. Izvedete li navedene radnje u numeričkom izrazu, pridržavajući se prihvaćenog redoslijeda, dobit ćete pozvani brojvrijednost izraza .

Redoslijed aritmetičkih operacija: prvo se izvode radnje u zagradama; Unutar zagrada prvo se izvode množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Ako je prirodan brojm nije djeljiv prirodnim brojemn, oni. ne postoji takva stvarprirodni broj k, Štom = kn, onda smatrajudijeljenje s ostatkom: m = np + r, Gdjem - dividenda, n - djelitelj (m>n), p - količnik, r - ostatak .

Ako broj ima samo dva djelitelja (sam broj i jedinicu), tada se zovejednostavan : ako broj ima više od dva djelitelja, tada se zovekompozitni.

Svaki složeni prirodni broj može bitirazložiti na činioce , i to samo na jedan način. Kada rastavljate brojeve na proste faktore, koristiteznakovi djeljivosti .

a Ib može se naćinajveći zajednički djelitelj. Određen jeMrlja). Ako brojevia Ib su takvi daD(a,b) = 1, zatim brojkea Ib se zovumeđusobno jednostavni.

Za bilo koje date prirodne brojevea Ib može se naćinajmanji zajednički višekratnik. Određen jeK(a,b). Svaki zajednički višekratnik brojevaa Ib podjeljeno saK(a,b).

Ako brojevia Ib relativno prosti , tj.D(a,b) = 1, DaK(a,b) = ab.

Brojevi obrasca:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) se zovu cijeli brojevi , oni. Cijeli brojevi su prirodni brojevi, suprotni prirodnim brojevima i broj 0.

Prirodni brojevi 1, 2, 3, 4, 5.... nazivaju se i prirodni brojevi. Brojevi -1, -2, -3, -4, -5, ..., suprotni prirodnim brojevima, nazivaju se negativni cijeli brojevi.

Značajne brojke broj su sve njegove znamenke osim vodećih nula.

Skupina znamenki koja se uzastopno ponavlja nakon decimalne točke u decimalnom zapisu broja naziva serazdoblje, a beskonačni decimalni razlomak koji u svom zapisu ima takvu periodu naziva seperiodički . Ako točka počinje odmah nakon decimalne točke, tada se naziva razlomakčisti periodički ; ako postoje druga decimalna mjesta između decimalne točke i točke, tada se zove razlomakmješoviti periodični .

Brojevi koji nisu cijeli ili razlomci nazivaju seiracionalan .

Svaki iracionalni broj predstavlja se kao neperiodični beskonačni decimalni razlomak.

Skup svih konačnih i beskonačnih decimalnih razlomaka naziva sepuno realni brojevi : racionalno i iracionalno.

Skup R realnih brojeva ima sljedeća svojstva.

1. Uređeno je: za bilo koja dva različita broja α i b vrijedi jedna od dvije relacije: a

2. Skup R je gust: između bilo koja dva različita broja a i b nalazi se beskonačan skup realnih brojeva x, tj. brojeva koji zadovoljavaju nejednakost a<х

Dakle, ako a

(a 2a< A+bA+b<2b  2 A A<(a+b)/2

Realni brojevi mogu se prikazati kao točke na brojevnom pravcu. Za definiranje brojevnog pravca potrebno je na pravcu označiti točku koja će odgovarati broju 0 ​​- ishodištu, a zatim odabrati jedinični isječak i označiti pozitivan smjer.

Svaka točka na koordinatnoj liniji odgovara broju koji je definiran kao duljina segmenta od ishodišta do predmetne točke, pri čemu se jedinični segment uzima kao mjerna jedinica. Ovaj broj je koordinata točke. Ako se točka uzme desno od ishodišta, tada je njena koordinata pozitivna, a ako je lijevo negativna. Na primjer, točke O i A imaju koordinate 0, odnosno 2, koje se mogu napisati na sljedeći način: 0(0), A(2).