prirodna vrijednost. Što je prirodni broj? Povijest, opseg, svojstva

Cijeli brojevi jedan je od najstarijih matematičkih pojmova.

U davnoj prošlosti ljudi nisu znali brojeve, a kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe i sl.), činili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta uspoređivan je s dijelovima tijela, na primjer, s prstima na ruci, pa su govorili: „Imam orašastih plodova koliko ima prstiju na ruci“.

S vremenom su ljudi shvatili da imaju pet oraha, pet koza i pet zečeva zajedničko vlasništvo- njihov broj je pet.

Zapamtiti!

Cijeli brojevi su brojevi, koji počinju s 1, dobiveni prebrojavanjem objekata.

1, 2, 3, 4, 5…

najmanji prirodni broj — 1 .

najveći prirodni broj ne postoji.

Prilikom brojanja ne koristi se broj nula. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su predstavljati jedinicu s jednim štapom, zatim s dva štapa - brojem 2, s tri - brojem 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Tada su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - preteča modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva potječu iz Indije prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Europu, tako se zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ove znamenke se mogu koristiti za pisanje bilo kojeg prirodnog broja.

Zapamtiti!

prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki je broj veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan, u njemu nema najvećeg prirodnog broja.

Sustav brojanja koji koristimo zove se decimalni pozicijski.

Decimalno jer 10 jedinica svake znamenke tvori 1 jedinicu najznačajnije znamenke. Poziciona jer vrijednost znamenke ovisi o njenom mjestu u zapisu broja, odnosno o znamenki u kojoj je zapisan.

Važno!

Klase koje slijede nakon milijarde imenovane su prema latinskim nazivima brojeva. Svaka sljedeća jedinica sadrži tisuću prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 bilijun ("tri" je latinski za "tri")
• 1.000 trilijuna = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijun ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadrilijuna = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijun ("quinta" je latinski za "pet")

Međutim, fizičari su pronašli broj koji premašuje broj svih atoma (najmanjih čestica materije) u cijelom svemiru.

Ovaj broj ima poseban naziv - googol. Googol je broj koji ima 100 nula.

Cijeli brojevi

Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste za brojanje razne predmete ili kako bi se označio serijski broj bilo kojeg objekta među sličnim ili homogenim.

Prirodni brojevi se mogu napisati pomoću prvih deset znamenki:

Za pisanje jednostavnih prirodnih brojeva uobičajeno je koristiti pozicijski decimalni račun, gdje je vrijednost bilo koje znamenke određena njezinim mjestom u zapisu.

Prirodni brojevi su najjednostavniji brojevi koje često koristimo Svakidašnjica. Uz pomoć tih brojeva radimo izračune, brojimo predmete, određujemo njihovu količinu, red i broj.

S prirodnim brojevima počinjemo se upoznavati sa samim rano djetinjstvo, pa su svakom od nas poznati i prirodni.

Opća ideja prirodnih brojeva

Prirodni brojevi su dizajnirani da nose informacije o broju objekata, njihovom serijskom broju i skupu objekata.

Osoba koristi prirodne brojeve, budući da su mu dostupni i na razini percepcije i na razini reprodukcije. Kada izgovaramo bilo koji prirodni broj, lako ga možemo uhvatiti sluhom, a nakon što smo prikazali prirodni broj, vidimo ga.

Svi prirodni brojevi poredani su u rastućem redoslijedu i obliku brojevni niz, počevši od najmanjeg prirodnog broja, koji je jedan.

Ako smo se odlučili za najmanji prirodni broj, onda će biti teže s najvećim, jer takav broj ne postoji jer je niz prirodnih brojeva beskonačan.

Kada prirodnom broju dodamo jedan, na kraju dobijemo broj koji slijedi iza zadanog broja.

Broj kao što je 0 nije prirodan broj, već služi samo za označavanje broja "nula" i znači "ništa". 0 znači nepostojanje broja jedinica ovog niza u decimalnom zapisu.

Svi prirodni brojevi označeni su velikim latiničnim slovom N.

Povijesna referenca za označavanje prirodnih brojeva

U davna vremena ljudi još nisu znali što je broj i kako brojati broj predmeta. Ali i tada je bio potreban račun, a osoba je shvatila kako prebrojati ulovljene ribe, ubranih bobica itd.

malo kasnije, drevni čovjek došao do zaključka da je lakše zapisati iznos koji mu je potreban. Za ove svrhe primitivni ljudi počeli su koristiti kamenčiće, a potom i štapiće, koji su sačuvani rimskim brojevima.

Sljedeći trenutak u razvoju računskog sustava bilo je korištenje slova abecede u zapisu nekih brojeva.

Prvi sustavi računanja uključuju decimalni indijski sustav i seksagezimalni babilonski.

Suvremeni računski sustav, iako se zove arapski, zapravo je jedna od varijanti indijskog. Istina, u njegovom sustavu računanja nema broja nula, ali su ga Arapi dodali i sustav je dobio svoj sadašnji oblik.

Decimalni sustav

Već smo upoznali prirodne brojeve i naučili ih pisati pomoću deset znamenki. Također već znate da se pisanje brojeva pomoću znakova naziva brojevnim sustavom.

Vrijednost znamenke u unosu broja ovisi o njegovoj poziciji i naziva se pozicionom. Odnosno, kada pišemo prirodne brojeve, koristimo se pozicijskim računom.

Ovaj se sustav temelji na dubini bita i decimalnom broju. U decimalnom sustavu osnova za njegovu konstrukciju bit će brojevi od 0 do 9.

Posebno mjesto u takvom sustavu ima broj 10, budući da se, u osnovi, račun vodi u deseticama.

Tablica klasa i kategorija:

Tako se, na primjer, 10 jedinica kombinira u desetke, pa u stotine, tisuće i slično. Stoga je broj 10 baza računskog sustava i naziva se decimalni računski sustav.

Cijeli brojevi nama vrlo poznato i prirodno. I to nije iznenađujuće, budući da upoznavanje s njima počinje od prvih godina našeg života na intuitivnoj razini.

Informacije u ovom članku stvaraju osnovno razumijevanje prirodnih brojeva, otkrivaju njihovu svrhu, usađuju vještine pisanja i čitanja prirodnih brojeva. Za bolju asimilaciju gradiva dati su potrebni primjeri i ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prirodni brojevi su opći prikaz.

Sljedeće mišljenje nije lišeno zdrave logike: pojava problema prebrojavanja objekata (prvi, drugi, treći objekt, itd.) i problema označavanja broja objekata (jedan, dva, tri predmeta, itd.) dovela je do toga. do stvaranja alata za njegovo rješenje, ovaj alat je bio cijeli brojevi.

Ovaj prijedlog pokazuje glavna svrha prirodnih brojeva- nose informacije o broju bilo koje stavke ili serijskom broju dane stavke u razmatranom skupu stavki.

Da bi se čovjek koristio prirodnim brojevima, oni moraju na neki način biti dostupni, kako za percepciju tako i za reprodukciju. Ako čujete svaki prirodni broj, tada će on postati uho uočljiv, a ako opišete prirodni broj, onda se može vidjeti. Ovih je najviše prirodnim putevima, omogućujući prenošenje i percepciju prirodnih brojeva.

Stoga počnimo stjecati vještinu prikazivanja (pisanja) i vještinu izgovaranja (čitanja) prirodnih brojeva, dok učimo njihovo značenje.

Decimalni zapis za prirodni broj.

Prvo trebamo odlučiti na čemu ćemo graditi pri pisanju prirodnih brojeva.

Pamtimo slike sljedećih znakova (prikazujemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Prikazane slike su zapis o tzv brojevima. Dogovorimo se odmah da ne okrećemo, naginjemo ili na drugi način ne iskrivljujemo brojeve prilikom pisanja.

Sada se slažemo da samo naznačene znamenke mogu biti prisutne u zapisu bilo kojeg prirodnog broja i da nikakvi drugi simboli ne mogu biti prisutni. Također se slažemo da znamenke u zapisu prirodnog broja imaju istu visinu, poredane su u retku jedna za drugom (bez uvlaka), a na lijevoj strani nalazi se znamenka koja se razlikuje od znamenke 0 .

Evo nekoliko primjera ispravan zapis prirodni brojevi: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (napomena: uvlake između brojeva nisu uvijek iste, o tome će se više raspravljati prilikom pregleda). Iz gornjih primjera može se vidjeti da prirodni broj ne sadrži nužno sve znamenke 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; neke ili sve znamenke uključene u pisanje prirodnog broja mogu se ponoviti.

Unosi 014 , 0005 , 0 , 0209 nisu zapisi prirodnih brojeva, budući da se s lijeve strane nalazi znamenka 0 .

Zapis prirodnog broja, izveden uzimajući u obzir sve zahtjeve opisane u ovom stavku, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Nadalje nećemo razlikovati prirodne brojeve i njihov zapis. Pojasnimo ovo: dalje u tekstu fraze poput „dat je prirodan broj 582 “, što će značiti da je zadan prirodan broj, čiji zapis ima oblik 582 .

Prirodni brojevi u smislu broja objekata.

Vrijeme je da se pozabavimo kvantitativnim značenjem koje nosi zabilježeni prirodni broj. U članku usporedba prirodnih brojeva razmatra se značenje prirodnih brojeva u smislu numeriranja objekata.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, odnosno s brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 i 9 .

Zamislite da smo otvorili oči i vidjeli neki predmet, na primjer, ovakav. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 1 predmet. Prirodni broj 1 čita se kao " jedan"(deklinacija broja "jedan", kao i ostale brojeve, dat ćemo u paragrafu), za broj 1 usvojio drugo ime - " jedinica».

Međutim, izraz "jedinica" ima više vrijednosti; osim prirodnog broja 1 , nazivaju se nečim što se razmatra kao cjelina. Na primjer, bilo koja stavka iz njihovog skupa može se nazvati jedinicom. Na primjer, svaka jabuka od mnogih jabuka je jedna, svako jato ptica od mnogih jata također je jedna, i tako dalje.

Sada otvaramo oči i vidimo: To jest, vidimo jedan objekt i drugi objekt. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 2 predmet. Prirodni broj 2 , glasi kao " dva».

Isto tako, - 3 predmet (čitaj " tri» predmet), - 4 (« četiri"") predmeta, - 5 (« pet»), - 6 (« šest»), - 7 (« sedam»), - 8 (« osam»), - 9 (« devet”) stavke.

Dakle, iz razmatrane pozicije, prirodni brojevi 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiti iznos stavke.

Broj čija se oznaka podudara s oznakom znamenke 0 , pod nazivom " nula". Broj nula NIJE prirodan broj, međutim, obično se smatra zajedno s prirodnim brojevima. Zapamtite: nula znači odsutnost nečega. Na primjer, nula stavki nije jedna stavka.

U sljedećim odlomcima članka nastavit ćemo otkrivati ​​značenje prirodnih brojeva u smislu označavanja količine.

jednoznamenkasti prirodni brojevi.

Očito, zapis svakog od prirodnih brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastoji se od jednog znaka – jedne znamenke.

Definicija.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od jednog znaka - jedne znamenke.

Nabrojimo sve jednoznamenkaste prirodne brojeve: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi.

Prvo dajemo definiciju dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije znamenke (različite ili iste).

Na primjer, prirodni broj 45 - dvoznamenkasti, brojevi 10 , 77 , 82 također dvoznamenkasti 5 490 , 832 , 90 037 - nije dvoznamenkasta.

Odgonetnimo kakvo značenje nose dvoznamenkasti brojevi, dok ćemo krenuti od kvantitativnog značenja nama već poznatih jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Prvo, predstavimo koncept deset.

Zamislimo takvu situaciju – otvorili smo oči i vidjeli skup koji se sastoji od devet predmeta i još jednog predmeta. U ovom slučaju se govori o 1 deset (jedan desetak) predmeta. Ako se zajedno uzme u obzir jedna desetica i još jedna desetka, onda se govori o 2 desetice (dvije desetice). Ako dvije desetice dodamo još deseticu, imat ćemo tri desetice. Nastavljajući ovaj proces, dobit ćemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Sada možemo prijeći na bit dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Da biste to učinili, razmotrite dvoznamenkasti broj kao dva jednoznamenkasta broja - jedan je lijevo u zapisu dvoznamenkastog broja, drugi je desno. Broj s lijeve strane označava broj desetica, a broj s desne strane označava broj jedinica. Štoviše, ako postoji znamenka s desne strane u zapisu dvoznamenkastog broja 0 , onda to znači odsutnost jedinica. To je cijela poanta dvoznamenkastih prirodnih brojeva u smislu označavanja iznosa.

Na primjer, dvoznamenkasti prirodni broj 72 odgovara 7 deseci i 2 jedinice (tj. 72 jabuke je skup od sedam desetaka jabuka i još dvije jabuke), te broj 30 odgovori 3 deseci i 0 nema jedinica, odnosno jedinica koje nisu ujedinjene u desetice.

Odgovorimo na pitanje: "Koliko dvoznamenkastih prirodnih brojeva postoji"? Odgovori im 90 .

Prelazimo na definiciju troznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od 3 znakovi - 3 nazivaju se znamenke (različite ili ponovljene). troznamenkasti.

Primjeri prirodnih troznamenkastih brojeva su 372 , 990 , 717 , 222 . Cijeli brojevi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nisu troznamenkaste.

Da bismo razumjeli značenje inherentno troznamenkastim prirodnim brojevima, potreban nam je koncept stotine.

Skup od deset desetica je 1 sto (sto). Sto i sto je 2 stotine. Dvjesto i još sto je tristo. I tako dalje, imamo četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osamsto i konačno devet stotina.

Pogledajmo sada troznamenkasti prirodni broj kao tri jednoznamenkasta prirodna broja, koji idu jedan za drugim s desna na lijevo u zapisu troznamenkastog prirodnog broja. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj označava broj desetica, sljedeći broj broj stotina. Brojevi 0 u zapisu troznamenkastog broja znači izostanak desetica i (ili) jedinica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 812 odgovara 8 stotine 1 prvih deset i 2 jedinice; broj 305 - tristo 0 desetice, odnosno desetice koje nisu spojene u stotine, ne) i 5 jedinice; broj 470 - četiri stotine sedam desetica (nema jedinica koje se ne spajaju u desetice); broj 500 - petsto (desetice koje se ne spajaju u stotine, a jedinice koje se ne spajaju u desetice, ne).

Slično, može se definirati četveroznamenkasti, peteroznamenkasti, šesteroznamenkasti i tako dalje. prirodni brojevi.

Viševrijedni prirodni brojevi.

Dakle, prelazimo na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija.

Viševrijedni prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva ili tri ili četiri itd. znakovi. Drugim riječima, višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti itd. brojevima.

Recimo odmah da je skup koji se sastoji od deset stotina tisuću, tisuću tisuća je milijun, tisuću milijuna je jedna milijarda, tisuću milijardi je jedan trilijun. Tisuću bilijuna, tisuću tisuća bilijuna i tako dalje također se mogu nazvati vlastitim imenima, ali za tim nema posebne potrebe.

Dakle, koje je značenje iza viševrijednih prirodnih brojeva?

Pogledajmo višeznamenkasti prirodni broj kao jednoznamenkaste prirodne brojeve koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj je broj desetica, sljedeći je broj stotina, zatim broj tisuća, sljedeći je broj desetaka tisuća, sljedeći je broj stotina tisuća , sljedeći je broj milijuna, sljedeći je broj desetaka milijuna, sljedeći su stotine milijuna, sljedeći - broj milijardi, zatim - broj desetaka milijardi, zatim - stotine milijardi, pa - bilijuni, zatim - deseci bilijuna, zatim - stotine bilijuna, i tako dalje.

Na primjer, višeznamenkasti prirodni broj 7 580 521 odgovara 1 jedinica, 2 deseci, 5 stotine 0 tisuće 8 deseci tisuća 5 stotine tisuća i 7 milijuna.

Tako smo naučili grupirati jedinice u desetice, desetice u stotine, stotine u tisuće, tisuće u desetke tisuća i tako dalje, i saznali da brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja označavaju odgovarajući broj iznad grupa.

Čitanje prirodnih brojeva, nastava.

Već smo spomenuli kako se čitaju jednoznamenkasti prirodni brojevi. Naučimo napamet sadržaj sljedećih tablica.

A kako se čitaju ostali dvoznamenkasti brojevi?

Objasnimo na primjeru. Čitanje prirodnog broja 74 . Kako smo gore saznali, ovaj broj odgovara 7 deseci i 4 jedinice, tj. 70 i 4 . Okrećemo se upravo napisanim tablicama i broju 74 čitamo kao: “Sedamdeset i četiri” (ne izgovaramo uniju “i”). Ako želite pročitati broj 74 u rečenici: „Ne 74 jabuke" ( Genitiv), tada će zvučati ovako: "Nema sedamdeset četiri jabuke." Još jedan primjer. Broj 88 - ovo je 80 i 8 , dakle, čitamo: "Osamdeset i osam". A evo primjera rečenice: "Razmišlja o osamdeset osam rubalja."

Prijeđimo na čitanje troznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, morat ćemo naučiti još nekoliko novih riječi.

Ostaje pokazati kako se čitaju preostali troznamenkasti prirodni brojevi. U ovom slučaju koristit ćemo već stečene vještine čitanja jednoznamenkastih i dvoznamenkastih brojeva.

Uzmimo primjer. Pročitajmo broj 107 . Ovaj broj odgovara 1 stotinu i 7 jedinice, tj. 100 i 7 . Okrenuvši se prema tablicama, čitamo: "Sto sedam." Recimo sada broj 217 . Ovaj broj je 200 i 17 , dakle, čitamo: "Dvjesto sedamnaest". Također, 888 - ovo je 800 (osam stotina) i 88 (osamdeset i osam), čitamo: "Osam stotina osamdeset i osam."

Okrećemo se čitanju višeznamenkastih brojeva.

Za čitanje, zapis višeznamenkastog prirodnog broja dijeli se, počevši s desne strane, u skupine od tri znamenke, dok u krajnjoj lijevoj takva skupina može biti ili 1 , ili 2 , ili 3 brojevima. Ove grupe se zovu razreda. Razred s desne strane se zove razred jedinice. Poziva se sljedeći razred (s desna na lijevo). klasa tisuća, sljedeći razred je klasa milijuna, Sljedeći - klasa milijardi, onda ide trilijuna klasa. Možete dati nazive sljedećih razreda, ali prirodne brojeve, čiji se zapis sastoji od 16 , 17 , 18 itd. znakovi se obično ne čitaju, jer ih je vrlo teško percipirati uhu.

Pogledajte primjere dijeljenja višeznamenkastih brojeva u klase (radi jasnoće, klase su međusobno odvojene malom uvlakom): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Zabilježene prirodne brojeve stavimo u tablicu prema kojoj ih je lako naučiti čitati.

Za čitanje prirodnog broja pozivamo s lijeva na desno brojeve koji ga čine po razredima i dodajemo naziv razreda. Pritom ne izgovaramo naziv klase jedinica, a također preskačemo one klase koje čine tri znamenke 0 . Ako zapis razreda ima znamenku na lijevoj strani 0 ili dvije znamenke 0 , a zatim zanemarite ove brojeve 0 i pročitaj broj dobiven odbacivanjem ovih znamenki 0 . Na primjer, 002 čitati kao "dva", i 025 - kao "dvadeset pet".

Pročitajmo broj 489 002 prema datim pravilima.

Čitamo s lijeva na desno,

• pročitaj broj 489 , koji predstavlja klasu tisuća, je "četiri stotine osamdeset i devet";
• dodajte naziv razreda, dobivamo "četiri stotine osamdeset devet tisuća";
• dalje u klasi jedinica vidimo 002 , nule su na lijevoj strani, stoga ih ignoriramo 002 čitati kao "dva";
• naziv klase jedinice nije potrebno dodavati;
• kao rezultat imamo 489 002 - četiri stotine osamdeset devet tisuća dvije.

Počnimo čitati broj 10 000 501 .

• S lijeve strane u klasi milijuna vidimo broj 10 , čitamo "deset";
• dodajte naziv razreda, imamo "deset milijuna";
• sljedeće vidimo zapisnik 000 u klasi tisuća, budući da su sve tri znamenke znamenke 0 , tada preskačemo ovaj razred i prelazimo na sljedeći;
• klasa jedinica predstavlja broj 501 , koje čitamo "petsto i jedan";
• Tako, 10 000 501 deset milijuna petsto i jedan.

Učinimo to bez detaljnih objašnjenja: 1 789 090 221 214 - "jedan trilijun sedamsto osamdeset devet milijardi devedeset milijuna dvjesto dvadeset i jedna tisuću dvjesto četrnaest."

Dakle, vještina čitanja višeznamenkastih prirodnih brojeva temelji se na sposobnosti razbijanja višeznamenkastih brojeva u razrede, poznavanju naziva razreda i sposobnosti čitanja troznamenkastih brojeva.

Znamenke prirodnog broja, vrijednost znamenke.

U pisanju prirodnog broja vrijednost svake znamenke ovisi o njezinom položaju. Na primjer, prirodni broj 539 odgovara 5 stotine 3 deseci i 9 jedinica, dakle brojka 5 u unosu broja 539 definira broj stotina, znamenku 3 je broj desetica i znamenka 9 - broj jedinica. Kaže se da je broj 9 stoji unutra jedinice znamenka i broj 9 je vrijednost jedinice znamenke, broj 3 stoji unutra desetke mjesto i broj 3 je vrijednost mjesta desetica, i broj 5 - u stotine mjesta i broj 5 je vrijednost na stotine mjesta.

Na ovaj način, pražnjenje- to je, s jedne strane, položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, a s druge strane vrijednost te znamenke, određena njezinim položajem.

Redovi su dobili imena. Ako pogledate brojeve u zapisu prirodnog broja s desna na lijevo, tada će im odgovarati sljedeće znamenke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, deseci tisuća, stotine tisuća, milijuni, deseci milijuna i tako dalje.

Nazive kategorija zgodno je zapamtiti kada su predstavljeni u obliku tablice. Napišimo tablicu koja sadrži nazive od 15 znamenki.

Imajte na umu da je broj znamenki zadanog prirodnog broja jednak broju znakova uključenih u pisanje ovog broja. Dakle, snimljena tablica sadrži nazive znamenki svih prirodnih brojeva, čiji zapis sadrži do 15 znakova. Sljedeće znamenke također imaju svoja imena, ali se vrlo rijetko koriste pa ih nema smisla spominjati.

Pomoću tablice znamenki prikladno je odrediti znamenke zadanog prirodnog broja. Da biste to učinili, trebate upisati ovaj prirodni broj u ovu tablicu tako da u svakoj znamenki postoji jedna znamenka, a krajnja desna znamenka je u znamenki jedinice.

Uzmimo primjer. Napišimo prirodan broj 67 922 003 942 u tablici, a znamenke i vrijednosti ovih znamenki postat će jasno vidljive.

U zapisu ovog broja, znamenka 2 stoji na mjestu jedinica, znamenka 4 - na mjestu desetica, znamenka 9 - na stotine, itd. Obratite pažnju na brojke 0 , koje su u znamenkama od desetina tisuća i stotina tisuća. Brojevi 0 u ovim znamenkama znači odsutnost jedinica ovih znamenki.

Spomenimo i takozvanu najnižu (najnižu) i najvišu (najvišu) kategoriju viševrijednog prirodnog broja. Niži (mlađi) rang bilo koji viševrijedni prirodni broj je znamenka jedinice. Najviša (najviša) znamenka prirodnog broja je znamenka koja odgovara krajnjoj desnoj znamenki u zapisu ovog broja. Na primjer, znamenka s najmanjim značajem prirodnog broja 23004 je znamenka jedinice, a najveća znamenka je znamenka desetaka tisuća. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s lijeva na desno, onda svaka sljedeća znamenka niži (mlađi) prethodni. Na primjer, znamenka tisuća je manja od znamenke desetaka tisuća, posebno znamenka tisuća je manja od znamenke stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna itd. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s desna na lijevo, onda svaku sljedeću znamenku viši (stariji) prethodni. Na primjer, znamenka stotine je starija od znamenke desetice, a još više, starija je od znamenke jedinica.

U nekim slučajevima (na primjer, kada se vrši zbrajanje ili oduzimanje), ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj bitnih članova tog prirodnog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu.

Dakle, upoznali smo se s prirodnim brojevima, sa njihovim značenjem i načinom pisanja prirodnih brojeva pomoću deset znamenki.

Općenito se naziva metoda pisanja brojeva pomoću znakova brojevni sustav. Vrijednost znamenke u unosu broja može, ali i ne mora ovisiti o njenom položaju. Zovu se brojevni sustavi u kojima vrijednost znamenke u brojčanom unosu ovisi o njezinom položaju pozicijski.

Dakle, prirodni brojevi koje smo razmatrali i način njihovog pisanja ukazuju na to da koristimo pozicijski brojevni sustav. Treba napomenuti da posebno mjesto u ovom brojevnom sustavu ima broj 10 . Doista, rezultat se vodi u deseticama: deset jedinica se kombinira u deset, deset desetica se kombinira u sto, deset stotina u tisuću i tako dalje. Broj 10 pozvao osnovu zadani brojevni sustav, a sam brojevni sustav se zove decimal.

Osim decimalnog brojevnog sustava, postoje i drugi, npr. u informatici se koristi binarni pozicijski brojevni sustav, a seksagezimalni sustav susrećemo kada pričamo o mjerenju vremena.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih ustanova.

Prirodni brojevi i njihova svojstva

Prirodni brojevi se koriste za brojanje predmeta u životu. Bilo koji prirodni broj koristi znamenke $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Niz prirodnih brojeva, svaki sljedeći broj u kojem je $1$ veći od prethodnog, tvori prirodni niz koji počinje s jedan (jer je jedan najmanji prirodni broj) i nema najveća vrijednost, tj. beskrajna.

Nula se ne smatra prirodnim brojem.

Sljedeća svojstva odnosa

Sva svojstva prirodnih brojeva i operacije nad njima proizlaze iz četiri svojstva odnosa niza, koja je u $1891$ formulirao D. Peano:

Jedan je prirodan broj koji ne slijedi nijedan prirodni broj.

Nakon svakog prirodnog broja slijedi jedan i samo jedan broj

Svaki prirodni broj osim $1$ slijedi jedan i samo jedan prirodni broj

Podskup prirodnih brojeva koji sadrži broj $1$, i zajedno sa svakim brojem sljedeći broj, sadrži sve prirodne brojeve.

Ako se zapis prirodnog broja sastoji od jedne znamenke, naziva se jednoznamenkastim (npr. $2,6,9$ itd.), ako se zapis sastoji od dvije znamenke naziva se dvoznamenkastim (na primjer, 12,18 $ ,45 $), itd. Slično. Dvoznamenkaste, troznamenkaste, četveroznamenkaste itd. brojevi se u matematici nazivaju viševrijednim.

Svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva

Komutativno svojstvo: $a+b=b+a$

Zbroj se ne mijenja kada se uvjeti preurede

Asocijativno svojstvo: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Da biste broju dodali zbroj dvaju brojeva, prvo možete dodati prvi član, a zatim, rezultirajućem zbroju, drugi član

Dodavanjem nule ne mijenja se broj, a ako dodate bilo koji broj nuli, dobit ćete dodani broj.

svojstva oduzimanja

Svojstvo oduzimanja zbroja od broja $a-(b+c) =a-b-c$ ako je $b+c ≤ a$

Da biste od broja oduzeli zbroj, od tog broja možete prvo oduzeti prvi član, a zatim od dobivene razlike drugi član

Svojstvo oduzimanja broja od zbroja $(a+b) -c=a+(b-c)$ ako je $c ≤ b$

Da biste oduzeli broj od zbroja, možete ga oduzeti od jednog člana, a dobivenoj razlici dodati drugi član

Ako od broja oduzmete nulu, broj se neće promijeniti.

Ako ga oduzmete od samog broja, dobit ćete nulu

Svojstva množenja

Pomak $a\cdot b=b\cdot a$

Umnožak dvaju brojeva se ne mijenja kada se faktori preurede

Asocijativni $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni proizvod s drugim faktorom

Kada se pomnoži s jedan, proizvod se ne mijenja $m\cdot 1=m$

Kada se pomnoži s nulom, proizvod je nula

Kada u zapisu proizvoda nema zagrada, množenje se izvodi redom s lijeva na desno

Svojstva množenja s obzirom na zbrajanje i oduzimanje

Distributivno svojstvo množenja s obzirom na zbrajanje

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Da biste zbroj pomnožili s brojem, možete svaki pojam pomnožiti s tim brojem i dodati dobivene proizvode

Na primjer, $5(x+y)=5x+5y$

Distributivno svojstvo množenja s obzirom na oduzimanje

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Da biste razliku pomnožili brojem, pomnožite minus i oduzmite s tim brojem i oduzmite drugi od prvog proizvoda

Na primjer, $5(x-y)=5x-5y$

Usporedba prirodnih brojeva

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$, samo jedna od tri relacije $a=b$, $a

Manji broj je onaj koji se pojavljuje ranije u prirodnom nizu, a veći koji se pojavljuje kasnije. Nula je manja od bilo kojeg prirodnog broja.

Primjer 1

Usporedite brojeve $a$ i $555$, ako je poznato da postoji neki broj $b$, i vrijede sljedeće relacije: $a

Riješenje: Na temelju navedenog svojstva, jer po uvjetu $a

svaki podskup prirodnih brojeva koji sadrži barem jedan broj ima najmanji broj

Podskup u matematici je dio skupa. Za skup se kaže da je podskup drugog ako je svaki element podskupa također element većeg skupa.

Često, za usporedbu brojeva, pronađu njihovu razliku i uspoređuju je s nulom. Ako je razlika veća od 0$, ali prvi broj više od sekunde, ako je razlika manja od $0$, tada je prvi broj manji od drugog.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Kada potpuna preciznost nije potrebna ili nije moguća, brojevi se zaokružuju, odnosno zamjenjuju se bliskim brojevima s nulama na kraju.

Prirodni brojevi se zaokružuju na desetke, stotine, tisuće itd.

Kada se broj zaokružuje na desetice, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih desetica; takav broj ima znamenku $0$ na mjestu jedinica

Kada se broj zaokružuje na stotine, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih stotina; takav broj bi trebao imati znamenku $0$ na mjestu desetica i jedinica. itd

Brojevi na koje se zaokružuje zadani nazivaju se približna vrijednost broja s točnošću navedenih znamenki. Na primjer, ako zaokružite broj $564$ na desetice, dobivamo da ga možete zaokružiti s nedostatkom i dobiti 560$, ili s viškom i dobijete 570$.

Pravilo zaokruživanja prirodnih brojeva

Ako je desno od znamenke na koju je broj zaokružen broj $5$ ili broj veći od $5$, tada se znamenki ove znamenke dodaje $1$; inače, ova brojka ostaje nepromijenjena.

Sve znamenke koje se nalaze desno od znamenke na koju je broj zaokružen zamjenjuju se nulama

Cijeli brojevi- brojevi koji se koriste za brojanje objekata . Bilo koji prirodni broj može se napisati pomoću desetice znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takav zapis brojeva naziva se decimal.

Niz svih prirodnih brojeva naziva se prirodno jedno uz drugo .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najviše mali prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. prirodne serije beskrajna ne postoji najveći broj.

Značenje znamenke ovisi o njenom mjestu u zapisu broja. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice ako stoji posljednje mjesto u unosu broja (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je na posljednjem mjestu (na mjestu desetica); 4 stotine, ako je na trećem mjestu s kraja (u stotine mjesta).

Brojka 0 znači nedostatak jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja. Služi i za označavanje broja " nula". Ovaj broj znači "nijedno". Rezultat 0:3 nogometne utakmice pokazuje da prva momčad nije zabila niti jedan gol protivniku.

Nula ne uključuju na prirodne brojeve. I doista, brojanje predmeta nikada ne počinje od nule.

Ako prirodni broj ima samo jednu znamenku – jedna znamenka, onda se zove nedvosmisleno. Oni. nedvosmislenoprirodni broj- prirodni broj čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna znamenka. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednoznamenkasti.

dvoznamenkastaprirodni broj- prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije znamenke.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvoznamenkasti.

Isto tako za broj znakova u zadani broj daj imena drugim brojevima:

brojevi 326, 532, 893 - troznamenkasti;

brojevi 1126, 4268, 9999 - četveroznamenkasti itd.

Dvije znamenke, tri znamenke, četiri znamenke, pet znamenki, itd. pozivaju se brojevi višeznamenkasti brojevi .

Za čitanje višeznamenkastih brojeva dijele se, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke (krajnja lijeva skupina može se sastojati od jedne ili dvije znamenke). Ove grupe se zovu razreda.

milijuna je tisuću tisuća (1000 tisuća), napisano je 1 milijun ili 1.000.000.

milijardu iznosi 1000 milijuna kuna. Bilježi ga 1 milijarda ili 1.000.000.000.

Prve tri znamenke s desne strane čine klasu jedinica, sljedeće tri - klasu tisuća, zatim slijede klase milijuna, milijardi itd. (Sl. 1).

Riža. 1. Klasa milijuna, klasa tisuća i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 napisan je u mreži bitova (slika 2).

Riža. 2. Mreža znamenki: broj 15 milijardi 389 milijuna 286

Ovaj broj ima 286 jedinica u klasi jedan, nula u klasi tisuća, 389 jedinica u klasi milijuna i 15 jedinica u klasi milijardi.