Rješavanje složenih logaritamskih jednadžbi ispita. Zaštita osobnih podataka. Pravila i neka ograničenja

Logaritamski izrazi, rješavanje primjera. U ovom ćemo članku razmotriti probleme vezane uz rješavanje logaritama. Zadaci postavljaju pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i razumijevanje njegovog značenja je izuzetno važno. Što se tiče Jedinstvenog državnog ispita, logaritam se koristi pri rješavanju jednadžbi, u primijenjenim problemima, kao iu zadacima koji se odnose na proučavanje funkcija.

Navedimo primjere kako bismo razumjeli samo značenje logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koja se uvijek moraju zapamtiti:

*Logaritam umnoška jednak zbroju logaritmi faktora.

* * *

*Logaritam kvocijenta (razlomka) jednak je razlici logaritama faktora.

* * *

*Logaritam eksponenta jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prijelaz na nove temelje

* * *

Više nekretnina:

* * *

Izračunavanje logaritama usko je povezano s korištenjem svojstava eksponenata.

Nabrojimo neke od njih:

Suština ovog posjeda leži u činjenici da se kod prijenosa brojnika na nazivnik i obrnuto znak eksponenta mijenja u suprotan. Na primjer:

Posljedica iz ovog svojstva:

* * *

Kod dizanja potencije na potenciju baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.

* * *

Kao što ste vidjeli, koncept samog logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da vam je potrebna dobra praksa, koja vam daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako vještina pretvaranja elementarnih logaritama nije razvijena, tada pri rješavanju jednostavnih zadataka lako možete pogriješiti.

Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz kolegija matematike, pa prijeđite na složenije. U budućnosti ću svakako pokazati kako se rješavaju "ružni" logaritmi; oni se neće pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu, ali su zanimljivi, nemojte ih propustiti!

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

U ovom video vodiču pogledat ćemo rješavanje prilično ozbiljne logaritamske jednadžbe, u kojoj ne samo da trebate pronaći korijene, već i odabrati one koji leže na danom segmentu.

Problem C1. Riješite jednadžbu. Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu.

Napomena o logaritamskim jednadžbama

Međutim, iz godine u godinu dolaze mi studenti koji pokušavaju riješiti takve, iskreno, teške jednadžbe, ali u isto vrijeme ne mogu shvatiti: odakle bi uopće trebali početi i kako pristupiti logaritmima? Ovaj problem se može pojaviti čak i među snažnim, dobro pripremljenim učenicima.

Zbog toga se mnogi počinju bojati ove teme ili se čak smatraju glupima. Dakle, zapamtite: ako ne možete riješiti takvu jednadžbu, to uopće ne znači da ste glupi. Jer, na primjer, ovu jednadžbu možete obraditi gotovo verbalno:

log 2 x = 4

A da nije tako, ne biste sada čitali ovaj tekst, jer ste bili zauzeti jednostavnijim i prizemnijim poslovima. Naravno, netko će sad prigovoriti: “Kakve veze ima ova najjednostavnija jednadžba s našom zdravom strukturom?” Odgovaram: svaka logaritamska jednadžba, ma koliko složena bila, u konačnici se svodi na te najjednostavnije strukture koje se mogu usmeno rješavati.

Naravno, od složenih logaritamskih jednadžbi do jednostavnijih se mora ići ne selekcijom ili plesom uz tamburu, već prema jasnim, davno definiranim pravilima, koja se zovu - pravila za pretvaranje logaritamskih izraza. Poznavajući ih, lako se možete nositi s najsofisticiranijim jednadžbama na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike.

I upravo o tim pravilima ćemo govoriti u današnjoj lekciji. Ići!

Rješavanje logaritamske jednadžbe u zadatku C1

Dakle, rješavamo jednadžbu:

Prije svega, kad je riječ o logaritamskim jednadžbama, sjetimo se osnovne taktike – da tako kažemo osnovnog pravila rješavanja logaritamskih jednadžbi. Sastoji se od sljedećeg:

Teorem o kanonskom obliku. Svaka logaritamska jednadžba, bez obzira što uključuje, bez obzira na logaritme, bez obzira na bazu i bez obzira što sadrži, mora se nužno svesti na jednadžbu oblika:

log a f (x) = log a g (x)

Ako pogledamo našu jednadžbu, odmah ćemo uočiti dva problema:

1. S lijeve strane imamo zbroj dvaju brojeva, od kojih jedan uopće nije logaritam.
2. S desne strane nalazi se pravi logaritam, ali u njegovoj osnovi nalazi se korijen. A logaritam s lijeve strane je jednostavno 2, tj. Baze logaritama na lijevoj i desnoj strani su različite.

Dakle, sastavili smo ovaj popis problema koji odvajaju našu jednadžbu od toga kanonska jednadžba, na koju se svaka logaritamska jednadžba mora svesti tijekom procesa rješavanja. Dakle, rješenje naše jednadžbe je u ovoj fazi svodi se na otklanjanje dva gore opisana problema.

Bilo koja logaritamska jednadžba može se brzo i jednostavno riješiti ako je svedete na kanonski oblik.

Zbroj logaritama i logaritam umnoška

Krenimo redom. Prvo, pogledajmo strukturu s lijeve strane. Što možemo reći o zbroju dva logaritma? Prisjetimo se divne formule:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Ali vrijedi uzeti u obzir da u našem slučaju prvi izraz uopće nije logaritam. To znači da jedinicu trebamo predstaviti kao logaritam s bazom 2 (točno 2, jer je logaritam s bazom 2 lijevo). Kako to učiniti? Prisjetimo se opet divne formule:

a = log b b a

Ovdje morate razumjeti: kada kažemo "Bilo koja baza b", mislimo da b ipak ne može biti proizvoljan broj. Umetnemo li broj u logaritam, određeni ograničenja, naime: baza logaritma mora biti veća od 0 i ne smije biti jednaka 1. U protivnom logaritam jednostavno nema smisla. Zapišimo ovo:

0 < b ≠ 1

Pogledajmo što se događa u našem slučaju:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Napišimo sada cijelu našu jednadžbu uzimajući u obzir ovu činjenicu. I odmah primjenjujemo još jedno pravilo: zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška argumenata. Kao rezultat dobivamo:

Imamo novu jednadžbu. Kao što vidimo, već je puno bliže kanonskoj jednadžbi kojoj težimo. Ali postoji jedan problem, zapisali smo ga kao drugu točku: naši logaritmi, koji su lijevo i desno, različiti razlozi. Prijeđimo na sljedeći korak.

Pravila za oduzimanje potencija od logaritma

Dakle, logaritam s lijeve strane ima bazu od samo 2, a logaritam s desne strane ima korijen u bazi. Ali to nije problem ako se sjetimo da se baze argumenata logaritma mogu podići na potencije. Zapišimo jedno od ovih pravila:

log a b n = n log a b

Prevedeno na ljudski jezik: možete uzeti potenciju iz baze logaritma i staviti je ispred kao množitelj. Broj n je "migrirao" iz logaritma prema van i postao koeficijent ispred.

Jednako tako lako možemo izvesti potenciju iz baze logaritma. Izgledat će ovako:

Drugim riječima, ako uklonite stupanj iz argumenta logaritma, ovaj stupanj se također piše kao faktor ispred logaritma, ali ne kao broj, već kao recipročni broj 1/k.

Međutim, to nije sve! Možemo kombinirati ove dvije formule i doći do sljedeće formule:

Kada se potencija pojavljuje iu bazi i u argumentu logaritma, možemo uštedjeti vrijeme i pojednostaviti izračune tako da odmah izbacimo potencije i iz baze i iz argumenta. U ovom slučaju ono što je bilo u argumentu (u našem slučaju to je koeficijent n) pojavit će se u brojniku. A koliko je bio stupanj u bazi, k, ići će u nazivnik.

I to su formule koje ćemo sada koristiti kako bismo sveli naše logaritme na istu bazu.

Prije svega, odaberimo više ili manje lijepu bazu. Očito je mnogo ugodnije raditi s dvojkom u bazi nego s korijenom. Dakle, pokušajmo reducirati drugi logaritam na bazu 2. Zapišimo ovaj logaritam zasebno:

Što možemo učiniti ovdje? Prisjetimo se formule potencije s racionalnim eksponentom. Drugim riječima, korijene možemo napisati kao potenciju s racionalnim eksponentom. I onda uzimamo potenciju 1/2 i iz argumenta i iz baze logaritma. Smanjujemo dvojke u koeficijentima u brojniku i nazivniku okrenutim prema logaritmu:

Na kraju, prepišimo izvornu jednadžbu uzimajući u obzir nove koeficijente:

log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Dobili smo kanoničku logaritamsku jednadžbu. I s lijeve i s desne strane imamo logaritam na istu bazu 2. Osim ovih logaritama, nema koeficijenata, niti članova ni lijevo ni desno.

Posljedično, možemo se riješiti predznaka logaritma. Naravno, uzimajući u obzir domenu definicije. Ali prije nego što to učinimo, vratimo se i napravimo malo pojašnjenje o razlomcima.

Dijeljenje razlomka razlomkom: dodatna razmatranja

Ne razumiju svi učenici odakle dolaze faktori ispred desnog logaritma i kamo idu. Zapišimo opet:

Shvatimo što je razlomak. Zapišimo:

Prisjetimo se sada pravila za dijeljenje razlomaka: da biste podijelili s 1/2 morate pomnožiti s obrnutim razlomkom:

Naravno, radi lakšeg daljnjeg izračuna, dva možemo napisati kao 2/1 - i to je ono što promatramo kao drugi koeficijent u procesu rješavanja.

Nadam se da sada svi razumiju odakle dolazi drugi koeficijent, pa prijeđimo izravno na rješavanje naše kanonske logaritamske jednadžbe.

Uklanjanje znaka logaritma

Dopustite da vas podsjetim da se sada možemo riješiti logaritama i ostaviti sljedeći izraz:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Otvorimo zagrade s lijeve strane. Dobivamo:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Premjestimo sve s lijeve strane na desnu:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Donesimo slične i dobijmo:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Obje strane ove jednadžbe možemo podijeliti s 2 da bismo pojednostavili koeficijente i dobit ćemo:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Pred nama je uobičajeno bikvadratna jednadžba, a njegovi korijeni se lako izračunavaju preko diskriminante. Dakle, zapišimo diskriminantu:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Super, diskriminant je "lijep", korijen mu je 7. To je to, prebrojimo X-ove sami. Ali u ovom slučaju, korijeni neće biti x, već x 2, jer imamo bikvadratnu jednadžbu. Dakle, naše mogućnosti:

Imajte na umu: izvukli smo korijene, tako da će biti dva odgovora, jer... kvadrat - ravnomjerna funkcija. A ako napišemo samo korijen od dva, onda ćemo jednostavno izgubiti drugi korijen.

Sada pišemo drugi korijen naše bikvadratne jednadžbe:

Opet izdvajamo aritmetiku Korijen s obje strane naše jednadžbe dobivamo dva korijena. Međutim, zapamtite:

Nije dovoljno jednostavno izjednačiti argumente logaritama u kanonskom obliku. Zapamtite domenu definicije!

Ukupno smo dobili četiri korijena. Sve su one doista rješenja naše izvorne jednadžbe. Pogledajte: u našoj izvornoj logaritamskoj jednadžbi logaritmi unutra su ili 9x 2 + 5 (ova je funkcija uvijek pozitivna) ili 8x 4 + 14 - što je također uvijek pozitivno. Dakle, domena definiranja logaritama je zadovoljena u svakom slučaju, bez obzira koji korijen dobijemo, što znači da su sva četiri korijena rješenja naše jednadžbe.

Super, sad prijeđimo na drugi dio problema.

Izbor korijena logaritamske jednadžbe na segmentu

Od naša četiri korijena odabiremo one koji leže na segmentu [−1; 8/9]. Vraćamo se korijenima, a sada ćemo izvršiti njihovu selekciju. Za početak predlažem crtanje koordinatne osi i označavanje krajeva segmenta na njoj:

Obje točke će biti osjenčane. Oni. Prema uvjetima problema, zanima nas osjenčani segment. Sada pogledajmo korijene.

Iracionalni korijeni

Počnimo s iracionalnim korijenima. Imajte na umu da 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Iz ovoga proizlazi da korijen iz dva ne spada u segment koji nas zanima. Slično ćemo dobiti s negativnim korijenom: manji je od −1, odnosno nalazi se lijevo od segmenta koji nas zanima.

Racionalni korijeni

Ostala su dva korijena: x = 1/2 i x = −1/2. Primijetimo da je lijevi kraj segmenta (−1) negativan, a desni kraj (8/9) pozitivan. Dakle, negdje između ovih krajeva nalazi se broj 0. Korijen x = −1/2 bit će između −1 i 0, tj. će završiti u konačnom odgovoru. Isto radimo s korijenom x = 1/2. Ovaj korijen također leži na segmentu koji se razmatra.

Možete se uvjeriti da je 8/9 veće od 1/2. Oduzmimo ove brojeve jedan od drugog:

Dobili smo razlomak 7/18 > 0, što po definiciji znači da je 8/9 > 1/2.

Označimo odgovarajuće korijene na koordinatnoj osi:

Konačni odgovor bit će dva korijena: 1/2 i −1/2.

Usporedba iracionalnih brojeva: univerzalni algoritam

Na kraju bih se još jednom vratio iracionalnim brojevima. Koristeći njihov primjer, sada ćemo pogledati kako usporediti racionalne i iracionalne veličine u matematici. Za početak, postoji takva kvačica između njih V - znak "više" ili "manje", ali još ne znamo u kojem je smjeru usmjerena. Zapišimo:

Zašto su nam uopće potrebni algoritmi za usporedbu? Činjenica je da smo u ovom problemu imali puno sreće: u procesu rješavanja se pojavio diobeni broj 1, o kojem možemo sa sigurnošću reći:

Međutim, nećete uvijek odmah vidjeti takav broj. Pa pokušajmo izravno usporediti naše brojke.

Kako se to radi? Radimo isto kao i s običnim nejednakostima:

1. Prvo, kad bismo negdje imali negativne koeficijente, pomnožili bismo obje strane nejednakosti s −1. Naravno mijenjanje predznaka. Ova kvačica V promijenila bi se u ovu - Λ.
2. Ali u našem slučaju obje su strane već pozitivne, pa nema potrebe ništa mijenjati. Ono što je stvarno potrebno jest kvadrat obje strane da se riješite radikalnog.

Ako pri usporedbi iracionalnih brojeva nije moguće odmah odabrati element za razdvajanje, preporučujem da takvu usporedbu izvršite "direktno" - opisujući je kao običnu nejednadžbu.

Prilikom rješavanja formalizira se ovako:

Sada je sve to lako usporediti. Poanta je da 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

To je to, dobili smo strogi dokaz da su svi brojevi označeni na brojevnoj crti x ispravno i točno u onom nizu u kojem zapravo trebaju biti. Ovom rješenju nitko neće zamjeriti, pa zapamtite: ako vam se odmah ne vidi broj za dijeljenje (u našem slučaju to je 1), onda slobodno napišite gornju konstrukciju, pomnožite, kvadrirajte – i na kraju ćete dobiti lijepu nejednakost. Iz ove nejednakosti bit će jasno koji je broj veći, a koji manji.

Vraćajući se našem problemu, želio bih vam još jednom skrenuti pozornost na ono što smo napravili na samom početku rješavanja naše jednadžbe. Naime: pažljivo smo pogledali našu izvornu logaritamsku jednadžbu i pokušali je reducirati na kanonski logaritamska jednadžba. Gdje su samo logaritmi lijevo i desno - bez ikakvih dodatnih članova, koeficijenata ispred itd. Ne trebaju nam dva logaritma temeljena na a ili b, već logaritam jednak drugom logaritmu.

Osim toga, baze logaritama također moraju biti jednake. Štoviše, ako je jednadžba ispravno sastavljena, tada ćemo uz pomoć elementarnih logaritamskih transformacija (zbroj logaritama, transformacija broja u logaritam itd.) tu jednadžbu svesti na kanoničku.

Stoga, od sada, kada vidite logaritamsku jednadžbu koja se ne može odmah riješiti, ne biste se trebali izgubiti ili pokušati otkriti odgovor. Sve što trebate učiniti je slijediti ove korake:

1. Pretvorite sve slobodne elemente u logaritam;
2. Zatim zbrojite ove logaritme;
3. U dobivenoj konstrukciji svedite sve logaritme na istu bazu.

Kao rezultat, dobit ćete jednostavnu jednadžbu koja se može riješiti pomoću alata za elementarnu algebru iz gradiva za 8-9 razred. Općenito, idite na moju web stranicu, vježbajte rješavanje logaritama, rješavajte logaritamske jednadžbe poput mene, rješavajte ih bolje od mene. I to je sve za mene. Pavel Berdov je bio s vama. Vidimo se opet!

Kao što znate, kod množenja izraza s potencijama, njihovi eksponenti uvijek se zbrajaju (a b *a c = a b+c). Taj je matematički zakon izveo Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen izradio je tablicu cjelobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za daljnje otkriće logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo posvuda gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim zbrajanjem. Ako provedete 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" na njegovu bazu "a" smatra se potencijom "c ” na koju se mora podići baza “a” da bi se u konačnici dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam koristeći primjere, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takvu potenciju da od 2 do tražene potencije dobijete 8. Nakon što malo izračunate u glavi, dobivamo broj 3! I to je istina, jer 2 na potenciju 3 daje odgovor kao 8.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu tako strašni, glavna stvar je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri pojedinačne vrste logaritamski izrazi:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je baza 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b na bazu a>1.

Svaki od njih rješava se na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam pomoću logaritamskih teorema. Za dobivanje ispravne vrijednosti logaritme, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji pri njihovom rješavanju.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno ne podliježu raspravi i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izvući parni korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, nakon kojih možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• Baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednake svojim vrijednostima;
• ako je a > 0, tada je a b >0, ispada da i “c” mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dan je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. To je vrlo jednostavno, potrebno je odabrati potenciju dizanjem broja deset na koji dobijemo 100. To je, naravno, 10 2 = 100.

Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobivamo log 10 100 = 2. Kod rješavanja logaritama sve radnje praktički konvergiraju da se nađe potencija kojoj je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. Ovako izgleda:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i znanje o tablici množenja. Međutim za velike vrijednosti trebat će vam tablica stupnjeva. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o kompleksu matematičke teme. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), Gornji red brojeva je vrijednost potencije c na koju je podignut broj a. Na raskrižju ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najveći humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednadžbe

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može napisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam baze 3 od 81 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne moći pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Sada pogledajmo kako nejednadžbe izgledaju i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Zadan je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jest logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod predznakom logaritma. Također se u izrazu uspoređuju dvije količine: logaritam željenog broja na osnovicu dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok pri rješavanju nejednadžbe oba raspona prihvatljivih vrijednosti​​i točke se određuju razbijanjem ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i u praksi primijeniti sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; pogledajmo prvo svako svojstvo detaljnije.

1. Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
2. Logaritam umnoška može se prikazati sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezni uvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, s primjerima i rješenjem. Neka je log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada je a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva od stupnjeva ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je i trebalo dokazati.
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova se formula naziva "svojstvo stupnja logaritma". Sliči svojstvima običnih stupnjeva, što i ne čudi, jer se sva matematika temelji na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka je log a b = t, ispada da je a t =b. Podignemo li oba dijela na potenciju m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n, stoga je log a q b n = (n*t)/t, tada je log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemni ispit iz matematike, morate znati kako ispravno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstven plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednadžbu ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili dovesti do Opća pojava. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako ispravno koristite njihova svojstva. Brzo ih upoznajmo.

Kada rješavamo logaritamske jednadžbe, moramo odrediti koju vrstu logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo se rješenje svodi na to da trebaju odrediti potenciju kojoj će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodni logaritmi trebate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma umnoška može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširivanje veliki značaj brojeve b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo potencije logaritma uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Samo trebate faktorizirati bazu, a zatim uzeti vrijednosti eksponenta iz znaka logaritma.

Zadaci s jedinstvenog državnog ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, osobito mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu ( Državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši ispitni dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva točno i savršeno poznavanje teme “Prirodni logaritmi”.

Primjeri i rješenja problema preuzeti su sa službenih Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadani je log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, malo ga pojednostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je svesti sve logaritme na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod znakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza izuzme kao množitelj, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.