U jednakokračnom trapezu zbrojevi suprotnih stranica su jednaki. Opisani krug i trapez

Trapez je konveksni četverokut u kojem je jedan par suprotnih stranica međusobno paralelan, a drugi nije.

Na temelju definicije trapeza i obilježja paralelograma, paralelne stranice trapeza ne mogu biti jednake jedna drugoj. U suprotnom bi i drugi par stranica također postao paralelan i jednak. U ovom slučaju radili bismo o paralelogramu.

Paralelne nasuprotne stranice trapeza nazivaju se osnove. Odnosno, trapez ima dvije baze. Neparalelne suprotne stranice trapeza nazivaju se strane.

Ovisno o tome koje strane, koje kutove tvore s bazama, razlikuju se različite vrste trapez. Najčešće se trapezi dijele na neistokračne (raznokračne), jednakokračne (istostrane) i pravokutne.

Na bočni trapezi stranice nisu jednake. U isto vrijeme, s velikom bazom, oboje mogu formirati samo oštre kutove, ili će jedan kut biti tup, a drugi oštar. U prvom slučaju, trapez se zove oštrokutni, u drugom - tupi.

Na jednakokračni trapezi strane su međusobno jednake. Istodobno, s velikom bazom, mogu formirati samo oštre kutove, tj. Svi jednakokračni trapezi su šiljasti kutovi. Stoga se ne dijele na oštrokutne i tupokutne.

Na pravokutni trapez jedan strana okomito na baze. Druga stranica ne može biti okomita na njih, jer bismo u ovom slučaju imali posla s pravokutnikom. Kod pravokutnih trapeza stranica koja nije okomita uvijek tvori oštar kut s velikom osnovicom. Okomita stranica je okomita na obje baze, jer su baze paralelne.

Uputa

Prema svojstvu jednakokračnog trapeza odsječak n jednak je polurazlici osnovica x i y. Stoga se manja baza trapeza y može prikazati kao razlika između veće baze i segmenta n pomnoženog s dva: y \u003d x - 2 * n.

Pronađite nepoznati manji odsječak n. Da biste to učinili, izračunajte jednu od strana dobivenog pravokutni trokut. Trokut čine visina - h (kateta), stranica - a (hipotenuza) i segment - n (kateta). Prema Pitagorinoj teoremi, nepoznati krak je n² = a² - h². Zamijenite brojčane vrijednosti i izračunajte kvadrat noge n. Izvadite kvadratni korijen dobivene vrijednosti - to će biti duljina segmenta n.

Zamijenite dobivenu vrijednost u prvu jednadžbu da biste izračunali y. Površina trapeza izračunava se formulom S = ((x + y)*h)/2. Izrazite nepoznatu varijablu: y = 2*S/h - x.

Izvori:

• visina jednakokračnog trapeza

Da bi se definirao četverokut kao što je trapez, moraju se definirati najmanje tri njegove stranice. Stoga, na primjer, možemo razmotriti zadatak u kojem su zadane duljine dijagonala trapez, kao i jedan od vektora bočne strane.

Uputa

Slika iz uvjeta zadatka prikazana je na 1. U ovom slučaju treba pretpostaviti da je razmatrana figura ABCD, u kojoj su dane duljine dijagonala AC i BD, kao i stranica dužine AB, predstavljena vektorom a(ax,ay). Prihvaćeni početni podaci omogućuju nam da pronađemo oboje osnove trapez(i gore i dolje). NA konkretan primjer najprije će se naći donja baza AD.

Promotrimo trokut ABD. Duljina njegove stranice AB jednaka je modulu vektora a. Neka|a|=sqrt((ax)^2+(ay)^2)=a, tada cosF =ax/sqrt(((ax)^2+(ay)^2) kao kosinus smjera a. Neka data dijagonala BD ima duljina p, i željeni AD duljina X. Tada, prema teoremu kosinusa, P^2=a^2+ x^2-2axcosph. Ili x^2-2axcosf+(a^2-p^2)=0.

Da pronađem vrh osnove BC (njegovu duljinu u pretrazi također označava x), koristi se modul |a|=a, druga dijagonala BD=q i kosinus kuta ABC koji je, očito, jednak (pf ).

Zatim se razmatra trokut ABC za koji, kao i prije, vrijedi teorem o kosinusu, te proizlazi sljedeće. S obzirom da je cos(pf)=-cosph, na temelju rješenja za AD, sljedeća formula može se dobiti zamjenom p s q: BC=- a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay)^2 ) +sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+q^2).

Ovo je kvadrat i, prema tome, ima dva korijena. Dakle, u ovom slučaju, ostaje odabrati samo one korijene koji imaju pozitivna vrijednost, budući da duljina ne može biti negativna.

Primjer Pusti unutra trapez ABCD strana AB dana je vektorom a(1, sqrt3), p=4, q=6. Pronaći osnove trapez.Riješenje. Koristeći gore dobivene algoritme, možemo napisati: |a|=a=2, cosf=1/2. AD=1/2+sqrt(4/4 -4+16)=1/2 +sqrt(13)=(sqrt(13)+1)/2.BC=-1/2+sqrt(-3+36 )=(sqrt(33)-1)/2.

Slični Videi

Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu. Visina trapeza je isječak povučen okomito između dvije paralelne crte. Ovisno o izvornim podacima, može se izračunati na različite načine.

Trebat će vam

• Poznavanje stranica, osnovica, središnje crte trapeza i po izboru njegove površine i/ili opsega.

Uputa

Recimo da postoji trapez s istim podacima kao na slici 1. Nacrtajmo 2 visine, dobijemo, koji ima 2 manje stranice s kracima pravokutnog trokuta. Označimo manji kolut s x. Dobiva se dijeljenjem razlike u duljini između veće i manje baze. Tada je, prema Pitagorinom poučku, kvadrat visine jednak zbroju kvadrata hipotenuze d i kraka x. Izdvojimo iz ovog zbroja i dobijemo visinu h. (slika 2)

Slični Videi

Izvori:

• kako izračunati visinu trapeza

Matematička figura s četiri kuta naziva se trapez ako je par njegovih suprotnih stranica paralelan, a drugi par nije. Paralelne stranice nazivaju se osnove trapez, druga dva su bočna. U pravokutnom trapez jedan od uglova na bočnoj strani je ravan.

Uputa

Zadatak 1. Odredite baze BC i AD trapez, ako je poznata duljina AC = f; Duljina stranice CD = c i njegov kut ADC = α Rješenje: Promotrimo pravokutni CED. Poznati su hipotenuza c i kut između hipotenuze i kraka EDC. Odredite duljine CE i ED: pomoću formule za kut CE = CD*sin(ADC); ED=CD*cos(ADC). Dakle: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

Promotrimo pravokutni trokut ACE. Znate hipotenuzu AC i CE, pronađite stranu AE prema pravilu: zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze. Dakle: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Izračunati Korijen s desne strane jednakosti. Našli ste gornji pravokutni trapez.

Duljina osnovice AD ​​je zbroj duljina dvaju odsječaka AE i ED. AE = kvadratni korijen(f(2) - c*sinα); ED = c*cosα). Dakle: AD = kvadratni korijen(f(2) - c*sinα) + c*cosα. Pronašli ste donju bazu pravokutnika trapez.

Zadatak 2. Odredite osnovice BC i AD pravokutnika trapez, ako je poznata duljina dijagonale BD = f; Duljina stranice CD = c i njegov kut ADC = α Rješenje: Promotrimo pravokutni trokut CED. Odredite duljine stranica CE i ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

Promotrimo pravokutnik ABCE. Po svojstvu AB = CE = c*sinα Promotrimo pravokutni trokut ABD. Prema svojstvu pravokutnog trokuta, kvadrat hipotenuze je zbroj kvadrata kateta. Prema tome AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sinα. Našli ste donju osnovicu pravokutnika trapez AD = kvadratni korijen(f(2) - c*sinα).

Po pravilu pravokutnika BC = AE = AD - ED = kvadratni korijen(f(2) - c*sinα) - c*cosα. Našli ste gornju osnovicu pravokutnika trapez.

Manja baza trapeza je jedna od njegovih paralelnih stranica, koja ima najmanju duljinu. Ova se vrijednost može izračunati na više načina, koristeći određene podatke.

Trebat će vam

• - kalkulator.

Uputa

Ako su poznate dvije duljine - baza i središnja crta - upotrijebite svojstvo trapeza za izračun najmanje osnovice. Prema njemu, srednja linija trapeza identična je polovici zbroja osnovica. U tom će slučaju najmanja baza biti jednaka razlici između udvostručene duljine središnje linije i duljine velike baze ove figure.

Ako su poznati takvi parametri trapeza kao što su visina, duljina velike baze, tada se izračunavanje najmanje baze ove baze vodi na temelju trapeza. U ovom slučaju, dobijte konačni rezultat oduzimanjem od razlike kvocijenta dvostruko površine i visine takvog parametra kao što je duljina velike baze trapeza.

Izračunajte duljinu stranice u drugom

S takvim oblikom kao što je trapez, često se susrećemo u životu. Na primjer, svaki most koji je napravljen od betonskih blokova je vrhunski primjer. Više vizualna opcija može se smatrati upravljanjem svakog vozilo I tako dalje. Svojstva figure bila su poznata već u Drevna grčka , koju je pobliže opisao Aristotel u svom znanstveni rad"Početak". A znanje koje je razvijeno prije tisuća godina i danas je relevantno. Stoga ćemo se s njima detaljnije upoznati.

U kontaktu s

Osnovni koncepti

Slika 1. Klasični oblik trapeza.

Trapez je u biti četverokut koji se sastoji od dva segmenta koji su paralelni i dva druga koja nisu paralelna. Govoreći o ovoj slici, uvijek je potrebno zapamtiti takve pojmove kao što su: baze, visina i srednja linija. Dva odsječka četverokuta koji se međusobno nazivaju osnovicama (odsječci AD i BC). Visinom se naziva segment okomit na svaku od baza (EH), tj. sijeku pod kutom od 90° (kao što je prikazano na slici 1).

Ako zbrojimo sve unutarnje stupnjeve mjere, tada će zbroj kutova trapeza biti jednak 2π (360 °), kao i svaki četverokut. Segment čiji su krajevi središnje točke bočnih stijenki (IF) nazvana srednja linija. Duljina ovog segmenta je zbroj baza BC i AD podijeljen s 2.

Postoje tri vrste geometrijski lik: ravni, pravilni i jednakokračni. Ako je barem jedan kut na vrhovima baze pravi (na primjer, ako je ABD = 90 °), tada se takav četverokut naziva pravim trapezom. Ako su bočni segmenti jednaki (AB i CD), tada se naziva jednakokračan (odnosno, kutovi na bazama su jednaki).

Kako pronaći područje

Za, pronaći površinu četverokuta ABCD koristi sljedeću formulu:

Slika 2. Rješavanje problema nalaženja površine

Za ilustrativniji primjer, riješimo jednostavan problem. Na primjer, neka gornja i donja baza budu jednake 16, odnosno 44 cm, a stranice 17 i 25 cm. Izgradimo okomiti segment iz vrha D tako da je DE II BC (kao što je prikazano na slici 2). Otuda to dobivamo

Neka DF - bude. Iz ΔADE (koji će biti jednakostraničan), dobivamo sljedeće:

Odnosno izraziti prostim jezikom, prvo smo pronašli visinu ΔADE, koja je ujedno i visina trapeza. Odavde računamo površinu četverokuta ABCD, s već poznatom vrijednošću visine DF, koristeći već poznatu formulu.

Dakle, željena površina ABCD je 450 cm³. Odnosno sa sigurnošću se može tvrditi da Da biste izračunali površinu trapeza, potreban vam je samo zbroj baza i duljine visine.

Važno! Pri rješavanju zadatka nije potrebno zasebno pronalaziti vrijednost duljina, to je sasvim moguće ako se primijene drugi parametri figure koji će uz odgovarajući dokaz biti jednaki zbroju baza.

Vrste trapeza

Ovisno o tome koje strane ima lik, koji su kutovi formirani na bazama, postoje tri vrste četverokuta: pravokutni, bočni i jednakostranični.

Svestran

Postoje dva oblika: akutne i tupe. ABCD je šiljast samo ako su osnovni kutovi (AD) šiljasti, a duljine stranica različite. Ako je vrijednost jednog kuta broj Pi / 2 više (mjera stupnja je veća od 90 °), tada dobivamo tupi kut.

Ako su stranice jednake duljine

Slika 3. Pogled na jednakokračni trapez

Ako su neparalelne stranice jednake duljine, tada se ABCD naziva jednakokračan (ispravan). Štoviše, za takav četverokut, mjera stupnja kutova na bazi je ista, njihov će kut uvijek biti manji od pravog. Iz tog razloga se jednakokračan nikada ne dijeli na šiljasti i tupi. Četverokut ovog oblika ima svoje specifične razlike, koje uključuju:

1. Segmenti koji povezuju suprotne vrhove su jednaki.
2. Oštri kutovi s većom bazom iznose 45° (ilustrativan primjer na slici 3).
3. Ako dodate stupnjeve suprotnih kutova, tada će ukupno dati 180 °.
4. Oko bilo kojeg pravilnog trapeza može se graditi.
5. Ako dodate stupnjeve mjere suprotnih kutova, onda je to jednako π.

Štoviše, zbog njihovog geometrijskog rasporeda točaka postoje osnovna svojstva jednakokračnog trapeza:

Vrijednost kuta pri bazi 90°

Okomitost bočne strane baze je velika karakteristika koncepta "pravokutnog trapeza". Ne mogu postojati dvije strane s uglovima na bazi, jer će inače biti već pravokutnik. U četverokutima ovog tipa, druga strana će uvijek tvoriti oštar kut s velikom bazom, a s manjom - tupi. U ovom slučaju, okomita stranica će također biti visina.

Segment između sredine bočnih stijenki

Ako spojimo središta strana, a rezultirajući segment će biti paralelan s bazama i jednak duljini polovici njihovog zbroja, tada će formirana ravna linija bit će srednja linija. Vrijednost ove udaljenosti izračunava se po formuli:

Za ilustrativniji primjer, razmotrite problem koristeći srednju liniju.

Zadatak. Srednja linija trapeza je 7 cm, poznato je da je jedna od stranica 4 cm veća od druge (slika 4). Nađi duljine baza.

Slika 4. Rješavanje problema nalaženja duljina baza

Riješenje. Neka manja baza DC bude jednaka x cm, tada će veća baza biti jednaka (x + 4) cm, odnosno, Odavde, koristeći formulu za srednju liniju trapeza, dobivamo:

Ispada da je manja baza DC 5 cm, a veća 9 cm.

Važno! Koncept središnje linije je ključ za rješavanje mnogih problema u geometriji. Na temelju njegove definicije izgrađeni su mnogi dokazi za druge brojke. Koristeći koncept u praksi, možda i više racionalna odluka i potražite traženu vrijednost.

Određivanje visine i kako je pronaći

Kao što je ranije navedeno, visina je segment koji siječe baze pod kutom od 2Pi / 4 i najkraća je udaljenost između njih. Prije pronalaženja visine trapeza, potrebno je odrediti koje su ulazne vrijednosti zadane. Za bolje razumijevanje razmotriti problem. Odredite visinu trapeza uz uvjet da su osnovice 8 i 28 cm, a stranice 12 i 16 cm.

Slika 5. Rješavanje zadatka nalaženja visine trapeza

Nacrtajmo odsječke DF i CH pod pravim kutom na osnovicu AD.Svaki od njih će prema definiciji biti visina zadanog trapeza (slika 5). U ovom slučaju, znajući duljinu svake bočne stijenke, koristeći Pitagorin poučak, nalazimo kolika je visina u trokutima AFD i BHC.

Zbroj odsječaka AF i HB jednak je razlici baza, tj.

Neka je duljina dužine AF jednaka x cm, tada je duljina dužine HB = (20 - x) cm. Kako je utvrđeno, DF=CH , dakle .

Tada dobivamo sljedeću jednadžbu:

Ispada da je segment AF u trokutu AFD 7,2 cm, odavde izračunavamo visinu trapeza DF koristeći isti Pitagorin teorem:

Oni. visina ADCB trapeza bit će 9,6 cm. Kao što vidite, izračun visine je više mehanički proces i temelji se na izračunima stranica i kutova trokuta. No, u brojnim problemima u geometriji mogu se znati samo stupnjevi kutova, u kojem slučaju će se izračuni vršiti kroz omjer stranica unutarnjih trokuta.

Važno! U biti, trapez se često smatra dvama trokutima ili kombinacijom pravokutnika i trokuta. Za rješavanje 90% svih problema koji se nalaze u školskim udžbenicima, svojstva i karakteristike ovih figura. Većina formula za ovaj GMT izvedena je oslanjajući se na "mehanizme" za ove dvije vrste brojki.

Kako brzo izračunati duljinu baze

Prije nego što pronađete bazu trapeza, morate odrediti koji su parametri već zadani i kako ih racionalno koristiti. Praktični pristup je izvući duljinu nepoznate baze iz formule srednje crte. Za jasniju percepciju slike, pokazat ćemo kako se to može učiniti pomoću primjera zadatka. Neka je srednja crta trapeza 7 cm, a jedna osnovica 10 cm.Odredi duljinu druge osnovice.

Rješenje: Znajući da je srednja crta jednaka polovici zbroja baza, može se tvrditi da je njihov zbroj 14 cm.

(14cm=7cm×2). Iz uvjeta zadatka znamo da je jedna od jednaka 10 cm, pa će manja stranica trapeza biti jednaka 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Štoviše, za ugodnije rješavanje problema ove vrste, preporučujemo da dobro naučite takve formule iz područja trapeza kao:

• srednja linija;
• kvadrat;
• visina;
• dijagonale.

Poznavajući bit (točnije bit) ovih izračuna, lako možete saznati željenu vrijednost.

Video: trapez i njegova svojstva

Video: karakteristike trapeza

Zaključak

Iz razmatranih primjera zadataka možemo izvući jednostavan zaključak da je trapez, u računskom smislu, jedan od najjednostavnijih likova u geometriji. Za uspješno rješavanje problema, prije svega, nije potrebno odlučiti koje su informacije poznate o objektu koji se opisuje, u kojim se formulama mogu primijeniti i odlučiti što treba pronaći. Izvršavanjem ovog jednostavnog algoritma nijedan zadatak koji koristi ovu geometrijsku figuru neće biti jednostavan.

U ovom ćemo članku pokušati prikazati svojstva trapeza što je moguće potpunije. Posebno ćemo govoriti o zajedničke značajke i svojstvima trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o trapezu upisanoj kružnici. Dotaknut ćemo se i svojstava jednakokračnog i pravokutnog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da posložite stvari u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, ukratko se prisjetimo što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (to su baze). A dvije nisu paralelne - to su strane.

U trapezu se visina može izostaviti – okomito na osnovice. Nacrtana je središnja linija i dijagonale. Također iz bilo kojeg kuta trapeza moguće je nacrtati simetralu.

profesionalac razna svojstva povezanih sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama, sada ćemo govoriti.

Svojstva dijagonala trapeza

Da bi vam bilo jasnije, dok čitate, skicirajte ACME trapez na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

1. Ako pronađete središta svake od dijagonala (nazovimo te točke X i T) i spojite ih, dobit ćete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da isječak XT leži na središnjoj crti. A njezina se duljina može dobiti dijeljenjem razlike baza s dva: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Pred nama je isti ACME trapez. Dijagonale se sijeku u točki O. Promotrimo trokute AOE i IOC koje čine odsječci dijagonala zajedno s osnovicama trapeza. Ovi su trokuti slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom osnovica trapeza: k = AE/KM.
   Omjer površina trokuta AOE i IOC opisuje se koeficijentom k 2 .
3. Sve isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u točki O. Samo ćemo ovaj put razmotriti trokute koje su dijagonalni segmenti činili zajedno sa stranicama trapeza. Površine trokuta AKO i EMO su jednake – površine su im jednake.
4. Drugo svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako stranice AK i ME nastavimo u smjeru manje osnovice, prije ili kasnije one će se presjeći u nekoj točki. Zatim povucite ravnu crtu kroz središnje točke baza trapeza. Ona siječe baze u točkama X i T.
   Ako sada produžimo pravac XT, tada će spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, točku u kojoj se sijeku produžeci stranica i polovišta baza X i T.
5. Kroz točku sjecišta dijagonala nacrtamo segment koji će povezivati ​​baze trapeza (T leži na manjoj bazi KM, X - na većoj AE). Sjecište dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OH = KM/AE.
6. A sada kroz točku sjecišta dijagonala nacrtamo segment paralelan s bazama trapeza (a i b). Točka sjecišta će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći duljinu segmenta 2ab/(a + b).

Svojstva srednje crte trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno s njegovim bazama.

1. Duljina središnje crte trapeza može se izračunati zbrajanjem duljina baza i njihovim dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
2. Ako nacrtate bilo koji segment (na primjer visinu) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji kut trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, kut KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete vidjeti da simetrala odrezuje od baze (ili njenog nastavka na ravnoj liniji izvan same figure) segment iste duljine kao i stranica.

Svojstva kuta trapeza

1. Koji god od dva para kutova susjednih strani odaberete, zbroj kutova u paru uvijek je 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0 .
2. Spojite središta osnovica trapeza segmentom TX. Sada pogledajmo kutove na osnovicama trapeza. Ako je zbroj kutova za bilo koji od njih 90 0, duljina TX segmenta je lako izračunati na temelju razlike u duljinama baza, podijeljenih na pola: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Ako se kroz stranice kuta trapeza povuku paralelne crte, one će stranice kuta dijeliti na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (istokračnog) trapeza

1. U jednakokračnom trapezu kutovi na bilo kojoj osnovici su jednaki.
2. Sada ponovno izgradite trapez kako biste lakše zamislili o čemu se radi. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze od M projicira se na određenu točku na pravcu koji sadrži AE. Udaljenost od vrha A do projekcijske točke vrha M i srednja crta jednakokračnog trapeza jednake su.
3. Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su duljine jednake. A također su i kutovi nagiba ovih dijagonala prema osnovici trapeza isti.
4. Samo u blizini jednakokračnog trapeza može se opisati kružnica, jer je za to preduvjet zbroj nasuprotnih kutova četverokuta 180 0 .
5. Svojstvo jednakokračnog trapeza slijedi iz prethodnog odlomka - ako se u blizini trapeza može opisati kružnica, ona je jednakokračna.
6. Iz obilježja jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako mu se dijagonale sijeku pod pravim kutom, tada je duljina visine jednaka polovici zbroja osnovica: h = (a + b)/2.
7. Ponovno povucite pravac TX kroz polovišta osnovica trapeza - kod jednakokračnog trapeza ona je okomita na osnovice. A u isto vrijeme, TX je os simetrije jednakokračnog trapeza.
8. Ovaj put spustite na veću osnovicu (nazovimo je a) visinu od suprotnog vrha trapeza. Dobit ćete dva reza. Duljina jednog može se pronaći ako se duljine baza zbroje i podijele na pola: (a+b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i dobivenu razliku podijelimo s dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je središte kruga u odnosu na trapez. Ovdje se također preporučuje da ne budete previše lijeni da uzmete olovku i nacrtate ono što će se raspravljati u nastavku. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

1. Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala može izlaziti iz vrha trapeza pod pravim kutom u odnosu na stranu. U tom slučaju veća baza siječe središte opisane kružnice točno po sredini (R = ½AE).
2. Dijagonala i stranica mogu se sastajati i pod oštrim kutom - tada je središte kružnice unutar trapeza.
3. Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, iza njegove velike osnovice, ako između dijagonale trapeza i bočne stranice postoji tupi kut.
4. Kut koji čine dijagonala i velika osnovica trapeza ACME (upisani kut) upola je manji središnji kut, što mu odgovara: MAE = ½MY.
5. Ukratko o dva načina određivanja polumjera opisane kružnice. Prva metoda: pažljivo pogledajte svoj crtež - što vidite? Lako ćete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Polumjer se može pronaći kroz omjer stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta, pomnožen s dva. Na primjer, R \u003d AE / 2 * sinAME. Slično, formula se može napisati za bilo koju stranicu obaju trokuta.
6. Druga metoda: pronalazimo polumjer opisane kružnice kroz područje trokuta kojeg tvore dijagonala, strana i baza trapeza: R \u003d AM * JA * AE / 4 * S ISTO.

Svojstva trapeza opisanog krugu

U trapez možete upisati krug ako je ispunjen jedan uvjet. Više o tome u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

1. Ako je krug upisan u trapez, duljina njegove središnje linije može se lako pronaći zbrajanjem duljina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
2. Za trapez ACME, opisan oko kruga, zbroj duljina baza jednak je zbroju duljina stranica: AK + ME = KM + AE.
3. Iz ovog svojstva osnovica trapeza slijedi i obrnuta tvrdnja: u taj se trapez može upisati kružnica čiji je zbroj osnovica jednak zbroju stranica.
4. Diralište kružnice polumjera r upisane u trapez dijeli bočnu stranicu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
5. I još jedna nekretnina. Da se ne biste zabunili, sami nacrtajte ovaj primjer. Imamo stari dobri ACME trapez, opisan oko kruga. U njemu su nacrtane dijagonale koje se sijeku u točki O. Trokuti AOK i EOM koje tvore odsječci dijagonala i stranica su pravokutni.
   Visine ovih trokuta, spuštene na hipotenuze (tj. stranice trapeza), podudaraju se s polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza jednaka je promjeru upisane kružnice.

Svojstva pravokutnog trapeza

Trapez se naziva pravokutnim, čiji je jedan ugao pravi. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

1. Pravokutni trapez ima jednu od stranica okomitu na osnovice.
2. Visina i stranica susjednog trapeza pravi kut, su jednaki. To vam omogućuje izračunavanje površine pravokutnog trapeza ( opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja je uz pravi kut.
3. Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokazi nekih svojstava trapeza

Jednakost kutova na osnovici jednakokračnog trapeza:

• Vjerojatno ste već pogodili da nam opet treba ACME trapez - nacrtajte jednakokračan trapez. Povuci pravac MT iz vrha M paralelno sa stranicom AK (MT || AK).

Dobiveni četverokut AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Kako je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada to dokazujemo na temelju svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala). trapez ACME je jednakokračan:

• Za početak povucimo ravnu liniju MH – MH || KE. Dobivamo paralelogram KMHE (baza - MX || KE i KM || EX).

∆AMH je jednakokračan jer je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA međusobno jednaki, jer AM \u003d KE i AE - zajednička strana dva trokuta. I također MAE \u003d MXE. Možemo zaključiti da je AK ​​= ME, pa iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak za ponavljanje

Osnovice trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, stranica KA, jednaka 8 cm, zaklapa s manjom osnovicom kut od 150 0 . Morate pronaći područje trapeza.

Rješenje: Iz vrha K spustimo visinu na veću osnovicu trapeza. I počnimo promatrati kutove trapeza.

Kutovi AEM i KAN su jednostrani. Što znači da zbrajaju 1800. Stoga je KAN = 30 0 (na temelju svojstva kutova trapeza).

Razmotrimo sada pravokutni ∆ANK (mislim da je ova točka očita čitateljima bez daljnjeg dokaza). Iz njega nalazimo visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kutu od 30 0. Prema tome, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Područje trapeza nalazi se po formuli: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i pažljivo proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni da olovkom u rukama nacrtate trapezoide za sva gore navedena svojstva i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima mnogo informacija, raznolikih i ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan sažetak svega zajednička svojstva trapez. Kao i specifična svojstva i značajke jednakokračnog i pravokutnog trapeza. Vrlo je praktičan za pripremu za testove i ispite. Isprobajte sami i podijelite link sa svojim prijateljima!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i kako bismo vam pružili preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.