Kvadratni oblik u matričnom obliku online. Pozitivno određene kvadratne forme. Matrični zapis kvadratnog oblika

U ovom odjeljku usredotočit ćemo se na posebnu, ali važnu klasu pozitivnih kvadratnih oblika.

Definicija 3. Realni kvadratni oblik naziva se nenegativnim (nepozitivnim) ako za bilo koje stvarne vrijednosti varijabli

. (35)

U tom slučaju se simetrična matrica koeficijenata naziva pozitivno poluodređena (negativna poluodređena).

Definicija 4. Realni kvadratni oblik naziva se pozitivno-određenim (negativno-određenim) ako za bilo koje stvarne vrijednosti varijabli koje nisu istodobno jednake nuli

. (36)

U ovom slučaju, matrica se također naziva pozitivno određeno (negativno određeno).

Klasa pozitivno-određenih (niječno-određenih) oblika dio je klase nenegativnih (odnosno nepozitivnih) oblika.

Neka je dan nenegativan oblik. Predstavljamo ga kao zbroj neovisnih kvadrata:

. (37)

U ovom prikazu svi kvadrati moraju biti pozitivni:

. (38)

Doista, ako ih ima, tada bi bilo moguće odabrati takve vrijednosti za koje

Ali tada bi za te vrijednosti varijabli obrazac imao negativnu vrijednost, što je uvjetom nemoguće. Očito, obrnuto, iz (37) i (38) slijedi da je oblik pozitivan.

Dakle, nenegativni kvadratni oblik karakteriziraju jednakosti .

Neka sada bude pozitivno određen oblik. Zatim i neniječni oblik. Stoga se može prikazati u obliku (37), gdje su svi pozitivni. Iz pozitivne određenosti oblika proizlazi da . Doista, u slučaju je moguće odabrati takve vrijednosti koje nisu istovremeno jednake nuli, za koje bi sve nestalo. Ali onda, na temelju (37), na , što je u suprotnosti s uvjetom (36).

Lako je vidjeti da, obrnuto, ako su u (37) i svi pozitivni, tada je pozitivno određen oblik.

Drugim riječima, nenegativni oblik je pozitivno određen ako i samo ako nije singularan.

Sljedeći teorem daje kriterij za pozitivnu određenost forme u obliku nejednakosti koje moraju zadovoljiti koeficijenti forme. U ovom slučaju koristi se oznaka koja se već susreće u prethodnim odjeljcima za uzastopne glavne minore matrice:

.

Teorem 3. Da bi kvadratna forma bila pozitivno određena, potrebno je i dovoljno da su nejednadžbe

Dokaz. Dostatnost uvjeta (39) izravno proizlazi iz Jacobijeve formule (28). Nužnost uvjeta (39) utvrđuje se kako slijedi. Iz pozitivne određenosti oblika slijedi pozitivna određenost »krnjih« oblika

.

Ali tada svi ti oblici moraju biti nesingularni, tj.

Sada imamo priliku upotrijebiti Jacobijevu formulu (28) (za ). Budući da na desnoj strani ove formule svi kvadrati moraju biti pozitivni, onda

To implicira nejednakosti (39). Teorem je dokazan.

Budući da se bilo koji glavni minor matrice, s pravilnim prenumeriranjem varijabli, može smjestiti u gornji lijevi kut, imamo

Posljedica. U pozitivno određenom kvadratnom obliku, svi glavni minori matrice koeficijenata su pozitivni:

Komentar. Iz nenegativnosti uzastopnih glavnih minora

ne slijedi nenegativnost oblika . Doista, forma

,

pri čemu , zadovoljava uvjete , ali nije nenegativan.

Međutim, postoji sljedeće

Teorem 4. Da bi kvadratna forma bila nenegativna, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori njene matrice koeficijenata budu nenegativni:

Dokaz. Uvedimo pomoćni oblik koji je nepozitivan, potrebno je i dovoljno da nejednakosti

Četvrtasti oblici.
Značaj formi. Sylvesterov kriterij

Pridjev "kvadrat" odmah sugerira da je ovdje nešto povezano s kvadratom (drugi stupanj), a vrlo brzo ćemo znati to "nešto" i što je forma. Odmah ispalo :)

Dobrodošli u moju novu lekciju, a kao neposredno zagrijavanje, pogledat ćemo prugasti oblik linearni. Linearni oblik varijable nazvao homogena Polinom 1. stupnja:

- neke konkretne brojke * (pretpostavljamo da je barem jedan od njih različit od nule), i su varijable koje mogu poprimiti proizvoljne vrijednosti.

* U ovoj temi ćemo samo razmotriti realni brojevi .

Već smo se susreli s pojmom "homogen" u lekciji o homogeni sustavi linearnih jednadžbi, au ovom slučaju implicira da polinom nema dodanu konstantu .

Na primjer: – linearni oblik dviju varijabli

Sada je oblik kvadratičan. kvadratni oblik varijable nazvao homogena polinom 2. stupnja, svaki termin od kojih sadrži ili kvadrat varijable ili dvostruko umnožak varijabli. Tako, na primjer, kvadratni oblik dviju varijabli ima sljedeći oblik:

Pažnja! Ovo je standardni unos i ne morate ništa mijenjati u njemu! Unatoč "užasnom" izgledu, ovdje je sve jednostavno - dvostruki indeksi konstanti signaliziraju koje su varijable uključene u jedan ili drugi izraz:
– ovaj pojam sadrži umnožak i (kvadrat);
- evo posla;
- i evo posla.

- Odmah predviđam grubu pogrešku kada izgube "minus" koeficijenta, ne shvaćajući da se to odnosi na pojam:

Ponekad postoji "školska" verzija dizajna u duhu, ali onda samo ponekad. Usput, imajte na umu da nam konstante ovdje ne govore baš ništa, pa je stoga teže zapamtiti "jednostavnu notaciju". Pogotovo kada ima više varijabli.

A kvadratni oblik tri varijable već sadrži šest članova:

... zašto su "dva" množitelja stavljena u "mješovite" pojmove? To je zgodno, a uskoro će postati jasno zašto.

Međutim, zapisat ćemo opću formulu, prikladno je urediti je s "listom":

- pažljivo proučite svaki redak - u tome nema ništa loše!

Kvadratni oblik sadrži članove s kvadratom varijabli i članove s njihovim umnošcima parova (cm. kombinatorna formula kombinacija) . Ništa drugo - nema "usamljenog x" i nema dodane konstante (tada ne dobivate kvadratni oblik, već heterogena polinom 2. stupnja).

Matrični zapis kvadratnog oblika

Ovisno o vrijednostima, razmatrani oblik može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, a isto vrijedi i za bilo koji linearni oblik - ako je barem jedan njegov koeficijent različit od nule, tada može ispasti ili pozitivan ili negativan (ovisno o na vrijednosti).

Ovaj oblik se zove naizmjenično. I ako je kod linearne forme sve transparentno, onda je kod kvadratne forme stvari mnogo zanimljivija:

Sasvim je jasno da ovaj oblik može poprimiti vrijednosti bilo kojeg znaka, dakle, kvadratni oblik također može biti izmjeničan.

Možda nije:

– uvijek, osim ako oba nisu jednaka nuli.

- za bilo koga vektor osim nule.

I općenito govoreći, ako za bilo koji različit od nule vektor , , tada se zove kvadratni oblik pozitivno određen; ako tada negativno određen.

I sve bi bilo u redu, ali određenost kvadratne forme vidljiva je samo u jednostavnim primjerima, a ta se vidljivost gubi već uz malu komplikaciju:
– ?

Moglo bi se pretpostaviti da je oblik pozitivno definiran, no je li to doista tako? Odjednom postoje vrijednosti na kojima je manje od nule?

Na ovom računu, tamo teorema: Ako svi svojstvene vrijednosti matrice kvadratnog oblika su pozitivne * , onda je pozitivno definiran. Ako su svi negativni, onda je negativan.

* U teoriji je dokazano da su sve svojstvene vrijednosti realne simetrične matrice važeći

Napišimo matricu gornjeg oblika:
a iz jednadžbe hajde da je pronađemo svojstvene vrijednosti:

Rješavamo dobro staro kvadratna jednadžba:

, dakle obrazac je pozitivno definiran, tj. za sve vrijednosti različite od nule, ona je veća od nule.

Čini se da razmatrana metoda djeluje, ali postoji jedno veliko ALI. Već za matricu "tri sa tri" traženje svojstvenih vrijednosti je dug i neugodan zadatak; s velikom vjerojatnošću dobijete polinom 3. stupnja s iracionalnim korijenima.

Kako biti? Postoji lakši način!

Sylvesterov kriterij

Ne, ne Sylvester Stallone :) Prvo, da vas podsjetim što kutni minori matrice. to odrednice koji "rastu" iz njegovog gornjeg lijevog kuta:

a posljednji je točno jednak determinanti matrice.

Sada, zapravo, kriterij:

1) Kvadratni oblik definiran pozitivno ako i samo ako su SVI njegovi kutni minori veći od nule: .

2) Kvadratni oblik definiran negativan ako i samo ako se njegovi kutni minori izmjenjuju u predznaku, dok je 1. minor manji od nule: , , ako je paran ili , ako je neparan.

Ako barem jedan kutni minor ima suprotan predznak, tada je oblik znakovno-izmjenični. Ako su kutni minori “tog” predznaka, ali među njima ima nula, onda je to poseban slučaj, koji ću analizirati malo kasnije, nakon što prođemo preko uobičajenih primjera.

Analizirajmo kutne minore matrice :

A to nam odmah govori da forma nije negativno određena.

Zaključak: svi minori kutova su veći od nule, pa oblik pozitivno definiran.

Postoji li razlika s metodom svojstvenih vrijednosti? ;)

Matricu oblika pišemo iz Primjer 1:

njegov prvi kutni minor, a drugi , odakle slijedi da je oblik znakovnoizmjeničan, t j . ovisno o vrijednostima , može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, ovo je tako očito.

Uzmite obrazac i njegovu matricu iz Primjer 2:

ovdje uopće bez uvida ne razumjeti. Ali sa Sylvesterovim kriterijem, nije nas briga:
, stoga oblik definitivno nije negativan.

, i definitivno ne pozitivno. (jer svi minori kutova moraju biti pozitivni).

Zaključak: oblik je izmjeničan.

Primjeri za zagrijavanje za samostalno rješavanje:

Primjer 4

Istražite predznačno definiranost kvadratnih oblika

a)

U ovim primjerima, sve je glatko (pogledajte kraj lekcije), ali zapravo, izvršiti takav zadatak Sylvesterov kriterij možda nije dovoljan.

Stvar je u tome da postoje "granični" slučajevi, naime: ako za bilo koji različit od nule vektor , tada je oblik definiran nenegativan, ako tada nepozitivan. Ovi oblici imaju različit od nule vektori za koje .

Ovdje možete donijeti takvu "harmoniku s gumbima":

Isticanje puni kvadrat, odmah vidimo nenegativnost oblik: , štoviše, jednak je nuli za bilo koji vektor s jednakim koordinatama, na primjer: .

Primjer "ogledala". nepozitivan određeni oblik:

i još trivijalniji primjer:
– ovdje je oblik jednak nuli za bilo koji vektor , gdje je proizvoljan broj.

Kako otkriti nenegativnost ili nepozitivnost forme?

Za ovo nam je potreban koncept glavni maloljetnici matrice. Glavni minor je minor sastavljen od elemenata koji se nalaze na sjecištu redaka i stupaca s istim brojevima. Dakle, matrica ima dva glavna minora 1. reda:
(element je na sjecištu 1. reda i 1. stupca);
(element je na sjecištu 2. reda i 2. stupca),

i jedan veliki sporedni 2. reda:
- sastavljen od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. stupca.

Matrica "tri po tri" Postoji sedam glavnih sporednih, a ovdje već morate mahati bicepsom:
- tri maloljetnika I. reda,
tri maloljetnika 2. reda:
- sastavljen od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. stupca;
- sastavljen od elemenata 1., 3. reda i 1., 3. stupca;
- sastoji se od elemenata 2., 3. reda i 2., 3. stupca,
i jedan minor 3. reda:
- sastoji se od elemenata 1., 2., 3. retka i 1., 2. i 3. stupca.
Vježbajte za razumijevanje: zapišite sve glavne minore matrice .
Provjeravamo na kraju lekcije i nastavljamo.

Schwarzeneggerov kriterij:

1) Definiran kvadratni oblik različit od nule* nenegativan ako i samo ako SVI njegovi glavni minori nenegativan(veće ili jednako nuli).

* Nulti (degenerirani) kvadratni oblik ima sve koeficijente jednake nuli.

2) Kvadratni oblik različit od nule s definiranom matricom nepozitivan ako i samo ako je:
– glavni maloljetnici I. reda nepozitivan(manje ili jednako nuli);
su glavni minori 2. reda nenegativan;
– glavni maloljetnici 3. reda nepozitivan(alternacija je počela);
…
– durski mol th reda nepozitivan, ako je neparan ili nenegativan, ako je paran.

Ako je barem jedan minor suprotnog predznaka, tada je oblik predznakoizmjenični.

Pogledajmo kako kriterij funkcionira u gornjim primjerima:

Napravimo matricu oblika, i kao prvo izračunajmo kutne minore - što ako je pozitivno ili negativno definiran?

Dobivene vrijednosti ne zadovoljavaju Sylvesterov kriterij, ali drugi minor nije negativno, zbog čega je potrebno provjeriti 2. kriterij (u slučaju 2. kriterija neće se automatski ispuniti, tj. odmah se zaključuje o predznaku promjene oblika).

Glavni manji 1. reda:
- su pozitivni
2. red dur mol:
- nije negativno.

Dakle, SVI glavni minori su nenegativni, pa oblik nenegativan.

Napišimo matricu oblika , za koje očito nije zadovoljen Sylvesterov kriterij. Ali također nismo dobili suprotne predznake (jer su oba kutna minora jednaka nuli). Stoga provjeravamo ispunjenje kriterija nenegativnosti/nepozitivnosti. Glavni manji 1. reda:
- nije pozitivno
2. red dur mol:
- nije negativno.

Dakle, prema Schwarzeneggerovom kriteriju (točka 2) forma je određena nepozitivno.

Sada ćemo, potpuno naoružani, analizirati jedan zabavniji problem:

Primjer 5

Ispitajte kvadratni oblik za predznak

Ovaj obrazac je ukrašen redom "alfa", koji može biti jednak bilo kojem realnom broju. Ali bit će samo zabavnije odlučiti.

Prvo, zapišimo matricu oblika, vjerojatno su se mnogi već prilagodili da to rade usmeno: na glavna dijagonala stavljamo koeficijente na kvadrate, a na simetrična mjesta - polukoeficijente odgovarajućih "mješovitih" proizvoda:

Izračunajmo kutne minore:

Proširit ću treću odrednicu duž 3. retka:

Kvadratna forma je homogeni polinom 2. stupnja u nekoliko varijabli.

Kvadratni oblik u varijablama sastoji se od članova dvije vrste: kvadrata varijabli i njihovih parnih proizvoda s nekim koeficijentima. Uobičajeno je pisati kvadratni oblik u obliku sljedeće kvadratne sheme:

Parovi sličnih članova zapisani su s istim koeficijentima, tako da je svaki od njih polovica koeficijenta odgovarajućeg umnoška varijabli. Stoga je svaki kvadratni oblik prirodno povezan sa svojom matricom koeficijenata, koja je simetrična.

Također je prikladno predstaviti kvadratni oblik u sljedećoj matričnoj notaciji. Označimo s X stupac varijabli s X - red, tj. matricu transponiranu s X. Zatim

Kvadratni oblici nalaze se u mnogim granama matematike i njezinim primjenama.

U teoriji brojeva i kristalografiji, kvadratni oblici se razmatraju pod pretpostavkom da varijable imaju samo cjelobrojne vrijednosti. U analitičkoj geometriji, kvadratni oblik je dio jednadžbe krivulje (ili površine) reda. U mehanici i fizici, čini se da kvadratni oblik izražava kinetičku energiju sustava u smislu komponenti generaliziranih brzina, itd. No, osim toga, proučavanje kvadratnih oblika također je potrebno u analizi kada se proučavaju funkcije mnogih varijabli, u pitanjima za čije je rješenje važno saznati koliko zadana funkcija u blizini zadane točke odstupa od linearne funkcije koja ju aproksimira. Primjer problema ove vrste je proučavanje funkcije za maksimum i minimum.

Razmotrimo, na primjer, problem istraživanja maksimuma i minimuma za funkciju dviju varijabli koja ima kontinuirane parcijalne derivacije do reda. Nužan uvjet da bi točka dala maksimum ili minimum funkcije je jednakost nuli parcijalnih derivacija reda u točki. Pretpostavimo da je taj uvjet ispunjen. Varijablama x i y dajemo male inkremente i k i razmatramo odgovarajući inkrement funkcije. Prema Taylorovoj formuli, taj inkrement, do malih viših redova, jednak je kvadratnom obliku gdje su vrijednosti sekunde izvodnice izračunate u točki Ako je ovaj kvadratni oblik pozitivan za sve vrijednosti i k (osim tada funkcija ima minimum u točki; ako je negativan, tada ima maksimum. Konačno, ako oblik poprima i pozitivne i negativne vrijednosti, tada neće postojati maksimum ili minimum. Na sličan način proučavaju se funkcije većeg broja varijabli.

Proučavanje kvadratnih oblika uglavnom se sastoji od proučavanja problema ekvivalencije oblika s obzirom na jedan ili drugi skup linearnih transformacija varijabli. Za dvije kvadratne forme kaže se da su ekvivalentne ako se jedna od njih može prevesti u drugu pomoću jedne od transformacija zadanog skupa. S problemom ekvivalencije usko je povezan problem redukcije oblika, tj. pretvarajući ga u neki možda najjednostavniji oblik.

U raznim pitanjima vezanim uz kvadratne forme također se razmatraju različiti skupovi dopuštenih transformacija varijabli.

U pitanjima analize primjenjuju se sve nesingularne transformacije varijabli; Za potrebe analitičke geometrije od najvećeg su interesa ortogonalne transformacije, tj. one koje odgovaraju prijelazu iz jednog sustava promjenljivih Kartezijevih koordinata u drugi. Konačno, u teoriji brojeva i kristalografiji razmatraju se linearne transformacije s cjelobrojnim koeficijentima i determinantom jednakom jedan.

Razmotrit ćemo dva od ovih problema: pitanje redukcije kvadratnog oblika na njegov najjednostavniji oblik pomoću bilo koje nesingularne transformacije i isto pitanje za ortogonalne transformacije. Prije svega, saznajmo kako se matrica kvadratnog oblika transformira pod linearnom transformacijom varijabli.

Neka je , gdje je A simetrična matrica koeficijenata oblika, X je stupac varijabli.

Napravimo linearnu transformaciju varijabli, pišući je u skraćenom obliku. Ovdje C označava matricu koeficijenata ove transformacije, X je stupac novih varijabli. Tada i stoga, tako da je matrica transformirane kvadratne forme

Matrica se automatski ispostavlja simetričnom, što se lako provjerava. Stoga je problem svođenja kvadratne forme na njen najjednostavniji oblik ekvivalentan problemu svođenja simetrične matrice na njen najjednostavniji oblik množenjem slijeva i zdesna međusobno transponiranim matricama.

Kvadratni oblici

kvadratni oblik f(x 1, x 2,..., x n) od n varijabli naziva se zbrojem, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli ili umnožak dviju različitih varijabli, uzetih s određenim koeficijentom: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A, sastavljena od ovih koeficijenata, naziva se matrica kvadratne forme. Uvijek je simetričan matrica (tj. matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Doista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima na kvadratima varijabli, a ostali elementi jednaki su polovici odgovarajućih koeficijenata kvadratne forme. Zato

Neka je stupac matrice varijabli X dobiven nedegeneriranom linearnom transformacijom stupca matrice Y, tj. X = CY, gdje je C nedegenerirana matrica reda n. Zatim kvadratni oblik
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (CT AC) Y.

Dakle, pod nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika poprima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2) dobiven iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled) ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz nije dat ovdje). Svaki kvadratni oblik može se reducirati na kanonski oblik pomoću nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, svedimo na kanonski oblik kvadratni oblik
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite puni kvadrat za varijablu x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada odabiremo puni kvadrat za varijablu x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 i y 3 \u003d x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika definiran dvosmisleno (isti kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o tome kako se oblik svodi na taj oblik (npr. u razmatranom primjeru uvijek će postojati dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon tromosti kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo redukcijom istog kvadratnog oblika na kanonski oblik na drugačiji način. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje, pozitivan koeficijent 2 na y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) na y 1 i y 2 (i koristeći drugu metodu, dobili smo pozitivan koeficijent 2 na y 1 i dva negativna koeficijenta - (-5) na y 2 i (-1/20) za y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratne forme, jednak je broju koeficijenata različitih od nule kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) naziva se pozitivno (negativan) određeni, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ona pozitivna, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbroj kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija nešto je teže utvrditi predznak određenosti kvadratne forme, pa se za to koristi jedan od sljedećih teorema (formuliramo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorem (Sylvesterov kriterij). Kvadratna forma je pozitivno određena ako i samo ako su svi glavni minori matrice te forme pozitivni.

Dur (kutak) mol K-ti red matrice A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redaka i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno određene kvadratne oblike predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitujemo predznačno definirani kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratna forma pozitivno određena.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratna forma je pozitivno određena.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za predznak, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednadžba će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.