Prirodni logaritam od 0,5 jednak je. Logaritmi: primjeri i rješenja

Dakle, imamo potencije dvojke. Ako uzmete broj iz donje crte, lako možete pronaći snagu na koju ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Baza a logaritma od x je potencija na koju a mora biti podignuto da bi se dobio x.

Oznaka: log a x = b, gdje je a baza, x argument, b je ono čemu je zapravo jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). S istim uspjehom zapišite 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se logaritmiranje. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

Nažalost, ne izračunavaju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broja 5 nema u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati ad infinitum i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti takvim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je potencija, u koju se mora ugraditi baza da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo na prvoj lekciji - i ne dolazi do zabune.

Shvatili smo definiciju - preostaje samo naučiti brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti drugačija od jedne, budući da jedno u bilo kojem stupnju i dalje ostaje jedno. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju raspon prihvatljivih vrijednosti(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati VA logaritma. Sva su ograničenja već uzeta u obzir od strane autora problema. Ali kada logaritamske jednadžbe i nejednadžbe uđu u igru, DL zahtjevi postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmotrimo opća shema računanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimala;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je važan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Isto je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će puno manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira koristeći konkretne primjere:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Dobili smo odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Dobili smo odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Dobili smo odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen od sedam, budući da je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne računa;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako proširenje ima najmanje dva različita faktora, broj nije točna potencija.

Zadatak. Utvrdite jesu li brojevi točne potencije: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije točna potencija, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 · 5 - opet nije točna potencija;
14 = 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

Primijetite također da su sami prosti brojevi uvijek sami sebi točne potencije.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.

Decimalni logaritam od x je logaritam na bazi 10, tj. Potencija na koju treba podići broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovim zapisom, uvijek ga možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog broja. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam prema bazi e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se upitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459...

Nećemo ulaziti u detalje o tome koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; ln e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.

Za prirodni logaritmi vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Uopće nije loše, zar ne? Dok matematičari traže riječi kako bi vam dali dugu, zbunjujuću definiciju, pogledajmo pobliže ovu jednostavnu i jasnu.

Broj e znači rast

Broj e znači kontinuirani rast. Kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, e x nam omogućuje da povežemo kamatu i vrijeme: 3 godine pri rastu od 100% isto je što i 1 godina pri rastu od 300%, pod pretpostavkom "složene kamate".

Možete zamijeniti bilo koji postotak i vremenske vrijednosti (50% za 4 godine), ali je bolje postaviti postotak kao 100% radi praktičnosti (ispada 100% za 2 godine). Prelaskom na 100%, možemo se usredotočiti samo na vremensku komponentu:

e x = e posto * vrijeme = e 1,0 * vrijeme = e vrijeme

Očito e x znači:

• koliko će moj doprinos rasti nakon x jedinica vremena (pod pretpostavkom 100% kontinuiranog rasta).
• na primjer, nakon 3 vremenska intervala primit ću e 3 = 20,08 puta više “stvari”.

e x je faktor skaliranja koji pokazuje do koje razine ćemo narasti za x vremena.

Prirodni logaritam označava vrijeme

Prirodni logaritam je inverz od e, fensi izraz za suprotnost. Kad smo već kod hirova; latinski se zove logarithmus naturali, odatle i kratica ln.

I što znači ova inverzija ili suprotnost?

• e x nam omogućuje da zamijenimo vrijeme i dobijemo rast.
• ln(x) nam omogućuje da uzmemo rast ili prihod i saznamo vrijeme koje je potrebno za njihovo stvaranje.

Na primjer:

• e 3 jednako je 20,08. Nakon tri vremenska razdoblja imat ćemo 20,08 puta više od onoga s čime smo počeli.
• ln(08/20) bi bilo približno 3. Ako ste zainteresirani za rast od 20,08 puta, trebat će vam 3 vremenska razdoblja (opet, uz pretpostavku 100% kontinuiranog rasta).

Još uvijek čitate? Prirodni logaritam pokazuje vrijeme potrebno za postizanje željene razine.

Ovo nestandardno logaritamsko brojanje

Jeste li prošli kroz logaritme? čudna stvorenja. Kako su uspjeli množenje pretvoriti u zbrajanje? Što je s dijeljenjem na oduzimanje? Idemo pogledati.

Čemu je ln(1) jednako? Intuitivno, pitanje je: koliko dugo trebam čekati da dobijem 1x više od onoga što imam?

Nula. Nula. Nikako. Jednom ga već imaš. Prelazak s razine 1 na razinu 1 ne traje dugo.

• ln(1) = 0

U redu, što je s frakcijskom vrijednošću? Koliko će vremena trebati da nam ostane 1/2 raspoložive količine? Znamo da uz 100% kontinuirani rast, ln(2) znači vrijeme potrebno za udvostručenje. Ako mi vratimo vrijeme(tj. čekati negativno vrijeme), tada ćemo dobiti polovicu onoga što imamo.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logično, zar ne? Ako se vratimo (vrijeme unatrag) na 0,693 sekunde, naći ćemo polovicu dostupnog iznosa. Općenito, možete okrenuti frakciju i uzeti negativno značenje: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. To znači da ako se vratimo u prošlost do 1,09 puta, pronaći ćemo samo trećinu trenutnog broja.

U redu, što je s logaritmom negativnog broja? Koliko vremena je potrebno da se kolonija bakterija "razvije" od 1 do -3?

Ovo je nemoguće! Ne možete dobiti negativan broj bakterija, zar ne? Možete dobiti najviše (hm...minimalno) nulu, ali nema šanse da dobijete negativan broj od ovih malih stvorenja. Negativan broj bakterija jednostavno nema smisla.

• ln(negativan broj) = nedefinirano

"Nedefinirano" znači da ne postoji vrijeme koje bi trebalo čekati da se dobije negativna vrijednost.

Logaritamsko množenje je jednostavno smiješno

Koliko će vremena trebati da naraste četiri puta? Naravno, možete jednostavno uzeti ln(4). Ali ovo je previše jednostavno, mi ćemo ići drugim putem.

Četverostruki rast možete zamisliti kao udvostručenje (zahtijeva ln(2) jedinica vremena) i zatim ponovno udvostručenje (zahtijeva još ln(2) jedinica vremena):

• Vrijeme rasta 4 puta = ln(4) = Vrijeme za udvostručenje i zatim ponovno udvostručenje = ln(2) + ln(2)

Zanimljiv. Bilo koja stopa rasta, recimo 20, može se smatrati udvostručenjem odmah nakon povećanja od 10x. Ili rast 4 puta, a zatim 5 puta. Ili utrostručiti, a zatim povećati za 6,666 puta. Vidite uzorak?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritam od A puta B je log(A) + log(B). Ovaj odnos odmah ima smisla kada se promatra u smislu rasta.

Ako ste zainteresirani za rast od 30x, možete pričekati ln(30) u jednoj sjednici ili pričekati ln(3) za utrostručenje, a zatim još jedan ln(10) za 10x. Krajnji rezultat je isti, tako da naravno vrijeme mora ostati konstantno (i jest).

Što je s podjelom? Konkretno, ln(5/3) znači: koliko će vremena trebati da poraste 5 puta, a zatim dobije 1/3 od toga?

Sjajno, rast od 5 puta je ln(5). Za povećanje od 1/3 puta trebat će -ln(3) jedinica vremena. Tako,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

To znači: pustite ga da naraste 5 puta, a zatim se “vratite u prošlost” do točke gdje ostaje samo trećina te količine, tako da dobijete 5/3 rasta. Općenito ispada

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Nadam se da vam čudna aritmetika logaritama počinje imati smisla: množenje stopa rasta postaje zbrajanje vremenskih jedinica rasta, a dijeljenje postaje oduzimanje vremenskih jedinica. Nema potrebe da pamtite pravila, pokušajte ih razumjeti.

Korištenje prirodnog logaritma za proizvoljan rast

Pa, naravno, kažete, sve je to dobro ako je rast 100%, ali što je s onih 5% koje primam?

Nema problema. "Vrijeme" koje izračunavamo pomoću ln() zapravo je kombinacija kamatne stope i vremena, isti X iz e x jednadžbe. Upravo smo zbog jednostavnosti odlučili postaviti postotak na 100%, ali slobodni smo koristiti bilo koje brojeve.

Recimo da želimo postići 30x rast: uzmemo ln(30) i dobijemo 3,4. To znači:

• e x = visina
• e 3,4 = 30

Očito, ova jednadžba znači "100% povrata tijekom 3,4 godine daje 30x rast." Ovu jednadžbu možemo napisati na sljedeći način:

• e x = e stopa*vrijeme
• e 100% * 3,4 godine = 30

Možemo mijenjati vrijednosti “bet” i “time”, sve dok ulog * vrijeme ostaje 3.4. Na primjer, ako nas zanima rast od 30x, koliko ćemo morati čekati na kamatu od 5%?

• ln(30) = 3,4
• stopa * vrijeme = 3,4
• 0,05 * vrijeme = 3,4
• vrijeme = 3,4 / 0,05 = 68 godina

Rezoniram ovako: "ln(30) = 3,4, tako da će pri 100% rastu trebati 3,4 godine. Ako udvostručim stopu rasta, potrebno vrijeme će se prepoloviti."

• 100% za 3,4 godine = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% u 1,7 godina = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% za 6,8 godina = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% preko 68 godina = ,05 * 68 = 3,4.

Sjajno, zar ne? Prirodni logaritam može se koristiti s bilo kojom kamatnom stopom i vremenom jer njihov umnožak ostaje konstantan. Možete pomicati varijabilne vrijednosti koliko god želite.

Super primjer: Pravilo sedamdeset i dva

Pravilo sedamdeset i dva je matematička tehnika koja vam omogućuje da procijenite koliko će vremena trebati da se vaš novac udvostruči. Sada ćemo to zaključiti (da!), i štoviše, pokušat ćemo razumjeti njegovu bit.

Koliko će vremena trebati da udvostručite svoj novac uz 100% godišnju kamatu?

ups Koristili smo prirodni logaritam za slučaj kontinuiranog rasta, a vi sada govorite o godišnjem uračunavanju? Ne bi li ova formula postala neprikladna za takav slučaj? Da, hoće, ali za stvarne kamatne stope poput 5%, 6% ili čak 15%, razlika između godišnjeg obračuna i kontinuiranog rasta bit će mala. Dakle, gruba procjena funkcionira, hm, grubo, tako da ćemo se pretvarati da imamo potpuno kontinuirani obračun.

Sada je pitanje jednostavno: Koliko brzo se možete udvostručiti sa 100% rasta? ln(2) = 0,693. Potrebno je 0,693 jedinice vremena (godine u našem slučaju) da udvostručimo naš iznos uz kontinuirano povećanje od 100%.

Dakle, što ako kamata nije 100%, nego recimo 5% ili 10%?

Lako! Budući da je ulog * vrijeme = 0,693, udvostručit ćemo iznos:

• stopa * vrijeme = 0,693
• vrijeme = 0,693 / ulog

Ispada da će, ako je rast 10%, trebati 0,693 / 0,10 = 6,93 godine da se udvostruči.

Da bismo pojednostavili izračune, pomnožimo obje strane sa 100, tada možemo reći "10" umjesto "0,10":

• vrijeme za udvostručenje = 69,3 / ulog, gdje je ulog izražen kao postotak.

Sada je vrijeme za udvostručenje po stopi od 5%, 69,3 / 5 = 13,86 godina. Međutim, 69,3 nije najprikladnija dividenda. Izaberimo blizak broj, 72, koji je zgodno podijeliti s 2, 3, 4, 6, 8 i drugim brojevima.

• vrijeme za udvostručenje = 72 / ulog

što je pravilo sedamdeset i dva. Sve je pokriveno.

Ako trebate pronaći vrijeme za utrostručenje, možete koristiti ln(3) ~ 109,8 i dobiti

• vrijeme do utrostručenja = 110 / ulog

Što je drugo korisno pravilo. "Pravilo 72" odnosi se na visinu kamatne stope, rast stanovništva, bakterijske kulture i sve što eksponencijalno raste.

Što je sljedeće?

Nadamo se da vam prirodni logaritam sada ima smisla - pokazuje vrijeme koje je potrebno da bilo koji broj eksponencijalno raste. Mislim da se to zove prirodno jer je e univerzalna mjera rasta, pa se ln može smatrati univerzalnim načinom određivanja koliko je vremena potrebno za rast.

Svaki put kad vidite ln(x), sjetite se "vremena potrebnog da poraste X puta". U nadolazećem članku opisat ću e i ln u spoju kako bi svježi miris matematike ispunio zrak.

Dodatak: prirodni logaritam od e

Brzi kviz: što je ln(e)?

• matematički robot će reći: budući da su definirani kao inverzni jedni drugima, očito je da je ln(e) = 1.
• osoba koja razumije: ln(e) je broj puta koji je potreban da poraste "e" puta (oko 2,718). Međutim, sam broj e je mjera rasta za faktor 1, tako da je ln(e) = 1.

Misli jasno.

To može biti, na primjer, kalkulator iz osnovnog skupa programa operacijski sustav Windows. Veza za pokretanje skrivena je u glavnom izborniku OS-a - otvorite ga klikom na gumb "Start", zatim otvorite odjeljak "Programi", idite na pododjeljak "Standardni", a zatim na "Uslužni programi" odjeljak i na kraju kliknite na stavku "Kalkulator" " Umjesto korištenja miša i navigacije kroz izbornike, možete koristiti tipkovnicu i dijaloški okvir za pokretanje programa - pritisnite kombinaciju tipki WIN + R, upišite calc (ovo je naziv izvršne datoteke kalkulatora) i pritisnite Enter.

Prebacite sučelje kalkulatora u napredni način rada, koji vam omogućuje... Prema zadanim postavkama otvara se u "normalnom" prikazu, ali trebate "inženjerski" ili " " (ovisno o verziji OS-a koji koristite). Proširite odjeljak "Prikaz" u izborniku i odaberite odgovarajući redak.

Unesite argument čiju prirodnu vrijednost želite procijeniti. To se može učiniti s tipkovnice ili klikom na odgovarajuće gumbe u sučelju kalkulatora na zaslonu.

Pritisnite gumb s oznakom ln - program će izračunati logaritam prema bazi e i prikazati rezultat.

Koristite jedan od -kalkulatora kao alternativu izračunavanju vrijednosti prirodnog logaritma. Na primjer, onaj koji se nalazi na http://calc.org.ua. Njegovo sučelje je krajnje jednostavno - postoji jedno polje za unos u koje trebate upisati vrijednost broja čiji logaritam trebate izračunati. Među gumbima pronađite i kliknite onaj na kojem piše ln. Skripta ovog kalkulatora ne zahtijeva slanje podataka na poslužitelj i odgovor, tako da ćete rezultat izračuna dobiti gotovo trenutno. Jedina značajka koju treba uzeti u obzir je separator između razlomaka i cijeli dio Uneseni broj ovdje mora imati točku, a ne .

Uvjet " logaritam"potekao od dva grčke riječi, od kojih jedan označava "broj", a drugi "omjer". Označava matematičku operaciju izračunavanja promjenjive veličine (eksponenta) na koju se mora podići konstantna vrijednost (baza) da bi se dobio broj označen ispod znaka logaritam A. Ako je baza jednaka matematičkoj konstanti koja se naziva broj "e", tada logaritam nazivaju "prirodnim".

Trebat će vam

• Pristup internetu, Microsoft Office Excel ili kalkulator.

upute

Upotrijebite mnoge kalkulatore dostupne na internetu - ovo je možda jednostavan način za izračunavanje prirodnog a. Ne morate tražiti odgovarajuću uslugu, jer mnoge tražilice i sami imaju ugrađene kalkulatore, sasvim prikladne za rad logaritam ami. Na primjer, idite na glavnu stranicu najveće online tražilice - Google. Ovdje nisu potrebni nikakvi gumbi za unos vrijednosti ili odabir funkcija; samo unesite željenu matematičku radnju u polje za unos upita. Recimo, izračunati logaritam i broj 457 u bazi “e”, unesite ln 457 - to će biti dovoljno da Google prikaže s točnošću od osam decimalnih mjesta (6,12468339) čak i bez pritiskanja gumba za slanje zahtjeva poslužitelju.

Koristite odgovarajuću ugrađenu funkciju ako trebate izračunati vrijednost naturalne vrijednosti logaritam a javlja se pri radu s podacima u popularnoj proračunskoj tablici Microsoft uređivač Office Excel. Ova se funkcija ovdje poziva koristeći uobičajenu notaciju logaritam i velikim slovima - LN. Odaberite ćeliju u kojoj bi trebao biti prikazan rezultat izračuna i unesite znak jednakosti - ovako bi u ovom uređivaču proračunskih tablica zapisi trebali započeti u ćelijama koje sadrže pododjeljak "Standardno" odjeljka "Svi programi" glavnog izbornika. Prebacite kalkulator na funkcionalniji način rada pritiskom na Alt + 2. Zatim unesite vrijednost, prirodno logaritam koji želite izračunati i kliknite u programskom sučelju gumb označen simbolima ln. Aplikacija će izvršiti izračun i prikazati rezultat.

Video na temu

Kao što znate, kod množenja izraza s potencijama, njihovi eksponenti uvijek se zbrajaju (a b *a c = a b+c). Taj je matematički zakon izveo Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen izradio je tablicu cjelobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za daljnje otkriće logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo posvuda gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim zbrajanjem. Ako provedete 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" na njegovu bazu "a" smatra se potencijom "c ” na koju se mora podići baza “a” da bi se u konačnici dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam koristeći primjere, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takvu potenciju da od 2 do tražene potencije dobijete 8. Nakon što malo izračunate u glavi, dobivamo broj 3! I to je istina, jer 2 na potenciju 3 daje odgovor kao 8.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu tako strašni, glavna stvar je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri pojedinačne vrste logaritamski izrazi:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je baza 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b na bazu a>1.

Svaki od njih rješava se na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam pomoću logaritamskih teorema. Za dobivanje ispravne vrijednosti logaritme, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji pri njihovom rješavanju.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno ne podliježu raspravi i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izvući parni korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, nakon kojih možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• Baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednake svojim vrijednostima;
• ako je a > 0, tada je a b >0, ispada da i “c” mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dan je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. To je vrlo jednostavno, potrebno je odabrati potenciju dizanjem broja deset na koji dobijemo 100. To je, naravno, 10 2 = 100.

Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobivamo log 10 100 = 2. Kod rješavanja logaritama sve radnje praktički konvergiraju da se nađe potencija kojoj je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. Ovako izgleda:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i znanje o tablici množenja. Međutim za velike vrijednosti trebat će vam tablica stupnjeva. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o kompleksu matematičke teme. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), Gornji red brojeva je vrijednost potencije c na koju je podignut broj a. Na raskrižju ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najveći humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednadžbe

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može napisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam baze 3 od 81 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne moći pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Sada pogledajmo kako nejednadžbe izgledaju i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Zadan je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jest logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod predznakom logaritma. Također se u izrazu uspoređuju dvije količine: logaritam željenog broja na osnovicu dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok pri rješavanju nejednadžbe oba raspona prihvatljivih vrijednosti​​i točke se određuju razbijanjem ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i u praksi primijeniti sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; pogledajmo prvo svako svojstvo detaljnije.

1. Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
2. Logaritam umnoška može se prikazati sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezni uvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, s primjerima i rješenjem. Neka je log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada je a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva od stupnjeva ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je i trebalo dokazati.
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova se formula naziva "svojstvo stupnja logaritma". Sliči svojstvima običnih stupnjeva, što i ne čudi, jer se sva matematika temelji na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka je log a b = t, ispada da je a t =b. Podignemo li oba dijela na potenciju m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n, stoga je log a q b n = (n*t)/t, tada je log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemni ispit iz matematike, morate znati kako ispravno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstven plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednadžbu ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili dovesti do Opća pojava. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako ispravno koristite njihova svojstva. Brzo ih upoznajmo.

Prilikom odlučivanja logaritamske jednadžbe, trebali bismo odrediti koju vrstu logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo se rješenje svodi na to da trebaju odrediti potenciju kojoj će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješavanje prirodnih logaritama morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma umnoška može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširivanje veliki značaj brojeve b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo potencije logaritma uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Samo trebate faktorizirati bazu, a zatim uzeti vrijednosti eksponenta iz znaka logaritma.

Zadaci s jedinstvenog državnog ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, osobito mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu ( Državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši ispitni dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva točno i savršeno poznavanje teme “Prirodni logaritmi”.

Primjeri i rješenja problema preuzeti su sa službenih Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadani je log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, malo ga pojednostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je svesti sve logaritme na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod znakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza izuzme kao množitelj, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.

Dana su osnovna svojstva prirodnog logaritma, graf, domena definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, derivacija, integral, proširenje u potencijski niz i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

Prirodni logaritam je funkcija y = u x, obrnuto od eksponencijala, x = e y, i logaritam je baze broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na temelju definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcije y = u x.

Graf prirodnog logaritma (funkcije y = u x) dobiva se iz eksponencijalnog grafa zrcalnom refleksijom u odnosu na ravnu liniju y = x.

Prirodni logaritam je definiran na pozitivne vrijednosti varijabla x. Monotono raste u svojoj domeni definicije.

Na x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost (-∞).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačno (+ ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija snage x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Područje definiranja, skup vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tablici.

ln x vrijednosti

U 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje slijede iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Bilo koji logaritam može se izraziti prirodnim logaritmom koristeći formulu supstitucije baze:

Dokazi ovih formula prikazani su u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Inverz prirodnog logaritma je eksponent.

Ako tada

Ako tada.

Derivacija ln x

Derivacija prirodnog logaritma:
.
Derivacija prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Sastavni

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
Tako,

Izrazi koji koriste složene brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.

Stoga prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije funkcija s jednom vrijednošću.

Proširenje niza potencija

Kada dođe do ekspanzije:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.