Puni diferencijal i njegove primjene. Poglavlje iv - funkcije dviju varijabli. Derivacija složene funkcije. Totalni derivat

Neka je Z= f(x;y) definiran u određenoj okolini točke M(x;y) i ukupni prirast ∆Z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y). Z= f(x;y) se naziva diferencijabilnim u M(x;y) ako se njegov ukupni priraštaj može prikazati u obliku: ∆Z=A∆x+B∆u+α∆x+β∆u, gdje je α = α (∆h,∆u)→0 i β= β(∆h,∆u)→0 za ∆h→0, ∆u→0. Zbroj prva dva člana predstavlja glavni dio prirasta funkcije. Glavni dio prirasta funkcije, linearna u odnosu na ∆x i ∆y, naziva se totalni diferencijal funkcije i označava se simbolom dZ=A∆x+B∆y. Izrazi A∆x i B∆y nazivaju se parcijalni diferencijali. Za nezavisne varijable x i y pretpostavimo ∆x=dx, ∆y=dy. Prema tome dZ=Adx+Bdy.

Teorem 1.(nužan uvjet diferencijacija funkcije). Ako je Z= f(x;y) diferencijabilan u točki M(x;y), tada je kontinuiran u toj točki i ima parcijalne derivacije u njoj , i =A; =B.

Dakle, možemo napisati dZ= dx+ dyor dZ=d x Z+ d y Z.

Teorem 2. Ako Z= f(x; y) ima kontinuirane parcijalne derivacije Z′ x i Z′ y u točki M (x; y), tada je diferencijabilan u ovoj točki i njegov ukupni diferencijal se izražava formulom napisanom viši.

Da bi funkcija Z= f(x; y) bila diferencijabilna u točki, potrebno je da u njoj ima parcijalne derivacije i dovoljno je da u točki ima neprekidne parcijalne derivacije.

Aritmetička svojstva pravila za izračunavanje diferencijala funkcije jedne varijable sačuvana su iu slučaju diferencijala funkcije dviju ili više varijabli.

1. Diferencijali višeg reda

Puni diferencijal naziva se diferencijal prvog reda. Neka Z= f(x;y) ima kontinuirane parcijalne derivacije drugog reda. Diferencijal drugog reda u ovom je slučaju određen formulom
. Nađimo ga d 2 Z= d( dx+ dy)= ( dx+ dy) x ′ dx+( dx+ dy) u ′ du=( dx+ dy)dx+( dx+ dy)du, dakle d 2 Z= dx 2 +2 dxdy+ dy2. Simbolično se to može napisati ovako: d 2 Z=(
) 2 Z. Slično možemo dobiti formulu

d 3 Z= d (d 2 Z)==(
) 3 Z, a za d n Z=(
) n Z. Sve te relacije vrijede samo ako su varijable x i y funkcije Z = f(x;y) neovisne.

1. Derivacija složene funkcije. Totalni derivat

Neka je Z= f(x;y) funkcija dviju varijabli x i y, od kojih je svaka funkcija nezavisne varijable t x=x(t),y=y(t). U ovom slučaju Z= f(x(t);y(t)) je složena funkcija jedne nezavisne varijable t, a varijable x i y su međuvarijable.

Teorema. Ako je Z= f(x;y) diferencijabilna u točki M(x,y) i x=x(t),y=y(t) su diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t, tada je izvod kompleksne funkcije Z(t)= f( x(t);y(t)) izračunava se po formuli
.

Dokaz. Dajmo nezavisnom t prirast ∆t. Tada će x=x(t) i y=y(t) dobiti prirast ∆x odnosno ∆y. Oni će pak uzrokovati povećanje ∆ZfunkcijeZ. Budući da je Z= f(x;y) diferencijabilan u M(x,y) prema uvjetu, njegov ukupni prirast je jednak ∆Z=
, gdje je α→0 β →0 pri ∆h→0 i ∆u→0. Podijelimo ∆Z s ∆t i pomaknimo se do granice ∆t→0, zatim ∆h→0 i ∆u→0 zbog kontinuiteta funkcija x=x(t); y=y(t) dobivamo:, tj. Ch.t.d.

8. Invarijantnost oblika totalnog diferencijala

Pomoću pravila diferenciranja složene funkcije može se pokazati da ukupni diferencijal ima svojstvo invarijantnosti, tj. zadržava isti oblik bez obzira jesu li argumenti nezavisne varijable ili funkcije nezavisnih varijabli.

Neka je Z= f(x;y), gdje su x,y nezavisne varijable, tada ukupni diferencijal (1. reda) ima oblik dZ=

Promotrimo složenu funkciju Z= f(x; y), gdje je x=x(u, ),y=y(u, ), tj. funkcija

Neslužbeni opis

Definicije

Za funkcije

Diferencijal glatke realne funkcije f definiran na M (M- domena u ili glatka mnogostrukost) je 1-forma i obično se označava df a određena je relacijom

gdje označava derivaciju f u smjeru vektora x u tangentnom snopu M .

Za prikaze

Diferencijal glatkog preslikavanja iz glatke mnogoznačnika u mnogoznačnik je preslikavanje između njihovih tangentnih snopova, , tako da za bilo koju glatku funkciju imamo

Gdje xf označava izvedenicu f prema x. (Na lijevoj strani jednakosti uzimamo derivaciju N funkcije g Po dF(x) u desnoj - u M funkcionira po x ).

Ovaj koncept prirodno generalizira diferencijal funkcije.

Povezane definicije

Svojstva

Primjeri

Priča

Termin Diferencijal(od lat. razlikovanje- razlika, razlika) uveo Leibniz. U početku, dx koristi se za označavanje "infinitezimalnog" - veličine koja je manja od bilo koje konačne količine, a ipak nije jednaka nuli. Pokazalo se da je ovaj pogled nezgodan u većini područja matematike (s izuzetkom nestandardne analize).

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010.

• Potpuni Pe (studio)
• Full duplex

Pogledajte što je "puni diferencijal" u drugim rječnicima:

puni diferencijal- - [L.G.Sumenko. Englesko-ruski rječnik o informacijskoj tehnologiji. M.: Državno poduzeće TsNIIS, 2003.] Teme informacijska tehnologija općenito EN obični diferencijal totalni diferencijal ... Vodič za tehničke prevoditelje

PUN DIFERENCIJAL- funkcija od n varijabli u točki jednaka je diferencijalu funkcije u toj točki. Pojam parcijalni diferencijal koristi se za kontrast s pojmom parcijalni diferencijal. Koncept funkcije od n varijabli generalizira se na slučaj preslikavanja otvorenih... Matematička enciklopedija

Puni diferencijal- funkcije f (x, y, z,...) izraz više nezavisnih varijabli u slučaju kada se razlikuje od punog prirasta (Vidi Puni priraštaj) Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz, ... ) f (x, y, z, …) na… … Velika sovjetska enciklopedija

DIFERENCIJAL- (latinski, od differe razlikovati). Granica infinitezimalne razlike između funkcije varijable koja je dobila infinitezimalni prirast i izvorne funkcije iste varijable (mat. termin.). Rječnik strane riječi, uključen u ruski... ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika

Diferencijal (mehanički)- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Diferencijal (značenja). Diferencijalni uređaj ( središnji dio) Diferencijal je mehanički uređaj koji ... Wikipedia

Diferencijal (auto)- Diferencijalni uređaj (središnji dio) Diferencijal je mehanički uređaj koji prenosi vrtnju s jednog izvora na dva neovisna potrošača na način da kutne brzine vrtnje izvora i oba potrošača mogu ... ... Wikipedia

Pogon na četiri kotača- Ovaj izraz ima i druga značenja, vidite. Pogon na četiri kotača(značenja). Najčešća (ali ne i jedina) shema prijenosa za vozilo s pogonom na sve kotače. Pogon na sve kotače (4x4, 4WD ... Wikipedia

DIFERENCIJAL- Dom linearni dio povećanja funkcije. 1) Poziva se realna funkcija y = f(x) realne varijable. diferencijabilan u točki x ako je definiran u određenom susjedstvu te točke i ako postoji broj A takav da prirast (u ... ... Matematička enciklopedija

Stalni pogon na sve kotače- Najčešća (ali ne i jedina) shema prijenosa za vozilo s pogonom na sve kotače. Pogon na sve kotače (4x4, 4WD, AWD) je konstrukcija prijenosa vozila gdje se okretni moment koji stvara motor prenosi na sve kotače. Prije... ... Wikipedije

Toplina- 1) T. imenujemo razlog koji u nama izaziva specifične, dobro poznate toplinske osjete. Izvor tih osjeta uvijek je neka vrsta tijela vanjski svijet, i, objektivizirajući svoje dojmove, pripisujemo tim tijelima sadržaj nekih... enciklopedijski rječnik F. Brockhaus i I.A. Efron

Promotrimo funkciju dviju varijabli z=f(x, y) i njegov ukupni prirast u točki M 0 (x 0, y 0)

Δ z = f(x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0 , y 0).

Definicija. Ako brojevi postoje P I Q tako da se ukupni prirast može predstaviti kao

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

gdje i ε→ 0 na Δρ→ 0 , zatim izraz PΔ x + QΔ y naziva se totalni diferencijal funkcije z=f(x,y) u točki M 0 (x 0, y 0).

U tom slučaju potpuni prirast funkcije sastoji se od dva dijela: prvi dio PΔ x + QΔ y je linearan u odnosu na Δ x I Δy, drugo je infinitezimalno višeg reda u usporedbi sa .

Potpuna diferencijalna funkcija z=f(x,y) označen sa dz, to je

dz = PΔ x+QΔ y.

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u danoj točki kaže se da je u toj točki diferencijabilna.

Teorema. Ako u=f(M) diferencijabilan u točki M0, onda je u njemu kontinuirano.

Komentar. Kontinuitet funkcije dviju varijabli ne implicira njezinu diferencijabilnost.

Primjer. kontinuirano u (0,0) , ali nema djelomičnu izvedenicu – ne postoji. Slično, ne postoji djelomična derivacija u odnosu na g. Dakle, funkcija nije diferencijabilna.

Teorem [nužan uvjet za diferencijabilnost]. Ako z=f(x,y) diferencijabilan u točki M0, tada u ovoj točki ima parcijalne derivacije u odnosu na x I g, i

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Komentar. Diferencijabilnost ne slijedi iz postojanja parcijalnih derivacija. Primjer:

Imamo , ali funkcija nije kontinuirana, stoga nije diferencijabilna.

Teorem [ dovoljan uvjet diferencijabilnost]. Ako su prve parcijalne derivacije funkcije z=f(x,y) definirana u nekoj okolini točke M 0 (x 0, y 0) a kontinuirani su u samoj točki M0, tada ova funkcija ima ukupni diferencijal u ovoj točki.

Komentar. Imamo

Δ z = f′ x (x 0 , y 0) Δ x + f′ y (x 0 , y 0) Δ y + ε Δρ,

Gdje ε→ 0 na Δρ→ 0 . Stoga,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Ova se formula koristi u približnim izračunima.

Na fiksnom Δ x I Δy ukupni diferencijal je funkcija varijabli x I g:

Stavimo dx=Δ x, dy=Δy a nazovimo te veličine diferencijalima nezavisnih varijabli.

Tada dobivamo formulu

odnosno totalni diferencijal funkcije jednak zbroju produkti prvih parcijalnih izvodnica i odgovarajućih diferencijala argumenata.

Ukupni diferencijal funkcije triju varijabli definira se i izražava na sličan način. Ako u=f(x, y, z) a ima i brojeva P, Q, R takav da

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 na δρ→ 0 ,

tada je ukupni diferencijal izraz

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z.

Ako su prve parcijalne derivacije ove funkcije neprekidne, tada

Gdje dx=Δ x, dz=Δ z, dz=Δ z.

Definicija. Totalni diferencijal drugog reda funkcije je totalni diferencijal njezinog totalnog diferencijala.

Ako z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, To

Tangentna ravnina i normala površine

Razmotrite površinu S, dano jednadžbom

z=f(x, y).

Neka f(x, y) ima parcijalne derivacije u nekoj regiji. Razmotrimo M 0 (x 0, y 0).

- nagib tangenta u točki M0 na presjek površine ravninom y=y 0, odnosno do crte z=f(x,y 0). Tangenta na ovu liniju ima oblik:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0.

Slično, ravni presjek x=x 0 daje jednadžbu

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Ravnina koja sadrži obje ove linije ima jednadžbu

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

a naziva se tangentna ravnina na površinu S u točki P 0 (x 0, y 0, z 0).

Imajte na umu da se jednadžba tangentne ravnine može prepisati kao

z-z 0 =df.

Tako, geometrijsko značenje ukupni diferencijal: diferencijal u točki M0 za prirast (x-x 0, y-y 0) je prirast točke primjene tangentne ravnine na površinu z=f(x,y) u točki (x 0, y 0) za iste korake.

Tangentna ravnina ima normalni vektor u točki (x 0, y 0, z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Pravac koji prolazi točkom P0 i ima vektor smjera \vec(n), naziva se površinska normala z=f(x,y) u ovom trenutku. Njene jednadžbe su:

Razlikovanje složenih funkcija

Neka je dana diferencijabilna funkcija z=F(v, w), čiji su argumenti diferencijabilne funkcije varijabli x I g:

v=v(x,y),w=w(x,y).

Ako funkcija

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

ima smisla, onda se naziva složena funkcija x I g.

Teorema. Parcijalne derivacije z′ x, z′ y složene funkcije postoje i izražavaju se formulama

Ako v I w- diferencijabilne funkcije jedne varijable t, to je

v=v(t), w=w(t),

a funkcija ima smisla

z=F(v(t), w(t))=f(t),

onda se njegova derivacija izražava formulom

Ova derivacija se naziva ukupna derivacija.

Ako je dana diferencijabilna funkcija

u=F(ξ, η, ζ),

čiji argumenti ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- diferencijabilne funkcije varijable t i funkcija

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

IV. FUNKCIJE DVIJE VARIJABLE

§ 10. Osnove diferenciranja funkcije dviju varijabli

Parcijalna derivacija iz funkcije po varijabli x- ovo je granica

.

Parcijalni izvod funkcije
po varijabli g- ovo je granica

.

Relevantni simboli: I , ili I .

Izvedenica je brzina promjene funkcije s malom promjenom varijable x, kada je varijabla g je konstantan. Očito, – nova funkcija.

Prilikom traženja vjerujemo da g je broj izražen slovom (parametar). Tada dobivamo funkciju jedne varijable
, a njegovu derivaciju nalazimo koristeći pravila diferenciranja funkcije jedne varijable.

Također je brzina promjene funkcije za malu promjenu g i trajno x, i prilikom traženja sastaviti funkciju
i diferencirati ga kao funkciju jedne varijable.

Primjer 1. Parcijalne derivacije funkcije:

Primjer 2. Nađimo parcijalne derivacije funkcije
:

U 1. slučaju primijenjen je konstantni množitelj
, nezavisno od x, au 2. slučaju – množitelj , nezavisno od g.

Primjer 3. Za funkciju koju nalazimo

Puni diferencijal
pokazuje kako približno funkcija će se promijeniti ako povećate x po iznosu
a u isto vrijeme g– po iznosu
(Ako
ili
, tada govorimo o smanjenju x ili g).

Primjer 4. Nađimo potpuni diferencijal funkcije
V opći pogled i u točki
:

A)
- kod
dobiva se derivacija funkcije potencije;

b)
- kod
dobiva se derivacija eksponencijalne funkcije.

Dakle, u općem obliku, ili, ako izuzmemo zajednički faktor,.

Pronaći ukupni diferencijal u točki zamjenom njezinih koordinata
I
, Zatim.

Značenje rezultata. Pretpostavimo da trebamo pronaći, na primjer, vrijednost funkcije
u točki
, ili, što je isto, pronađite količinu
.

Ako uzmemo poantu
, To. Prilikom kretanja na točku N promjena u argumentima iznosila je i (razlika između stare i nove koordinate).

Ukupni diferencijal u točki M (ne u N! )

jednaka prirastu funkcije pri pomicanju iz točke
V
.

Zato . Točnije,
.

Primjer 5. Nađimo potpune diferencijale za nekoliko funkcija u općem obliku iu određenoj točki M:

A) neka
;
, Zatim

Diferencijal u općem obliku

u točki M htjeti

b) neka im se da
I
; Zatim

Diferencijal u općem obliku:

V) ako je dano
I
, To

Pojednostavimo brojnike:

;
.

U punom diferencijalu izdvajamo zajednički faktor:

Zamijenimo koordinate točke:

ili
.

Pa pronaći
, vjerujemo
, zatim, nakon čega

i prema tome .

Primjer 6. Pomoću ukupnog diferencijala nalazimo vrijednost funkcije
na
(kut izražen u radijanima).

Odaberimo točku što je moguće bliže
, tako da se u njemu može lako izračunati vrijednost
. Ovo je poanta
:
.

Parcijalne derivacije u općem obliku:

,,

i u točki
bit će, i
.

Dakle, blizu poente
funkcija se mijenja otprilike na isti način kao što se mijenja varijabla x. U našem slučaju.

Nova vrijednost funkcije.

Točnija vrijednost gotovo se podudara s približnom. Razlika je zbog činjenice da
, ne 1;

Odgovor: .

Primjer 7. Koristeći totalni diferencijal nalazimo
.

Zamislimo ovaj broj kao vrijednost funkcije
u točki
. pri čemu
I
, a za takve argumente funkcija
lako izračunati:
.

Tako,
,
,
,
.

Zatim
Prii.

Za
parcijalne derivacije

;
.

U točki M
I
, Zatim

(funkcija raste 2 puta brže od 2. argumenta).

Odgovor:(preciznija vrijednost je
).

hitan slučaj 1. Naći parcijalne derivacije za funkcije

3) a) ; b)
;

V)
; G)
;

hitan slučaj 2. Pronađite potpune diferencijale funkcija u naznačenoj točki:

2) a)
; b)
;

V)
; G)
;

Hitna3. Pronađite približne vrijednosti koristeći ukupni diferencijal

1) a)
; b)
; V)
; G)
;

2) a)
; b)
; V)
; G)
;

3) a)
; b)
; V)
; G)
;

4) a) ; b) ; V) ; G) .

Ekstrem funkcije dviju varijabli

Točka M zove se točka minimuma funkcije
, ako možete navesti otvoreno područje D(dio aviona xOy), u kojem je vrijednost
- najmanje od svih. Strože M– minimalni bod, ako postoji D, Što

A)
(točka je uključena u ovo područje i ne pripada njegovoj granici);

b) (u bilo kojoj drugoj točki u istom području vrijednost funkcije je manja nego u točki koja nas zanima).

Kada se zamijeni uvjetom
dobivamo definiciju maksimalne točke.

Na primjer,
je minimalna točka funkcije, jer u njoj, iu bilo kojoj drugoj točki
.

Shema za traženje točaka ekstrema za funkciju

1) Pronađimo I , zatim – bodovi
, gdje su obje derivacije jednake 0;

2) pronađite 2. izvodnice
, tj. odnosno
;

3) koordinate točke
Zamijenimo u 2. izvedenice. Nađimo brojke

4) ako
, u točki
nema ekstrema. Ako
, onda da vidimo koji je znak A:

Ako
, To
– minimalni bod,

ako
, To
– maksimalni bod;

5) ako je u
pokazalo se da
, potrebne su druge metode rješenja koje nadilaze opseg priručnika (proširenje niza Taylor);

6) na isti način izvodimo 3., 4. i 5. korak za preostale točke.

Primjer 8. Nađimo ekstreme funkcije.

1)

rješavanje sustava

(jednadžbe se rješavaju samostalno, a pogodne su sve kombinacije koordinata);

2) pronađite 2. izvodnice

;

;

Provjera točke
, zamjena
I
:

3) ;
;
;

4), ekstrem u
Ne.

Provjera točke
, zamjena
I
:

3) ;
;
;

4) , ekstrem u
Tamo je.

Jer
, onda je ovaj ekstrem minimum. Možete pronaći njegovo značenje.

Odgovor: minimum pri
I
, jednako –50.

Primjer 9. Ispitajmo funkciju za ekstrem.

1) Pronađite

rješavanje sustava

Druga jednadžba ima 3 korijena: –1, 0 i 1, ali su koordinate ovisne:

Ako
, To
,

Ako
, To
,

Ako
, To
.

Dobivamo 3 boda: ;

2) uzeti 2. izvodnice

;
;
;

provjerite točku
:

3)
;
;
;

4) , u
postoji ekstrem, a budući da
, onda je ovaj ekstrem minimum. Njegovo značenje;

provjerite točku
:

3)
;
;
;

4), ekstrem u
Ne.

Lako je to vidjeti
rezultati su isti kao i za
.

Odgovor: minimum jednak –2, sa
I
, a također i kada
I
.

Napomena 1. Ako promijenite sve predznake u zapisu funkcije, minimalne točke postat će maksimalne točke i obrnuto. U tom se slučaju koordinate točaka neće promijeniti. Dakle, iz primjera 9 slijedi da za dobivamo maksimum jednak 2, s
I
, a također i kada
I
.

Dodate li (ili oduzmete) bilo koji broj funkciji, promijenit će se samo vrijednost ekstrema, ali ne i njegov tip. Dakle, funkcija će imati maksimum pri
I
, a također i kada
I
, jednako 2+50=52.

hitan slučaj4.a, b. Pronađite vrijednost funkcije u ovoj točki i odredite vrstu ekstrema:

A) a = 2; b= 3; b) a = 3; b= 2; V) a = 2; b= 5; G) a = 5; b = 4;

d) a = 6; b= 1; e) a = 1; b= 2; i) a = 0; b= 4; h) a = 3; b = 0.

Hitna pomoć 5. Pronađite točku ekstrema funkcije s navedenim parametrima a, b. Odredite vrijednost funkcije, odredite vrstu ekstrema:

A) a = 2; b= 3; b) a = 3; b= 2; V) a = 2; b= 5; G) a = 5; b = 4;

d) a = 6; b= 1; e) a = 1; b= 2; i) a = 0; b= 4; h) a = 3; b = 0.

Napomena 2. Funkcije dviju varijabli ponašaju se složenije od funkcija jedne varijable. Dakle, pri rješavanju ekstremnih problema:

a) čak i kontinuirane funkcije mogu imati nekoliko točaka maksimuma i nijednu točku minimuma (ili obrnuto);

b) sve stacionarne točke mogu biti sedlaste točke, iz kojeg funkcija raste pri promjeni x a smanjuje se s promjenom g(ili obrnuto). Dakle, funkcija neće imati ni maksimum ni minimum.

Napomena 3. Dana shema za proučavanje ekstrema pretpostavlja da je funkcija diferencijabilna u točkama ekstrema. Međutim, to nije potrebno. Da, funkcija
u točki
ima maksimum, ali njegove derivacije u danoj točki idu u beskonačnost. Takvi slučajevi su izvan dosega priručnika.

Hitna6. Ispitati funkcije za ekstreme i označiti vrijednost ekstrema.