Vrste koordinatnih sustava. Pravokutni koordinatni sustav u ravnini i prostoru. Nosivost temelja

Polarni koordinatni sustav određena navođenjem određene točke O, zvan pol, koji izvire iz ove točke zrake O.A.(također se označava kao Vol), koja se naziva polarna os, i skala za promjenu duljina. Osim toga, kod zadavanja polarnog koordinatnog sustava mora se odrediti koji se okreće oko točke O smatraju se pozitivnima (na crtežima se okretaji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu obično smatraju pozitivnima).

Dakle, odaberimo određenu točku na ravnini (slika iznad) O(pol) i neka zraka koja izlazi iz njega Vol. Osim toga, navodimo jedinicu mjerila. Polarne koordinate točke M nazivaju se dva broja ρ i φ od kojih je prvi (polarni radijus ρ) jednak udaljenosti točke M od pola O, a drugi (polarni kut φ, koji se naziva i amplituda) je kut za koji se zraka mora zakrenuti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu Vol prije poravnanja s gredom OM.

Točka M s polarnim koordinatama ρ i φ označeni su simbolom M(ρ, φ) .

Odnos polarnih koordinata i Kartezijevih koordinata

Idemo instalirati odnos između polarnih koordinata točke i njezinih kartezijevih koordinata . Pretpostavit ćemo da je ishodište Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava na polu, a pozitivna poluos apscise poklapa se s polarnom osi. Neka točka M ima kartezijeve koordinate x I g te polarne koordinate ρ i φ.. Zatim

x= ρ cos φ)

g= ρ sin φ) .

Polarne koordinate ρ i φ točke M određuju njegove kartezijeve koordinate kako slijedi:

Da biste pronašli vrijednost kuta φ, morate koristiti znakove x I g, odrediti kvadrant u kojem se točka nalazi M, a uz to iskoristiti i to da je tangens kuta φ jednak .

Gornje formule nazivamo formulama za prijelaz s kartezijskih na polarne koordinate.

Zadaci o točkama u polarnom koordinatnom sustavu

Primjer 1.

A(3; π /4) ;

B(2; -π /2) ;

C(3; -π /3) .

Odredite polarne koordinate točaka simetričnih tim točkama oko polarne osi.

Riješenje. Uz simetriju, duljina grede se ne mijenja. Prema tome, prva koordinata - duljina zrake - za točku simetričnu u odnosu na polarnu os bit će ista kao i za danu točku. Kao što se može vidjeti na slici na početku lekcije, kada se konstruira točka simetrična u odnosu na polarnu os, ta se točka mora zakrenuti oko polarne osi za isti kut φ. Prema tome, u polarnom koordinatnom sustavu druga koordinata simetrične točke bit će kut za izvornu točku, uzet sa suprotnim predznakom, to jest -φ. Dakle, polarne koordinate točke simetrične zadanoj u odnosu na polarnu os razlikovat će se samo u drugoj koordinati, a ta će koordinata imati suprotan predznak. Polarne koordinate traženih simetričnih točaka bit će sljedeće:

A"(3; -π /4) ;

B"(2; π /2) ;

C"(3; π /3) .

Primjer 2. U polarnom koordinatnom sustavu točke su dane na ravnini

A(1; π /4) ;

B(5; π /2) ;

C(2; -π /3) .

Odredite polarne koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na pol.

Riješenje. Uz simetriju, duljina grede se ne mijenja. Prema tome, prva koordinata - duljina zrake - za točku simetričnu u odnosu na pol bit će ista kao i za danu točku. Točka simetrična u odnosu na pol dobiva se zakretanjem početne točke za 180 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, odnosno za kut π . Prema tome, druga koordinata točke koja je simetrična danoj u odnosu na pol izračunava se kao φ + π (ako je rezultat brojnik veći od nazivnika, tada od dobivenog broja oduzmite jedan puni krug, to jest 2 π ). Dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima u odnosu na pol:

A"(1; 3π /4) ;

B"(5; -π /2) ;

C"(2; 2π /3) .

Primjer 3. Pol polarnog koordinatnog sustava poklapa se s ishodištem kartezijevih pravokutnih koordinata, a polarna os poklapa se s pozitivnom poluosi apscise. Točke su dane u polarnom koordinatnom sustavu

A(6; π /2) ;

B(5; 0) ;

C(2; π /4) .

Nađite kartezijeve koordinate tih točaka.

Riješenje. Koristimo formule za prijelaz s polarnih koordinata na kartezijanske:

x= ρ cos φ)

g= ρ sin φ) .

Dobivamo sljedeće kartezijeve koordinate ovih točaka:

A(0; 6) ;

B(5; 0) ;

C"(√2; √2) .

Primjer 4. Pol polarnog koordinatnog sustava poklapa se s ishodištem kartezijevih pravokutnih koordinata, a polarna os poklapa se s pozitivnom poluosi apscise. Točke su dane u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu

A(0; 5) ;

B(-3; 0) ;

C(√3; 1) .

Odredite polarne koordinate tih točaka.

Koordinate - to su veličine koje određuju položaj bilo koje točke na površini ili prostoru u usvojenom koordinatnom sustavu. Koordinatni sustav utvrđuje početne (ishodišne) točke, pravce ili ravnine za računanje potrebnih veličina - ishodište koordinata i njihove jedinice. U topografiji i geodeziji najviše se koriste sustavi geografskih, pravokutnih, polarnih i bipolarnih koordinata.
Zemljopisne koordinate (sl. 2.8) služe za određivanje položaja točaka Zemljine površine na elipsoidu (sferi). U ovom koordinatnom sustavu početna ravnina je početni meridijan i ekvatorska ravnina. Meridijan je linija presjeka elipsoida ravninom koja prolazi kroz datu točku i os rotacije Zemlje.

Paralela je presjek elipsoida ravninom koja prolazi kroz danu točku i okomita je na Zemljinu os. Paralela čija ravnina prolazi središtem elipsoida naziva se ekvator. Kroz svaku točku koja leži na površini Globus, može se povući samo jedan meridijan i samo jedna paralela.
Zemljopisne koordinate su kutne veličine: dužina l i širina j.
Zemljopisna dužina l je diedralni kut između ravnine danog meridijana (koji prolazi točkom B) i ravnine početnog meridijana. Za početni meridijan smatra se meridijan koji prolazi kroz središte glavne dvorane Zvjezdarnice Greenwich u gradu Londonu. Za točku B, dužina je određena kutom l = WCD. Zemljopisne dužine se računaju od početnog meridijana u oba smjera – istočnom i zapadnom. U tom smislu razlikuju se zapadne i istočne zemljopisne dužine koje variraju od 0° do 180°.
Zemljopisna širina j je kut koji čine ekvatorijalna ravnina i visak koji prolazi kroz danu točku. Ako se Zemlja uzme kao kugla, tada je za točku B (sl. 2.8) zemljopisna širina j određena kutom DCB. Geografske širine mjerene od ekvatora prema sjeveru nazivaju se sjevernim, a prema jugu - južnim, variraju od 0° na ekvatoru do 90° na polovima.
Geografske koordinate mogu se dobiti iz astronomskih promatranja ili geodetskih mjerenja. U prvom slučaju nazivaju se astronomskim, au drugom - geodetskim (L - zemljopisna dužina, B - širina). Tijekom astronomskih promatranja, projekcija točaka na referentnu plohu provodi se viskom, a tijekom geodetskih mjerenja - normalama. Stoga se vrijednosti astronomskih i geodetskih koordinata razlikuju za iznos odstupanja olovne linije.
Korištenje različitih referentnih elipsoida u različitim državama dovodi do razlika u koordinatama istih točaka izračunatih u odnosu na različite referentne površine. U praksi se to izražava općim pomakom kartografska slika u odnosu na meridijane i paralele na kartama velikog i srednjeg mjerila.
Pravokutne koordinate nazivaju se linearne veličine – apscisa i ordinata, koje određuju položaj točke na ravnini u odnosu na izvorne pravce.

(Sl. 2.9)
U geodeziji i topografiji usvojen je desni sustav pravokutnih koordinata. To ga razlikuje od lijevog koordinatnog sustava koji se koristi u matematici. Početni pravci su dva međusobno okomita pravca s početnom točkom u sjecištu O.
Pravac XX (os apscisa) poravnat je sa smjerom meridijana koji prolazi kroz ishodište koordinata ili sa pravcem paralelnim s određenim meridijanom. Pravac YY (ordinatna os) prolazi kroz točku O okomito na os apscisa. U takvom sustavu položaj točke na ravnini određen je najkraćom udaljenosti do nje od koordinatnih osi. Položaj točke A određen je duljinom okomica Xa i Ya. Odsječak Xa naziva se apscisa točke A, a Ya je ordinata te točke. Pravokutne koordinate obično se izražavaju u metrima. Područje terena u točki O podijeljeno je na četiri četvrtine osi apscisa i ordinata (slika 2.9). Naziv četvrti određen je prihvaćenim oznakama kardinalnih točaka. Četvrtine su numerirane u smjeru kazaljke na satu: I - NE; II - JI; III - JZ; IV - SZ.
U tablici 2.3 prikazuje znakove X apscise i Y ordinate za točke koje se nalaze u različitim četvrtima i daje njihova imena.

Tablica 2.3
Apscise točaka koje se nalaze prema gore od ishodišta koordinata smatraju se pozitivnim, a prema dolje - negativnim, ordinate točaka koje se nalaze desno - pozitivne, lijevo - negativne. Sustav ravnih pravokutnih koordinata koristi se u ograničenim područjima Zemljina površina, što se može zamijeniti za stan.
Koordinate čije je ishodište neka točka na tlu nazivamo polarnim. U ovom koordinatnom sustavu mjere se kutovi orijentacije. Na vodoravnoj ravnini (sl. 2.10), kroz proizvoljno odabranu točku O, nazvanu pol, nacrtajte ravnu liniju OX - polarna os.

Tada će položaj bilo koje točke, npr. M, biti određen radijusom - vektorom r1 i smjernim kutom a1, a točke N - r2 odnosno a2. Kutovi a1 i a2 mjere se od polarne osi u smjeru kazaljke na satu do radijus vektora. Polarna os može biti postavljena proizvoljno ili poravnata sa smjerom bilo kojeg meridijana koji prolazi kroz O pol.
Bipolarni koordinatni sustav (sl. 2.11) predstavlja dva odabrana nepomična pola O1 i O2, povezana ravnom linijom – polarnom osi. Ovaj sustav koordinate vam omogućuju određivanje položaja točke M u odnosu na polarnu os na ravnini pomoću dva kuta b1 i b2, dva radijus vektora r1 i r2 ili njihove kombinacije. Ako su poznate pravokutne koordinate točaka O1 i O2, tada se može izračunati položaj točke M analitički.


Riža. 2.11

Riža. 2.12
Visine točaka na zemljinoj površini. Za određivanje položaja točaka na fizičkoj površini Zemlje nije dovoljno znati samo horizontalne koordinate X, Y ili l, j, potrebna je i treća koordinata - visina točke H. Visina točke H ( Slika 2.12) je udaljenost u okomitom smjeru od dane točke (A´; B´ ´) do prihvaćene glavne površine razine MN. Brojčana vrijednost visine točke naziva se kota. Visine mjerene od glavne nivelete MN nazivaju se apsolutne visine (AA´; BB´´), a one određene u odnosu na proizvoljno odabranu niveletu nazivaju se uvjetne visine (V´V´´). Razlika u visinama dviju točaka ili udaljenost u vertikalnom smjeru između ravnih površina koje prolaze kroz bilo koje dvije točke na Zemlji naziva se relativna visina (V´V´´) ili nadmorska visina tih točaka h.
U Republici Bjelorusiji usvojen je baltički visinski sustav iz 1977. Visine se računaju od razine površine, koja se podudara s prosječnom razinom vode u Finskom zaljevu, od nulte točke kronštatskog vodomjera.

Evo još jednog

Svaki modernog čovjeka mora znati što je koordinatni sustav. Svakodnevno se susrećemo s takvim sustavima, a da uopće ne razmišljamo o čemu se radi. Jednom davno u školi smo učili osnovne pojmove, otprilike znamo da postoji X-os, Y-os i referentna točka jednaka nuli. Zapravo, sve je mnogo kompliciranije, postoji nekoliko vrsta koordinatnih sustava. U članku ćemo detaljno razmotriti svaki od njih, a također dati Detaljan opis, gdje i zašto se koriste.

Definicija i opseg

Koordinatni sustav je skup definicija koje određuju položaj tijela ili točke pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuju položaj određene točke naziva se koordinatama te točke. Koordinatni sustavi koriste se u mnogim područjima znanosti, na primjer, u matematici, koordinate su skup brojeva koji su povezani s točkama na nekoj karti unaprijed određenog atlasa. U geometriji, koordinate su veličine koje određuju položaj točke u prostoru i na ravnini. U geografiji, koordinate označavaju zemljopisnu širinu, dužinu i nadmorsku visinu. opća razina mora, oceana ili druge ranije poznate količine. U astronomiji, koordinate su veličine koje omogućuju određivanje položaja zvijezde, kao što su deklinacija i rektascenzija. Ovo nije potpuni popis gdje se koriste koordinatni sustavi. Ako mislite da su ovi pojmovi daleko od ljudi koji nisu zainteresirani za znanost, vjerujte da se u svakodnevnom životu nalaze mnogo češće nego što mislite. Uzmite barem kartu grada, zašto ne koordinatni sustav?

Nakon što smo se pozabavili definicijom, pogledajmo koje vrste koordinatnih sustava postoje i što su.

Zonski koordinatni sustav

Ovaj koordinatni sustav koristi se uglavnom za razna horizontalna snimanja i izradu pouzdanih planova terena. Temelji se na jednakokutnoj transverzalnoj cilindričnoj Gaussovoj projekciji. U ovoj projekciji, cijela površina zemljinog geoida podijeljena je meridijanima u zone od 6 stupnjeva i označena brojevima od 1. do 60. istočno od Greenwich meridijana. U ovom slučaju, srednji meridijan ove heksagonalne zone naziva se aksijalni meridijan. Uobičajeno je kombinirati ga s unutarnjom površinom cilindra i smatrati ga osi apscise. Kako bi se izbjeglo negativne vrijednosti ordinata (y), ordinata na aksijalnom meridijanu (početna referentna točka) nije uzeta kao nula, već kao 500 km, odnosno pomaknuta je 500 km prema zapadu. Broj zone mora biti naznačen prije ordinate.

Gauss-Krugerov koordinatni sustav

Ovaj koordinatni sustav temelji se na projekciji koju je predložio poznati njemački znanstvenik Gauss, a za korištenje u geodeziji razvio Kruger. Suština ove projekcije je da je zemaljska sfera konvencionalno podijeljena meridijanima u zone od šest stupnjeva. Zone su numerirane od griničkog meridijana od zapada prema istoku. Znajući broj zone, možete lako odrediti srednji meridijan, koji se naziva aksijalni, koristeći formulu Z = 60(n) – 3, gdje je (n) broj zone. Za svaku zonu izrađuje se ravna slika projiciranjem na bočna površina cilindar čija je os okomita na zemljinu os. Zatim se ovaj cilindar postupno otvara na ravninu. Ekvator i aksijalni meridijan prikazani su ravnim linijama. Os apscisa u svakoj zoni je aksijalni meridijan, a ekvator služi kao os ordinata. Početna točka je sjecište ekvatora i aksijalnog meridijana. Apscise se računaju sjeverno od ekvatora samo s predznakom plus, a južno od ekvatora samo s predznakom minus.

Polarni koordinatni sustav na ravnini

Ovo je dvodimenzionalni koordinatni sustav u kojem je svaka točka definirana na ravnini s dva broja - polarnim radijusom i polarnim kutom. Polarni koordinatni sustav koristan je u slučajevima kada je odnos između točaka lakše prikazati u obliku kutova i polumjera. Polarni koordinatni sustav određen je zrakom koja se naziva polarna ili nulta os. Točka iz koje izlazi određena zraka naziva se polom ili ishodištem. Proizvoljna točka na ravnini određena je samo s dvije polarne koordinate: kutnom i radijalnom. Radijalna koordinata jednaka je udaljenosti od točke do ishodišta koordinatnog sustava. Kutna koordinata jednaka je kutu za koji se polarna os mora zakrenuti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu da bi se došla do točke.

Pravokutni koordinatni sustav

Što je pravokutni koordinatni sustav vjerojatno znate iz škole, ali ipak, prisjetimo se još jednom. Pravokutni koordinatni sustav je pravocrtni sustav u kojem se osi nalaze u prostoru ili na ravnini i međusobno su okomite. Ovo je najjednostavniji i najčešće korišteni koordinatni sustav. Izravno se i prilično lako generalizira na prostore bilo koje dimenzije, što također pridonosi njegovoj najširoj primjeni. Položaj točke na ravnini određen je dvjema koordinatama - x i y, odnosno postoji os apscisa i ordinata.

Kartezijev koordinatni sustav

Objašnjavajući što je Kartezijev koordinatni sustav, prije svega potrebno je reći da on jest poseban slučaj pravokutni koordinatni sustav u kojemu osi imaju ista mjerila. U matematici se najčešće razmatra dvodimenzionalni ili trodimenzionalni Kartezijev koordinatni sustav. Koordinate pokazuju latiničnim slovima x, y, z i zovu se redom apscisa, ordinata i aplikata. Koordinatna os (OX) obično se naziva os apscisa, os (OY) je os ordinata, a os (OZ) je os apliciranja.

Sada znate što je koordinatni sustav, što su i gdje se koriste.

Ako uvedemo koordinatni sustav na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru, moći ćemo opisati geometrijske figure te njihova svojstva pomoću jednadžbi i nejednadžbi, odnosno moći ćemo koristiti metode algebre. Stoga je pojam koordinatnog sustava vrlo važan.

U ovom ćemo članku pokazati kako se definira pravokutni Kartezijev koordinatni sustav na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru te saznati kako se određuju koordinate točaka. Radi jasnoće donosimo grafičke ilustracije.

Navigacija po stranici.

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav na ravnini.

Uvedimo pravokutni koordinatni sustav na ravnini.

Da biste to učinili, nacrtajte dvije međusobno okomite crte na ravnini i označite svaku od njih pozitivan smjer, označavajući to strelicom, i odaberite na svakom od njih mjerilo(jedinica duljine). Označimo točku sjecišta ovih pravaca slovom O i razmotrimo je Polazna točka. Tako smo dobili pravokutni koordinatni sustav na površini.

Poziva se svaka od ravnih linija s odabranim ishodištem O, smjerom i mjerilom koordinatna linija ili koordinatna os.

Pravokutni koordinatni sustav na ravnini obično se označava s Oxy, gdje su Ox i Oy njegove koordinatne osi. Os Ox se zove x-os, a os Oy – y-os.

Sada dogovorimo sliku pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini.

Tipično, mjerna jedinica duljine na osi Ox i Oy odabire se tako da bude ista i ucrtava se od ishodišta na svakoj koordinatnoj osi u pozitivnom smjeru (označeno crticom na koordinatnoj osi, a jedinica je napisana pored it), os apscisa je usmjerena udesno, a os ordinata je usmjerena prema gore. Sve ostale opcije za smjer koordinatnih osi svode se na izraženu (Ox os - udesno, Oy os - gore) rotiranjem koordinatnog sustava pod određenim kutom u odnosu na ishodište i gledanjem s druge strane aviona (ako je potrebno).

Pravokutni koordinatni sustav često se naziva kartezijanskim, budući da ga je na ravnini prvi uveo Rene Descartes. Još češće se pravokutni koordinatni sustav naziva pravokutnim Kartezijevim koordinatnim sustavom, spajajući sve zajedno.

Pravokutni koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru.

Pravokutni koordinatni sustav Oxyz postavljen je na sličan način u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, samo što nisu uzeta dva, već tri međusobno okomita pravca. Drugim riječima, koordinatnim osama Ox i Oy dodaje se koordinatna os Oz, što se naziva os primijeniti.

Ovisno o smjeru koordinatnih osi razlikuju se desni i lijevi pravokutni koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru.

Ako se gleda iz pozitivnog smjera osi Oz i najkraća rotacija od pozitivnog smjera osi Ox do pozitivnog smjera osi Oy događa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se koordinatni sustav naziva pravo.

Ako se gleda iz pozitivnog smjera osi Oz i najkraća rotacija od pozitivnog smjera osi Ox do pozitivnog smjera osi Oy događa u smjeru kazaljke na satu, tada se koordinatni sustav naziva lijevo.

Koordinate točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini.

Prvo razmotrite koordinatnu liniju Ox i na njoj uzmite neku točku M.

Svaki realni broj odgovara jednoj točki M na ovoj koordinatnoj liniji. Na primjer, točka koja se nalazi na koordinatnoj liniji na udaljenosti od ishodišta u pozitivnom smjeru odgovara broju , a broj -3 odgovara točki koja se nalazi na udaljenosti 3 od ishodišta u negativnom smjeru. Broj 0 odgovara početnoj točki.

S druge strane, svaka točka M na koordinatnoj liniji Ox odgovara realnom broju. Ovaj realni broj je nula ako se točka M poklapa s ishodištem (točkom O). Ovaj realni broj je pozitivan i jednak duljini segmenta OM u danom mjerilu ako se točka M udalji od ishodišta u pozitivnom smjeru. Ovaj realni broj je negativan i jednak je duljini odsječka OM s predznakom minus ako se točka M udalji od ishodišta u negativnom smjeru.

Broj je pozvan Koordinirati točke M na koordinatnoj liniji.

Sada razmotrite ravninu s uvedenim pravokutnim Kartezijevim koordinatnim sustavom. Označimo proizvoljnu točku M na ovoj ravnini.

Neka je projekcija točke M na pravac Ox, a neka je projekcija točke M na koordinatni pravac Oy (ako je potrebno, vidi članak). Odnosno, ako kroz točku M povučemo pravce okomite na koordinatne osi Ox i Oy, tada su točke presjeka tih pravaca s pravcima Ox i Oy točke i, redom.

Neka broj odgovara točki na Ox koordinatnoj osi, a broj točki na Oy osi.

Svaka točka M ravnine u danom pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu odgovara jedinstvenom uređenom paru realnih brojeva, tzv. koordinate točke M na površini. Koordinata se zove apscisa točke M, A - ordinata točke M.

Vrijedi i obrnuta tvrdnja: svaki uređeni par realnih brojeva odgovara točki M na ravnini u zadanom koordinatnom sustavu.

Koordinate točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru.

Pokažimo kako se određuju koordinate točke M u pravokutnom koordinatnom sustavu definiranom u trodimenzionalnom prostoru.

Neka su i projekcije točke M na koordinatne osi Ox, Oy odnosno Oz. Neka te točke na koordinatnim osama Ox, Oy i Oz odgovaraju realnim brojevima i.

Projekcije točke M na koordinatne osi mogu se dobiti i konstruiranjem ravnina okomitih na pravce Ox, Oy i Oz koje prolaze kroz točku M. Ove ravnine sijeku koordinatne pravce Ox, Oy i Oz u točkama i, redom.

Svaka točka u trodimenzionalnom prostoru u danom Kartezijevom koordinatnom sustavu odgovara uređenoj trojki realnih brojeva, tzv. koordinate točke M, brojevi se nazivaju apscisa, ordinata I primijeniti točke M redom. Vrijedi i obrnuta tvrdnja: svaka uređena trojka realnih brojeva u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu odgovara točki M u trodimenzionalnom prostoru.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. – 9. razred: udžbenik za općeobrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G.. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. razred. 1. dio: udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova.

Teorijski dio

Jedan od važnih prvih koraka u izradi GIS-a je izbor koordinatnih sustava koji su, zajedno s mjerilom, elipsoidom i projekcijom, dio matematička osnova karte i GIS općenito. Razumijevanje pojmova kao što su "koordinatni sustav" i "projekcija" također je iznimno važno za razmjenu informacija s drugim GIS-om.

Objekti na karti povezani su sa stvarnim objektima na tlu pomoću prostornih koordinata. Položaj objekata na zemljinoj površini određuje se pomoću geografskih koordinata. Iako su geografske koordinate dobre za određivanje lokacije objekta, nisu dobre za njegovu identifikaciju. prostorne karakteristike, kao što su duljina, površina itd., jer geografska širina i zemljopisna dužina nisu jednoznačne mjerne jedinice. Stupanj zemljopisne širine jednak je stupnju zemljopisne dužine samo na ekvatoru. Kako bi se prevladale ove poteškoće, podaci se pretvaraju iz sfernih geografskih koordinata u pravokutne projicirane koordinate.

Koordinatni sustavi u koje se unose podaci i izvode radovi u GIS-u mogu se razlikovati od izlaznih koordinatnih sustava. Na primjer, digitalizacija materijala može se provesti u jednoj projekciji, a izrada izgleda karte i ispis podataka u drugoj.

Geografski i projektirani koordinatni sustavi

Dakle, postoje 2 vrste koordinatnih sustava: geografski koordinatni sustavi i projektirani koordinatni sustavi.

Geografski koordinatni sustav koristi sferne (tj. trodimenzionalne) kutne geografske koordinate (geografsku širinu i dužinu) temeljene na jednom od elipsoida (na primjer, WGS 1984 ili Krasovsky elipsoid). Elipsoid (ili sferoid) je lik koji pojednostavljuje oblik Zemlje i karakteriziran je dimenzijama velike i male poluosi. Da bi se geografski koordinatni sustav vizualno prikazao na ravnini (na primjer, na zaslonu računala), širina se ponekad predstavlja kao Y, a dužina kao X. U ovom slučaju, mreža meridijana i paralela predstavljena je na ravnini mrežom s jednake veličine ćelija i izgleda ovako:

Taj se prikaz ponekad naziva geografska projekcija.

Projektirani koordinatni sustav je pravokutni sustav s ishodištem u određenoj točki, najčešće s koordinatama 0,0. Projektirani koordinatni sustav povezan je s geografskim skupom posebnih formula – projekcija.

Lokalni koordinatni sustav

Nereferentni podaci nalaze se u tzv. lokalnom koordinatnom sustavu koji je također pravokutan (ima i ishodište i osi), ali nema izravnu vezu s geografskim sustavom, odnosno izravnu konverziju iz njega u geografski sustav. korištenje projekcije je nemoguće (primjer takvih podataka - skenirana kartica). Odnosno, dobivši podatke u projektiranom koordinatnom sustavu, ali ne znajući u kojem se točno sustavu ti podaci nalaze, također možemo reći da su podaci u lokalnom koordinatnom sustavu.

Zajednički geografski koordinatni sustavi.

Najčešći koordinatni sustavi za područje Rusije su: univerzalni zemaljski sustav WGS-84 (Svjetski geodetski sustav - 1984.) koji se temelji na elipsoidu WGS-84 sa središtem u središtu mase Zemlje i referencom (koristi se u Rusija i neke okolne zemlje) - Pulkovo-1942 ( SK-42) na temelju elipsoida Krasovskog, ishodište koordinata je pomaknuto u odnosu na centar mase za udaljenost od oko 100 m (zato se ovaj sustav naziva referentni ili relativni) . Sustav WGS-84 široko se koristi u inozemstvu, koristi se za gotovo sve podatke proizvedene u svijetu. SK-42 naširoko se koristi u ruskoj kartografiji; na njemu se temelje svi topografski materijali VTU GSh RF (Vojna topografska uprava). Glavni stožer Ruska Federacija).

Projekcija

Projekcija je skup matematičkih formula koje se koriste za transformaciju sferne površine u ravninu.

Vrste projekcija

Prema vrsti površine na kojoj se projektira, projekcije se dijele na:

Stožasti (projiciranje sferoida na stožastu površinu)

Cilindričan (projekcija sferoida na cilindričnu površinu)

Azimutalno (projiciranje sferoida na tangentnu ravninu sferoida)

Prema prirodi izobličenja koja se unose u sadržaj karte nakon izrade karte, projekcije se dijele na jednakopovršinske (bez izobličenja područja), jednakokutne (bez izobličenja kutova i, prema tome, oblika objekata), ekvidistantne (bez izobličenja duljine). - udaljenosti ostaju nepromijenjene u određenim smjerovima). Postoje i projekcije u kojima je distorzija minimizirana s dva ili tri pokazatelja odjednom (kutovi, duljine, površine). Ne postoje projekcije u kojima bi se duljinsko mjerilo očuvalo u svim smjerovima.

Uobičajene projekcije

Grupe projekcija UTM (Universal Transverse Mercator) i GC (Gauss-Kruger) prilično su raširene u Rusiji i svijetu, češće u Rusiji i drugim zemljama istočne Europe). Obje ove grupe temelje se na istoj poprečnoj Mercatorovoj projekciji, ali imaju različitu nomenklaturu (numeriranje zona) i parametre projekcije za svaku zonu.

Prijelaz između koordinatnih sustava

U zadnje vrijeme, s razvojem satelitske navigacije, posebno se jasno nameće problem prelaska s univerzalnog zemaljskog koordinatnog sustava koji koriste GPS uređaji - WGS84 na druge koordinatne sustave, primjerice SK-42 (Pulkovo 1942.). Za prijelaz iz jednog koordinatnog sustava u drugi koristi se skup parametara koji određuju razliku između elipsoida na kojem se temelji jedan koordinatni sustav i drugog. Ovo je tzv elementi linearne transformacije koji određuju pomak središta mase elipsoida u odnosu na opću zemlju i elementi kutne transformacije koji određuju rotaciju elipsoida u odnosu na opću zemlju. Uobičajena razlika između istih koordinata u različitim sustavima je oko 150 metara. Ako vidite da su neki vaši podaci ravnomjerno pomaknuti u odnosu na druge slojeve za taj iznos, tada najvjerojatnije koristite podatke koji se nalaze u različitim koordinatnim sustavima, na primjer, podaci u WGS84 i Pulkovo 1942 koriste se istovremeno.

Datoteka opisa projekcije

Projekcija podataka upisuje se u posebnu datoteku (koje ima ekstenziju prj), u kojoj se zadaju koordinatni sustav, projekcija, mjerne jedinice i drugi podaci važni za georeferenciranje podataka. Bez ove datoteke određivanje projekcije podataka može biti teško. Ova datoteka pomaže GIS-u da odredi prostornu referencu podataka i prevede ih u drugu projekciju ako je takva naredba dana GIS-u.

Više informacija o projekcijama i koordinatnim sustavima:

Često postavljana pitanja o koordinatama, projekcijama, koordinatnim sustavima >>>

Praktični dio

Zadnje ažuriranje: 29. studenog 2008