Primjeri homogenih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Homogene jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019). Odredi opći integral homogene jednadžbe

U ovom ćemo članku razmotriti metodu rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

Homogene trigonometrijske jednadžbe imaju istu strukturu kao i homogene jednadžbe bilo kojeg drugog tipa. Dopustite mi da vas podsjetim na metodu rješavanja homogenih jednadžbi drugog stupnja:

Razmotrimo homogene jednadžbe oblika

Posebnosti homogenih jednadžbi:

a) svi monomi imaju isti stupanj,

b) slobodni član je nula,

c) jednadžba sadrži potencije s dvije različite baze.

Homogene jednadžbe rješavaju se sličnim algoritmom.

Da bismo riješili ovu vrstu jednadžbe, obje strane jednadžbe dijelimo s (može se podijeliti s ili s)

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti jesu li korijeni izraza kojim dijelimo obje strane jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Ako jest, onda zapišemo ovaj korijen da ga kasnije ne zaboravimo, a zatim podijelimo izraz s ovim.

Općenito, prva stvar koju treba učiniti kada rješavate bilo koju jednadžbu koja ima nulu na desnoj strani je pokušati faktorizirati lijevu stranu jednadžbe u bilo koju na pristupačan način. I onda izjednačite svaki faktor s nulom. U ovom slučaju sigurno nećemo izgubiti korijene.

Dakle, pažljivo podijelite lijevu stranu jednadžbe na izraz po član. Dobivamo:

Skratimo brojnik i nazivnik drugog i trećeg razlomka:

Predstavimo zamjenu:

Dobivamo kvadratna jednadžba:

Riješimo kvadratnu jednadžbu, pronađimo vrijednosti , a zatim se vratimo na početnu nepoznanicu.

Prilikom rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi treba zapamtiti nekoliko važnih stvari:

1. Dummy izraz može se pretvoriti u kvadrat sinusa i kosinusa pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta:

2. Sinus i kosinus dvostrukog argumenta monomi su drugog stupnja - sinus dvostrukog argumenta može se lako pretvoriti u umnožak sinusa i kosinusa, a kosinus dvostrukog argumenta u kvadrat sinusa ili kosinusa:

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

1 . Riješimo jednadžbu:

Ovo je klasičan primjer homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja: stupanj svakog monoma jednak je jedan, odsječni član jednak je nuli.

Prije nego što obje strane jednadžbe podijelite s, morate provjeriti da korijeni jednadžbe nisu korijeni izvorne jednadžbe. Provjeravamo: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Podijelimo obje strane jednadžbe s .

Dobivamo:

, Gdje

, Gdje

Odgovor: , Gdje

2. Riješimo jednadžbu:

Ovo je primjer homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja. Sjećamo se da ako možemo faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, onda je to preporučljivo učiniti. U ovu jednadžbu možemo staviti . Učinimo to:

Rješenje prve jednadžbe: , gdje je

Druga jednadžba je homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja. Da biste to riješili, obje strane jednadžbe podijelite s . Dobivamo:

Odgovor: , gdje ,

3. Riješimo jednadžbu:

Da bi ova jednadžba "postala" homogena, transformiramo je u produkt i predstavimo broj 3 kao zbroj kvadrata sinusa i kosinusa:

Pomaknimo sve pojmove ulijevo, otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove. Dobivamo:

Faktorizirajmo lijevu stranu i postavimo svaki faktor na nulu:

Odgovor: , gdje ,

4 . Riješimo jednadžbu:

Vidimo što možemo izvući iz zagrade. Učinimo to:

Izjednačimo svaki faktor s nulom:

Rješenje prve jednadžbe:

Druga populacijska jednadžba je klasična homogena jednadžba drugog stupnja. Korijeni jednadžbe nisu korijeni izvorne jednadžbe, pa obje strane jednadžbe dijelimo s:

Rješenje prve jednadžbe:

Rješenje druge jednadžbe.

Gotovi odgovori na primjere homogenih diferencijalnih jednadžbi Mnogi studenti traže prvi red (kontrolori 1. reda su najčešći u nastavi), tada ih možete detaljno analizirati. Ali prije nego što prijeđete na razmatranje primjera, preporučujemo da pažljivo pročitate kratki teorijski materijal.
Jednadžbe oblika P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, gdje su funkcije P(x,y) i Q(x,y) homogene funkcije istog reda nazivaju se homogena diferencijalna jednadžba(ODR).

Shema za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe

1. Prvo morate primijeniti zamjenu y=z*x, gdje je z=z(x) nova nepoznata funkcija (tako se izvorna jednadžba reducira na diferencijalnu jednadžbu s varijablama koje se mogu odvojiti.
2. Derivacija umnoška jednaka je y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ili u diferencijalima dy=d(zx)=z*dx+ x*dz.
3. Dalje zamjenjujemo nova značajka y i njegova derivacija y" (ili dy) u DE sa separabilnim varijablama u odnosu na x i z.
4. Nakon što smo riješili diferencijalnu jednadžbu sa separabilnim varijablama, napravimo obrnutu promjenu y=z*x, dakle z= y/x, i dobijemo opće rješenje (opći integral) diferencijalne jednadžbe.
5. Ako je zadan početni uvjet y(x 0)=y 0, tada nalazimo partikularno rješenje Cauchyjevog problema. U teoriji zvuči lako, ali u praksi se ne zabavljaju svi toliko u rješavanju diferencijalnih jednadžbi. Stoga, da produbimo naše znanje, pogledajmo uobičajene primjere. O lakim zadacima nema se što naučiti, pa prijeđimo na složenije.

Proračuni homogenih diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Primjer 1.

Rješenje: Podijelite desnu stranu jednadžbe s varijablom koja je faktor uz derivaciju. Kao rezultat toga dolazimo do homogena diferencijalna jednadžba 0. reda

I ovdje su se možda mnogi zainteresirali, kako odrediti redoslijed funkcije homogena jednadžba?
Pitanje je vrlo relevantno, a odgovor na njega je sljedeći:
s desne strane zamijenimo vrijednost t*x, t*y umjesto funkcije i argumenta. Kada se pojednostavi, parametar “t” se dobije do određenog stupnja k, koji se naziva red jednadžbe. U našem slučaju, "t" će se smanjiti, što je ekvivalentno nultoj potenciji ili nulti red homogene jednadžbe.
Zatim, s desne strane možemo prijeći na novu varijablu y=zx; z=y/x.
U isto vrijeme, ne zaboravite izraziti izvedenicu "y" kroz izvedenicu nove varijable. Po pravilu dijelova nalazimo

Jednadžbe u diferencijalima poprimit će oblik

Poništavamo zajedničke pojmove s desne i lijeve strane i prelazimo na diferencijalna jednadžba s odvojenim varijablama.

Integrirajmo obje strane DE-a

Radi praktičnosti daljnjih transformacija, konstantu odmah unosimo pod logaritam

Na temelju svojstava logaritama, dobiveni logaritamska jednadžba ekvivalentno sljedećem

Ovaj unos još nije rješenje (odgovor), potrebno se vratiti na izvršenu zamjenu varijabli

Na ovaj način pronalaze opće rješenje diferencijalnih jednadžbi. Ako ste pažljivo pročitali prethodne lekcije, tada smo rekli da biste trebali moći slobodno koristiti shemu za izračun jednadžbi s odvojenim varijablama i da će se ova vrsta jednadžbi morati izračunati za složenije vrste daljinskog upravljanja.

Primjer 2. Odredite integral diferencijalne jednadžbe

Rješenje: Shema za proračun homogenih i kombiniranih sustava upravljanja sada vam je poznata. Premjestimo varijablu na desnu stranu jednadžbe, a također izbacimo x 2 iz brojnika i nazivnika kao zajednički faktor

Tako dobivamo homogenu diferencijalnu jednadžbu nultog reda.
Sljedeći korak je uvođenje zamjene varijabli z=y/x, y=z*x na koju ćemo vas stalno podsjećati kako biste je zapamtili

Nakon toga upisujemo daljinski upravljač u diferencijale

Zatim pretvaramo ovisnost u diferencijalna jednadžba s odvojenim varijablama

a rješavamo ga integracijom.

Integrali su jednostavni, preostale transformacije se izvode na temelju svojstava logaritma. Posljednji korak uključuje izlaganje logaritma. Na kraju se vraćamo na izvornu zamjenu i upisujemo je u obrazac

Konstanta "C" može uzeti bilo koju vrijednost. Svi koji studiraju dopisno imaju problema s ovakvim jednadžbama na ispitima, stoga pažljivo pogledajte i zapamtite dijagram izračuna.

Primjer 3. Riješite diferencijalnu jednadžbu

Rješenje: Kao što slijedi iz gornje metodologije, diferencijalne jednadžbe ovog tipa se rješavaju uvođenjem nove varijable. Prepišimo ovisnost tako da derivacija bude bez varijable

Nadalje, analizom desne strane vidimo da je fragment -ee prisutan posvuda i označavamo ga kao novu nepoznanicu
z=y/x, y=z*x.
Nalaženje izvodnice od y

Uzimajući u obzir zamjenu, prepisujemo izvorni DE u obrazac

Identične pojmove pojednostavljujemo, a sve nastale svodimo na DE s odvojenim varijablama

Integriranjem obje strane jednakosti

dolazimo do rješenja u obliku logaritama

Izlažući ovisnosti koje nalazimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe

koja nakon supstitucije početne promjene varijabli u nju poprima oblik

Ovdje je C konstanta koja se dalje može odrediti iz Cauchyjevog uvjeta. Ako Cauchyjev problem nije specificiran, tada on poprima proizvoljnu realnu vrijednost.
To je sva mudrost u računu homogenih diferencijalnih jednadžbi.

Trenutno je prema osnovnoj razini učenja matematike predviđeno samo 4 sata učenja matematike u srednjoj školi (2 sata algebra, 2 sata geometrija). U seoskim malim školama nastoje povećati broj sati zbog školske komponente. Ali ako je razred humanistički, tada se dodaje školska komponenta za proučavanje predmeta humanitarni smjer. U malom selu školarac često nema izbora, on uči u tom razredu; koji je dostupan u školi. Ne namjerava postati pravnik, povjesničar ili novinar (ima i takvih slučajeva), ali želi postati inženjer ili ekonomist, pa mora položiti Jedinstveni državni ispit iz matematike s visokim ocjenama. U takvim okolnostima, nastavnik matematike mora sam pronaći izlaz iz trenutne situacije; štoviše, prema Kolmogorovu udžbeniku, proučavanje teme "homogene jednadžbe" nije predviđeno. Proteklih godina bila su mi potrebna dva dvostruka sata da uvedem ovu temu i učvrstim je. Nažalost, naša inspekcija prosvjetnog nadzora zabranila je dvosatnu nastavu u školi, pa se broj vježbi morao smanjiti na 45 minuta, a sukladno tome i težina vježbi smanjena je na srednju. Predstavljam vam plan lekcije na ovu temu u 10. razredu s osnovnom razinom učenja matematike u ruralnoj maloj školi.

Vrsta lekcije: tradicionalno.

Cilj: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe.

Zadaci:

Kognitivni:

Razvojni:

Edukativni:

• Poticanje marljivosti kroz strpljivo izvršavanje zadataka, osjećaja druženja kroz rad u parovima i grupama.

Tijekom nastave

ja Organizacijski pozornici(3 min.)

II. Provjera znanja potrebnog za svladavanje novog gradiva (10 min.)

Identificirati glavne poteškoće uz daljnju analizu obavljenih zadataka. Dečki biraju 3 opcije. Zadaci diferencirani prema stupnju težine i pripremljenosti djece, nakon čega slijedi objašnjenje na ploči.

Razina 1. Riješite jednadžbe:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Odgovori: 7;3

Razina 2. Riješite jednostavne trigonometrijske jednadžbe i bikvadratne jednadžbe:

odgovori:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Odgovori: -2; 2; -3; 3

Razina 3. Rješavanje jednadžbi promjenom varijabli:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Odgovori:

III. Priopćavanje teme, postavljanje ciljeva i ciljeva.

Predmet: Homogene jednadžbe

Cilj: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe

Zadaci:

Kognitivni:

• upoznati homogene jednadžbe, naučiti rješavati najčešće vrste takvih jednadžbi.

Razvojni:

• Razvoj analitičkog mišljenja.
• Razvoj matematičkih vještina: naučiti identificirati glavne značajke po kojima se homogene jednadžbe razlikuju od drugih jednadžbi, moći utvrditi sličnost homogenih jednadžbi u njihovim različitim manifestacijama.

IV. Učenje novih znanja (15 min.)

1. Trenutak predavanja.

Definicija 1(Zapiši u bilježnicu). Jednadžba oblika P(x;y)=0 naziva se homogenom ako je P(x;y) homogeni polinom.

Polinom dviju varijabli x i y naziva se homogenim ako je stupanj svakog njegovog člana jednak istom broju k.

Definicija 2(Samo uvod). Jednadžbe oblika

naziva se homogena jednadžba stupnja n u odnosu na u(x) i v(x). Dijeljenjem obje strane jednadžbe s (v(x))n, možemo koristiti zamjenu da dobijemo jednadžbu

Što nam omogućuje da pojednostavimo izvornu jednadžbu. Slučaj v(x)=0 mora se razmatrati odvojeno, jer ga je nemoguće podijeliti s 0.

2. Primjeri homogenih jednadžbi:

Objasnite: zašto su homogene, navedite svoje primjere takvih jednadžbi.

3. Zadatak za određivanje homogenih jednadžbi:

Među zadanim jednadžbama prepoznajte homogene jednadžbe i obrazložite svoj izbor:

Nakon što ste objasnili svoj izbor, na jednom od primjera pokažite kako riješiti homogenu jednadžbu:

4. Odlučite sami:

Odgovor:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Podijelimo obje strane jednadžbe s cos x, dobivamo 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Pokažite rješenje primjera iz brošure“P.V. Čulkov. Jednadžbe i nejednadžbe u školskom kolegiju matematike. Moskva Pedagoško sveučilište“Prvi rujan” 2006. str.22.” Kao jedan od mogućih Primjeri jedinstvenog državnog ispita razina C.

V. Riješite za konsolidaciju koristeći Bashmakovljev udžbenik

stranica 183 br. 59 (1.5) ili prema udžbeniku urednika Kolmogorova: stranica 81 br. 169 (a, c)

odgovori:

VI. Test, samostalan rad (7 min.)

Odgovori na zadatke:

1. opcija a) Odgovor: arctan2+πn,n € Z; b) Odgovor: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Opcija 2 a) Odgovor: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Odgovor: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Domaća zadaća

br. 169 po Kolmogorovu, br. 59 po Bašmakovu.

Osim toga, riješite sustav jednadžbi:

Odgovor: arctan(-1±√3) +πn,

Reference:

1. P.V. Čulkov. Jednadžbe i nejednadžbe u školskom kolegiju matematike. – M.: Pedagoško sveučilište “Prvi rujan”, 2006. str. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometrija. – M.: “AST-PRESS”, 1998, str. 389
3. Algebra za 8. razred, uredio N.Ya. Vilenkina. – M.: “Prosvjetljenje”, 1997.
4. Algebra za 9. razred, uredio N.Ya. Vilenkina. Moskva "Prosvjetljenje", 2001.
5. MI. Bašmakov. Algebra i počeci analize. Za razrede 10-11 - M.: “Prosvjetljenje” 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnicin. Algebra i počeci analize. Za 10-11 razred. – M.: “Prosvjeta”, 1990.
7. A.G. Mordkovich. Algebra i počeci analize. 1. dio Udžbenik za 10.-11. – M.: “Mnemosyne”, 2004.

Mislim da bismo trebali početi s poviješću tako veličanstvenog matematičkog alata kao što su diferencijalne jednadžbe. Kao i svi diferencijalni i integralni računi, ove je jednadžbe izumio Newton u kasnom 17. stoljeću. Ovo svoje otkriće smatrao je toliko važnim da je čak šifrirao poruku koja se danas može prevesti otprilike ovako: “Svi zakoni prirode opisani su diferencijalnim jednadžbama.” Ovo se možda čini kao pretjerivanje, ali je istina. Bilo koji zakon fizike, kemije, biologije može se opisati ovim jednadžbama.

Matematičari Euler i Lagrange dali su ogroman doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednadžbi. Već u 18. stoljeću otkrili su i razvili ono što sada uče na višim sveučilišnim tečajevima.

Nova prekretnica u proučavanju diferencijalnih jednadžbi započela je zahvaljujući Henriju Poincaréu. Stvorio je “kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi” koja je, u kombinaciji s teorijom funkcija kompleksne varijable, dala značajan doprinos utemeljenju topologije - znanosti o prostoru i njegovim svojstvima.

Što su diferencijalne jednadžbe?

Mnogi se plaše jedne sintagme, no u ovom ćemo članku detaljno iznijeti cijelu bit ovog vrlo korisnog matematičkog aparata, koji zapravo i nije tako kompliciran kao što se iz naziva čini. Kako biste počeli govoriti o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, prvo biste se trebali upoznati s osnovnim pojmovima koji su inherentno povezani s ovom definicijom. A mi ćemo početi s diferencijalom.

Diferencijal

Mnogi ljudi poznaju ovaj koncept još od škole. Međutim, pogledajmo ga pobliže. Zamislite graf funkcije. Možemo ga povećati do te mjere da bilo koji njegov segment poprimi oblik ravne linije. Uzmimo dvije točke na njemu koje su beskrajno blizu jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) bit će infinitezimalna. Zove se diferencijal i označava se znakovima dy (diferencijal od y) i dx (diferencijal od x). Vrlo je važno razumjeti da diferencijal nije konačna veličina, a to je njegovo značenje i glavna funkcija.

Sada trebamo razmotriti sljedeći element, koji će nam biti od koristi u objašnjavanju koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je izvedenica.

Izvedenica

Svi smo vjerojatno čuli ovaj koncept u školi. Derivacija je brzina kojom funkcija raste ili opada. Međutim, iz ove definicije mnogo toga postaje nejasno. Pokušajmo objasniti izvod kroz diferencijale. Vratimo se na infinitezimalni segment funkcije s dvije točke koje su minimalno udaljene jedna od druge. Ali čak i na toj udaljenosti funkcija se uspijeva promijeniti za određeni iznos. A kako bi opisali ovu promjenu, smislili su izvod, koji se inače može napisati kao omjer diferencijala: f(x)"=df/dx.

Sada je vrijedno razmotriti osnovna svojstva derivata. Ima ih samo tri:

1. Izvod zbroja ili razlike može se prikazati kao zbroj ili razlika izvoda: (a+b)"=a"+b" i (a-b)"=a"-b".
2. Drugo svojstvo je povezano s množenjem. Derivacija umnoška je zbroj umnožaka jedne funkcije i derivacije druge: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Derivacija razlike može se napisati u obliku sljedeća jednakost: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Sva ova svojstva bit će nam korisna za pronalaženje rješenja diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Postoje i parcijalne izvedenice. Recimo da imamo funkciju z koja ovisi o varijablama x i y. Da bismo izračunali parcijalni izvod ove funkcije, recimo, u odnosu na x, trebamo uzeti varijablu y kao konstantu i jednostavno diferencirati.

Sastavni

Još jedan važan koncept je integral. Zapravo, ovo je upravo suprotno od derivata. Postoji nekoliko vrsta integrala, ali za rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi potrebni su nam oni najtrivijalniji

Dakle, recimo da imamo neku ovisnost f o x. Od njega uzimamo integral i dobivamo funkciju F(x) (često zvanu antiderivacija), čija je derivacija jednaka izvornoj funkciji. Dakle F(x)"=f(x). Također slijedi da je integral derivacije jednak originalnoj funkciji.

Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju integrala, budući da ćete ih morati uzimati vrlo često da biste pronašli rješenje.

Jednadžbe se razlikuju ovisno o svojoj prirodi. U sljedećem odjeljku pogledat ćemo vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim ćemo naučiti kako ih riješiti.

Klase diferencijalnih jednadžbi

"Diffurs" se dijele prema redoslijedu derivata koji su uključeni u njih. Dakle, postoji prvi, drugi, treći i više reda. Također se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne derivacije.

U ovom članku ćemo pogledati obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Također ćemo raspravljati o primjerima i načinima njihovog rješavanja u sljedećim odjeljcima. Razmotrit ćemo samo ODE, jer su to najčešći tipovi jednadžbi. Obični se dijele na podvrste: s odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti kako se međusobno razlikuju i kako ih riješiti.

Osim toga, te se jednadžbe mogu kombinirati tako da na kraju dobijemo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Također ćemo razmotriti takve sustave i naučiti kako ih riješiti.

Zašto razmatramo samo prvu narudžbu? Jer treba početi s nečim jednostavnim, a jednostavno je nemoguće u jednom članku opisati sve vezano za diferencijalne jednadžbe.

Odvojive jednadžbe

Ovo su možda najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda. To uključuje primjere koji se mogu napisati na sljedeći način: y"=f(x)*f(y). Da bismo riješili ovu jednadžbu, potrebna nam je formula za predstavljanje derivacije kao omjera diferencijala: y"=dy/dx. Pomoću nje dobivamo sljedeću jednadžbu: dy/dx=f(x)*f(y). Sada možemo prijeći na metodu rješavanja standardnih primjera: varijable ćemo podijeliti na dijelove, odnosno sve ćemo s varijablom y premjestiti na dio gdje se nalazi dy, a isto ćemo učiniti i s varijablom x. Dobivamo jednadžbu oblika: dy/f(y)=f(x)dx, koja se rješava uzimanjem integrala s obje strane. Ne zaboravite na konstantu koju je potrebno postaviti nakon uzimanja integrala.

Rješenje svake “difuzije” je funkcija ovisnosti x o y (u našem slučaju) ili, ako je prisutan numerički uvjet, onda odgovor u obliku broja. Pogledajmo konkretan primjer cijelo rješenje:

Pomaknimo varijable u različitim smjerovima:

Sada uzmimo integrale. Svi se oni nalaze u posebnoj tablici integrala. I dobivamo:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Ako je potrebno, možemo izraziti "y" kao funkciju od "x". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena ako uvjet nije naveden. Uvjet se može navesti, na primjer, y(n/2)=e. Zatim jednostavno zamijenimo vrijednosti tih varijabli u rješenje i pronađemo vrijednost konstante. U našem primjeru to je 1.

Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Sada prijeđimo na teži dio. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se napisati opći pogled dakle: y"=z(x,y). Treba napomenuti da je desna funkcija dviju varijabli homogena, te se ne može podijeliti u dvije ovisnosti: z o x i z o y. Sasvim je jednostavno provjeriti je li je li jednadžba homogena ili nije : vršimo zamjenu x=k*x i y=k*y. Sada poništavamo sva k. Ako su sva ova slova poništena, onda je jednadžba homogena i možete je sigurno početi rješavati. Gledajući naprijed, recimo: princip rješavanja ovih primjera također je vrlo jednostavan .

Trebamo napraviti zamjenu: y=t(x)*x, gdje je t određena funkcija koja također ovisi o x. Tada možemo izraziti izvod: y"=t"(x)*x+t. Zamijenivši sve ovo u našu izvornu jednadžbu i pojednostavivši je, dobivamo primjer s razdvojivim varijablama t i x. Riješimo ga i dobijemo ovisnost t(x). Kada smo ga primili, jednostavno zamijenimo y=t(x)*x u našu prethodnu zamjenu. Tada dobivamo ovisnost y o x.

Da bi bilo jasnije, pogledajmo primjer: x*y"=y-x*e y/x .

Kod provjere uz zamjenu sve je smanjeno. To znači da je jednadžba doista homogena. Sada radimo još jednu zamjenu o kojoj smo govorili: y=t(x)*x i y"=t"(x)*x+t(x). Nakon pojednostavljenja dobivamo sljedeću jednadžbu: t"(x)*x=-e t. Dobiveni primjer rješavamo s odvojenim varijablama i dobivamo: e -t =ln(C*x). Sve što trebamo učiniti je zamijeniti t s y/x (uostalom, ako je y =t*x, tada je t=y/x), i dobivamo odgovor: e -y/x =ln(x*C).

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Vrijeme je da pogledamo još jednu široku temu. Analizirat ćemo nehomogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Po čemu se razlikuju od prethodna dva? Hajdemo shvatiti. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda u općem obliku mogu se napisati na sljedeći način: y" + g(x)*y=z(x). Vrijedno je pojasniti da z(x) i g(x) mogu biti konstantne veličine.

A sada primjer: y" - y*x=x 2 .

Postoje dva rješenja, a mi ćemo ih pogledati redom. Prva je metoda variranja proizvoljnih konstanti.

Da biste riješili jednadžbu na ovaj način, prvo morate izjednačiti desna strana na nulu i riješite dobivenu jednadžbu, koja će nakon prijenosa dijelova imati oblik:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Sada konstantu C 1 trebamo zamijeniti funkcijom v(x) koju moramo pronaći.

Zamijenimo izvedenicu:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

I zamijenite ove izraze u izvornu jednadžbu:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Možete vidjeti da se na lijevoj strani dva člana poništavaju. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, onda ste učinili nešto pogrešno. Nastavimo:

v"*e x2/2 = x 2 .

Sada rješavamo uobičajenu jednadžbu u kojoj trebamo razdvojiti varijable:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Da bismo izdvojili integral, ovdje ćemo morati primijeniti integraciju po dijelovima. Međutim, to nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako sami izvoditi takve radnje. Nije teško, a uz dovoljno vještine i brige ne oduzima puno vremena.

Prijeđimo na drugu metodu rješavanja nehomogenih jednadžbi: Bernoullijevu metodu. Koji je pristup brži i lakši na vama je da odlučite.

Dakle, kada rješavamo jednadžbu ovom metodom, moramo izvršiti zamjenu: y=k*n. Ovdje su k i n neke funkcije ovisne o x. Tada će derivacija izgledati ovako: y"=k"*n+k*n". Zamijenimo obje zamjene u jednadžbu:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupiranje:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Sada trebamo izjednačiti s nulom ono što je u zagradama. Sada, ako kombiniramo dvije dobivene jednadžbe, dobit ćemo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje treba riješiti:

Prvu jednakost rješavamo kao običnu jednadžbu. Da biste to učinili, morate razdvojiti varijable:

Uzimamo integral i dobivamo: ln(n)=x 2 /2. Zatim, ako izrazimo n:

Sada zamijenimo dobivenu jednakost u drugu jednadžbu sustava:

k"*e x2/2 =x 2 .

I transformacijom, dobivamo istu jednakost kao u prvoj metodi:

dk=x 2 /e x2/2 .

Također nećemo razgovarati o daljnjim radnjama. Vrijedno je reći da u početku rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, s više duboko ronjenje ova tema postaje sve bolja i bolja.

Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?

Diferencijalne jednadžbe se vrlo aktivno koriste u fizici, budući da su gotovo svi osnovni zakoni napisani u diferencijalnom obliku, a formule koje vidimo rješenja su tih jednadžbi. U kemiji se koriste iz istog razloga: pomoću njih se izvode temeljni zakoni. U biologiji se diferencijalne jednadžbe koriste za modeliranje ponašanja sustava, kao što su predator i plijen. Također se mogu koristiti za stvaranje modela reprodukcije, recimo, kolonije mikroorganizama.

Kako vam diferencijalne jednadžbe mogu pomoći u životu?

Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: nimalo. Ako niste znanstvenik ili inženjer, malo je vjerojatno da će vam biti od koristi. Međutim za opći razvoj Ne škodi znati što je diferencijalna jednadžba i kako se rješava. A onda je pitanje sina ili kćeri "što je diferencijalna jednadžba?" neće te zbuniti. Pa, ako ste znanstvenik ili inženjer, onda i sami razumijete važnost ove teme u bilo kojoj znanosti. Ali najvažnije je da sada pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda?" uvijek možeš dati odgovor. Slažete se, uvijek je lijepo kada razumijete nešto što se ljudi čak i boje razumjeti.

Glavni problemi u studiranju

Glavni problem u razumijevanju ove teme je slaba vještina integriranja i razlikovanja funkcija. Ako ste loši u uzimanju izvodnica i integrala, onda je vjerojatno vrijedno proučavanja i savladavanja različite metode integracije i diferencijacije, a tek onda početi proučavati gradivo koje je opisano u članku.

Neki se ljudi iznenade kada saznaju da se dx može prenositi, jer je prije (u školi) rečeno da je razlomak dy/dx nedjeljiv. Ovdje trebate pročitati literaturu o derivaciji i shvatiti da je to omjer infinitezimalnih veličina kojima se može manipulirati prilikom rješavanja jednadžbi.

Mnogi ljudi ne shvaćaju odmah da je rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili integral koji se ne može uzeti, a to im pogrešno shvaćanje zadaje mnogo problema.

Što još možete proučavati za bolje razumijevanje?

Daljnje uranjanje u svijet diferencijalnog računa najbolje je započeti sa specijaliziranim udžbenicima, na primjer, na matematička analiza za studente nematematičkih specijalnosti. Zatim možete prijeći na specijaliziranu literaturu.

Vrijedi reći da, osim diferencijalnih jednadžbi, postoje i integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati čemu težiti i što proučavati.

Zaključak

Nadamo se da ćete nakon čitanja ovog članka imati ideju o tome što su diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.

U svakom slučaju, matematika će nam na neki način koristiti u životu. Razvija logiku i pažnju, bez kojih je svaka osoba bez ruku.

Za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda upotrijebite zamjenu u=y/x, odnosno u je nova nepoznata funkcija ovisna o x. Stoga je y=ux. Derivaciju y’ nalazimo pomoću pravila diferenciranja proizvoda: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (budući da je x’=1). Za drugi oblik zapisa: dy = udx + xdu Nakon supstitucije pojednostavljujemo jednadžbu i dolazimo do jednadžbe s razdvojivim varijablama.

Primjeri rješavanja homogenih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

1) Riješite jednadžbu

Provjeravamo je li ova jednadžba homogena (vidi Kako odrediti homogenu jednadžbu). Nakon što smo se uvjerili, vršimo zamjenu u=y/x, iz čega je y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Zamjena: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Budući da je logaritam umnoška jednak zbroju logaritmi, ln(ux)=lnu+lnx. Odavde

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Nakon donošenja sličnih članova: u’x+u=u(1+lnu). Sada otvorite zagrade

u'x+u=u+u·lnu. Obje strane sadrže u, stoga je u’x=u·lnu. Budući da je u funkcija od x, u’=du/dx. Zamijenimo

Dobili smo jednadžbu sa separabilnim varijablama. Varijable odvajamo množenjem oba dijela s dx i dijeljenjem s x·u·lnu, pod uvjetom da je proizvod x·u·lnu≠0

Integrirajmo:

S lijeve strane nalazi se integral stola. Desno - vršimo zamjenu t=lnu, odakle dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Ali već smo raspravljali da je u takvim jednadžbama prikladnije uzeti ln│C│ umjesto C. Zatim

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Prema svojstvu logaritama: ln│t│=ln│Sx│. Stoga je t=Cx. (po uvjetu, x>0). Vrijeme je da izvršimo obrnutu zamjenu: lnu=Cx. I još jedna obrnuta zamjena:

Po svojstvu logaritama:

Ovo je opći integral jednadžbe.

Prisjetimo se uvjeta umnoška x·u·lnu≠0 (i prema tome x≠0,u≠0, lnu≠0, odakle je u≠1). Ali x≠0 iz uvjeta ostaje u≠1, dakle x≠y. Očito je da su y=x (x>0) uključeni u opće rješenje.

2) Nađite parcijalni integral jednadžbe y’=x/y+y/x, koji zadovoljava početne uvjete y(1)=2.

Prvo provjeravamo je li ova jednadžba homogena (iako prisutnost članova y/x i x/y to već neizravno ukazuje). Zatim vršimo zamjenu u=y/x, iz čega je y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Dobivene izraze zamijenimo u jednadžbu:

u'x+u=1/u+u. Pojednostavimo:

u'x=1/u. Budući da je u funkcija od x, u’=du/dx:

Dobili smo jednadžbu sa separabilnim varijablama. Da bismo razdvojili varijable, obje strane množimo s dx i u i dijelimo s x (x≠0 prema uvjetu, dakle i u≠0, što znači da nema gubitka rješenja).

Integrirajmo:

a budući da obje strane sadrže tablične integrale, odmah dobivamo

Izvodimo obrnutu zamjenu:

Ovo je opći integral jednadžbe. Koristimo početni uvjet y(1)=2, odnosno u dobiveno rješenje zamijenimo y=2, x=1:

3) Nađite opći integral homogene jednadžbe:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Zamjena u=y/x, odakle y=ux, dy=xdu+udx. Zamijenimo:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Izvadimo x² iz zagrada i njime podijelimo oba dijela (pod uvjetom da je x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Otvorite zagrade i pojednostavite:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Grupiramo članove s du i dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Izbacimo uobičajene faktore iz zagrada:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Odvajamo varijable:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Da bismo to učinili, obje strane jednadžbe podijelimo s xu(u²+1)≠0 (prema tome dodajemo zahtjeve x≠0 (već navedeno), u≠0):

Integrirajmo:

Na desnoj strani jednadžbe je tablični integral, racionalni razlomak na lijevoj strani rastavljamo ga na proste faktore:

(ili u drugom integralu umjesto predznaka razlike mogla se napraviti zamjena t=1+u², dt=2udu - tko voli koji je način bolji). Dobivamo:

Prema svojstvima logaritama:

Obrnuta zamjena

Podsjećamo na uvjet u≠0. Stoga je y≠0. Kada je C=0 y=0, to znači da nema gubitka rješenja, a y=0 je uključeno u opći integral.

Komentar

Rješenje možete dobiti u drugom obliku ako ostavite izraz s x s lijeve strane:

Geometrijsko značenje integralne krivulje u ovom slučaju je skupina kružnica sa središtima na osi Oy i prolaze kroz ishodište.

Zadaci za samotestiranje:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Provjeravamo da je jednadžba homogena, nakon čega vršimo zamjenu u=y/x, odakle y=ux, dy=xdu+udx. Zamijenite u uvjet: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Podijelimo li obje strane jednadžbe s x²≠0, dobivamo: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Stoga dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Pojednostavljeno, imamo: dx-xudu=0. Stoga xudu=dx, udu=dx/x. Integrirajmo oba dijela: