Osnovne vrste trokuta. Što je oštrokutni trokut

Najjednostavniji poligon koji se uči u školi je trokut. Učenicima je razumljiviji i nailazi na manje poteškoća. Unatoč tome što ih ima različite vrste trokuta koji imaju posebna svojstva.

Koji se oblik naziva trokut?

Formiran od tri točke i segmenta. Prvi se nazivaju vrhovi, drugi se zovu stranice. Štoviše, sva tri segmenta moraju biti povezana tako da se između njih formiraju kutovi. Otuda i naziv figure "trokut".

Razlike u imenima preko kutova

Budući da mogu biti šiljasti, tupi i ravni, vrste trokuta određuju se ovim nazivima. Sukladno tome, postoje tri skupine takvih figura.

• Prvi. Ako su svi kutovi trokuta oštri, tada će se on zvati oštrim. Sve je logično.

• Drugi. Jedan od kutova je tup, što znači da je trokut tup. Ne može biti jednostavnije.

• Treći. Postoji kut jednak 90 stupnjeva, koji se naziva pravim kutom. Trokut postaje pravokutan.

Razlike u imenima na stranama

Ovisno o karakteristikama strana, razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

opći slučaj je skalen, u kojem su sve stranice proizvoljne duljine;

jednakokračan, čije dvije stranice imaju jednake brojčane vrijednosti;

jednakostraničan, duljine svih njegovih stranica su iste.

Ako problem ne specificira određenu vrstu trokuta, tada morate nacrtati proizvoljan. Koji su svi kutovi oštri i strane imaju različite dužine.

Svojstva zajednička svim trokutima

1. Ako zbrojite sve kutove trokuta, dobit ćete broj jednak 180º. I nije važno koje je vrste. Ovo pravilo uvijek vrijedi.
2. Brojčana vrijednost bilo koje stranice trokuta manja je od druge dvije zbrojene. Štoviše, veća je od njihove razlike.
3. Svaki vanjski kut ima vrijednost koja se dobiva zbrajanjem dva unutarnja kuta koji mu nisu susjedni. Štoviše, uvijek je veći od unutarnjeg koji je uz njega.
4. Najmanji kut je uvijek nasuprot manje stranice trokuta. I obrnuto, ako je strana velika, tada će kut biti najveći.

Ova svojstva uvijek vrijede, bez obzira koje vrste trokuta razmatramo u problemima. Sve ostalo proizlazi iz specifičnih obilježja.

Svojstva jednakokračnog trokuta

• Kutovi koji su uz bazu su jednaki.
• Visina, koja je povučena na osnovicu, ujedno je i središnja i simetrala.
• Visine, medijane i simetrale, koje su izgrađene na bočnim stranicama trokuta, međusobno su jednake.

Svojstva jednakostraničnog trokuta

Ako postoji takva brojka, tada će sva svojstva opisana malo iznad biti istinita. Zato što će jednakostraničan uvijek biti jednakokračan. Ali ne obrnuto; jednakokračni trokut neće nužno biti i jednakostraničan.

• Svi njegovi kutovi su međusobno jednaki i imaju vrijednost od 60º.
• Svaki medijan jednakostraničnog trokuta njegova je visina i simetrala. Štoviše, svi su međusobno jednaki. Za određivanje njihovih vrijednosti postoji formula koja se sastoji od umnoška stranice i kvadratnog korijena od 3 podijeljenog s 2.

Svojstva pravokutnog trokuta

• Zbroj dva oštra kuta daje 90º.
• Duljina hipotenuze uvijek je veća od duljine bilo koje katete.
• Brojčana vrijednost medijana povučena na hipotenuzu jednaka je njezinoj polovici.
• Krak je jednak istoj vrijednosti ako leži nasuprot kutu od 30º.
• Visina, koja se izvlači iz vrha s vrijednošću od 90º, ima određenu matematičku ovisnost o nogama: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Ovdje: a, b - noge, n - visina.

Zadaci s različitim vrstama trokuta

broj 1. Zadan je jednakokračni trokut. Opseg mu je poznat i iznosi 90 cm, a trebamo pronaći njegove stranice. Kao dodatni uvjet: strana 1,2 puta manje od baze.

Vrijednost perimetra izravno ovisi o količinama koje je potrebno pronaći. Zbroj sve tri strane dat će 90 cm Sada se morate sjetiti znaka trokuta, prema kojem je jednakokračan. Odnosno, dvije strane su jednake. Možete sastaviti jednadžbu s dvije nepoznanice: 2a + b = 90. Ovdje je a stranica, b je baza.

Sada je vrijeme za dodatni uvjet. Nakon nje dobiva se druga jednadžba: b = 1.2a. Ovaj izraz možete zamijeniti prvim. Ispada: 2a + 1,2a = 90. Nakon transformacija: 3,2a = 90. Stoga je a = 28,125 (cm). Sada je lako saznati osnovu. To je najbolje učiniti iz drugog uvjeta: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Za provjeru možete zbrojiti tri vrijednosti: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Tako je.

Odgovor: Stranice trokuta su 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

broj 2. Stranica jednakostraničnog trokuta je 12 cm.Treba izračunati njegovu visinu.

Riješenje. Da bismo pronašli odgovor, dovoljno je vratiti se na trenutak u kojem su opisana svojstva trokuta. Ovo je formula za pronalaženje visine, medijana i simetrale jednakostraničnog trokuta.

n = a * √3 / 2, gdje je n visina, a a stranica.

Zamjena i izračun daju sljedeći rezultat: n = 6 √3 (cm).

Nema potrebe učiti ovu formulu napamet. Dovoljno je zapamtiti da visina dijeli trokut na dva pravokutna. Štoviše, ispada da je to noga, a hipotenuza u njoj je strana izvorne, druga noga je polovica poznate strane. Sada trebate zapisati Pitagorin poučak i izvesti formulu za visinu.

Odgovor: visina je 6 √3 cm.

broj 3. Dat je MKR trokut u kojem kut K čini 90 stupnjeva. Poznate su stranice MR i KR, jednake su 30 odnosno 15 cm. Treba saznati vrijednost kuta P.

Riješenje. Ako napravite crtež, postaje jasno da je MR hipotenuza. Štoviše, dvostruko je veća od stranice KR. Opet se morate okrenuti svojstvima. Jedan od njih ima veze s kutovima. Iz toga je jasno da je kut KMR 30º. To znači da će željeni kut P biti jednak 60º. Ovo slijedi iz drugog svojstva, koje kaže da zbroj dva oštra kuta mora biti jednak 90º.

Odgovor: kut P je 60º.

broj 4. Moramo pronaći sve kutove jednakokračnog trokuta. Poznato je da je vanjski kut od kuta na bazi 110º.

Riješenje. Budući da je dan samo vanjski kut, to je ono što trebate koristiti. S unutrašnjim čini rasklopljeni kut. To znači da će ukupno dati 180º. Odnosno, kut na bazi trokuta bit će jednak 70º. Budući da je jednakokračan, drugi kut ima istu vrijednost. Ostaje izračunati treći kut. Prema svojstvu zajedničkom svim trokutima, zbroj kutova je 180º. To znači da će treći biti definiran kao 180º - 70º - 70º = 40º.

Odgovor: kutovi su 70º, 70º, 40º.

broj 5. Poznato je da je u jednakokračnom trokutu kut nasuprot osnovici 90º. Na bazi je označena točka. Segment koji ga povezuje s pravim kutom dijeli ga u omjeru 1 prema 4. Trebate saznati sve kutove manjeg trokuta.

Riješenje. Jedan od kutova može se odmah odrediti. Budući da je trokut pravokutan i jednakokračan, oni koji leže na njegovoj bazi bit će po 45º, to jest 90º/2.

Drugi od njih pomoći će vam pronaći relaciju poznatu u uvjetu. Budući da je jednak 1 do 4, dijelova na koje je podijeljen je samo 5. To znači da je za pronalaženje manjeg kuta trokuta potrebno 90º/5 = 18º. Ostaje doznati treći. Da biste to učinili, trebate oduzeti 45º i 18º od 180º (zbroj svih kutova trokuta). Izračuni su jednostavni i dobijete: 117º.

Trokut je mnogokut s tri strane (ili tri kuta). Stranice trokuta često su označene malim slovima koja odgovaraju velikim slovima koja predstavljaju suprotne vrhove.

Oštrokutni trokut zove se trokut u kojem su sva tri kuta šiljasta.

Tupokutni trokut naziva se trokut kojemu je jedan od kutova tup.

Pravokutni trokut zove se trokut u kojem je jedan od kutova ravan, to jest jednak 90 °; stranice a, b koje čine pravi kut nazivaju se noge; stranica c nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuza.

Jednakokračan trokut zove se trokut čije su dvije stranice jednake (a = c); te se jednake strane nazivaju bočno, poziva se treća strana osnovica trokuta.

Jednakostraničan trokut naziva se trokut kojemu su sve stranice jednake (a = b = c). Ako u trokutu niti jedna njegova stranica (abc) nije jednaka, tada je ovo jednakostraničan trokut.

Osnovna svojstva trokuta

U bilo kojem trokutu:

Znakovi jednakosti trokuta

Trokuti su sukladni ako su međusobno jednaki:

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

Dva pravokutna trokuta su sukladna ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

Visinatrokut je okomica spuštena s bilo kojeg vrha na suprotnu stranu(ili njegov nastavak). Ova strana se zove osnovica trokuta. Tri visine trokuta uvijek se sijeku u jednoj točki tzv ortocentar trokuta.

Ortocentar oštrokutnog trokuta nalazi se unutar trokuta, a ortocentar tupokutnog trokuta izvan njega; Ortocentar pravokutnog trokuta koincidira s vrhom pravi kut.

Medijan je segment koji povezuje bilo koji vrh trokuta sa sredinom suprotne stranice. Tri medijane trokuta sijeku se u jednoj točki, koja uvijek leži unutar trokuta i koja je njegovo težište. Ova točka dijeli svaki medijan u omjeru 2:1, računajući od vrha.

Simetrala- ovo je simetrala kuta od vrha do točke sjecišta sa suprotnom stranom. Tri simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki, koja uvijek leži unutar trokuta i središte je upisane kružnice. Simetrala dijeli suprotnu stranicu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.

Srednja okomica je okomica povučena iz sredine segmenta (stranice). Tri srednje okomice trokuta sijeku se u jednoj točki, koja je središte opisane kružnice.

U oštrokutnom trokutu ta točka leži unutar trokuta, u tupokutnom trokutu je izvan, u pravokutnom trokutu leži u sredini hipotenuze. Ortocentar, težište, središte opisane kružnice i središte upisane kružnice poklapaju se samo kod jednakostraničnog trokuta.

Pitagorin poučak

U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.

Dokaz Pitagorinog teorema

Konstruirajmo kvadrat AKMB koristeći hipotenuzu AB kao stranicu. Zatim produljimo stranice pravokutnog trokuta ABC da dobijemo kvadrat CDEF čija je stranica a + b. Sada je jasno da je površina kvadrata CDEF jednaka (a + b) 2. S druge strane, ova površina je jednaka zbroju površina četiri pravokutna trokuta i kvadrata AKMB, tj. ,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

i na kraju imamo:

c 2 = a 2 + b 2 .

Omjer stranica u proizvoljnom trokutu

U opći slučaj(za proizvoljan trokut) imamo:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

gdje je C kut između stranica a i b.

• school-club.ru - koje vrste trokuta postoje?
• math.ru - vrste trokuta;
• raduga.rkc-74.ru - sve o trokutima za najmlađe.

Podjela trokuta na šiljaste, pravokutne i tupokutne. Klasifikacija prema omjeru stranica dijeli trokute na razmjerne, jednakostranične i jednakokračne. Štoviše, svaki trokut istovremeno pripada dvama. Na primjer, može biti pravokutan i razmjeran u isto vrijeme.

Prilikom određivanja vrste prema vrsti kutova budite vrlo oprezni. Tupokutnim trokutom nazivat ćemo trokut u kojem je jedan od kutova , odnosno veći od 90 stupnjeva. Pravokutni trokut može se izračunati ako imamo jedan pravi kut (jednak 90 stupnjeva). Međutim, da biste klasificirali trokut kao šiljast, morat ćete biti sigurni da su sva tri njegova kuta šiljasta.

Definiranje vrste trokut prema omjeru stranica, prvo ćete morati saznati duljine sve tri stranice. No, ako vam prema uvjetu nisu zadane duljine stranica, mogu vam pomoći kutovi. Razmjerni trokut je onaj u kojem sve tri stranice imaju različite duljine. Ako su duljine stranica nepoznate, tada se trokut može klasificirati kao razmjeran ako su sva tri njegova kuta različita. Razmjerni trokut može biti tup, pravokutan ili šiljast.

Jednakokračni trokut je onaj u kojem su dvije od tri stranice međusobno jednake. Ako vam nisu dane duljine stranica, koristite dva jednaka kuta kao vodič. Jednakokračni trokut, kao i razmjerni trokut, može biti tup, pravokutan ili šiljast.

Samo trokut može biti jednakostraničan ako su sve tri stranice iste duljine. Svi njegovi kutovi također su međusobno jednaki, a svaki od njih jednak je 60 stupnjeva. Iz ovoga je jasno da su jednakostranični trokuti uvijek šiljasti.

Savjet 2: Kako odrediti tupi i oštrokutni trokut

Najjednostavniji poligon je trokut. Formira se pomoću triju točaka koje leže u istoj ravnini, ali ne na istoj ravnoj crti, spojene u parovima segmentima. Međutim, postoje trokuti različiti tipovi, što znači da imaju različita svojstva.

upute

Uobičajeno je razlikovati tri vrste: tupokutni, oštrokutni i pravokutni. To je poput kutova. Tupokutni trokut je trokut kojemu je jedan od kutova tup. Tupi kut je kut koji je veći od devedeset stupnjeva, ali manji od sto osamdeset. Na primjer, u trokutu ABC kut ABC je 65°, kut BCA je 95°, a kut CAB je 20°. Kutovi ABC i CAB manji su od 90°, ali je kut BCA veći, što znači da je trokut tupokutan.

Oštrokutni trokut je trokut u kojem su svi kutovi oštri. Oštri kut je kut koji je manji od devedeset stupnjeva i veći od nula stupnjeva. Na primjer, u trokutu ABC kut ABC je 60°, kut BCA je 70°, a kut CAB je 50°. Sva tri kuta su manja od 90°, što znači da je trokut. Ako znate da trokut ima sve strane jednake, to znači da su i svi njegovi kutovi međusobno jednaki i jednaki su šezdeset stupnjeva. Prema tome, svi kutovi u takvom trokutu manji su od devedeset stupnjeva, pa je stoga takav trokut oštar.

Ako je jedan od kutova u trokutu devedeset stupnjeva, to znači da nije ni širokokutni ni oštrokutni. Ovo je pravokutni trokut.

Ako se vrsta trokuta određuje prema omjeru stranica, one će biti jednakostranične, razmjerne i jednakokračne. Kod jednakostraničnog trokuta sve stranice su jednake, a to, kao što ste ustanovili, znači da je trokut šiljast. Ako trokut ima samo dvije jednake stranice ili stranice nisu jednake, on može biti tupokutan, pravokutan ili šiljast. To znači da je u tim slučajevima potrebno izračunati ili izmjeriti kutove i izvesti zaključke prema točkama 1, 2 ili 3.

Video na temu

Izvori:

• tupokutni trokut

Jednakost dva ili više trokuta odgovara slučaju kada su sve stranice i kutovi tih trokuta jednaki. Međutim, postoji niz jednostavnijih kriterija za dokazivanje te jednakosti.

Trebat će vam

• Udžbenik geometrije, list papira, olovka, kutomjer, ravnalo.

upute

Otvorite svoj udžbenik geometrije za sedmi razred na odjeljak o kriterijima podudarnosti trokuta. Vidjet ćete da postoji niz osnovnih znakova koji dokazuju jednakost dvaju trokuta. Ako su dva trokuta čija se jednakost provjerava proizvoljna, tada za njih postoje tri glavna znaka jednakosti. Ako su poznati neki dodatni podaci o trokutima, tada se glavne tri značajke nadopunjuju s još nekoliko. To vrijedi, primjerice, za slučaj jednakosti pravokutnih trokuta.

Pročitajte prvo pravilo o podudarnosti trokuta. Kao što je poznato, to nam omogućuje da trokute smatramo jednakima ako se može dokazati da su bilo koji kut i dvije susjedne stranice dvaju trokuta jednaki. Da biste razumjeli ovaj zakon, nacrtajte kutomjerom na komadu papira dva identična određena kuta koje tvore dvije zrake koje izlaze iz jedne točke. Pomoću ravnala izmjerite iste stranice od vrha nacrtanog kuta u oba slučaja. Pomoću kutomjera izmjerite dobivene kutove dvaju trokuta, pazeći da su jednaki.

Kako ne biste posegnuli za takvim praktičnim mjerama za razumijevanje testa jednakosti trokuta, pročitajte dokaz prvog testa jednakosti. Činjenica je da svako pravilo o jednakosti trokuta ima strogi teorijski dokaz, samo ga nije zgodno koristiti u svrhu pamćenja pravila.

Pročitajte drugi test za podudarnost trokuta. Kaže da će dva trokuta biti jednaka ako su svaka stranica i dva susjedna kuta dva takva trokuta jednaki. Da bi se zapamtio ovo pravilo, zamislimo nacrtanu stranicu trokuta i njezina dva susjedna kuta. Zamislite da se duljine stranica uglova postupno povećavaju. Na kraju će se presijecati, formirajući treći kut. U ovom mentalnom zadatku važno je da sjecište stranica koje se mentalno povećavaju, kao i rezultirajući kut, budu jednoznačno određeni trećom stranicom i dva susjedna kuta.

Ako vam nisu dane nikakve informacije o kutovima trokuta koji se proučavaju, upotrijebite treći kriterij za jednakost trokuta. Prema tom pravilu, dva se trokuta smatraju jednakima ako su sve tri stranice jednog od njih jednake odgovarajućim trima stranicama drugog. Dakle, ovo pravilo kaže da duljine stranica trokuta jednoznačno određuju sve kutove trokuta, što znači da jednoznačno određuju i sam trokut.

Video na temu

Vrste trokuta

Razmotrimo tri točke koje ne leže na istoj liniji i tri segmenta koji spajaju te točke (slika 1).

Trokut je dio ravnine omeđen tim odsječcima, odsječci se nazivaju stranicama trokuta, a krajevi odsječaka (tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji) su vrhovi trokuta.

Tablica 1 navodi sve moguće vrste trokuta ovisno o veličini njihovih kutova .

Tablica 1 - Vrste trokuta ovisno o veličini kutova

Crtanje	Vrsta trokuta	Definicija
	Oštrokutni trokut	Trokut sa svi kutovi su oštri , naziva se oštrokutni
	Pravokutni trokut	Trokut sa jedan od kutova je prav , naziva se pravokutnim
	Tupokutni trokut	Trokut sa jedan od kutova je tup , naziva se tupim

Oštrokutni trokut

Definicija: Trokut sa svi kutovi su oštri , naziva se oštrokutni

Pravokutni trokut

Definicija: Trokut sa jedan od kutova je prav , naziva se pravokutnim

Tupokutni trokut

Definicija: Trokut sa jedan od kutova je tup , naziva se tupim

Ovisno o duljinama stranica Postoje dvije važne vrste trokuta.

Tablica 2 - Jednakokračni i jednakostranični trokut

Crtanje	Vrsta trokuta	Definicija
	Jednakokračan trokut	strane, a treća stranica se zove osnovica jednakokračnog trokuta
	Jednakostraničan (ispravan) trokut	Trokut u kojem su sve tri stranice jednake naziva se jednakostraničnim ili pravilnim trokutom.

Jednakokračan trokut

Definicija: Trokut čije su dvije stranice jednake naziva se jednakokračan trokut. U ovom slučaju pozivaju se dvije jednake strane strane, a treća stranica se zove osnovica jednakokračnog trokuta

Jednakostranični (pravokutni) trokut

Definicija: Trokut u kojem su sve tri stranice jednake naziva se jednakostraničnim ili pravilnim trokutom.

Znakovi jednakosti trokuta

Za trokute se kaže da su jednaki ako su mogu se kombinirati preklapanjem .

Tablica 3 pokazuje znakovi jednakosti trokuta.

Tablica 3 – Znakovi jednakosti trokuta

Crtanje	Naziv značajke	Formulacija atributa
	Po dvije stranice i kut između njih
	Test ekvivalencije trokuta Po stranica i dva susjedna kuta
	Test ekvivalencije trokuta Po tri stranke

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

Sljedeći nazivi obično se koriste za stranice pravokutnog trokuta.

Hipotenuza je stranica pravokutnog trokuta koja leži nasuprot pravog kuta (slika 2), druge dvije strane nazivaju se katetama.

Tablica 4 – Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

Crtanje	Naziv značajke	Formulacija atributa
	Po dvije strane
	Test jednakosti za pravokutne trokute Po krak i susjedni šiljasti kut
	Test jednakosti za pravokutne trokute Po krak i nasuprot šiljasti kut	Ako su krak i suprotni šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta jednaki kraku i suprotnom šiljastom kutu drugog pravokutnog trokuta, tada su takvi pravokutni trokuti sukladni
	Test jednakosti za pravokutne trokute Po hipotenuza i šiljasti kut	Ako su hipotenuza i šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta jednaki hipotenuzi i šiljastom kutu drugog pravokutnog trokuta, tada su ti pravokutni trokuti sukladni
	Test jednakosti za pravokutne trokute Po kateta i hipotenuza	Ako su kateta i hipotenuza jednog pravokutnog trokuta jednake kateti i hipotenuzi drugog pravokutnog trokuta, tada su takvi pravokutni trokuti sukladni.