Trokuti i njihova imena. Trokut. Kompletne lekcije – Hipermarket znanja

Najjednostavniji poligon koji se uči u školi je trokut. Učenicima je razumljiviji i nailazi na manje poteškoća. Unatoč tome što ih ima različite vrste trokuta koji imaju posebna svojstva.

Koji se oblik naziva trokut?

Formiran od tri točke i segmenta. Prvi se nazivaju vrhovi, drugi se zovu stranice. Štoviše, sva tri segmenta moraju biti povezana tako da se između njih formiraju kutovi. Otuda i naziv figure "trokut".

Razlike u imenima preko kutova

Budući da mogu biti šiljasti, tupi i ravni, vrste trokuta određuju se ovim nazivima. Sukladno tome, postoje tri skupine takvih figura.

• Prvi. Ako su svi kutovi trokuta oštri, tada će se on zvati oštrim. Sve je logično.

• Drugi. Jedan od kutova je tup, što znači da je trokut tup. Ne može biti jednostavnije.

• Treći. Postoji kut jednak 90 stupnjeva, koji se naziva pravim kutom. Trokut postaje pravokutan.

Razlike u imenima na stranama

Ovisno o karakteristikama strana, razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

opći slučaj je skalen, u kojem su sve stranice proizvoljne duljine;

jednakokračan, čije dvije stranice imaju jednake brojčane vrijednosti;

jednakostraničan, duljine svih njegovih stranica su iste.

Ako problem ne specificira određenu vrstu trokuta, tada morate nacrtati proizvoljan. Koji su svi kutovi oštri i strane imaju različite dužine.

Svojstva zajednička svim trokutima

1. Ako zbrojite sve kutove trokuta, dobit ćete broj jednak 180º. I nije važno koje je vrste. Ovo pravilo uvijek vrijedi.
2. Brojčana vrijednost bilo koje stranice trokuta manja je od druge dvije zbrojene. Štoviše, veća je od njihove razlike.
3. Svaki vanjski kut ima vrijednost koja se dobiva zbrajanjem dva unutarnja kuta koji mu nisu susjedni. Štoviše, uvijek je veći od unutarnjeg koji je uz njega.
4. Najmanji kut je uvijek nasuprot manje stranice trokuta. I obrnuto, ako je strana velika, tada će kut biti najveći.

Ova svojstva uvijek vrijede, bez obzira koje vrste trokuta razmatramo u problemima. Sve ostalo proizlazi iz specifičnih obilježja.

Svojstva jednakokračnog trokuta

• Kutovi koji su uz bazu su jednaki.
• Visina, koja je povučena na osnovicu, ujedno je i središnja i simetrala.
• Visine, medijane i simetrale, koje su izgrađene na bočnim stranicama trokuta, međusobno su jednake.

Svojstva jednakostraničnog trokuta

Ako postoji takva brojka, tada će sva svojstva opisana malo iznad biti istinita. Zato što će jednakostraničan uvijek biti jednakokračan. Ali ne obrnuto jednakokračan trokut neće nužno biti jednakostraničan.

• Svi njegovi kutovi su međusobno jednaki i imaju vrijednost od 60º.
• Svaki medijan jednakostraničnog trokuta njegova je visina i simetrala. Štoviše, svi su međusobno jednaki. Za određivanje njihovih vrijednosti postoji formula koja se sastoji od umnoška stranice i kvadratnog korijena od 3 podijeljenog s 2.

Svojstva pravokutnog trokuta

• Zbroj dva oštra kuta daje 90º.
• Duljina hipotenuze uvijek je veća od duljine bilo koje katete.
• Brojčana vrijednost medijana povučena na hipotenuzu jednaka je njezinoj polovici.
• Krak je jednak istoj vrijednosti ako leži nasuprot kutu od 30º.
• Visina, koja se izvlači iz vrha s vrijednošću od 90º, ima određenu matematičku ovisnost o nogama: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Ovdje: a, b - noge, n - visina.

Zadaci s različitim vrstama trokuta

broj 1. Zadan je jednakokračni trokut. Opseg mu je poznat i iznosi 90 cm, a trebamo pronaći njegove stranice. Kao dodatni uvjet: strana 1,2 puta manje od baze.

Vrijednost perimetra izravno ovisi o količinama koje je potrebno pronaći. Zbroj sve tri strane dat će 90 cm Sada se morate sjetiti znaka trokuta, prema kojem je jednakokračan. Odnosno, dvije strane su jednake. Možete sastaviti jednadžbu s dvije nepoznanice: 2a + b = 90. Ovdje je a stranica, b je baza.

Sada je vrijeme za dodatni uvjet. Nakon nje dobiva se druga jednadžba: b = 1.2a. Ovaj izraz možete zamijeniti prvim. Ispada: 2a + 1,2a = 90. Nakon transformacija: 3,2a = 90. Stoga je a = 28,125 (cm). Sada je lako saznati osnovu. To je najbolje učiniti iz drugog uvjeta: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Za provjeru možete zbrojiti tri vrijednosti: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Tako je.

Odgovor: Stranice trokuta su 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

broj 2. Stranica jednakostraničnog trokuta je 12 cm.Treba izračunati njegovu visinu.

Riješenje. Da bismo pronašli odgovor, dovoljno je vratiti se na trenutak u kojem su opisana svojstva trokuta. Ovo je formula za pronalaženje visine, medijana i simetrale jednakostraničnog trokuta.

n = a * √3 / 2, gdje je n visina, a a stranica.

Zamjena i izračun daju sljedeći rezultat: n = 6 √3 (cm).

Nema potrebe učiti ovu formulu napamet. Dovoljno je zapamtiti da visina dijeli trokut na dva pravokutna. Štoviše, ispada da je to noga, a hipotenuza u njoj je strana izvorne, druga noga je polovica poznate strane. Sada trebate zapisati Pitagorin poučak i izvesti formulu za visinu.

Odgovor: visina je 6 √3 cm.

broj 3. Dat je MKR trokut u kojem kut K čini 90 stupnjeva. Poznate su stranice MR i KR, jednake su 30 odnosno 15 cm. Treba saznati vrijednost kuta P.

Riješenje. Ako napravite crtež, postaje jasno da je MR hipotenuza. Štoviše, dvostruko je veća od stranice KR. Opet se morate okrenuti svojstvima. Jedan od njih ima veze s kutovima. Iz toga je jasno da je kut KMR 30º. To znači da će željeni kut P biti jednak 60º. Ovo slijedi iz drugog svojstva, koje kaže da zbroj dva oštra kuta mora biti jednak 90º.

Odgovor: kut P je 60º.

broj 4. Moramo pronaći sve kutove jednakokračnog trokuta. Poznato je da je vanjski kut od kuta na bazi 110º.

Riješenje. Budući da je dan samo vanjski kut, to je ono što trebate koristiti. S unutrašnjim čini rasklopljeni kut. To znači da će ukupno dati 180º. Odnosno, kut na bazi trokuta bit će jednak 70º. Budući da je jednakokračan, drugi kut ima istu vrijednost. Ostaje izračunati treći kut. Prema svojstvu zajedničkom svim trokutima, zbroj kutova je 180º. To znači da će treći biti definiran kao 180º - 70º - 70º = 40º.

Odgovor: kutovi su 70º, 70º, 40º.

broj 5. Poznato je da je u jednakokračnom trokutu kut nasuprot osnovici 90º. Na bazi je označena točka. Segment koji ga povezuje s pravim kutom dijeli ga u omjeru 1 prema 4. Trebate saznati sve kutove manjeg trokuta.

Riješenje. Jedan od kutova može se odmah odrediti. Budući da je trokut pravokutan i jednakokračan, oni koji leže na njegovoj bazi bit će po 45º, to jest 90º/2.

Drugi od njih pomoći će vam pronaći relaciju poznatu u uvjetu. Budući da je jednak 1 do 4, dijelova na koje je podijeljen je samo 5. To znači da je za pronalaženje manjeg kuta trokuta potrebno 90º/5 = 18º. Ostaje doznati treći. Da biste to učinili, trebate oduzeti 45º i 18º od 180º (zbroj svih kutova trokuta). Izračuni su jednostavni i dobijete: 117º.

Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati s različitim vrstama trokuta.

Razmotrite geometrijske oblike i među njima pronađite onaj “suvišni” (slika 1).

Riža. 1. Ilustracija za primjer

Vidimo da su figure br. 1, 2, 3, 5 četverokuti. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).

Riža. 2. Četverokuti

To znači da je "dodatna" figura trokut (slika 3).

Riža. 3. Ilustracija za primjer

Trokut je lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na istoj liniji i tri segmenta koji te točke spajaju u parovima.

Bodovi se zovu vrhovi trokuta, segmenti - njegovi stranke. Formiraju se stranice trokuta Na vrhovima trokuta nalaze se tri kuta.

Glavna obilježja trokuta su tri strane i tri kuta. Prema veličini kuta trokuti su šiljasti, pravokutni i tupi.

Trokut se naziva oštrokutnim ako su mu sva tri kuta šiljasta, odnosno manja od 90° (slika 4).

Riža. 4. Oštrokutni trokut

Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90° (slika 5).

Riža. 5. Pravokutni trokut

Trokut se naziva tupokutnim ako mu je jedan od kutova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).

Riža. 6. Tupokutni trokut

Po broju jednake strane Trokuti mogu biti jednakostranični, jednakokračni, razmjerni.

Jednakokračni trokut je onaj kojemu su dvije stranice jednake (slika 7).

Riža. 7. Jednakokračni trokut

Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnova. U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki.

Postoje jednakokračni trokuti akutne i tupe(Sl. 8) .

Riža. 8. Oštri i tupi jednakokračni trokut

Jednakostranični trokut je onaj u kojem su sve tri stranice jednake (slika 9).

Riža. 9. Jednakostranični trokut

U jednakostraničnom trokutu svi kutovi su jednaki. Jednakostranični trokuti Stalno oštrokutni.

Razmjerni trokut je onaj u kojem sve tri stranice imaju različite duljine (slika 10).

Riža. 10. Scalenski trokut

Dovršite zadatak. Podijelite te trokute u tri skupine (slika 11).

Riža. 11. Ilustracija za zadatak

Prvo, rasporedimo prema veličini kutova.

Akutni trokuti: br. 1, br. 3.

Pravokutni trokuti: br. 2, br. 6.

Tupokutni trokuti: br. 4, br. 5.

Iste trokute rasporedit ćemo u skupine prema broju jednakih stranica.

Razmjerni trokuti: br. 4, br. 6.

Jednakokračni trokuti: br. 2, br. 3, br. 5.

Jednakostranični trokut: br.

Pogledaj slike.

Razmislite od kojeg je komada žice napravljen svaki trokut (slika 12).

Riža. 12. Ilustracija za zadatak

Možeš razmišljati i ovako.

Prvi komad žice podijelite na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. On je prikazan treći na slici.

Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da se može koristiti za izradu skalenskog trokuta. Prvo je prikazano na slici.

Treći komad žice podijelimo na tri dijela, pri čemu su dva dijela iste duljine, što znači da se od njega može napraviti jednakokračni trokut. Na slici je prikazan drugi.

Danas smo u razredu učili o različitim vrstama trokuta.

Bibliografija

1. MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
2. MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
3. MI. Moro. Lekcije iz matematike: Smjernice za učitelja. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
4. Regulatorni dokument. Praćenje i vrednovanje ishoda učenja. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
5. "Škola Rusije": Programi za osnovna škola. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematika: Probni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Domaća zadaća

1. Dovršite fraze.

a) Trokut je lik koji se sastoji od ... koje ne leže na istoj liniji i ... koje te točke spajaju u parove.

b) Točke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trokuta tvore se na vrhovima trokuta ….

c) Prema veličini kuta trokuti su ... , ... , ... .

d) Prema broju jednakih stranica trokuti su ... , ... , ... .

2. Crtanje

a) pravokutni trokut;

b) oštrokutni trokut;

c) tupokutni trokut;

d) jednakostranični trokut;

e) razmjerni trokut;

e) jednakokračni trokut.

3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.

Možda najosnovnija, najjednostavnija i najzanimljivija figura u geometriji je trokut. Znam Srednja škola njegova osnovna svojstva se proučavaju, ali ponekad je znanje o ovoj temi nepotpuno. Vrste trokuta u početku određuju njihova svojstva. Ali ovo stajalište ostaje mješovito. Stoga, sada pogledajmo ovu temu malo detaljnije.

Vrste trokuta ovise o stupnjevima mjere kutova. Ove figure su oštre, pravokutne i tupe. Ako svi kutovi ne prelaze 90 stupnjeva, tada se brojka može sigurno nazvati oštrom. Ako je barem jedan kut trokuta 90 stupnjeva, tada imate posla s pravokutnom podvrstom. Prema tome, u svim ostalim slučajevima onaj koji se razmatra naziva se tupokutnim.

Mnogo je problema za podtipove s oštrim kutom. Posebnost je unutarnji položaj sjecišta simetrala, medijana i visina. U drugim slučajevima ovaj uvjet možda neće biti ispunjen. Nije teško odrediti vrstu figure trokuta. Dovoljno je znati, na primjer, kosinus svakog kuta. Ako je bilo koja vrijednost manja od nule, tada je trokut u svakom slučaju tup. U slučaju indikatora nule, lik ima pravi kut. svi pozitivne vrijednosti zajamčeno će vam reći da gledate pod kutom.

Ne može se ne spomenuti pravilan trokut. Ovo je najviše savršen pogled, gdje se poklapaju sve sjecišne točke medijana, simetrala i visina. Središte upisane i opisane kružnice također leži na istom mjestu. Da biste riješili probleme, morate znati samo jednu stranu, budući da su vam kutovi u početku zadani, a druge dvije strane su poznate. Odnosno, brojka je određena samo jednim parametrom. Oni postoje glavna značajka- jednakost dviju strana i kutova na bazi.

Ponekad se postavlja pitanje postoji li trokut sa zadanim stranicama. Zapravo vas pitaju je li prikladno ovaj opis pod glavnim vrstama. Na primjer, ako je zbroj dviju strana manji od treće, tada u stvarnosti takva brojka uopće ne postoji. Ako zadatak od vas traži da pronađete kosinuse kutova trokuta sa stranicama 3,5,9, tada se očito može objasniti bez složenih matematičkih tehnika. Pretpostavimo da želite stići od točke A do točke B. Udaljenost u ravnoj liniji je 9 kilometara. Međutim, sjetili ste se da trebate otići do točke C u trgovini. Udaljenost od A do C je 3 kilometra, a od C do B je 5. Dakle, ispada da ćete u kretanju kroz trgovinu hodati jedan kilometar manje. Ali budući da se točka C ne nalazi na ravnici AB, morat ćete hodati još jednu udaljenost. Ovdje postoji kontradikcija. Ovo je, naravno, uvjetno objašnjenje. Matematika zna više od jednog načina da dokaže da sve vrste trokuta poštuju osnovni identitet. Kaže da je zbroj dviju strana više treći.

Bilo koja vrsta ima sljedeća svojstva:

1) Zbroj svih kutova je 180 stupnjeva.

2) Uvijek postoji ortocentar – sjecište sve tri visine.

3) Sva tri medijana povučena iz vrhova unutarnjih kutova sijeku se na jednom mjestu.

4) Oko bilo kojeg trokuta može se nacrtati krug. Također možete ucrtati krug tako da ima samo tri dodirne točke i da se ne proteže izvan vanjskih strana.

Sada ste upoznati s osnovnim svojstvima koje imaju različite vrste trokuta. U budućnosti je važno razumjeti s čime se suočavate kada rješavate problem.

Standardne oznake

Trokut s vrhovima A, B I C označava se kao (vidi sliku). Trokut ima tri strane:

Duljine stranica trokuta označavaju se malim latiničnim slovima (a, b, c):

Trokut ima sljedeće kutove:

Vrijednosti kuta na odgovarajućim vrhovima tradicionalno su označene grčka slova (α, β, γ).

Znakovi jednakosti trokuta

Trokut na euklidskoj ravnini može se jednoznačno odrediti (do podudarnosti) sljedećim trojkama osnovnih elemenata:

1. a, b, γ (jednakost na dvije strane i kut koji leži između njih);
2. a, β, γ (jednakost stranice i dva susjedna kuta);
3. a, b, c (jednakost na tri strane).

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

1. duž katete i hipotenuze;
2. na dvije noge;
3. duž noge i oštrog kuta;
4. uz hipotenuzu i šiljasti kut.

Neke točke u trokutu su "uparene". Na primjer, postoje dvije točke iz kojih su sve strane vidljive ili pod kutom od 60° ili pod kutom od 120°. Zovu se Torricelli točkice. Također postoje dvije točke čije projekcije na stranice leže u vrhovima pravilnog trokuta. ovo - Apolonijeve točke. Bodovi i tako se zovu Brocard bodovi.

Direktno

U svakom trokutu težište, ortocentar i središte opisane kružnice leže na istoj ravnoj crti, tzv. Eulerova linija.

Pravac koji prolazi središtem opisane kružnice i Lemoineovom točkom naziva se Brocardova os. Na njoj leže Apolonijeve točke. Torricellijeva točka i Lemoineova točka također leže na istoj liniji. Osnovice vanjskih simetrala kutova trokuta leže na istoj ravnici, tzv. osi vanjskih simetrala. Sjecišta pravaca koji sadrže stranice ortotrokuta s pravcima koji sadrže stranice trokuta također leže na istom pravcu. Ova linija se zove ortocentrična os, okomita je na Eulerov pravac.

Ako uzmemo točku na opisanoj kružnici trokuta, tada će njezine projekcije na stranice trokuta ležati na istoj ravnoj crti, tzv. Simson je čist ovu točku. Simsonove linije dijametralno suprotnih točaka su okomite.

Trokuti

• Trokut s vrhovima na bazama povučen kroz danu točku naziva se cevian trokut ovu točku.
• Trokut s vrhovima u projekcijama dane točke na stranice naziva se travnjak ili pedal trokut ovu točku.
• Trokut s vrhovima u drugim točkama sjecišta pravaca povučenih kroz vrhove i zadanu točku s opisanom kružnicom naziva se obodni trokut. Obodni trokut je sličan busen trokutu.

Krugovi

• Upisani krug- krug koji dodiruje sve tri stranice trokuta. Ona je jedina. Središte upisane kružnice naziva se incentar.
• Circurccircle- kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta. Opisani krug je također jedinstven.
• Excircle- krug koji dodiruje jednu stranicu trokuta i nastavak druge dvije stranice. Tri su takva kruga u trokutu. Njihovo radikalno središte je središte upisane kružnice medijalnog trokuta, tzv Spikerova točka.

Središta triju stranica trokuta, osnovice triju njegovih visina i središta triju odsječaka koji spajaju njegove vrhove s ortocentrom leže na jednoj kružnici tzv. krug od devet točaka ili Eulerov krug. Središte kružnice s devet točaka leži na Eulerovoj liniji. Kružnica od devet točaka dodiruje upisanu kružnicu i tri vankružnice. Dodirna točka između upisane kružnice i kružnice od devet točaka naziva se Feuerbachova točka. Ako iz svakog vrha položimo trokut na ravne linije koje sadrže stranice, ortoze jednake duljine suprotne strane, tada dobivenih šest točaka leži na istoj kružnici - Conwayev krug. U bilo koji trokut mogu se upisati tri kružnice na način da svaka od njih dodiruje dvije stranice trokuta i druge dvije kružnice. Takvi se krugovi nazivaju Malfattijevi krugovi. Središta opisanih kružnica šest trokuta na koje je trokut podijeljen središnjama leže na jednoj kružnici koja se naziva opseg Lamuna.

Trokut ima tri kružnice koje dodiruju dvije stranice trokuta i opisanu kružnicu. Takvi se krugovi nazivaju poluupisan ili Verrierovi krugovi. Isječci koji spajaju dodirne točke Verrierovih kružnica s opisanom kružnicom sijeku se u jednoj točki tzv. Verrierova točka. Ona služi kao središte homotetije, koja transformira opisanu kružnicu u upisanu kružnicu. Dodirne točke Verrierovih kružnica sa stranicama leže na ravnoj liniji koja prolazi središtem upisane kružnice.

Segmenti koji spajaju dodirne točke upisane kružnice s vrhovima sijeku se u jednoj točki tzv. Gergonneova točka, a segmenti koji povezuju vrhove s dodirnim točkama izvankružnica su unutra Nagelova točka.

Elipse, parabole i hiperbole

Upisana konika (elipsa) i njen perspektivor

U trokut se može upisati beskonačan broj konika (elipsa, parabola ili hiperbola). Upišemo li proizvoljnu koniku u trokut i spojimo tangente sa suprotnim vrhovima, tada će se dobivene ravnice sijeći u jednoj točki tzv. perspektiva ležajevi. Za svaku točku ravnine koja ne leži na stranici ili na njezinom produžetku, u toj točki postoji upisana konika s perspektivom.

Opisana Steinerova elipsa i ceviani koji prolaze kroz njezina žarišta

U trokut možete upisati elipsu koja dodiruje stranice u sredini. Takva elipsa se zove upisana Steinerova elipsa(njegova perspektiva bit će težište trokuta). Opisana elipsa koja dodiruje pravce koji prolaze kroz vrhove paralelne sa stranicama naziva se opisana Steinerovom elipsom. Ako trokut transformiramo u pravilan trokut pomoću afine transformacije (“kosa”), tada će se njegova upisana i opisana Steinerova elipsa transformirati u upisanu i opisanu kružnicu. Chevianove linije povučene kroz žarišta opisane Steinerove elipse (Scutinove točke) su jednake (Scutinov teorem). Od svih opisanih elipsa, opisana Steinerova elipsa ima najmanja površina, a od svih upisanih najveću površinu ima Steinerova upisana elipsa.

Brocardova elipsa i njen perspektivor - Lemoineova točka

Elipsa sa žarištima u Brocardovim točkama naziva se Brocardova elipsa. Njegova perspektiva je Lemoineova točka.

Svojstva upisane parabole

Kiepertova parabola

Izgledi upisanih parabola leže na opisanoj Steinerovoj elipsi. Žarište upisane parabole leži na opisanoj kružnici, a direktrisa prolazi kroz ortocentar. Parabola upisana u trokut koja ima Eulerovu direktrisu kao direktrisu naziva se Kiepertova parabola. Njegov perspektivor je četvrta točka presjeka opisane kružnice i opisane Steinerove elipse, tzv. Steinerova točka.

Kiepertova hiperbola

Ako opisana hiperbola prolazi točkom presjeka visina, onda je ona jednakostrana (odnosno asimptote su joj okomite). Sjecište asimptota jednakostranične hiperbole leži na kružnici od devet točaka.

Transformacije

Ako se pravci koji prolaze kroz vrhove i neku točku koja ne leži na stranicama i njihovi produžeci reflektiraju u odnosu na odgovarajuće simetrale, tada će se i njihove slike sijeći u jednoj točki, što se naziva izogonalno konjugiran originalni (ako je točka ležala na opisanoj kružnici, tada će rezultirajuće linije biti paralelne). Mnogi parovi značajnih točaka su izogonalno konjugirani: središte opisanog kruga i ortocentar, težište i Lemoineova točka, Brocardove točke. Apolonijeve točke su izogonalno konjugirane Torricellijevim točkama, a središte upisane kružnice je izogonalno konjugirano samom sebi. Pod djelovanjem izogonalne konjugacije, prave se pretvaraju u opisane konike, a opisane konike u prave. Dakle, Kiepertova hiperbola i Brocardova os, Jenzabekova hiperbola i Eulerova pravac, Feuerbachova hiperbola i linija središta upisane i opisane kružnice su izogonalno konjugirane. Opisane kružnice trokuta izogonalno spregnutih točaka podudaraju se. Fokusi upisanih elipsa su izogonalno konjugirani.

Ako umjesto simetričnog ceviana uzmemo cevian čija je baza udaljena od sredine stranice jednako kao i baza izvornog, tada će se i takvi ceviani presijecati u jednoj točki. Dobivena transformacija naziva se izotomska konjugacija. Također pretvara ravne linije u opisane konike. Gergonneova i Nagelova točka su izotomski konjugirane. Pod afinim transformacijama, izotomski konjugirane točke se transformiraju u izotomski konjugirane točke. S izotomskom konjugacijom, opisana Steinerova elipsa će ići u beskonačno udaljenu ravnu liniju.

Ako u segmente odsječene stranicama trokuta od opisane kružnice upišemo kružnice koje dodiruju stranice na bazama ceviana povučenih kroz određenu točku, a zatim spojimo tangentne točke tih kružnica s opisanom kružnicom sa suprotnim vrhovima, tada će se takve ravne linije sijeći u jednoj točki. Poziva se transformacija ravnine koja spaja izvornu točku s rezultirajućom izocirkularna transformacija. Sastav izogonalnih i izotomskih konjugata je sastav izocirkularne transformacije sa samim sobom. Ova kompozicija je projektivna transformacija, koja ostavlja stranice trokuta na mjestu, a transformira os vanjskih simetrala u ravnu crtu u beskonačnosti.

Ako stranice Chevianova trokuta neke točke nastavimo i uzmemo njihove sjecišne točke s odgovarajućim stranicama, tada će dobivene sjecišne točke ležati na jednoj ravnoj liniji, tzv. trilinearni polarni Polazna točka. Ortocentrična os je trilinearna polara ortocentra; trilinearna polara središta upisane kružnice je os vanjskih simetrala. Trilinearni polari točaka koje leže na opisanoj konici sijeku se u jednoj točki (za opisanu kružnicu to je Lemoineova točka, za opisanu Steinerovu elipsu to je težište). Kompozicija izogonalnog (ili izotomskog) konjugata i trilinearnog polara je transformacija dualnosti (ako točka izogonalno (izotomski) konjugirana s točkom leži na trilinearnom polaru točke, tada trilinearni polara točke izogonalno (izotomski) konjugirana na točku leži na trilinearnoj polari točke).

Kocke

Omjeri u trokutu

Bilješka: u ovom odjeljku, , su duljine triju stranica trokuta, a , su kutovi koji leže nasuprot tim trima stranicama (suprotni kutovi).

Nejednakost trokuta

U nedegeneriranom trokutu zbroj duljina njegovih dviju stranica veći je od duljine treće stranice, u degeneriranom trokutu jednak je. Drugim riječima, duljine stranica trokuta povezane su sljedećim nejednakostima:

Nejednakost trokuta jedan je od aksioma metrike.

Teorem zbroja kutova trokuta

Teorem sinusa

gdje je R polumjer kruga opisanog oko trokuta. Iz teorema slijedi da ako je a< b < c, то α < β < γ.

Kosinusni teorem

Teorem o tangenti

Ostali omjeri

Metrički omjeri u trokutu dani su za:

Rješavanje trokuta

Izračunavanje nepoznatih stranica i kutova trokuta na temelju poznatih povijesno se nazivalo "rješavanje trokuta". Koriste se gornji opći trigonometrijski teoremi.

Površina trokuta

Za površinu vrijede sljedeće nejednakosti:

Izračunavanje površine trokuta u prostoru pomoću vektora

Neka vrhovi trokuta budu u točkama , , .

Uvedimo vektor površine. Duljina ovog vektora jednaka je površini trokuta i usmjerena je normalno na ravninu trokuta:

Postavimo , gdje su , , projekcije trokuta na koordinatne ravnine. pri čemu

i slično

Površina trokuta je.

Alternativa je izračunati duljine stranica (pomoću Pitagorinog teorema), a zatim pomoću Heronove formule.

Teoremi o trokutu

Desarguesov teorem: ako su dva trokuta perspektivna (pravci koji prolaze odgovarajućim vrhovima trokuta sijeku se u jednoj točki), tada se njihove odgovarajuće stranice sijeku na istom pravcu.

Sondin teorem: ako su dva trokuta perspektivna i ortologna (okomice povučene iz vrhova jednog trokuta na stranice nasuprot odgovarajućim vrhovima trokuta i obrnuto), tada su oba središta ortologije (sjecišta tih okomica) i središte perspektive leže na istoj ravnoj liniji, okomitoj na perspektivnu os (pravac iz Desarguesovog teorema).