Dom

S obzirom na vrhove trokuta, pronađite visinu na mreži. Zadane su koordinate vrhova trokuta. Jednadžba visine trokuta i njegove duljine

1. Jednadžba stranica AB i BC i njihovih kutnih koeficijenata.
Dodjeljivanje daje koordinate točaka kroz koje te linije prolaze, pa ćemo koristiti jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ zamijenite i dobijete jednadžbe
jednadžba pravca AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ nagib ravne linije AB jednak je $k_(AB) = -\frac(3)(4)$
jednadžba pravca BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ nagib pravca BC jednak je \ (k_( BC) = -7\)

2. Kut B u radijanima s točnošću od dvije znamenke
Kut B je kut između pravaca AB i BC, koji se izračunava po formuli $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$zamijenite vrijednosti kutnih koeficijenata ovih redaka i dobiti $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \približno 0,79$$
3.Duljina stranice AB
Duljina stranice AB izračunava se kao udaljenost između točaka i jednaka je $d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$ => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Jednadžba visine CD i njegove duljine.
Naći ćemo jednadžbu visine pomoću formule pravca koji prolazi kroz zadanu točku C(4;13) u zadanom smjeru - okomito na ravnu liniju AB pomoću formule $y-y_0=k(x-x_0) $. Nađimo kutni koeficijent visine $k_(CD)$ koristeći svojstvo okomitih linija $k_1=-\frac(1)(k_2)$ dobivamo $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Zamijenimo ravnu liniju u jednadžbu, dobit ćemo $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Tražit ćemo duljinu visine kao udaljenost od točke C(4;13) do ravne linije AB pomoću formule $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ u brojniku je jednadžba ravne linije AB, smanjimo je na ovaj oblik $y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0$ , zamijenimo dobiveni jednadžbu i koordinate točke u formulu $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$

5. Jednadžba medijane AE i koordinate točke K, sjecišta te središnje visine CD.
Jednadžbu medijana tražit ćemo kao jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke A(-6;8) i E, gdje je točka E polovište između točaka B i C, a njene koordinate se nalaze prema formula $E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))$ zamijeniti koordinate točaka $E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))$ = > $E(5; 6)$, tada će jednadžba medijana AE biti sljedeća $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Nađimo koordinate točke presjeka visine i medijana, tj. pronađimo njihovu zajedničku točku. Da bismo to učinili, stvorit ćemo jednadžbu sustava $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Koordinate točke presjeka $K(-\frac(1)(2);7); )$

6. Jednadžba pravca koji prolazi točkom K paralelno sa stranicom AB.
Ako je pravac paralelan, tada su im kutni koeficijenti jednaki, tj. $k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)$, poznate su i koordinate točke $K(-\frac(1)(2);7)$ , tj. da bismo pronašli jednadžbu pravca, primijenimo formulu za jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru $y - y_0=k(x-x_0)$, zamijenimo podatke i dobijemo $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Koordinate točke M koja je simetrična točki A u odnosu na pravac CD.
Točka M leži na pravcu AB, jer CD je visina s ove strane. Nađimo sjecište CD i AB; da bismo to učinili, riješimo sustav jednadžbi $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Koordinate točke D(-2;5). Prema uvjetu AD=DK, ova udaljenost između točaka nalazi se Pitagorinom formulom $d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$, gdje su AD i DK hipotenuze jednakih pravokutni trokuti, a $Δx =x_2-x_1$ i $Δy=y_2-y_1$ su kraci ovih trokuta, tj. nađimo krake i koordinate točke M. $Δx=x_D-x_A = -2+6=4$, i $Δy=y_D-y_A = 5-8=-3$, zatim koordinate točke M bit će jednako \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), i $y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 $, pronašli smo da su koordinate točke $ M(2;2)$

U zadacima 1 - 20 zadani su vrhovi trokuta ABC.
Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžbe stranica AB i AC i njihovih kutnih koeficijenata; 3) Unutarnji kut A u radijanima s točnošću od 0,01; 4) jednadžba za visinu CD i njegovu duljinu; 5) jednadžba kružnice kojoj je visina CD promjer; 6) sustav linearnih nejednadžbi koje definiraju trokut ABC.

Duljina stranica trokuta:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
Udaljenost d od točke M: d = 10
Zadane su koordinate vrhova trokuta: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Duljine stranica trokuta
Udaljenost d između točaka M 1 (x 1 ; y 1) i M 2 (x 2 ; y 2) određena je formulom:

8) Jednadžba pravca
Pravac koji prolazi kroz točke A 1 (x 1 ; y 1) i A 2 (x 2 ; y 2) predstavljen je jednadžbama:

Jednadžba pravca AB

ili

ili
y = -3 / 4 x -7 / 4 ili 4y + 3x +7 = 0
Jednadžba pravca AC
Kanonska jednadžba pravca:

ili

ili
y = 1/2 x + 9/2 ili 2y -x - 9 = 0
Jednadžba pravca BC
Kanonska jednadžba pravca:

ili

ili
y = -7x + 42 ili y + 7x - 42 = 0
3) Kut između ravnih linija
Jednadžba ravne linije AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednadžba pravca AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Kut φ između dviju ravnih linija, dan jednadžbama s kutnim koeficijentima y = k 1 x + b 1 i y 2 = k 2 x + b 2, izračunava se formulom:

Nagibi ovih linija su -3/4 i 1/2. Upotrijebimo formulu i njezinu desna strana uzeti modulo:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 ili 1,107 rad.
9) Jednadžba visine kroz vrh C
Pravac koji prolazi kroz točku N 0 (x 0 ; y 0) i okomit na pravac Ax + By + C = 0 ima vektor smjera (A; B) i stoga je predstavljen jednadžbama:

Ova se jednadžba može pronaći na drugi način. Da bismo to učinili, pronađimo nagib k 1 ravne linije AB.
AB jednadžba: y = -3 / 4 x -7 / 4, tj. k 1 = -3 / 4
Nađimo kutni koeficijent k okomice iz uvjeta okomitosti dviju ravnih linija: k 1 *k = -1.
Zamjenom nagiba ove linije umjesto k 1, dobivamo:
-3 / 4 k = -1, odakle je k = 4 / 3
Budući da okomica prolazi kroz točku C(5,7) i ima k = 4 / 3, tražit ćemo njezinu jednadžbu u obliku: y-y 0 = k(x-x 0).
Zamjenom x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 dobivamo:
y-7 = 4/3 (x-5)
ili
y = 4 / 3 x + 1 / 3 ili 3y -4x - 1 = 0
Nađimo točku presjeka s pravcem AB:
Imamo sustav od dvije jednadžbe:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Iz prve jednadžbe izražavamo y i supstituiramo ga u drugu jednadžbu.
Dobivamo:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) Duljina visine trokuta povučena iz vrha C
Udaljenost d od točke M 1 (x 1 ;y 1) do pravca Ax + By + C = 0 jednaka je apsolutnoj vrijednosti veličine:

Pronađite udaljenost između točke C(5;7) i pravca AB (4y + 3x +7 = 0)

Duljina visine može se izračunati pomoću druge formule, kao udaljenost između točke C(5;7) i točke D(-1;-1).
Udaljenost između dvije točke izražava se koordinatama formulom:

5) jednadžba kružnice kojoj je visina CD promjer;
Jednadžba kružnice radijusa R sa središtem u točki E(a;b) ima oblik:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Budući da je CD promjer tražene kružnice, njezino središte E je središte segmenta CD. Koristeći formule za dijeljenje segmenta na pola, dobivamo:

Dakle, E(2;3) i R = CD / 2 = 5. Pomoću formule dobivamo jednadžbu tražene kružnice: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) sustav linearnih nejednadžbi koje definiraju trokut ABC.
Jednadžba pravca AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednadžba pravca AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Jednadžba pravca BC: y = -7x + 42

upute

Dobivate tri boda. Označimo ih kao (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Pretpostavlja se da su te točke vrhovi nekih trokut. Zadatak je izraditi jednadžbe njegovih stranica - točnije, jednadžbe onih pravaca na kojima te stranice leže. Ove bi jednadžbe trebale izgledati ovako:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3 * x + b3. Dakle, morate pronaći kutne vrijednosti k1, k2, k3 i pomake b1, b2, b3.

Pronađite pravac koji prolazi kroz točke (x1, y1), (x2, y2). Ako je x1 = x2, tada je željeni pravac okomit i njegova je jednadžba x = x1. Ako je y1 = y2, tada je pravac vodoravan i njegova je jednadžba y = y1. U opći slučaj te koordinate neće biti jedna drugoj.

Zamjenom koordinata (x1, y1), (x2, y2) u opću jednadžbu pravca dobivate sustav od dva linearne jednadžbe:k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2. Oduzmite jednu jednadžbu od druge i riješite dobivenu jednadžbu za k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, dakle k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Zamjenom onoga što ste pronašli u bilo koju od izvornih jednadžbi, pronađite izraz za b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Budući da već znamo da je x2 ≠ x1, možemo pojednostaviti izraz množenjem y1 sa (x2 - x1)/(x2 - x1). Tada ćete za b1 dobiti sljedeći izraz: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Provjerite nalazi li se treća od zadanih točaka na pronađenom pravcu. Da biste to učinili, zamijenite (x3, y3) u dobivenu jednadžbu i provjerite vrijedi li jednakost. Promatra li se, dakle, sve tri točke leže na istom pravcu, a trokut se degenerira u segment.

Na isti način kao što je gore opisano, izvedite jednadžbe za pravce koji prolaze kroz točke (x2, y2), (x3, y3) i (x1, y1), (x3, y3).

Konačni oblik jednadžbi za stranice trokuta zadan koordinatama vrhova je: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Pronaći jednadžbe stranke trokut, prije svega, moramo pokušati riješiti pitanje kako pronaći jednadžbu pravca na ravnini ako su poznati njegov vektor smjera s(m, n) i neka točka M0(x0, y0) koja pripada pravcu.

upute

Uzmite proizvoljnu (varijabilnu, plutajuću) točku M(x, y) i konstruirajte vektor M0M =(x-x0, y-y0) (napišite i M0M(x-x0, y-y0)), koji će očito biti kolinearan (paralelno) prema k s. Zatim možemo zaključiti da su koordinate ovih vektora proporcionalne, pa možemo stvoriti kanonsku ravnu liniju: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Upravo će taj omjer biti korišten u rješavanju problema.

Sve daljnje radnje određuju se na temelju metode .1.metoda. Trokut je zadan koordinatama svoja tri vrha, što je u školskoj geometriji zadano duljinama njegova tri vrha stranke(vidi sliku 1). Odnosno, uvjet sadrži točke M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Oni odgovaraju svojim radijus vektorima) OM1, 0M2 i OM3 s istim koordinatama kao točke. Za dobivanje jednadžbe stranke s M1M2 zahtijeva svoj vektor smjera M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) i bilo koju od točaka M1 ili M2 (ovdje se uzima točka s nižim indeksom).

Dakle za stranke y M1M2 kanonska jednadžba pravca (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Djelujući čisto induktivno, možemo pisati jednadžbe ostatak stranke.Za stranke s M2M3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Za stranke s M1M3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2. metoda. Trokut je određen dvjema točkama (isto kao prije M1(x1, y1) i M2(x2, y2)), kao i jediničnim vektorima pravaca druga dva stranke. Za stranke s M2M3: p^0(m1, n1). Za M1M3: q^0(m2, n2). Stoga za stranke s M1M2 bit će isti kao u prvoj metodi: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Za stranke s M2M3 kao točka (x0, y0) kanonskog jednadžbe(x1, y1), a vektor smjera je p^0(m1, n1). Za stranke s M1M3, (x2, y2) se uzima kao točka (x0, y0), vektor smjera je q^0(m2, n2). Dakle, za M2M3: jednadžba (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 Za M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Video na temu

Savjet 3: Kako pronaći visinu trokuta ako su zadane koordinate točaka

Visina je segment ravne linije koji povezuje vrh figure sa suprotnom stranom. Taj segment mora biti okomit na stranicu, tako da se iz svakog vrha može povući samo jedan visina. Budući da na ovoj slici postoje tri vrha, postoji i isti broj visina. Ako je trokut zadan koordinatama njegovih vrhova, duljina svake od visina može se izračunati, primjerice, pomoću formule za pronalaženje površine i izračunavanje duljina stranica.

upute

Počnite s izračunavanjem duljina stranica trokut. Odrediti koordinate figure poput ove: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y3,Z3). Zatim možete izračunati duljinu stranice AB pomoću formule AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Za druge dvije strane to će izgledati ovako: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z₃)²) i AC = √((X₁-X3)² + (Y₁ -Y₃ )² + (Z1-Z3)²). Na primjer, za trokut s koordinatama A(3,5,7), B(16,14,19) i C(1,2,13) duljina stranice AB bit će √((3-16)² + (5-14 )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Duljine stranica BC i AC, izračunate na isti način, bit će √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 i √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Za izračun površine dovoljno je znati duljine triju stranica dobivenih u prethodnom koraku trokut(S) prema Heronovoj formuli: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Na primjer, zamjenom u ovu formulu vrijednosti dobivenih iz koordinata trokut-uzorak iz prethodnog koraka, to će dati vrijednost: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12 ) * (19,85+20,12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Na temelju površine trokut, izračunate u prethodnom koraku, i duljine stranica dobivene u drugom koraku, izračunajte visine za svaku od stranica. Budući da je površina jednaka polovici umnoška visine i duljine stranice na koju je povučena, da biste pronašli visinu, dvostruko podijelite površinu s duljinom desnu stranu: H = 2 x S/a. Za gore korišteni primjer, visina spuštena na stranicu AB bit će 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, visina na stranicu BC imat će duljinu od 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, a za stranicu AC ta će vrijednost biti jednaka 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Izvori:

zadanim točkama pronađite površinu trokuta

Savjet 4: Kako pomoću koordinata vrhova trokuta pronaći jednadžbe njegovih stranica

U analitičkoj geometriji trokut na ravnini može se definirati u kartezijevom koordinatnom sustavu. Znajući koordinate vrhova, možete stvoriti jednadžbe za strane trokuta. To će biti jednadžbe tri ravne linije, koje, presijecajući se, tvore lik.

Problem 1. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžbe stranica AB i BC i njihovih kutnih koeficijenata; 3) kut B u radijanima s točnošću od dvije znamenke; 4) jednadžba visine CD i njezine duljine; 5) jednadžbu središnje AE i koordinate točke K sjecišta ove središnje s visinom CD; 6) jednadžba pravca koji prolazi točkom K paralelno sa stranicom AB; 7) koordinate točke M, smještene simetrično na točku A u odnosu na ravnu liniju CD.

Riješenje:

1. Udaljenost d između točaka A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) određena je formulom

Primjenom (1) nalazimo duljinu stranice AB:

2. Jednadžba pravca koji prolazi kroz točke A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) ima oblik

(2)

Zamjenom koordinata točaka A i B u (2) dobivamo jednadžbu stranice AB:

Nakon što smo riješili posljednju jednadžbu za y, nalazimo jednadžbu stranice AB u obliku jednadžbe ravne linije s kutnim koeficijentom:

gdje

Zamjenom koordinata točaka B i C u (2) dobivamo jednadžbu pravca BC:

Ili

3. Poznato je da se tangens kuta između dviju ravnih linija, čiji su kutni koeficijenti jednaki, izračunava po formuli

(3)

Traženi kut B tvore prave linije AB i BC, čiji kutni koeficijenti se nalaze: Primjenom (3) dobivamo

Ili drago.

4. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru ima oblik

(4)

Visina CD okomita je na stranicu AB. Da bismo pronašli nagib visine CD, koristimo uvjet okomitosti pravaca. Od tad Zamjenjujući u (4) koordinate točke C i pronađeni kutni koeficijent visine, dobivamo

Da bismo pronašli duljinu visine CD, najprije odredimo koordinate točke D - sjecišta pravaca AB i CD. Zajedničko rješavanje sustava:

nalazimo tj. D(8;0).

Pomoću formule (1) nalazimo duljinu visine CD:

5. Da bismo pronašli jednadžbu medijane AE, najprije odredimo koordinate točke E, koja je sredina stranice BC, koristeći formule za dijeljenje segmenta na dva jednaka dijela:

(5)

Stoga,

Zamjenom koordinata točaka A i E u (2) nalazimo jednadžbu za medijan:

Da bismo pronašli koordinate točke presjeka visine CD i medijane AE, zajedno rješavamo sustav jednadžbi

Pronašli smo.

6. Budući da je željena pravac paralelna sa stranicom AB, njezin će kutni koeficijent biti jednak nagib ravna AB. Zamjenom u (4) koordinate nađene točke K i kutni koeficijent dobivamo

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Kako je pravac AB okomit na pravac CD, tražena točka M, koja se nalazi simetrično točki A u odnosu na pravac CD, leži na pravcu AB. Osim toga, točka D je središte segmenta AM. Koristeći formule (5), nalazimo koordinate željene točke M:

Trokut ABC, visina CD, središnja AE, pravac KF i točka M konstruirani su u xOy koordinatnom sustavu na sl. 1.

Zadatak 2. Napravite jednadžbu za geometrijsko mjesto točaka čije su udaljenosti do zadane točke A(4; 0) i zadanog pravca x=1 jednake 2.

Riješenje:

U koordinatnom sustavu xOy konstruiramo točku A(4;0) i pravac x = 1. Neka je M(x;y) proizvoljna točka željenog geometrijskog mjesta točaka. Spustimo okomicu MB na zadani pravac x = 1 i odredimo koordinate točke B. Kako točka B leži na zadanom pravcu, njena apscisa je jednaka 1. Ordinata točke B jednaka je ordinati točke M. Dakle, B(1;y) (slika 2).

Prema uvjetima zadatka |MA|: |MV| = 2. Udaljenosti |MA| i |MB| nalazimo iz formule (1) problema 1:

Kvadrirajući lijevu i desnu stranu, dobivamo

Rezultirajuća jednadžba je hiperbola u kojoj je realna poluos a = 2, a imaginarna poluos

Definirajmo žarišta hiperbole. Za hiperbolu je jednakost zadovoljena. Prema tome, i – trikovi hiperbola. Kao što se vidi, postavljena točka A(4;0) je desni fokus hiperbole.

Odredimo ekscentricitet rezultirajuće hiperbole:

Jednadžbe asimptota hiperbole imaju oblik i . Prema tome, ili i su asimptote hiperbole. Prije konstruiranja hiperbole konstruiramo njezine asimptote.

Problem 3. Napravite jednadžbu za geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od točke A(4; 3) i pravca y = 1. Svedite dobivenu jednadžbu na njezin najjednostavniji oblik.

Riješenje: Neka je M(x; y) jedna od točaka željenog geometrijskog mjesta točaka. Spustimo okomicu MB iz točke M na ovu ravnicu y = 1 (slika 3). Odredimo koordinate točke B. Očito je da je apscisa točke B jednaka apscisi točke M, a ordinata točke B jednaka je 1, tj. B(x; 1). Prema uvjetima zadatka |MA|=|MV|. Prema tome, za bilo koju točku M(x;y) koja pripada željenom geometrijskom mjestu točaka vrijedi sljedeća jednakost:

Rezultirajuća jednadžba definira parabolu s vrhom u točki. Da dovedemo jednadžbu parabole u njen najjednostavniji oblik, postavimo i y + 2 = Y, tada jednadžba parabole ima oblik:

Kako naučiti rješavati probleme iz analitičke geometrije?
Tipičan zadatak s trokutom na ravnini

Ova lekcija je stvorena na pristupu ekvatoru između geometrije ravnine i geometrije prostora. U ovaj trenutak Potrebno je sistematizirati prikupljene informacije i odgovoriti na vrlo važno pitanje: kako naučiti rješavati probleme iz analitičke geometrije? Poteškoća je u tome što možete smisliti beskonačan broj zadataka iz geometrije, a nijedan udžbenik neće sadržavati sve mnoštvo i raznolikost primjera. Nije izvod funkcije s pet pravila razlikovanja, tablicom i nekoliko tehnika….

Postoji rješenje! Neću glasno govoriti o činjenici da sam razvio neku vrstu grandiozne tehnike, međutim, po mom mišljenju, postoji učinkovit pristup problemu koji se razmatra, koji čak i potpunoj lutki omogućuje postizanje dobrih i izvrsnih rezultata. Barem se opći algoritam za rješavanje geometrijskih problema vrlo jasno oblikovao u mojoj glavi.

ŠTO TREBATE ZNATI I MOĆI UČINITI
za uspješno rješavanje geometrijskih problema?

Od toga se ne može pobjeći - da ne biste nasumično nosom bockali gumbe, morate svladati osnove analitičke geometrije. Stoga, ako ste tek počeli učiti geometriju ili ste je potpuno zaboravili, počnite s lekcijom Vektori za lutke. Osim vektora i radnji s njima, potrebno je poznavati osnovne pojmove ravninske geometrije, posebice, jednadžba pravca u ravnini i . Geometrija prostora prikazana je u člancima Jednadžba ravnine, Jednadžbe pravca u prostoru, Osnovni zadaci o pravcu i ravnini i neke druge lekcije. Zakrivljene linije i prostorne plohe drugog reda stoje pomalo odvojeno i s njima nema toliko specifičnih problema.

Pretpostavimo da student već ima osnovna znanja i vještine rješavanja najjednostavnijih problema analitičke geometrije. Ali to se događa ovako: pročitate izjavu problema i... poželite zatvoriti cijelu stvar, baciti je u dalji kut i zaboraviti kako noćna mora. Štoviše, to u osnovi ne ovisi o razini vaših kvalifikacija; s vremena na vrijeme i sam nailazim na zadatke za koje rješenje nije očito. Što učiniti u takvim slučajevima? Ne morate se bojati zadatka koji ne razumijete!

Prvo, treba instalirati - Je li to "ravni" ili prostorni problem? Na primjer, ako uvjet uključuje vektore s dvije koordinate, onda je to, naravno, geometrija ravnine. A ako je učitelj natovario zahvalnog slušatelja piramidom, onda je tu jasno geometrija prostora. Rezultati prvog koraka su već prilično dobri, jer smo uspjeli odrezati ogromnu količinu informacija nepotrebnih za ovaj zadatak!

Drugi. Stanje će vas obično zabrinjavati s nekim geometrijskim likom. Zaista, prošećite hodnicima svog rodnog sveučilišta, vidjet ćete puno zabrinutih lica.

U "ravnim" problemima, da ne spominjemo očite točke i linije, najpopularniji lik je trokut. Analizirat ćemo ga vrlo detaljno. Slijedi paralelogram, a puno rjeđi su pravokutnik, kvadrat, romb, krug i drugi oblici.

U prostornim zadacima isti mogu letjeti plošne figure+ same ravnine i zajedničke trokutaste piramide s paralelopipedima.

Drugo pitanje - Znate li sve o ovoj figuri? Pretpostavimo da uvjet govori o jednakokračnom trokutu, a vi se vrlo nejasno sjećate o kakvom se trokutu radi. Otvaramo školsku lektiru i čitamo o jednakokračan trokut. Što da radim... doktor je rekao romb, znači romb. Analitička geometrija je analitička geometrija, ali problem će riješiti sama geometrijska svojstva figura, poznat nam iz školski plan i program. Ako ne znate koliki je zbroj kutova trokuta, možete dugo patiti.

Treći. UVIJEK pokušajte slijediti crtež(na nacrtu/završnoj kopiji/mentalno), čak i ako to uvjetom nije potrebno. U "ravnim" problemima, sam Euklid naredio je da uzme ravnalo i olovku - i to ne samo da bi razumio stanje, već i u svrhu samotestiranja. U ovom slučaju, najprikladnija ljestvica je 1 jedinica = 1 cm (2 ćelije bilježnice). O nemarnim studentima i matematičarima koji se vrte u grobovima da i ne govorimo – u takvim zadacima gotovo je nemoguće pogriješiti. Za prostorne zadatke izvodimo shematski crtež, koji će također pomoći u analizi stanja.

Crtež ili shematski crtež često vam omogućuje da odmah vidite način rješavanja problema. Naravno, za ovo morate znati osnovnu geometriju i hakirati svojstva geometrijski oblici(vidi prethodni odlomak).

Četvrta. Razvoj algoritma rješenja. Mnogi geometrijski problemi su u više koraka, tako da je rješenje i njegov dizajn vrlo zgodno rastaviti na točke. Često vam algoritam odmah padne na pamet nakon što pročitate uvjet ili dovršite crtež. U slučaju poteškoća krećemo s PITANJEM zadatka. Na primjer, prema uvjetu “trebate konstruirati ravnu liniju...”. Ovdje je najlogičnije pitanje: "Što je dovoljno znati da se konstruira ova pravac?" Pretpostavimo, "znamo točku, moramo znati vektor smjera." Pitajmo sljedeće pitanje: “Kako pronaći ovaj vektor smjera? Gdje?" itd.

Ponekad postoji "greška" - problem nije riješen i to je to. Razlozi za zaustavljanje mogu biti sljedeći:

– Ozbiljan nedostatak u osnovnom znanju. Drugim riječima, ne znate i/ili ne vidite neke vrlo jednostavne stvari.

– Nepoznavanje svojstava geometrijskih figura.

- Zadatak je bio težak. Da, događa se. Nema smisla pariti se satima i skupljati suze u maramicu. Potražite savjet od svog nastavnika, kolega učenika ili postavite pitanje na forumu. Štoviše, bolje je da se konkretizira - o onom dijelu rješenja koji ne razumijete. Vapaj u obliku "Kako riješiti problem?" ne izgleda baš dobro... i, iznad svega, za vaš vlastiti ugled.

Peta faza. Odlučujemo-provjeravamo, odlučujemo-provjeravamo, odlučujemo-provjeravamo-dajmo odgovor. Korisno je provjeriti svaku točku zadatka odmah nakon što je dovršen. To će vam pomoći da odmah uočite pogrešku. Naravno, nitko ne zabranjuje brzo rješavanje cijelog problema, ali postoji rizik od ponovnog pisanja svega (često nekoliko stranica).

Ovo su, možda, sva glavna razmatranja kojih se treba pridržavati pri rješavanju problema.

Praktični dio nastave prikazan je u ravninskoj geometriji. Bit će samo dva primjera, ali neće se činiti dovoljno =)

Prođimo kroz nit algoritma koju sam upravo obradio u svom malom znanstveni rad:

Primjer 1

Zadana su tri vrha paralelograma. Pronađite vrh.

Počnimo razumjeti:

Prvi korak: Očito je da govorimo o “ravnom” problemu.

Drugi korak: Zadatak se bavi paralelogramom. Sjećaju li se svi ove figure paralelograma? Nema potrebe za osmijehom, mnogi se obrazuju s 30-40-50 ili više godina, pa se i jednostavne činjenice mogu izbrisati iz sjećanja. Definicija paralelograma nalazi se u primjeru br. 3 lekcije Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora.

Treći korak: Napravimo crtež na kojem označavamo tri poznata vrha. Smiješno je da nije teško odmah konstruirati željenu točku:

Konstruirati ga je, naravno, dobro, ali rješenje mora biti formulirano analitički.

Četvrti korak: Razvoj algoritma rješenja. Prvo što pada na pamet je da se točka može pronaći kao sjecište pravaca. Ne znamo njihove jednadžbe, pa ćemo se morati pozabaviti ovim problemom:

1) Suprotne strane paralelno. Po bodovima Nađimo vektor smjera ovih stranica. Ovaj najjednostavniji zadatak o čemu se razgovaralo na satu Vektori za lutke.

Bilješka: ispravnije je reći "jednadžba pravca koji sadrži stranicu", ali ovdje i dalje radi kratkoće koristit ću izraze "jednadžba stranice", "vektor smjera stranice" itd.

3) Nasuprotne stranice su paralelne. Pomoću točaka nalazimo vektor smjera tih stranica.

4) Kreirajmo jednadžbu ravne crte pomoću točke i vektora smjera

U odlomcima 1-2 i 3-4 zapravo smo dva puta riješili isti problem; usput, o tome se raspravljalo u primjeru br. 3 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Moglo se ići dužim putem - prvo pronaći jednadžbe linija i tek onda iz njih "izvući" vektore smjera.

5) Sada su jednadžbe linija poznate. Ostaje samo sastaviti i riješiti odgovarajući sustav linearnih jednadžbi (vidi primjere br. 4, 5 iste lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini).

Poenta je pronađena.

Zadatak je vrlo jednostavan i njegovo rješenje je očito, ali postoji kraći put!

Drugo rješenje:

Dijagonale paralelograma dijele se na dva dijela svojom sjecišnom točkom. Označio sam točku, ali da ne bih zatrpao crtež, nisam crtao same dijagonale.

Sastavimo jednadžbu stranice točku po točku :

Da biste provjerili, trebali biste mentalno ili na nacrtu zamijeniti koordinate svake točke u dobivenu jednadžbu. Sada pronađimo nagib. Da bismo to učinili, prepisujemo opću jednadžbu u obliku jednadžbe s koeficijentom nagiba:

Dakle, nagib je:

Slično, nalazimo jednadžbe stranica. Ne vidim puno smisla u opisivanju iste stvari, pa ću odmah dati gotov rezultat:

2) Odredi duljinu stranice. Ovo je najjednostavniji problem koji se obrađuje u razredu. Vektori za lutke. Za bodove koristimo formulu:

Pomoću iste formule lako je pronaći duljine ostalih stranica. Provjera se može obaviti vrlo brzo običnim ravnalom.

Koristimo formulu .

Nađimo vektore:

Tako:

Usput smo usput pronašli duljine stranica.

Kao rezultat:

Pa, čini se da je istina; da biste bili uvjerljivi, možete pričvrstiti kutomjer na kut.

Pažnja! Nemojte brkati kut trokuta s kutom između ravnih linija. Kut trokuta može biti tup, ali kut između ravnih linija ne može (vidi zadnji odlomak članka Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini). Međutim, da biste pronašli kut trokuta, također možete koristiti formule iz gornje lekcije, ali hrapavost je u tome što te formule uvijek daju šiljasti kut. Uz njihovu pomoć riješio sam ovaj problem u nacrtu i dobio rezultat. A na konačnom primjerku morao bih napisati dodatne isprike, to .

4) Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem.

Standardni zadatak, detaljno razmotren u primjeru br. 2 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Iz opća jednadžba ravno Izvadimo vektor vodič. Napravimo jednadžbu ravne linije pomoću točke i vektora smjera:

Kako pronaći visinu trokuta?

5) Napravimo jednadžbu za visinu i pronađimo njezinu duljinu.

Nema bijega od strogih definicija, pa ćete morati ukrasti iz školskog udžbenika:

Visina trokuta naziva se okomica povučena iz vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranicu.

Odnosno, potrebno je izraditi jednadžbu za okomicu povučenu iz vrha na stranu. Ovaj zadatak razmotreno u primjerima br. 6, 7 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Iz jednadžbe ukloniti normalni vektor. Sastavimo jednadžbu visine koristeći točku i vektor smjera:

Imajte na umu da ne znamo koordinate točke.

Ponekad se jednadžba visine nalazi iz omjera kutnih koeficijenata okomitih pravaca: . U ovom slučaju tada: . Sastavimo jednadžbu visine pomoću točke i kutnog koeficijenta (vidi početak lekcije Jednadžba pravca na ravnini):

Duljina visine može se pronaći na dva načina.

Postoji zaobilazni put:

a) nađi – točku presjeka visine i stranice;
b) pomoću dviju poznatih točaka odredite duljinu dužine.

Ali u razredu Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini razmatrana je zgodna formula za udaljenost od točke do pravca. Točka je poznata: , poznata je i jednadžba pravca: , Tako:

6) Izračunajte površinu trokuta. U svemiru se površina trokuta tradicionalno izračunava pomoću vektorski produkt vektora, ali ovdje nam je dan trokut na ravnini. Koristimo školsku formulu:
– Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove osnovice i visine.

U ovom slučaju:

Kako pronaći medijan trokuta?

7) Napravimo jednadžbu za medijan.

Medijan trokuta zove se segment koji povezuje vrh trokuta sa sredinom suprotne stranice.

a) Pronađite točku – sredinu stranice. Koristimo formule za koordinate središta segmenta. Poznate su koordinate krajeva segmenta: , zatim koordinate sredine: