Drugi Pitagorin teorem. Pitagorin teorem: povijest, dokaz, primjeri praktične primjene

Pitagorin poučak- jedan od temeljnih teorema euklidske geometrije, koji uspostavlja relaciju

između stranica pravokutnog trokuta.

Vjeruje se da ju je dokazao grčki matematičar Pitagora, po kojem je i dobila ime.

Geometrijska formulacija Pitagorinog poučka.

Teorem je izvorno formuliran na sljedeći način:

U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata,

izgrađen na nogama.

Algebarska formulacija Pitagorinog teorema.

U pravokutnom trokutu, kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrati duljina kateta.

Odnosno, označavanje duljine hipotenuze trokuta s c, a duljine krakova kroz a I b:

Obje formulacije Pitagorin poučak su ekvivalentni, ali druga formulacija je elementarnija, nije

zahtijeva koncept područja. Odnosno, druga se izjava može provjeriti bez da se zna nešto o području i

mjerenjem samo duljina stranica pravokutnog trokuta.

Obrnuti Pitagorin teorem.

Ako je kvadrat jedne stranice trokuta jednak zbroju kvadrata druge dvije stranice, tada

pravokutni trokut.

Ili, drugim riječima:

Za svaku trojku pozitivnih brojeva a, b I c, tako da

postoji pravokutni trokut s katetama a I b i hipotenuza c.

Pitagorin poučak za jednakokračni trokut.

Pitagorin poučak za jednakostranični trokut.

Dokazi Pitagorinog teorema.

Na ovaj trenutak U znanstvenoj literaturi zabilježeno je 367 dokaza ovog teorema. Vjerojatno teorem

Pitagorin je teorem jedini s tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost

može se objasniti samo temeljnim značenjem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih:

dokaz metoda područja, aksiomatski I egzotične dokaze(Na primjer,

pomoću diferencijalne jednadžbe).

1. Dokaz Pitagorinog teorema pomoću sličnih trokuta.

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od konstruiranih dokaza

izravno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravokutni trokut s pravim kutom C. Nacrtajmo visinu iz C i označavaju

svoje utemeljenje kroz H.

Trokut ACH sličan trokutu AB C na dva ugla. Isto tako, trokut CBH sličan ABC.

Uvođenjem oznake:

dobivamo:

,

što odgovara -

Preklopljeno a 2 i b 2, dobivamo:

ili , što je trebalo dokazati.

2. Dokaz Pitagorinog teorema metodom površina.

Dolje navedeni dokazi, unatoč njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni

koristiti svojstva površine, čiji su dokazi složeniji od dokaza samog Pitagorinog teorema.

• Dokaz kroz ekvikomplementarnost.

Posložimo četiri jednaka pravokutna

trokut kao što je prikazano na slici

desno.

Četverokut sa stranicama c- kvadrat,

budući da je zbroj dva šiljasta kuta 90°, i

rasklopljeni kut - 180°.

Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane,

površina kvadrata sa stranicom ( a+b), a s druge strane, zbroj površina četiriju trokuta i

Q.E.D.

3. Dokaz Pitagorinog teorema infinitezimalnom metodom.

​

Gledajući crtež prikazan na slici i

promatrajući promjenu stranea, možemo

napišite sljedeću relaciju za beskonačno

mali bočni prirastS I a(koristeći sličnost

trokuta):

Koristeći metodu odvajanja varijabli, nalazimo:

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja s obje strane:

Integriranje dana jednadžba i korištenjem početnih uvjeta dobivamo:

Tako dolazimo do željenog odgovora:

Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli pojavljuje se zbog linearne

razmjernost između stranica trokuta i prirasta, dok je zbroj povezan s nezavisnim

doprinosi od prirasta različitih nogu.

Jednostavniji dokaz možemo dobiti ako pretpostavimo da jedna od nogu ne doživi povećanje

(u ovom slučaju nogu b). Tada za konstantu integracije dobivamo:

Pitagorin poučak

Čudna je sudbina drugih teorema i problema... Kako objasniti, primjerice, tako izuzetnu pozornost matematičara i ljubitelja matematike prema Pitagorinom teoremu? Zašto se mnogi od njih nisu zadovoljili već poznatim dokazima, nego su pronašli svoje, dovodeći broj dokaza na nekoliko stotina tijekom dvadeset i pet relativno predvidljivih stoljeća?
Kada govorimo o o Pitagorinom teoremu, neobično počinje s njegovim imenom. Vjeruje se da ga nije prvi formulirao Pitagora. Također se smatra sumnjivim da je dao dokaz za to. Ako je Pitagora stvarna osoba (neki čak sumnjaju u to!), onda je najvjerojatnije živio u 6.-5.st. PRIJE KRISTA e. On sam nije ništa napisao, nazivao se filozofom, što je u njegovom razumijevanju značilo "težnja za mudrošću", i osnovao je Pitagorejsku uniju, čiji su članovi proučavali glazbu, gimnastiku, matematiku, fiziku i astronomiju. Navodno je bio i izvrstan govornik, o čemu svjedoči sljedeća legenda koja se odnosi na njegov boravak u gradu Crotonu: “Prvo pojavljivanje Pitagore pred narodom u Crotonu započelo je govorom mladićima, u kojem je tako strog, ali u isto vrijeme tako fascinantan ocrtavao je dužnosti mladića, a starješine u gradu zamolili su da ih ne ostavljaju bez pouke. U ovom drugom govoru ukazao je na zakonitost i čistoću morala kao temelja obitelji; u sljedeća dva obraćao se djeci i ženama. Posljedica posljednji govor, u kojoj je posebno osuđivao raskoš, bila je ta da su tisuće dragocjenih haljina dopremljene u Herin hram, jer se više ni jedna žena nije usudila u njima pojaviti na ulici...” Ipak, čak i u drugom stoljeću naše ere, tj. 700 godina kasnije, živjeli su i radili mirno pravi ljudi, izvanredni znanstvenici koji su bili pod jasnim utjecajem Pitagorejskog saveza i koji su jako poštovali ono što je, prema legendi, Pitagora stvorio.
Također je nedvojbeno da je interes za teorem izazvan kako činjenicom da zauzima jedno od središnjih mjesta u matematici, tako i zadovoljstvom autora dokaza, koji su prevladali poteškoće koje je rimski pjesnik Kvint Horacije Flak, koji je živio prije naše ere, dobro je rekao: “Teško je izraziti dobro poznate činjenice.” .
U početku je teorem uspostavio odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i kateta pravokutnog trokuta:
.
Algebarska formulacija:
U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.
Odnosno, označavajući duljinu hipotenuze trokuta s c, a duljine kateta s a i b: a 2 + b 2 =c 2. Obje formulacije teorema su ekvivalentne, ali je druga formulacija elementarnija; ne zahtijeva pojam površine. To jest, drugu tvrdnju moguće je provjeriti bez znanja o površini i mjerenjem samo duljina stranica pravokutnog trokuta.
Obrnuti Pitagorin teorem. Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c tako da
a 2 + b 2 = c 2, postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuzom c.

Dokaz

Trenutno je u znanstvenoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ovog teorema. Vjerojatno je Pitagorin teorem jedini teorem s tako impresivnim brojem dokaza. Takva se raznolikost može objasniti samo temeljnim značenjem teoreme za geometriju.
Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, pomoću diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trokute

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od dokaza, konstruiran izravno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.
Neka je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C. Povucite visinu iz C i označite njegovu osnovicu s H. Trokut ACH sličan je trokutu ABC u dva kuta.
Slično, trokut CBH sličan je ABC. Uvođenjem notacije

dobivamo

Što je ekvivalentno

Zbrajanjem dobivamo

ili

Dokazi metodom površine

Dolje navedeni dokazi, unatoč njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza samog Pitagorinog teorema.

Dokaz ekvikomplementacijom

1. Složite četiri jednaka pravokutni trokut kako je prikazano na slici.
2. Četverokut sa stranicama c je kvadrat jer je zbroj dvaju šiljastih kutova 90°, a ravnog kuta 180°.
3. Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranom (a + b), a s druge strane, zbroju površina četiriju trokuta i unutarnji trg.



Q.E.D.

Dokazi putem ekvivalencije

Primjer jednog takvog dokaza prikazan je na crtežu desno, gdje je kvadrat izgrađen na hipotenuzi preuređen u dva kvadrata izgrađena na stranicama.

Euklidov dokaz

Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovica površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovica površina kvadrata izgrađenih na katetama, a zatim površine veliki i dva mala kvadrata su jednaki. Pogledajmo crtež lijevo. Na njemu smo gradili kvadrate na stranicama pravokutnog trokuta i crtali iz vrha pravi kut Sa zrakom s okomitom na hipotenuzu AB, ona siječe kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravokutnika - BHJI i HAKJ. Ispada da su površine tih pravokutnika točno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim krakovima. Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK. Da bismo to učinili, poslužit ćemo se pomoćnim opažanjem: Površina trokuta iste visine i baze kao zadani pravokutnik jednak je polovici površine zadanog pravokutnika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao polovice umnoška baze i visine. Iz ovog zapažanja slijedi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazan na slici), koji je pak jednak polovici površine pravokutnika AHJK. Dokažimo sada da je površina trokuta ACK također jednaka polovici površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (jer je površina trokuta BDA jednaka polovici površine kvadrata prema gornjem svojstvu). Jednakost je očita, trokuti su jednaki po objema stranicama i kutu između njih. Naime - AB=AK,AD=AC - jednakost kutova CAK i BAD lako je dokazati metodom gibanja: zakrenemo trokut CAK za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očito da su odgovarajuće stranice dvaju trokuta u pitanje će se podudarati (zbog činjenice da je kut pri vrhu kvadrata 90°). Obrazloženje jednakosti površina kvadrata BCFG i pravokutnika BHJI potpuno je slično. Time smo dokazali da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi sastavljena od površina kvadrata izgrađenih na katetama.

Dokaz Leonarda da Vincija

Glavni elementi dokaza su simetrija i gibanje.

Promotrimo crtež, kao što se vidi iz simetrije, segment CI siječe kvadrat ABHJ na dva identična dijela (jer su trokuti ABC i JHI konstrukcijski jednaki). Koristeći rotaciju od 90 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, vidimo jednakost osjenčanih figura CAJI i GDAB. Sada je jasno da je površina figure koju smo osjenčali jednaka zbroju polovice površina kvadrata izgrađenih na nogama i površine izvornog trokuta. S druge strane, jednaka je polovici površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, plus površina izvornog trokuta. Posljednji korak u dokazu prepuštamo čitatelju.

Pitagorin poučak: Zbroj površina kvadrata koji se oslanjaju na noge ( a I b), jednako površini kvadrata izgrađenog na hipotenuzi ( c).

Geometrijska formulacija:

Teorem je izvorno formuliran na sljedeći način:

Algebarska formulacija:

Odnosno, označavanje duljine hipotenuze trokuta s c, a duljine krakova kroz a I b :

a 2 + b 2 = c 2

Obje formulacije teorema su ekvivalentne, ali je druga formulacija elementarnija; ne zahtijeva pojam površine. To jest, drugu tvrdnju moguće je provjeriti bez znanja o površini i mjerenjem samo duljina stranica pravokutnog trokuta.

Obratna Pitagorina teorema:

Dokaz

Trenutno je u znanstvenoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ovog teorema. Vjerojatno je Pitagorin teorem jedini teorem s tako impresivnim brojem dokaza. Takva se raznolikost može objasniti samo temeljnim značenjem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, pomoću diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trokute

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od dokaza, konstruiran izravno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravokutni trokut s pravim kutom C. Nacrtajmo visinu iz C a njegovu bazu označimo sa H. Trokut ACH sličan trokutu ABC na dva ugla. Isto tako, trokut CBH sličan ABC. Uvođenjem notacije

dobivamo

Što je ekvivalentno

Zbrajanjem dobivamo

Dokazi metodom površine

Dolje navedeni dokazi, unatoč njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza samog Pitagorinog teorema.

Dokaz ekvikomplementacijom

1. Posložimo četiri jednaka pravokutna trokuta kao što je prikazano na slici 1.
2. Četverokut sa stranicama c je kvadrat jer je zbroj dva oštra kuta 90°, a ravnog kuta 180°.
3. Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), a s druge strane zbroju površina četiri trokuta i dva unutarnja kvadrati.

Q.E.D.

Dokazi putem ekvivalencije

Elegantan dokaz korištenjem permutacije

Primjer jednog takvog dokaza prikazan je na crtežu desno, gdje je kvadrat izgrađen na hipotenuzi preuređen u dva kvadrata izgrađena na stranicama.

Euklidov dokaz

Crtež za Euklidov dokaz

Ilustracija za Euklidov dokaz

Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovica površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovica površina kvadrata izgrađenih na katetama, a zatim površine veliki i dva mala kvadrata su jednaki.

Pogledajmo crtež lijevo. Na njemu smo konstruirali kvadrate na stranicama pravokutnog trokuta i povukli zraku s iz vrha pravog kuta C okomito na hipotenuzu AB, ona siječe kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravokutnika - BHJI i HAKJ, odnosno. Ispada da su površine tih pravokutnika točno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim krakovima.

Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK. Da bismo to učinili, poslužit ćemo se pomoćnim opažanjem: Površina trokuta iste visine i baze kao zadani pravokutnik jednak je polovici površine zadanog pravokutnika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao polovice umnoška baze i visine. Iz ovog zapažanja slijedi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazan na slici), koji je pak jednak polovici površine pravokutnika AHJK.

Dokažimo sada da je površina trokuta ACK također jednaka polovici površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (jer je površina trokuta BDA jednaka polovici površine kvadrata prema gornjem svojstvu). Jednakost je očita, trokuti su jednaki po objema stranicama i kutu između njih. Naime - AB=AK,AD=AC - jednakost kutova CAK i BAD lako je dokazati metodom gibanja: zakrenemo trokut CAK za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očito da su odgovarajuće stranice dvaju trokuta u pitanje će se podudarati (zbog činjenice da je kut pri vrhu kvadrata 90°).

Obrazloženje jednakosti površina kvadrata BCFG i pravokutnika BHJI potpuno je slično.

Time smo dokazali da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi sastavljena od površina kvadrata izgrađenih na katetama. Ideja iza ovog dokaza dodatno je ilustrirana gornjom animacijom.

Dokaz Leonarda da Vincija

Dokaz Leonarda da Vincija

Glavni elementi dokaza su simetrija i gibanje.

Razmotrimo crtež, kao što se može vidjeti iz simetrije, segment Cja reže kvadrat ABHJ na dva identična dijela (od trokuta ABC I JHja jednaki u konstrukciji). Koristeći rotaciju od 90 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, vidimo jednakost osjenčanih figura CAJja I GDAB . Sada je jasno da je površina figure koju smo osjenčali jednaka zbroju polovice površina kvadrata izgrađenih na nogama i površine izvornog trokuta. S druge strane, jednaka je polovici površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, plus površina izvornog trokuta. Posljednji korak u dokazu prepuštamo čitatelju.

Dokaz infinitezimalnom metodom

Sljedeći dokaz pomoću diferencijalnih jednadžbi često se pripisuje poznatom engleskom matematičaru Hardyju, koji je živio u prvoj polovici 20. stoljeća.

Gledajući crtež prikazan na slici i promatrajući promjenu strane a, možemo napisati sljedeću relaciju za infinitezimalne inkremente strane S I a(koristeći sličnost trokuta):

Dokaz infinitezimalnom metodom

Metodom razdvajanja varijabli nalazimo

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja s obje strane

Integrirajući ovu jednadžbu i koristeći početne uvjete, dobivamo

c 2 = a 2 + b 2 + konstanta.

Tako dolazimo do željenog odgovora

c 2 = a 2 + b 2 .

Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli pojavljuje se zbog linearne proporcionalnosti između stranica trokuta i prirasta, dok je zbroj povezan s neovisnim doprinosima od prirasta različitih krakova.

Jednostavniji dokaz možemo dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast (u ovom slučaju krak b). Tada za konstantu integracije dobivamo

Varijacije i generalizacije

• Ako umjesto kvadrata konstruiramo druge slične figure na stranama, tada je sljedeća generalizacija Pitagorinog teorema istinita: U pravokutnom trokutu zbroj površina sličnih figura izgrađenih na stranama jednak je površini figure izgrađene na hipotenuzi. Posebno:
  • Zbroj površina pravilnih trokuta izgrađenih na katetama jednak je površini pravilnog trokuta izgrađenog na hipotenuzi.
  • Zbroj površina polukruga izgrađenih na katetama (kao na promjeru) jednak je površini polukruga izgrađenog na hipotenuzi. Ovaj primjer se koristi za dokazivanje svojstava figura omeđenih lukovima dviju kružnica koje se nazivaju Hipokratove lunule.

Priča

Chu-pei 500–200 pr. S lijeve strane je natpis: zbroj kvadrata duljina visine i osnovice je kvadrat duljine hipotenuze.

Drevna kineska knjiga Chu-pei govori o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5: Ista knjiga nudi crtež koji se podudara s jednim od crteža hinduističke geometrije Bashare.

Cantor (najveći njemački povjesničar matematike) smatra da je jednakost 3² + 4² = 5² bila poznata već Egipćanima oko 2300. pr. e., za vrijeme kralja Amenemhata I. (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonapti, ili "tezači užeta", gradili su prave kutove koristeći pravokutne trokute sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmimo uže duljine 12 m i na njega privežimo traku u boji na udaljenosti od 3 m. s jednog kraja i 4 metra s drugog. Pravi kut će biti zatvoren između stranica dugih 3 i 4 metra. Harpedonaptovcima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se upotrijebi, na primjer, drveni ugaonik, kojim se služe svi stolari. Doista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolarsku radionicu.

Nešto više se zna o Pitagorinom teoremu kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira još iz vremena Hamurabija, odnosno 2000. pr. e. dan je približan izračun hipotenuze pravokutnog trokuta. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi izračune s pravokutnim trokutima, barem u nekim slučajevima. Na temelju, s jedne strane, današnjoj razini poznavanje egipatske i babilonske matematike, a s druge strane, na kritičkoj studiji grčkih izvora, Van der Waerden (nizozemski matematičar) je došao do sljedećeg zaključka:

Književnost

Na ruskom

• Skopets Z. A. Geometrijske minijature. M., 1990
• Elensky Shch. Pitagorinim stopama. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Buđenje znanosti. Matematika Drevni Egipt, Babilon i Grčka. M., 1959
• Glazer G.I. Povijest matematike u školi. M., 1982
• W. Litzman, “Pitagorin teorem” M., 1960.
  • Stranica o Pitagorinom teoremu s velikim brojem dokaza, materijal preuzet iz knjige V. Litzmanna, veliki broj crteži su prikazani u obliku zasebnih grafičkih datoteka.
• Pitagorin teorem i Pitagorine trojke poglavlje iz knjige D. V. Anosova “Pogled na matematiku i nešto iz nje”
• O Pitagorinom teoremu i metodama njegova dokazivanja G. Glaser, akademik Ruske akademije obrazovanja, Moskva

Na engleskom

• Pitagorin teorem na WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, odjeljak o Pitagorinom teoremu, oko 70 dokaza i opsežne dodatne informacije (engleski)

Zaklada Wikimedia. 2010.

Animirani dokaz Pitagorinog teorema - jedan od temeljni teoremi euklidske geometrije koji utvrđuju odnos između stranica pravokutnog trokuta. Vjeruje se da ju je dokazao grčki matematičar Pitagora, po kojem je i dobila ime (postoje i druge verzije, posebice alternativno mišljenje da je ovaj teorem u opći pogled formulirao je pitagorejski matematičar Hipas).
Teorem kaže:

U pravokutnom trokutu površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama.

Određivanje duljine hipotenuze trokuta c, a duljine krakova su kao a I b, dobivamo sljedeću formulu:

Dakle, Pitagorin teorem uspostavlja odnos koji vam omogućuje određivanje stranice pravokutnog trokuta, znajući duljine druga dva. Pitagorin poučak je poseban slučaj kosinusnog poučka, koji određuje odnos između stranica proizvoljnog trokuta.
Dokazana je i obrnuta tvrdnja (također nazvana obrnuto od Pitagorinog teorema):

Za bilo koja tri pozitivna broja a, b i c takva da je a ? + b ? = c ?, postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuzom c.

Vizualni dokaz za trokut (3, 4, 5) iz knjige "Chu Pei" 500-200 pr. Povijest teorema može se podijeliti u četiri dijela: znanje o Pitagorini brojevi, znanje o omjeru stranica u pravokutnom trokutu, znanje o omjeru susjednih kutova i dokaz teorema.
Megalitske strukture oko 2500 pr. u Egiptu i sjeverna Europa, sadrže pravokutne trokute sa stranicama od cijelih brojeva. Bartel Leendert van der Waerden pretpostavio je da su u to vrijeme pitagorejski brojevi pronađeni algebarski.
Napisano između 2000. i 1876. pr. papirus iz srednjeg egipatskog kraljevstva Berlin 6619 sadrži problem čije su rješenje Pitagorini brojevi.
Za vrijeme vladavine Hamurabija Velikog, Babilonska ploča Plimpton 322, napisano između 1790. i 1750. pr. Kr. sadrži mnogo unosa usko povezanih s Pitagorinim brojevima.
U Budhayana sutrama, koje su različito datirane u osmo ili drugo stoljeće pr. u Indiji, sadrži Pitagorine brojeve izvedene algebarski, izjavu o Pitagorinom teoremu i geometrijski dokaz za jednakostranični pravokutni trokut.
Apastamba Sutre (oko 600. pr. Kr.) sadrže numerički dokaz Pitagorinog teorema pomoću izračuna površine. Van der Waerden vjeruje da se temeljio na tradicijama svojih prethodnika. Prema Albertu Burcu, ovo je izvorni dokaz teorema i on sugerira da je Pitagora posjetio Arakon i kopirao ga.
Pitagora, čije se godine života obično označavaju kao 569. - 475. pr. koristi algebarske metode za izračunavanje Pitagorinih brojeva, prema Proklovljevim komentarima Euklida. Proklo je, međutim, živio između 410. i 485. godine. Prema Thomasu Guiseu, nema naznaka o autorstvu teorema sve do pet stoljeća nakon Pitagore. Međutim, kada autori poput Plutarha ili Cicerona pripisuju teorem Pitagori, čine to kao da je autorstvo općepoznato i sigurno.
Oko 400. pr Prema Proklu, Platon je dao metodu za izračunavanje Pitagorinih brojeva koja je kombinirala algebru i geometriju. Oko 300. pr. Kr., u Počeci Euklida imamo najstariji aksiomatski dokaz koji je preživio do danas.
Napisano negdje između 500. pr. i 200. pr. Kr., kineska matematička knjiga "Chu Pei" (? ? ? ?), daje vizualni dokaz Pitagorinog teorema, koji se u Kini naziva Guguov teorem (????) za trokut sa stranicama (3, 4 , 5). Za vrijeme dinastije Han, od 202. pr. do 220. godine Pitagorini brojevi pojavljuju se u knjizi "Devet grana matematičke umjetnosti" zajedno sa spominjanjem pravokutnih trokuta.
Prva zabilježena upotreba teorema bila je u Kini, gdje je poznata kao Gugu (????) teorem, iu Indiji, gdje je poznata kao Bhaskarov teorem.
Naveliko se raspravlja o tome je li Pitagorin teorem otkriven jednom ili više puta. Boyer (1991) vjeruje da bi znanje koje se nalazi u Shulba Sutri moglo biti mezopotamskog podrijetla.
Algebarski dokaz
Kvadrati su formirani od četiri pravokutna trokuta. Poznato je više od stotinu dokaza Pitagorinog teorema. Evo dokaza temeljenog na teoremu postojanja površine figure:

Postavimo četiri identična pravokutna trokuta kao što je prikazano na slici.
Četverokut sa stranicama c je kvadrat, budući da je zbroj dva oštra kuta , a ravni kut je .
Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom "a + b", a s druge strane zbroju površina četiriju trokuta i unutarnjeg kvadrata. .

Što treba i dokazati.
Po sličnosti trokuta
Korištenje sličnih trokuta. Neka ABC- pravokutni trokut u kojem je kut C ravno kao što je prikazano na slici. Povucimo visinu iz točke C, i nazovimo H točka sjecišta sa stranom AB. Formira se trokut ACH sličan trokutu ABC, budući da su oba pravokutna (po definiciji visine) i imaju zajednički kut A, Očito je da će treći kut u ovim trokutima također biti isti. Slično miru, trokut CBH također sličan trokutu ABC. Uz sličnost trokuta: Ako

Ovo se može napisati kao

Ako zbrojimo ove dvije jednakosti, dobivamo

HB + c puta AH = c puta (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

Euklidov dokaz
Euklidov dokaz u Euklidskim "Elementima", Pitagorin teorem dokazuje se metodom paralelograma. Neka A, B, C vrhovi pravokutnog trokuta, s pravim kutom A. Spustimo okomicu iz točke A na stranu nasuprot hipotenuzi u kvadratu izgrađenom na hipotenuzi. Crta dijeli kvadrat na dva pravokutnika, od kojih svaki ima istu površinu kao kvadrati izgrađeni na stranicama. glavna ideja u dokazu je da se gornji kvadrati pretvaraju u paralelograme iste površine, a zatim se vraćaju i pretvaraju u pravokutnike u donjem kvadratu i opet s istom površinom.

Nacrtajmo segmente CF I OGLAS. dobivamo trokute BCF I B.D.A.
Kutovi TAKSI I TORBA– ravno; odnosno bodova C, A I G– kolinearni. Također B, A I H.
Kutovi CBD I FBA– obje su ravne linije, zatim kut ABD jednak kutu FBC, budući da su oboje zbroj pravog kuta i kuta ABC.
Trokut ABD I FBC razina na dvije strane i kut između njih.
Budući da bodovi A, K I L– kolinearna, površina pravokutnika BDLK jednaka je dvjema površinama trokuta ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Na sličan način dobivamo CKLE = ACIH = AC 2
S jedne strane područje CBDE jednak zbroju površina pravokutnika BDLK I CKLE, a s druge strane površina kvadrata prije Krista 2, ili AB 2 + AC 2 = prije Krista 2.

Korištenje diferencijala
Korištenje diferencijala. Do Pitagorinog teorema može se doći proučavanjem kako povećanje stranice utječe na veličinu hipotenuze kao što je prikazano na slici desno i primjenom malog izračuna.
Kao rezultat povećanja strana a, sličnih trokuta za infinitezimalne inkremente

Integracijom dobivamo

Ako a= 0 tada c = b, pa je "konstanta". b 2. Zatim

Kao što se može vidjeti, kvadrati su rezultat omjera između priraštaja i stranica, dok je zbroj rezultat neovisnog doprinosa priraštaja stranica, što nije očito iz geometrijskih dokaza. U ovim jednadžbama da I dc– odgovarajući infinitezimalni prirast stranica a I c. Ali što koristimo umjesto toga? a I? c, tada je granica omjera ako teže nuli da / DC, izvod, a također je jednak c / a, omjer duljina stranica trokuta, kao rezultat dobivamo diferencijalna jednadžba.
U slučaju ortogonalnog sustava vektora vrijedi jednakost koja se naziva i Pitagorin poučak:

Ako – Ovo su projekcije vektora na koordinatne osi, tada se ova formula podudara s euklidskom udaljenosti i znači da je duljina vektora jednaka kvadratnom korijenu zbroja kvadrata njegovih komponenti.
Analog ove jednakosti u slučaju beskonačnog sustava vektora naziva se Parsevalova jednakost.

Jedna stvar u koju možete biti sto posto sigurni je da će svaka odrasla osoba na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata kateta." Ovaj je teorem čvrsto ukorijenjen u glavama svake obrazovane osobe, ali samo trebate zamoliti nekoga da to dokaže i mogu se pojaviti poteškoće. Pa prisjetimo se i razmislimo različiti putevi dokaz Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorin teorem poznat je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ga je donijela na svijet nije toliko popularna. Ovo se može popraviti. Stoga, prije nego što istražite različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema, morate se ukratko upoznati s njegovom osobnošću.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikana. No, kako slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na otoku Samosu. Otac mu je bio običan kamenorezac, a majka je bila iz plemićke obitelji.

Sudeći po legendi, Pitagorino rođenje predvidjela je žena po imenu Pitija, u čiju je čast dječak i dobio ime. Prema njezinom predviđanju, rođeni dječak trebao je donijeti mnogo koristi i dobra čovječanstvu. Što je upravo ono što je učinio.

Rođenje teoreme

U mladosti se Pitagora preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, dopušten mu je studij, gdje je upoznao sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerojatno je u Egiptu Pitagora bio inspiriran veličanstvom i ljepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo bi moglo šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari smatraju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje je znanje samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke izračune.

Bilo kako bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ovog teorema, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su točno stari Grci izvodili svoje izračune, pa ćemo ovdje pogledati različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Pitagorin poučak

Prije nego započnete bilo kakve izračune, morate shvatiti koju teoriju želite dokazati. Pitagorin teorem glasi ovako: "U trokutu u kojem je jedan od kutova 90°, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Postoji ukupno 15 različitih načina da se dokaže Pitagorin teorem. Ovo je prilično velik broj, pa ćemo obratiti pozornost na najpopularnije od njih.

Prva metoda

Prvo, definirajmo što nam je dano. Ovi podaci također će se primijeniti na druge metode dokazivanja Pitagorinog teorema, pa je vrijedno odmah zapamtiti sve dostupne oznake.

Pretpostavimo da nam je dan pravokutni trokut s katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da iz pravokutnog trokuta trebate nacrtati kvadrat.

Da biste to učinili, trebate dodati segment jednak kraku b kraku duljine a, i obrnuto. To bi trebalo rezultirati s dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije, a kvadrat je spreman.

Unutar dobivene figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova as i sv morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka s. Tako dobivamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza izvornog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na temelju dobivene figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da osim unutarnjeg kvadrata postoje četiri pravokutna trokuta. Površina svakog je 0,5 av.

Stoga je površina jednaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Stoga je (a+c) 2 = 2ab+c 2

I, prema tome, c 2 =a 2 +b 2

Teorem je dokazan.

Druga metoda: slični trokuti

Ova formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena je na temelju izjave iz dijela geometrije o sličnim trokutima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta prosjek proporcionalan njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha kuta od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo isječak CD okomit na stranicu AB. Na temelju gornje tvrdnje stranice trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Da bismo odgovorili na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora dovršiti kvadriranjem obiju nejednakosti.

AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV

Sada trebamo zbrojiti dobivene nejednakosti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdje je AD + DV = AB

Ispostavilo se da:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

I stoga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorinog teorema i razne načine njegova rješenja zahtijevaju višestrani pristup ovom problemu. Međutim, ova je opcija jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračuna

Opisi različitih metoda dokazivanja Pitagorinog teorema možda neće značiti ništa dok sami ne počnete vježbati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke izračune, već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.

U ovom slučaju potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut VSD sa stranice BC. Dakle, sada postoje dva trokuta sa zajedničkom krakom BC.

Znajući da površine sličnih likova imaju isti omjer kao kvadrati njima sličnih linearne dimenzije, to:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Budući da je od raznih metoda dokazivanja Pitagorinog teorema za 8. razred ova opcija jedva prikladna, možete koristiti sljedeću metodu.

Najlakši način da dokažete Pitagorin teorem. Recenzije

Prema povjesničarima, ova je metoda prvi put korištena za dokazivanje teorema još u drevna grčka. To je najjednostavnije, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako ispravno nacrtate sliku, onda će dokaz tvrdnje da je a 2 + b 2 = c 2 biti jasno vidljiv.

Uvjeti za ovu metodu malo će se razlikovati od prethodne. Da bismo dokazali teorem, pretpostavimo da je pravokutni trokut ABC jednakokračan.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranicu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne crte u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trokuta.

Također morate nacrtati kvadrat do krakova AB i CB i povući po jednu dijagonalnu ravnu liniju u svakoj od njih. Prvu liniju povlačimo iz vrha A, drugu iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Budući da se na hipotenuzi AC nalaze četiri trokuta jednaka prvotnom, a na stranicama dva, to ukazuje na istinitost ovog teorema.

Usput, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, poznata fraza: “Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima.”

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadaren autodidakt.

Na početku svoje karijere bio je redoviti učitelj u javne škole, ali je ubrzo postao direktor jednog od najviših obrazovne ustanove. Želja za samorazvojem omogućila mu je da predloži novu teoriju za dokazivanje Pitagorinog teorema. Teorem i primjer njegovog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da je krak jednog od njih nastavak drugog. Vrhove ovih trokuta potrebno je spojiti kako bi u konačnici formirali trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako promatramo dobiveni trapez kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njegovo područje može pronaći na sljedeći način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sada moramo izjednačiti dva izvorna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorinom teoremu i metodama njegova dokazivanja moglo bi se napisati više od jednog sveska. pomoć u nastavi. Ali ima li smisla kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorinog poučka

Nažalost, u modernom školski programi Ovaj teorem je namijenjen samo za korištenje u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školu ne znajući kako svoje znanje i vještine mogu primijeniti u praksi.

Zapravo, koristite Pitagorin teorem u svom Svakidašnjica svi mogu. I ne samo u profesionalna djelatnost, ali i u običnim kućanskim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorin teorem i metode njegovog dokazivanja mogu biti iznimno potrebni.

Odnos teorema i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trokuti na papiru mogu povezati. Zapravo, astronomija je znanstveno područje u kojem se Pitagorin teorem široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosne zrake u prostoru. Poznato je da se svjetlost giba u oba smjera istom brzinom. Nazovimo putanju AB kojom se giba svjetlosna zraka l. I nazovimo pola vremena potrebnog svjetlu da stigne od točke A do točke B t. I brzina snopa - c. Ispostavilo se da: c*t=l

Ako pogledate tu istu zraku iz druge ravnine, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se pri promatranju tijela na ovaj način njihova brzina promijeniti. U tom će se slučaju čak i nepokretni elementi početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da komični brod plovi udesno. Tada će se točke A i B, između kojih juri zraka, početi pomicati ulijevo. Štoviše, kada se zraka pomakne od točke A do točke B, točka A ima vremena za pomicanje i, sukladno tome, svjetlost će već stići u novu točku C. Da biste pronašli polovicu udaljenosti za koju se točka A pomaknula, morate pomnožiti brzinu košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t").

A da biste saznali koliko bi zraka svjetlosti mogla prijeći za to vrijeme, trebate označiti polovicu puta novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i svemirska linija, vrhovi jednakokračan trokut, tada će segment od točke A do linije podijeliti na dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući Pitagorinom teoremu, možete pronaći udaljenost koju bi zraka svjetlosti mogla prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrimo svjetovnije primjene ovog teorema.

Domet prijenosa mobilnog signala

Suvremeni život više se ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali bi li bili od velike koristi ako ne bi mogli povezati pretplatnike putem mobilne komunikacije?!

Kvaliteta mobilne komunikacije izravno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena. mobilni operater. Kako biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorin teorem.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja tako da može distribuirati signal unutar radijusa od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus Globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorine teoreme saznajemo da minimalna visina toranj bi trebao biti dugačak 2,3 kilometra.

Pitagorin teorem u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorin teorem može biti koristan čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih izračuna, jer možete jednostavno izvršiti mjerenja pomoću mjerne trake. Ali mnogi se ljudi pitaju zašto se pojavljuju određeni problemi tijekom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego točno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u vodoravnom položaju i tek onda podiže i postavlja uza zid. Stoga, tijekom procesa podizanja konstrukcije, bočna strana ormarića mora se slobodno kretati i duž visine i dijagonalno prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar dubine 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja reći će da visina ormara treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

S idealnim dimenzijama ormarića, provjerimo djelovanje Pitagorine teoreme:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - sve odgovara.

Recimo da visina ormara nije 2474 mm, već 2505 mm. Zatim:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije prikladan za ugradnju u ovu prostoriju. Budući da ga podizanjem u okomiti položaj može oštetiti tijelo.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema od strane različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je to više nego istinito. Sada možete koristiti dobivene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, već i točni.