Znakovi, sastavni elementi i svojstva jednakokračnog trokuta. Matematika mi se sviđa

Tema lekcije

Jednakokračan trokut

Svrha lekcije

Upoznati učenike s jednakokračnim trokutom;
Nastaviti razvijati vještine konstruiranja pravokutnih trokuta;
Proširiti znanje učenika o svojstvima jednakokračnih trokuta;
Učvrstiti teorijska znanja pri rješavanju problema.

Ciljevi lekcije

Znati formulirati, dokazati i koristiti teorem o svojstvima jednakokračnog trokuta u procesu rješavanja zadataka;
Nastavite razvijati svjesnu percepciju obrazovni materijal, logično mišljenje, vještine samokontrole i samopoštovanja;
Probuditi kognitivni interes za satove matematike;
Poticati aktivnost, znatiželju i organiziranost.

Plan učenja

1. Opći pojmovi te definicije jednakokračnog trokuta.
2. Svojstva jednakokračnog trokuta.
3. Znakovi jednakokračnog trokuta.
4. Pitanja i zadaci.

Jednakokračan trokut

Jednakokračni trokut je trokut koji ima dvije jednake stranice, koje se nazivaju stranicama jednakokračnog trokuta, a treća stranica se zove baza.

Vrh date figure je onaj koji se nalazi nasuprot njezine baze.

Kut koji leži nasuprot osnovici naziva se vršni kut ovog trokuta, a druga dva kuta nazivaju se osnovnim kutovima jednakokračnog trokuta.

Vrste jednakokračnih trokuta

Jednakokračni trokut, kao i drugi likovi, može imati različiti tipovi. Među jednakokračnim trokutima postoje šiljasti, pravokutni, tupokutni i jednakostranični trokuti.

Oštrokutni trokut ima sve oštre kutove.
Pravokutni trokut ima ravni kut na vrhu i oštre kutove na osnovici.
Tupi kut ima na vrhu tupi kut, a kutovi na dnu su oštri.
Jednakostrani predmet ima sve kutove i stranice jednake.

Svojstva jednakokračnog trokuta

Nasuprotni kutovi u odnosu na jednake stranice jednakokračnog trokuta međusobno su jednaki;

Simetrale, medijane i visine povučene iz kutova nasuprot jednakih stranica trokuta međusobno su jednake.

Simetrala, središnja i visina, usmjerene i povučene na osnovicu trokuta, podudaraju se jedna s drugom.

Središta upisane i opisane kružnice leže na visini, simetrali i središnjici (poklapaju se) povučenoj na osnovicu.

Kutovi nasuprot jednakih stranica jednakokračnog trokuta uvijek su šiljasti.

Ova svojstva jednakokračnog trokuta koriste se u rješavanju zadataka.

Domaća zadaća

1. Definirajte jednakokračni trokut.
2. Po čemu je ovaj trokut poseban?
3. Po čemu se jednakokračni trokut razlikuje od pravokutnog trokuta?
4. Navedite svojstva jednakokračnog trokuta koja poznajete.
5. Mislite li da je moguće u praksi provjeriti jednakost kutova na bazi i kako to učiniti?

Vježbajte

Provedimo sada kratku anketu i saznajmo kako ste naučili novo gradivo.

Pažljivo poslušajte pitanja i odgovorite je li sljedeća tvrdnja točna:

1. Može li se trokut smatrati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake?
2. Simetrala je isječak koji spaja vrh trokuta sa sredinom suprotna strana?
3. Simetrala je isječak koji raspolavlja kut koji spaja vrh s točkom na suprotnoj strani?

Savjeti za rješavanje problema jednakokračnog trokuta:

1. Za određivanje opsega jednakokračnog trokuta dovoljno je duljinu stranice pomnožiti s 2 i taj umnožak zbrojiti s duljinom osnovice trokuta.
2. Ako su u zadatku poznati opseg i duljina osnovice jednakokračnog trokuta, tada je za pronalaženje duljine stranice dovoljno od opsega oduzeti duljinu osnovice i dobivenu razliku podijeliti s 2.
3. A da biste pronašli duljinu baze jednakokračnog trokuta, znajući i opseg i duljinu stranice, samo trebate pomnožiti stranu s dva i oduzeti ovaj proizvod od perimetra našeg trokuta.

Zadaci:

1. Među trokutima na slici pronađite jedan dodatni i objasnite svoj izbor:

2. Odredi koji su od trokuta prikazanih na slici jednakokračni, imenuj njihove osnovice i strane, te također izračunajte njihov opseg.

3. Opseg jednakokračnog trokuta je 21 cm.Nađite stranice tog trokuta ako je jedna od njih veća za 3 cm.Koliko on može imati rješenja? ovaj zadatak?

4. Poznato je da ako su bočna stranica i kut nasuprot osnovici jednog jednakokračnog trokuta jednaki bočnoj stranici i kutu drugog, onda će i ti trokuti biti jednaki. Dokažite ovu tvrdnju.

5. Razmisli i reci je li svaki jednakokračni trokut jednakostraničan? I hoće li bilo koji jednakostranični trokut biti jednakokračan?

6. Ako su stranice jednakokračnog trokuta 4 m i 5 m, koliki će mu onda biti opseg? Koliko rješenja može imati ovaj problem?

7. Ako je jedan od kutova jednakokračnog trokuta jednak 91 stupnju, koliko su onda jednaki ostali kutovi?

8. Razmisli i odgovori koje kutove treba imati trokut da bi bio i pravokutan i jednakokračan?

Koliko vas zna što je Pascalov trokut? Problem konstruiranja Pascalovog trokuta često se postavlja za provjeru osnovnih vještina programiranja. Općenito, Pascalov trokut se odnosi na kombinatoriku i teoriju vjerojatnosti. Dakle, kakav je ovo trokut?

Pascalov trokut je beskonačni aritmetički trokut ili tablica u obliku trokuta koja je formirana korištenjem binomnih koeficijenata. Jednostavnim riječima, vrh i stranice ovog trokuta su jedinice, a sam je ispunjen zbrojevima dvaju brojeva koji se nalaze iznad. Takav se trokut može saviti do beskonačnosti, ali ako ga ocrtamo, dobit ćemo jednakokračni trokut sa simetričnim linijama u odnosu na njegovu okomitu os.

Razmislite gdje u Svakidašnjica Jeste li ikada naišli na jednakokračne trokute? Nije li istina, krovovi kuća i prastari arhitektonske građevine sliče li im puno? I zapamtite što je osnova Egipatske piramide? Gdje ste još naišli na jednakokračne trokute?

Od davnina su jednakokračni trokuti pomagali Grcima i Egipćanima u određivanju udaljenosti i visina. Na primjer, stari Grci su ga koristili da izdaleka odrede udaljenost do broda na moru. I stari Egipćani su visinu svojih piramida određivali na temelju duljine bačene sjene, jer... bio je jednakokračni trokut.

Od davnina su ljudi već cijenili ljepotu i praktičnost ove figure, budući da nas oblici trokuta okružuju posvuda. Krećući se kroz različita sela, vidimo krovove kuća i drugih zgrada koji nas podsjećaju na jednakokračni trokut; ušavši u trgovinu, vidimo pakete s trokutastim proizvodima i sokovima, pa čak i nekim ljudska lica imaju oblik trokuta. Ova brojka je toliko popularna da je možete vidjeti na svakom koraku.

Predmeti > Matematika > Matematika 7.r

Ova lekcija će pokriti temu "Jednakokračni trokut i njegova svojstva." Naučit ćete kako izgledaju jednakokračni i jednakostranični trokut i kako se karakteriziraju. Dokažite teorem o jednakosti kutova na osnovici jednakokračnog trokuta. Razmotrimo također teorem o simetrali (srednjoj i nadmorskoj visini) povučenoj na osnovicu jednakokračnog trokuta. Na kraju lekcije riješit ćete dva zadatka koristeći definiciju i svojstva jednakokračnog trokuta.

Definicija:Jednakokračan naziva se trokut čije su dvije stranice jednake.

Riža. 1. Jednakokračni trokut

AB = AC - stranice. prije Krista - temelj.

Površina jednakokračnog trokuta jednaka je polovici umnoška njegove baze i visine.

Definicija:Jednakostraničan naziva se trokut u kojem su sve tri stranice jednake.

Riža. 2. Jednakostranični trokut

AB = BC = SA.

Teorem 1: U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki.

dano: AB = AC.

Dokazati:∠B =∠C.

Riža. 3. Crtež za teorem

Dokaz: trokut ABC = trokut ACB prema prvom predznaku (dvije jednake stranice i kut između njih). Iz jednakosti trokuta slijedi da su svi odgovarajući elementi jednaki. To znači ∠B = ∠C, što je i trebalo dokazati.

Teorem 2: U jednakokračnom trokutu simetrala privučena bazi je medijan I visina.

dano: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Dokazati: VD = DC, AD okomito na BC.

Riža. 4. Crtež za teorem 2

Dokaz: trokut ADB = trokut ADC prema prvom predznaku (AD - općenito, AB = AC po uvjetu, ∠BAD = ∠DAC). Iz jednakosti trokuta slijedi da su svi odgovarajući elementi jednaki. BD = DC jer su suprotni jednaki kutovi. Dakle, AD je medijan. Također ∠3 = ∠4 budući da leže nasuprot jednakih stranica. Ali, osim toga, oni su u ukupnom poretku jednaki. Stoga je ∠3 = ∠4 = . To znači da je AD visina trokuta, što smo i trebali dokazati.

U jedinom slučaju a = b = . U tom slučaju se pravci AC i BD nazivaju okomitima.

Budući da su simetrala, visina i medijan isti segment, sljedeće tvrdnje su također istinite:

Visina jednakokračnog trokuta povučena na osnovicu je središnja i simetrala.

Medijan jednakokračnog trokuta povučen na osnovicu je visina i simetrala.

Primjer 1: U jednakokračnom trokutu osnovica je upola manja od stranice, a opseg je 50 cm.Nađite stranice trokuta.

dano: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Pronaći: BC, AC, AB.

Riješenje:

Riža. 5. Crtanje na primjer 1

Označimo bazu BC kao a, tada je AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Odgovor: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Primjer 2: Dokažite da su u jednakostraničnom trokutu svi kutovi jednaki.

dano: AB = BC = SA.

Dokazati:∠A = ∠B = ∠C.

Dokaz:

Riža. 6. Crtanje na primjer

∠B = ∠C, jer je AB = AC, i ∠A = ∠B, jer je AC = BC.

Dakle, ∠A = ∠B = ∠C, što je i trebalo dokazati.

Odgovor: dokazano.

U današnjoj lekciji promatrali smo jednakokračni trokut i proučavali njegova osnovna svojstva. U sljedećoj lekciji rješavat ćemo zadatke na temu jednakokračnog trokuta, o izračunavanju površine jednakokračnog i jednakostraničnog trokuta.

1. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. i dr. Geometrija 7. - M.: Obrazovanje.
2. Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomcev S.B. i dr. Geometrija 7. 5. izd. - M.: Prosvjeta.
3. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, prir. Sadovnichego V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.

1. Rječnici i enciklopedije o akademiku ().
2. Festival pedagoških ideja" Javni sat» ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Broj 29. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, prir. Sadovnichego V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.

2. Opseg jednakokračnog trokuta je 35 cm, a osnovica je tri puta manja od stranice. Nađi stranice trokuta.

3. Dato je: AB = BC. Dokažite da je ∠1 = ∠2.

4. Opseg jednakokračnog trokuta je 20 cm, jedna mu je stranica dvostruko veća od druge. Nađi stranice trokuta. Koliko rješenja ima zadatak?

Jednakokračan trokut je trokut kojemu su dvije stranice jednake duljine. Jednake stranice nazivaju se bočne, a posljednja baza. Po definiciji, pravilan trokut je također jednakokračan, ali obrnuto nije točno.

Svojstva

• Kutovi nasuprot jednakih stranica jednakokračnog trokuta međusobno su jednaki. Simetrale, medijane i visine povučene iz ovih kutova također su jednake.
• Simetrala, središnja, visina i simetrala povučena na osnovicu međusobno se podudaraju. Na tom pravcu leže središta upisane i opisane kružnice.
• Kutovi nasuprot jednakih stranica uvijek su šiljasti (slijedi iz njihove jednakosti).

Neka a- duljina dviju jednakih stranica jednakokračnog trokuta, b- duljina treće strane, α I β - odgovarajući kutovi, R- polumjer opisane kružnice, r- radijus upisanog .

Strane se mogu pronaći na sljedeći način:

Kutovi se mogu izraziti na sljedeće načine:

Opseg jednakokračnog trokuta može se izračunati na bilo koji od sljedećih načina:

Površina trokuta može se izračunati na jedan od sljedećih načina:

(Heronova formula).

Znakovi

• Dva su kuta trokuta jednaka.
• Visina se podudara s medijanom.
• Visina se poklapa sa simetralom.
• Simetrala se poklapa s medijanom.
• Dvije su visine jednake.
• Dva medijana su jednaka.
• Dvije simetrale su jednake (Steiner-Lemusov teorem).

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "istokračni trokut" u drugim rječnicima:

RAKOBRAČNI TROKUT, TROKUT koji ima dvije stranice jednake duljine; kutovi na ovim stranicama su također jednaki... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

I (jednostavni) trigon, trokut, čovjek. 1. Geometrijski lik, omeđen trima linijama koje se međusobno sijeku i tvore tri unutarnja kuta (mat.). Tupokutni trokut. Oštrokutni trokut. Pravokutni trokut…… Rječnik Ushakova

ISOSceles, aya, oe: jednakokračni trokut koji ima dvije jednake stranice. | imenica jednakokračan, i, ženski Ozhegovov objašnjavajući rječnik. SI. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949. 1992. … Ozhegovov objašnjavajući rječnik

trokut- ▲ mnogokut s tri kuta, trokut, najjednostavniji mnogokut; određena je s 3 točke koje ne leže na istom pravcu. trokutasti. oštar kut. oštrokutni. pravokutni trokut: kateta. hipotenuza. jednakokračan trokut. ▼… … Ideografski rječnik ruskog jezika

trokut- TROKUT1, a, m od čega ili s def. Objekt u obliku geometrijskog lika omeđen s tri linije koje se sijeku i tvore tri unutarnja kuta. Prebirala je po muževim pismima, požutjelim trokutima s prednje strane. TROKUT2, a, m... ... Objašnjavajući rječnik ruskih imenica

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Trokut (značenja). Trokut (u euklidskom prostoru) je geometrijski lik sastavljen od tri segmenta koji spajaju tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Tri točkice,... ... Wikipedia

Trokut (poligon)- Trokuti: 1 šiljasti, pravokutni i tupokutni; 2 pravilna (jednakostranična) i jednakokračna; 3 simetrale; 4 medijana i težište; 5 visina; 6 ortocentar; 7 srednja linija. TROKUT, mnogokut sa 3 stranice. Ponekad pod... ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik

enciklopedijski rječnik

trokut- A; m. 1) a) Geometrijski lik omeđen s tri pravca koji se sijeku i tvore tri unutarnja kuta. Pravokutni, jednakokračni trokut. Izračunajte površinu trokuta. b) ott. što ili s def. Lik ili predmet ovog oblika... ... Rječnik mnogih izraza

A; m. 1. Geometrijski lik omeđen s tri crte koje se sijeku i tvore tri unutarnja kuta. Pravokutni, jednakokračni t. Izračunaj površinu trokuta. // što ili s def. Lik ili predmet ovog oblika. T. krovovi. T.…… enciklopedijski rječnik

Jednakokračan trokut je trokut kojemu su dvije stranice jednake duljine. Jednake stranice nazivaju se bočne, a posljednja baza. Po definiciji, pravilan trokut je također jednakokračan, ali obrnuto nije točno.

Svojstva

• Kutovi nasuprot jednakih stranica jednakokračnog trokuta međusobno su jednaki. Simetrale, medijane i visine povučene iz ovih kutova također su jednake.
• Simetrala, središnja, visina i simetrala povučena na osnovicu međusobno se podudaraju. Na tom pravcu leže središta upisane i opisane kružnice.
• Kutovi nasuprot jednakih stranica uvijek su šiljasti (slijedi iz njihove jednakosti).

Neka a- duljina dviju jednakih stranica jednakokračnog trokuta, b- duljina treće strane, α I β - odgovarajući kutovi, R- polumjer opisane kružnice, r- radijus upisanog .

Strane se mogu pronaći na sljedeći način:

Kutovi se mogu izraziti na sljedeće načine:

Opseg jednakokračnog trokuta može se izračunati na bilo koji od sljedećih načina:

Površina trokuta može se izračunati na jedan od sljedećih načina:

(Heronova formula).

Znakovi

• Dva su kuta trokuta jednaka.
• Visina se podudara s medijanom.
• Visina se poklapa sa simetralom.
• Simetrala se poklapa s medijanom.
• Dvije su visine jednake.
• Dva medijana su jednaka.
• Dvije simetrale su jednake (Steiner-Lemusov teorem).

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010.

• Gremjačinski općinski okrug Permske oblasti
• Detektiv (zanimanje)

Pogledajte što je "istokračni trokut" u drugim rječnicima:

JEDNAKOKRAČAN TROKUT- RAKOKRAČNI TROKUT, TROKUT koji ima dvije stranice jednake duljine; kutovi na ovim stranicama su također jednaki... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

TROKUT- i (prosti) trigon, trokut, čovjek. 1. Geometrijski lik omeđen s tri pravca koji se međusobno sijeku i tvore tri unutarnja kuta (mat.). Tupokutni trokut. Oštrokutni trokut. Pravokutni trokut…… Ušakovljev objašnjavajući rječnik

IZOSCELES- ISOSceles, aya, oh: jednakokračni trokut koji ima dvije jednake stranice. | imenica jednakokračan, i, ženski Ozhegovov objašnjavajući rječnik. SI. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949. 1992. … Ozhegovov objašnjavajući rječnik

trokut- ▲ mnogokut s tri kuta, trokut, najjednostavniji mnogokut; određena je s 3 točke koje ne leže na istom pravcu. trokutasti. oštar kut. oštrokutni. pravokutni trokut: kateta. hipotenuza. jednakokračan trokut. ▼… … Ideografski rječnik ruskog jezika

trokut- TROKUT1, a, m od čega ili s def. Objekt u obliku geometrijskog lika omeđen s tri linije koje se sijeku i tvore tri unutarnja kuta. Prebirala je po muževim pismima, požutjelim trokutima s prednje strane. TROKUT2, a, m... ... Objašnjavajući rječnik ruskih imenica

Trokut- Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Trokut (značenja). Trokut (u euklidskom prostoru) je geometrijski lik sastavljen od tri segmenta koji spajaju tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Tri točkice,... ... Wikipedia

Trokut (poligon)- Trokuti: 1 šiljasti, pravokutni i tupokutni; 2 pravilna (jednakostranična) i jednakokračna; 3 simetrale; 4 medijana i težište; 5 visina; 6 ortocentar; 7 srednja linija. TROKUT, mnogokut sa 3 stranice. Ponekad pod... ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik

trokut enciklopedijski rječnik

trokut- A; m. 1) a) Geometrijski lik omeđen s tri pravca koji se sijeku i tvore tri unutarnja kuta. Pravokutni, jednakokračni trokut. Izračunajte površinu trokuta. b) ott. što ili s def. Lik ili predmet ovog oblika... ... Rječnik mnogih izraza

Trokut- A; m. 1. Geometrijski lik omeđen s tri crte koje se sijeku i tvore tri unutarnja kuta. Pravokutni, jednakokračni t. Izračunaj površinu trokuta. // što ili s def. Lik ili predmet ovog oblika. T. krovovi. T.…… enciklopedijski rječnik

Definicija 7. Svaki trokut čije su dvije stranice jednake naziva se jednakokračan.
Dvije jednake stranice nazivaju se bočne strane, a treća se naziva baza.
Definicija 8. Ako su sve tri stranice trokuta jednake, tada se trokut naziva jednakostraničnim.
To je posebna vrsta jednakokračnog trokuta.
Teorem 18. Visina jednakokračnog trokuta, spuštena na osnovicu, ujedno je i simetrala kuta između jednakih stranica, središta i osi simetrije osnovice.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovicu jednakokračnog trokuta. Podijelit će ga na dva jednaka (po kraku i hipotenuzi) pravokutna trokuta. Kutovi A i C su jednaki, a visina također dijeli bazu na pola i bit će os simetrije cijele figure koja se razmatra.
Ovaj se teorem također može formulirati na sljedeći način:
Teorem 18.1. Medijan jednakokračnog trokuta, spušten na osnovicu, ujedno je simetrala kuta između jednakih stranica, visine i osi simetrije osnovice.
Teorem 18.2. Simetrala jednakokračnog trokuta, spuštena na osnovicu, istovremeno je visina, središnja i os simetrije baze.
Teorem 18.3. Os simetrije jednakokračnog trokuta istovremeno je simetrala kuta između jednakih stranica, središnje točke i visine.
Dokaz ovih posljedica također proizlazi iz jednakosti trokuta na koje je podijeljen jednakokračni trokut.

Teorem 19. Kutovi na osnovici jednakokračnog trokuta su jednaki.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovicu jednakokračnog trokuta. Podijelit će ga na dva jednaka (po kraku i hipotenuzi) pravokutna trokuta, što znači da su odgovarajući kutovi jednaki, tj. ∠ A=∠ C
Kriteriji za jednakokračni trokut proizlaze iz teorema 1 i njegovih korola i teorema 2.
Teorem 20. Ako se dvije od navedena četiri pravca (visina, središnja, simetrala, os simetrije) podudaraju, tada će trokut biti jednakokračan (što znači da će se sva četiri pravca poklapati).
Teorem 21. Ako su bilo koja dva kuta trokuta jednaka, onda je on jednakokračan.

Dokaz: Slično dokazu izravnog teorema, ali korištenjem drugog kriterija za jednakost trokuta. Težište, središta opisane i upisane kružnice te sjecište visina jednakokračnog trokuta leže na njegovoj osi simetrije, tj. na visokom.
Jednakostranični trokut je jednakokračan za svaki par svojih stranica. Zbog jednakosti svih njegovih stranica sva su tri kuta takvog trokuta jednaka. S obzirom da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta jednak dvama pravim kutovima, vidimo da je svaki od kutova jednakostraničnog trokuta jednak 60°. Obrnuto, da bismo bili sigurni da su sve stranice trokuta jednake, dovoljno je provjeriti jesu li dva od njegova tri kuta jednaka 60°.
Teorem 22 . U jednakostraničnom trokutu sve značajne točke se podudaraju: težište, središta upisane i opisane kružnice, točka presjeka visina (koja se naziva ortocentar trokuta).
Teorem 23 . Ako se dvije od navedene četiri točke podudaraju, tada će trokut biti jednakostraničan i, kao posljedica toga, sve četiri navedene točke će se podudarati.
Doista, takav trokut će se pokazati, prema prethodnom, jednakokračan u odnosu na bilo koji par strana, tj. jednakostraničan. Jednakostranični trokut nazivamo i pravilnim trokutom. Površina jednakokračnog trokuta jednaka je polovici umnoška kvadrata bočne stranice i sinusa kuta između stranica
Razmotrite ovu formulu za jednakostranični trokut, tada će alfa kut biti jednak 60 stupnjeva. Tada će se formula promijeniti u ovo:

Teorem d1 . U jednakokračnom trokutu, središnje strane povučene stranicama su jednake.

Dokaz: Neka je ABC jednakokračni trokut (AC = BC), AK i BL njegove središnje strane. Tada su trokuti AKB i ALB jednaki prema drugom kriteriju jednakosti trokuta. Zajednička im je stranica AB, stranice AL i BK jednake su polovicama pobočnih stranica jednakokračnog trokuta, a kutovi LAB i KBA jednaki su kutovima pri osnovicama jednakokračnog trokuta. Budući da su trokuti sukladni, stranice AK i LB su im jednake. Ali AK i LB su središnje strane jednakokračnog trokuta povučene na njegove bočne stranice.
Teorem d2 . U jednakokračnom trokutu simetrale povučene na bočne stranice su jednake.

Dokaz: Neka je ABC jednakokračni trokut (AC = BC), AK i BL njegove simetrale. Trokuti AKB i ALB jednaki su prema drugom kriteriju jednakosti trokuta. Imaju zajedničku stranicu AB, kutovi LAB i KBA jednaki su kao kutovi uz osnovice jednakokračnog trokuta, a kutovi LBA i KAB jednaki su polovici kutova uz osnovicu jednakokračnog trokuta. Kako su trokuti sukladni, sukladne su im stranice AK i LB - simetrale trokuta ABC. Teorem je dokazan.
Teorem d3 . U jednakokračnom trokutu visine spuštene na stranice su jednake.

Dokaz: Neka je ABC jednakokračni trokut (AC = BC), a AK i BL njegove visine. Tada su kutovi ABL i KAB jednaki jer su kutovi ALB i AKB pravi kutovi, a kutovi LAB i ABK jednaki su kao kutovi uz osnovice jednakokračnog trokuta. Prema tome, trokuti ALB i AKB su jednaki prema drugom kriteriju jednakosti trokuta: imaju zajednička strana AB, kutovi KAB i LBA jednaki su prema gore navedenom, a kutovi LAB i KBA jednaki su kao kutovi uz osnovice jednakokračnog trokuta. Ako su trokuti sukladni, sukladne su im i stranice AK i BL. Q.E.D.